Algèbre / 1e / 20-21

(1)

ALGÈBRE

1

ère

_année

1.1 Calcul littéral

1 1.1.1 Notations/conventions d’écriture

1 1.1.2 Polynômes et opérations

2 1.1.3 Identités remarquables et factorisation

8 1.1.4 Ce qu’il faut absolument savoir

16 1.2 Les équations

17 1.2.1 Théorie sur les équations

17 1.2.2 Équations polynomiales du 1

er

_degré

₂₀

1.2.3 Équations polynomiales du 2

ème

_degré

₂₈

1.2.4 Ce qu’il faut absolument savoir

42 1.3 Les inéquations

43 1.3.1 Intervalles

43 1.3.2 Inéquations du premier degré

47 1.3.3 Inéquations de degré supérieur à un

49 1.3.4 Ce qu’il faut absolument savoir

50 1.4 Systèmes d’équations linéaires

51 1.4.1 Introduction

51 1.4.2 Résolution d’un système d’équations linéaires

52 1.4.3 Ce qu’il faut absolument savoir

60

(2)

AVANT-PROPOS

• Ce document a été conçu pour l’enseignement des mathématiques dispensé au Collège de

Genève en première année, en algèbre. Cela dit, il peut servir de support de cours pour d’autres

filières d’enseignement.

• Vous trouverez dans ce chapitre de la théorie (définitions, théorèmes, démonstrations, etc.) et des exercices qui vous permettront progressivement de vous familiariser et de maîtriser les diverses notations et concepts mathématiques. À la fin du chapitre se trouvent les solutions des

exercices.

• Les exercices accompagnés d’un astérisque (*), sont des exercices supplémentaires de

développement destinés, par exemple, aux élèves ayant choisi l’option, niveau avancé (MA2). • Pour mieux repérer les points importants de la théorie, les définitions sont dans un encadré

blanc et les théorèmes dans un encadré grisé.

• Pour vérifier votre niveau de compréhension à la fin de l’étude d’un sous chapitre, vous pouvez vous référer à la section : « Ce qu’il faut absolument savoir ».

• Vous pouvez télécharger ce document au format PDF à l’adresse suivante :

http://www.sismondi.ch/disciplines/mathematiques/espace-perso-profs/serge-picchione

• Pour finir, un grand merci aux collègues de divers établissements scolaires qui ont partagé

leurs cours : Nicolas Chabal, Yves Drevous, Bernard Gisin, Alain Klopfenstein, Maurizio

Lalicata, Bernard Lenggenhager, Romanita Nagy Gauxachs, Adrien Schleining et Serge Zoutter.

(3)

1.1 Calcul littéral

François Viète était un avocat et un mathématicien français né à

Fontenay-le-Comte en 1540 et mort à Paris en 1603. Son œuvre est capitale pour la symbolisation en algèbre. C’est à lui que l’on doit l’utilisation des lettres pour représenter les quantités connues ou inconnues. Son ouvrage principal s’intitule Les Zététiques.

Le livre de la nature est ouvert devant nous, écrit dans la langue des mathématiques.

Galiléo Galiléi (1564-1642)

1.1.1 Notations/conventions d’écriture

a) En mathématique, il faut abstraire ! Autrement dit, lorsque l’on voit une expression

mathématique comportant des lettres, il faut imaginer qu’elles représentent des nombres. Il faut se détacher de l'écriture !

Exemple P( x )=x2−3x+2 et x=4 alors P( 4 )=42 − ⋅ + =3 4 2 6

b) Le choix de représenter des nombres par des lettres va permettre de généraliser et de noter

de manière compacte certains résultats mathématiques . Voilà une idée géniale ! Exemples

b.1) Aire d'un carré :

b.2) Les nombres pairs =

{

0,2 ,4,6 ,8 ,10 , 12,14,16 ,18,20,22,...

}

On peut aussi écrire :

Les nombres pairs =

{

2n tel que n∈

}

(écriture compacte)

c) Il faut distinguer :

• les constantes : a, b, c, d,...qui représentent un nombre particulier d'un ensemble donné. Par exemple : a = 3 , b = 17/4

• les variables : x, y, z, t, n, m, ...qui représentent un nombre quelconque d'un ensemble

donné.

Par exemple : x peut prendre ses valeurs dans =

{

.... 3; 2; 1;0;1;2;3;...− − −

}

Plus généralement : x x Aire = x⋅x = x2 3 3 Aire = 3⋅3 = 32 4 4 Aire = 4⋅4 = 42

(4)

1.1.2 Polynômes et opérations

Définition

Un monôme (à une variable) est le produit d’un nombre réel donné et d’une variable réelle élevée à une certaine puissance entière positive ou nulle.

Exemples 9x3 _7x1 _by5 _-1x2 _-4x0 _ay3

Remarques a) Le nombre donné qui compose le monôme s’appelle le coefficient du monôme. b) On note : 1 x⋅ =x ,

( )

− ⋅ = −1 x x , _x0=₁_et_x1= _x

Définition

Un polynôme (à une variable) est une somme de monômes (à une variable). Ces monômes s’appellent les termes du polynôme.

Exemples

a) P( x )=4 x5+7 x - 9 est un polynôme en x composé de 3 monômes.

Le degré du polynôme est 5, on note deg(P) = 5 et ses coefficients sont : c =4 , c =7 , c = 9.₅ ₁ ₀ −

b) P( t )=4 t5 4−t2 est un polynôme en t composé de 2 monômes.

Le degré du polynôme est 4, on note deg(P) = 4 et ses coefficients sont : c₄ =1024 , c₂ =−1.

Remarque Dans ce cours, un monôme est considéré comme un polynôme à 1 terme. Définition

Le degré n du polynôme, c’est la plus grande puissance de la variable qu’il contient. Notation : deg(P) = n.

Remarques

a) Un polynôme ne possède pas de variable à l’exposant :

x

P( x )= 2 +3x n’est pas un polynôme car 2 n’est pas un monôme. x

P( x )= x2+3x est un polynôme deg( P )=2 et ses coefficients sont : c =1 , c =3₂ ₁ .

b) Un polynôme ne possède pas de variable sous une racine :

P( x )= 5x+2 n’est pas un polynôme car

1 2

5x = 5 x = 5x n’est pas un monôme. P( x )= 5x+2 est un polynôme deg( P )=1 et ses coefficients sont :c = 5 , c = 2 . 1 0 c) Un polynôme ne possède pas de division par la variable :

P( x ) 3 6 x

= + n’est pas un polynôme car 3 1 1

3 3x

x x

−

= = n’est pas un monôme.

P( x ) x 6 3

= + est un polynôme deg( P )=1 et ses coefficients sont :c =₁ 1 , c =6₀

3 .

Convention

On écrit toujours les termes d’un polynôme (monômes) de telle sorte que les puissances soient présentées dans l’ordre décroissant.

(5)

Somme de deux polynômes (addition)

(

)

2 2 2 2 2 3t 2t 1 6t 8t 2 3t 6t 2t 8t 1 2 = ( 3 6 )t ( 2 8 )t ( 1 2 ) = = − = + + + − + = + + − + + + + − + + = − 2 2 2 P(t) + Q(t) (3t + 2t + 1) + (6t 8t + 2) 9t 6t + 3 = P + Q (t) associativité a+(b+c)=(a+b) +c commutativité a+b=b+a mise en évidence ab ac a( b c ) forme réduite et ordonnée

↓ ↓

↓ + = +

↓

Différence de deux polynômes (soustraction)

(

)

(

) (

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 ( 3t 2t 1 ) ( 6t 8t 2 ) 3t 2t 1 6t 8t 2 3t 6t 2t 8t 1 2 3 6 t 2 8 t 1 2 − = − − = = + + + − + − = + + − + − = − + + + − = − + + + − = − − − 2 2 2 P(t) Q(t) = (3t + 2t + 1) (6t 8t + 2) 3t + 10t 1 = P Q (t)

( )

def. de la soustraction a b=a+( b)=a+ 1 b associativité a+( b+c )=( a+b )+c commutativité a+b=b+a

mise en évidence ab ac a( b c ) forme réduite et ordonnée

↓ − − − ⋅ ↓ ↓ ↓ + = + ↓ • Le polynôme opposé à 2 Q( t )=6t − +8t 2 est −Q( t )= −6t2+ −8t 2 et réciproquement. Si on change les signes de chaque coefficient d’un polynôme, on obtient le polynôme opposé. • Par définition, la somme d'un polynôme et de son opposé est égale au polynôme nul ; c'est à dire : Q t

( )

+ −

(

Q t

( )

)

Q t= −

(

( )

)

+ Q t

( )

= 0

Produit de deux polynômes (multiplication)

(

) (

)

(

)

(

)

2 3 3 2 5 3 3 5 3 3t 5t + 1 5t 3t 8t + 1 8t 15t 5t 24t 8t 15t ( 5 24)t 8t ⋅ = − = ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ − = + − − = + − − = − − ⋅ 2 3 5 3 R(t) T(t) (3t + 1)(5t 8t) 15t 19t 8t = R T (t) n m n m (a+b)( c d ) = ac ad bc bd double distributivité commutativité ab ba et a a a mise en évidence ab ac a( b c )

forme réduite et ordonnée

+ + + + + ↓ ↓ = = ↓ + = + ↓

Illustration de la distributivité Remarques

On se souviendra qu'il est naturel d'utiliser les propriétés bien connues des opérations sur les nombres réels (mise en évidence,

distributivité, commutativité, associativité, etc.) lorsque l'on multiplie, additionne ou soustrait deux où plusieurs polynômes, car les lettres composant le polynôme représentent des nombres.

Lorsqu’on additionne, soustrait ou multiplie deux nombres réels le résultat est un nombre réel ce qui est aussi le cas pour les polynômes.

5t3

1

-8t 3t2

(6)

Exercice 1

a) Exprimer les nombres suivants en utilisant n pour représenter un nombre entier naturel.

Exemple Les nombres pairs : 2n car si n est un entier naturel n∈

{

0,1 ,2,3 ,4 ,5 ,...

}

=

alors 2n∈

{

0,2 ,4,6 ,8 ,10 ,...

}

1) Les nombres impairs. 2) Les multiples de 3. 3) Les multiples de 5. 4) Les multiples de π. 5) Les multiples de 2π.

6) Les nombres entiers positifs qui se terminent par 3. 7) Les nombres entiers positifs qui se terminent par 23. 8) Les nombres entiers positifs qui se terminent par 570.

b) Exprimer et simplifier à l’aide des lettres données : 1) le périmètre d’un rectangle de dimensions a et b.

2) l’aire totale des faces d’un parallélépipède rectangle de dimensions x , y et z. 3) la somme des aires de deux disques, l’un de rayon r, l’autre de rayon 2r. 4) la somme des aires de trois carrés de côtés respectifs x , 3x et 9x.

5) le volume total du corps formé de deux cubes, l’un d’arête x et l’autre d’arête y. 6) le périmètre d’un triangle équilatéral de côté 3c.

7) l’aire de la couronne comprise entre deux cercles concentriques de rayon x , respectivement y

(avec y >x).

8) l’aire d’un carré de diagonale d.

9) l’aire d’un losange dont la petite diagonale mesure d et la grande le triple de la petite. 10) la somme des périmètres de deux disques, l’un de rayon r, l’autre de rayon 3r.

11) l’aire totale A des faces de l’objet. 12) le volume V de l’objet.

Remarque : les dessins ne sont pas à l’échelle.

x x 3x x y 2 x x

(7)

Exercice 2

Les expressions suivantes définissent-elles des polynômes ? Justifiez votre réponse. Si oui, donner leur degré et leurs coefficients.

1) 2 2x 5x 1 P( x ) 3 − + = 2) 6 4 P( x ) 3x 5 x = + − 3) P( x )= x2 +1 4) P x

( )

=1000 5)P( t )= +

(

t 5

)

2−

(

t2 +25

)

−

(

10t 1+

)

6) 3 P( x )= 3x + 5x+ 7 7) P y

( )

4 16 y3 3 9 y2 2 4 y 1 2 4 3 2 1         =_ − _ −_ − _ +_ + _ + +_ _         8) 5 3 3 2 4 P( x )=4 x +2 x +5 9) P t

( )

4₂ t 1 t = + + Exercice 3

Effectuer les opérations entre les polynômes et donner les coefficients et le degré des polynômes.

1) x2+ −

(

x 1

)

2) 2

(

2

)

2x + x −2 3)

(

3x2− + +4

)

(

x 1

)

2 4)

(

x2−9 x 14+

)

+

(

x−4

)

5)

(

x2 −11x 28+

)

−

(

2x 2−

)

2 6)

(

z2−z

) (

+ z−z3

)

7)

(

2

)

2

(

)

2 4_ t −1 − −1 t _   8)

(

y 1+ +

)

(

y2− +y 1

)

9)

(

x 1−

)

2+

(

x2+ + x 1

)

10) −

(

x6 +3x3+9

) (

+ x3−3

)

11) 2x 1 3 x 1

(

x 2

)

3 5 − −  _{− +} _{+ −}         12) 2 3x 4 x 1 2 4 − ₊ + 13) 7

(

2x 3

)

2x 3 1 4 2 − + + − 14) 2

(

t 1

) (

2t 6

) (

4 t 5

)

3 − − + − − 15)

(

)

2 3 x x 1 2 + − 16)

(

3 y 1

)

1 2 y 6 y 5 2 8 3 + −   − − _ − _   17) x 1 x 2 x 3 x 4 2 3 4 5 − − − − − + − + Exercice 4

Effectuer les opérations entre les polynômes et donner les coefficients et le degré des polynômes.

1) x2

(

x 1−

)

2) 2

(

2

)

2x x −2 3)

(

3x2−4

)

(

x 1+

)

4)

(

2

)

(

)

x −9 x 14+ x−4 5)

(

2

)(

3

)

z −z z−z 6)

(

t2−1 1 t

)

(

−

)

2 7)

(

y 1+

)

2

(

y2 − + y 1

)

8)

(

)

(

2

)

x 1− x + +x 1 9)

(

6 3

)(

3

)

x +3x +9 x −3 10) x 1 x

(

−

)(

2x 1+

)

11) x2

(

x+2 2x 3

)(

−

)

12)

(

1 x−

)(

2−x

)(

x 3−

)

13) 3 t

(

+2

)

2+9 14) −4 x

(

−2

)

2−6

(8)

Exercice 5

Considérons les polynômes : P( x ) 3x= +5 Q( x )=2x3+7 x2+3x

R( x ) x= +5 7 x3+4 x2+2x 1+ S( x )=−x5 +7 x 1+

Si on veut obtenir uniquement le coefficient du terme de degré 2 du polynôme P( x ) Q( x )⋅

on écrit :

(

) (

3 2

)

2 2 2 2

P( x ) Q( x )⋅ = 3x+5 ⋅ 2x +7 x +3x = +... 3x 3x⋅ + ⋅5 7 x ± = +... ... 9 x +35x ± = +... ... 44 x ±...

a) Sans tout calculer / développer, déterminer :

1) le coefficient du terme de degré 3 du polynôme P⋅ Q 2) le coefficient du terme de degré 4 du polynôme Q⋅ R 3) le coefficient du terme de degré 3 du polynôme R⋅ S

b) Sans tout calculer / développer, déterminer le degré des polynômes :

1) P+Q 2) R+S 3) P+Q+R 4) P+Q+R+S

5) P− Q 6) R− S 7) P− Q− R 8) P− Q− R− S

9) P⋅ Q 10) R⋅ S 11) P⋅ Q⋅ R 12) P⋅ Q⋅ R⋅ S

c) Proposition

1) Le degré de la somme de deux polynômes, est plus petit ou égal au plus grand

des degrés des polynômes que l’on a additionnés.

2) Le degré de la différence de deux polynômes, est plus petit ou égal au plus grand

des degrés des polynômes que l’on a soustraits.

3) Le degré du produit de deux polynômes, est égal à la somme des degrés

des polynômes que l’on a multipliés.

Autrement dit :

Soient A(x) et B(x) deux polynômes.

1) deg(A+B) ≤ max[deg(A) ; deg(B)] 2) deg(A−B) ≤ max[deg(A) ; deg(B)] 3) deg(A·B) = deg(A) + deg(B)

(9)

Exercice 6

Considérons les polynômes : 1 4 2 7

A( t ) t 8t t 5 3 9 = − + − 12 5 3 B( t ) t 5t 2 7 = + + 2 1 C( t ) 3t t 1 4 = − + 2 1 D( t ) t 2 = − − Simplifier et calculer : 1) C( t )+D( t ) C( t )− +D( t ) 2)

[

A( t ) B( t )−

] [

+ B( t )−A( t )

]

3)

[

A( t ) C( t )− −A( t )

] [

+ B( t ) D( t ) B( t )− −

]

4)

[

A( t ) C( t )−

] [

− A( t ) C( t ) D( t ) B( t )− + −

]

+D( t ) 5)

[

]

2 2 2 C( t )+D( t ) −C( t ) −D( t ) Exercice 7

1) Quel polynômeP( x ) faut-il additionner au polynôme 3

x −4 x 1+ pour obtenir x 3+ ?

2) Quel polynômeP( x )faut-il multiplier au polynôme x3−3x2+1 pour obtenir2x4 −6 x3+2x ?

3) Quel polynômeP( x )faut-il soustraire au polynôme 3 2

2x −6 x +2 pour obtenir 3 2

x 11x 12

(10)

1.1.3 Identités remarquables et factorisation

On rencontre très souvent les produits mentionnés ci-dessous. Ils méritent donc une attention particulière.

Activité En utilisant la distributivité, développer les produits suivants et réduire. 1)

(

x+a

)

2 =

2)

(

x−a

)

2 =

3)

(

x+a

)(

x a−

)

=

4)

(

x+a

)(

x b+

)

=

• Parmi toutes les égalités possibles, vous venez de démontrer certaines égalités qui apparaissent très souvent ; elles sont appelées les identités remarquables.

• Ces identités remarquables vont notamment nous permettre de gagner du temps dans le calcul algébrique.

• Il est important de savoir reconnaître une identité remarquable et d’être capable de passer d’un produit à une somme et réciproquement.

Formules à connaître parfaitement

Quels que soient les nombres a, b et x on a : (voir table C.R.M)

1)

(

x+a

)

2 = x2+2ax+a2

2)

(

)

2 2 2

x−a = x −2ax+a

3)

(

x+a

)(

x−a

)

= x2− a2

4)

(

x+a

)(

x+b

)

= x2+

(

a+b x

)

+ ⋅ a b

Remarque Il n'existe pas d'écriture sous forme d’un produit pour 2 2

x +a .

Définitions

• Factoriser un polynôme, c’est le transformer en produit de polynômes.

• Développer, c'est transformer les produits de polynômes pour obtenir une somme de termes simples (sommes de monômes).

Exemple

2

P( x )=x −10 x+25=( x 5 )( x 5 )− −

Remarque Factoriser un polynôme et développer sont des transformations réciproques. Factoriser

(11)

Méthodes de factorisation

1) 8x2−3x = x 8x 3

(

−

)

Mise en évidence : ab + ac = a b + c

(

)

On met en évidence les symboles apparaissant dans tous les monômes.

2) x2 − =2

(

x− 2

) (

⋅ +x 2

)

Identité remarquable : x2−a = x + a2

(

)(

x a−

)

x2− =4

(

x− ⋅ +2

) (

x 2

)

3) En général, il est nécessaire d’utiliser la mise en évidence et les identités remarquables

plusieurs fois pour factoriser le plus possible un polynôme.

(

)

(

)(

)

(

)

Polynome factorisé 3 2 2 2 x 10x +25x = x x 10x+25 ˆ = x x 5 x 5 = x x 5 − ↓ − ↓ − − − Mise en évidence Identité remarquable

4) Il existe des polynômes comme x3+x - 26 x2 +24 qui sont factorisables mais les méthodes étudiées ci-dessus ne sont pas applicables. x3+x2−26 x+24=

(

x 6+

)(

x 1 x 4−

)(

−

)

D’autres méthodes existent pour factoriser certains polynômes, mais elles seront traitées

en 1ère et en 2ème année en lien avec les solutions d’une équation polynomiale.

On verra en outre, l’utilité de la factorisation pour la résolution d’équations polynomiales.

Remarques

a) Tous les polynômes ne sont pas factorisables ; Les polynômes de degré 1 comme 3x+1 et le

polynôme 2

x +4 de degré 2 ne sont pas factorisables.

Cependant, le théorème suivant nous donne une information importante :

Tout polynôme se décompose de manière unique en un produit de polynômes

du 1er degré et/ou du 2ème degré.

Exemples

P(x)=3x 1+ deg(P)=1 P( x ) n' est pas factorisable.

2

Q(x)= x +4 deg(Q)=2 Q( x ) n' est pas factorisable.

(

)(

)

2

R( x )=x −10 x+25 = x 5− x 5− deg(R)=2 R( x ) est factorisable.

(

)(

)

3 2

S( x )=x +x −26 x+24= x 6+ x 1 x 4− − deg(S)=3 S( x ) est factorisable.

(

)(

)

(

)

4 3 2 2

T( x )=x +5x −2x +20 x−24= x 6+ x 1− x +4 deg(T)=4 T( x ) est factorisable.

Nous étudierons dans un prochain chapitre la condition pour qu'un polynôme de degré 2 soit factorisable ou non.

b) On retiendra que, factoriser un polynôme est une transformation sur les polynômes alors que la

Factorisation

(12)

Exercice 8

Factoriser complètement les polynômes.

Exemples : i) x2−16= x 4

(

−

)(

x+ 4

)

ii) 2

(

)(

)

7 2 5 et 10 2 5 x +7 x 10+ = x+2 x 5+ = + = ⋅ iii) 3x2+6 x 3+ =3 x

(

2+2x 1+ =

)

3 x 1 x 1

(

+

)(

+ =

) (

3 x 1+

)

2 1) 2 x +14 x+49 2) 2 x −16 x 63+ 3) 2 x −9 4) 4 x2+20 x+25 5) 2 4−x 6) 2 x +20 x−21 7) 2 x −11x+30 8) 36 x2 −24 x+4 9) 2 2x +26 x+24 10) 2 9t −49 11) 2 x +2x 63− 12) 2x2 −72 13) 2 x −10 x 39− 14) 2 x −12 11x− 15) 2 9 x −4 16) x2−24 x 144+ 17) 2 x −22x+21 18) 2 16 x+2x +32 19) 2 16t +64t+64 20) v2+11v+30 21) 2 2a −14a+24 22) 2 12 x 11x − + + 23) 2 9 x −12x+4 24) 3x2+21x+36 25) 2 4 x −4 x 120− 26) 2 x −20 x−21 27) 2 x +16 x 63+ 28) 2 x +21 22x+ 29) x2−18 x+81 30) 2 x −16 x 36− 31) 2 5x −125 32) 2 x −20 x+36 33) 36 x2+24 x+4 34) 2 x +16 x 36− 35) 2 x +20 x+36 36) 2 x +39 16 x+ 37) x2−13x 12+ 38) 2 10 x−39+x 39) 2 2x 2x 60 − − + 40) 2 x +10 x 39− 41) x2 −6 x+9 42) 2 36 x −16 43) 2 4 x −1 44) 2 2x 26 x 24 − − − 45) y2 − −y 12 46) 27 z2−12 47) 16t2+24t+9 48) 2 3u 18u 27 − + − 49) 2 1 4 x− 50)

(

2x 7+

)(

2x 7+

)

51) 2 x −4 x+4 52) x x 1

(

+

)

53) x2+100 54) 2 x −100 55)

(

2x 1 3x 100+

)(

+

)

56)

(

x 10+

)(

x+20

)

57) 2 x +1 58) − +x2 4 x+32 59) 4 z2 +8 z+4 60) 2 4 x +25 61) 2 6 x −12x 6+ 62) 2 12 y −12 y+3 63) 2 45t −30t+5 64) 18 x 12x2 + +2 65) 2 4 x −16 x−84 66) 2 2x −20 x−48 67) 2 2x +18 x+40 68) 3x2 +3x 60− 69) 2 4 x +28 x+48 70) 2 ax −4ax−5a 71) 2 2cx −18cx+28c 72) 3kx2−12kx 63k− 73) 2 2 2 2 4m x −40m x−96 m 74) 2 2 2 3a x −3a x

(13)

Exercice 9

Exemples : i) 2x3−32x = 2x x

(

2−16 = 2x x 4

)

(

−

)(

x+4

)

ii) 4

(

2

)(

2

)

(

)(

)

(

2

)

x −81= x −9 x +9 = x−3 x+3 x +9 1) 4a2−8 2) 4 2 x +2x +1 3) 3 2 4a +8a +4a 4) 3 2 u +6u +9u 5) 9a4 +6 a2+1 6) 4 2 3 4 x +25x +20 x 7) 4 2 16 x −72x +81 8) 4 2 16 x +72x +81 9) x4−2x2+1 10) 3 2 4t −16t +16t 11) 4 2 9a −6 a +1 12)

(

)

(

2

)

3a−2 9a −12a+4 13) 2x2 −12 14) 4 2 u −4u 15) 4 2 3 4 x +100 x −40 x 16) 16 x4+81 72x− 2 17) z3+ z 18) 4 625 b− 19) 4 x −25 20) b4−144 21)

(

2x 3 2x 3−

)(

+

)(

x 3+

)

22)

(

2

)(

2

)

x +4 x +4 23)

(

)

(

2 2

)

x 1 25x+ −8 24) 4 x −16 25)

(

)(

)

(

2

)

x+5 x+4 x +1 26) 2x3+2x2 −40 x 27) 3 2 x +7 x +12x 28)

(

x+2

)

(

x2−4 x−5

)

29) x3−7 x 30)

(

2

)(

2

)

x +3 x +7 31) 2x x

(

+2

)(

x 12−

)

32) 3x3−3x2−60 x 33) 3 2 5x +5x −150 x 34) 3 5x −125x 35) 4 81−x 36) 2x3−110 x 12x− 2 37) 4 x −16 38) 9 4 6 3 1 2 x x x 5 +5 +5 39) 3 2 9 x −6 x +x 40) 3 2 12x +12x +3x 41) 5z4 −20 z2 42) 2 4 4 2 a x −a x 43) 3 2

4ax 12ax+ +9ax

44) 3 3 12a y−48ay 45) 3 2 8 x +24 x +18 x 46) 4 2 9ax 16 ax 25 − 47)

(

x+2

)

+

(

x2−4 x

)

48) 2x x

(

+2

) (

− 4 x+32

)

(14)

Exercice 10

Exemples : i)

(

2x + 4

)(

3x+2

) (

− 2x + 4

) (

3x= 2x + 4

) (

_ +2

)

−1_=

(

2x+4

)(

3x 1+

)

ii)

(

3x 1+

) (

2− +x 2

)

2 =_

(

3x 1+ + +

) (

x 2

) (

 _{ } 3x 1+ − +

) (

x 2

) (

_= 4 x 3 2x 1+

)(

−

)

1)

(

2x 3 6 x 7+

)(

− +

) (

2x 3 11x 15+

)(

−

)

2)

(

5x+4

)(

9 x 5− −

) (

12x 7+

)(

5x+4

)

3)

(

9 x 12+

) (

2− 9 x 12 11x 7+

)(

−

)

4)

(

x 7+

)(

3x+2

) (

− x 7+

)

5)

(

t 7+

)(

3t+2

) (

−t t 7+

)

6)

(

2u+4

)(

4u+2

) (

− 2u+4

)(

3u+ 5

)

7)

(

2x 6−

) (

2− 6 x−9

)(

2x 6−

)

2 8)

(

x−2

)

2 +3 x

(

−2

)

3 9)

(

7 x 1 2x 3−

)(

+ −

) (

3x 1 7 x 1+

)(

−

)

10)

(

8u+4 u

)(

+5

) (

− u−5

)(

2u 1+

)

11)

(

)

(

2

) (

2

)

3x−2 x + −1 5 x +1 12)

(

3t+2 t 1

)(

− +

) (

4 1 t− +

) (

5t−3 t 1

)(

−

)

13) 7 x 8 x 3

(

− + −

) (

3 8 x

)(

2x 5− −

)

16 x 6+ 14) − −

(

1 x

)(

x+ −3

) (

2 x+ +3

) (

x x+ 3

)

15)

(

y 1 2+

)(

−y

) (

+2 y−2

) (

2+ y−2

)(

y+2

)

16)

(

3x−2

) (

2 − 7 x−2

)(

3x−2

)

+4 x 3x

(

−2

)

17)

(

3x+2

) (

2− x 5−

)

2 18)

(

7 x 1−

) (

2− 5x+2

)

2 19)

(

7 x 1−

)

2−25 20)

(

2t 7 t−

)

2+ − 7 2t 21)

(

14−4 x

)(

x 1+ +

) (

2x 7−

)

2 22)

(

2x 7−

)(

2−x

)

−2x 7+ 23) 49−4 x2+ −7 2x 24)

(

) (

)

(

2

)

4 x 2x 7− − −7 2x 3x −5x 25) 4t2

(

7−2t

) (

− −7 2t

)(

4t+ −3

) (

5 7−2t

)

26)

(

4 x+5

) (

2− 2x 3−

)

2 27)

(

4 x+5

) (

2 2x 3−

)

2 28) 64−

(

2x 3−

)

2 29)

(

4 x 1−

)

2−9 3

(

−x

)

2 30) 16−9 3

(

−y

)

2 Rappel

Procédure pour factoriser un polynôme : 1) Le polynôme est-il déjà factorisé ?

2) Mettre si possible en évidence un facteur commun.

(15)

Exercice 11

Factoriser complètement les polynômes. 1)

(

5x−3

) (

2− 3x 1+

)

2 2) 4 2x

(

−3

) (

2− 3x+2

)

2 3) 64−

(

2x 7−

)

2 4) 4 x2− +1

(

2x 1 3x 1−

)(

+

)

5) 9 x2−6 x 1+ 6) 18 x2 −24 x+8 7) 2 x

(

+2

)

2−12 x

(

+2

)

+18 8)

(

)

2 ₂ x 1 x 9 16 + − 9)

(

8u+4

)(

u+5

) (

− u−5

)(

2u+ +1

) (

2u+1

)

2 10) x2+14 x+48 11) x3+17 x2+72x 12) 2 x +9 13)

(

x3+9 x

)

2 14) 2 2 25x +20ax+4a 15) 3 2 49t −28t +4t 16)

(

2

)(

2

)

49 x −28 x+4 x −1 17) 4 81z −625 18) 2 x −11 19) 4 2z −72 20) m4−2m2 +1 21) 2 x −2x−99 22)

(

x2 +15x+56

)(

x2+1

)

23)

(

2

)(

2

)

(

)

x +2 x +1 x 1+ 24) ax4−a 25)

(

x 2−

)

2+3 x 2

(

−

)

3+

(

x2−4 x 4+

)

26)

(

3t+2 t

)(

− +1

) (

4 1 t− +

)

(

t2−1

)

27)

(

2

)(

2

)(

2

)

1 x− 2−x 3−x 28) 2

(

)

2 x +2x− 2x+2 +1 29) 2 2 x +6 xλ +9λ 30)

(

x4 −2x2+1

)

2 31) 4 4 3 3 2 2 a x - 6 a x +9a x 32) 2 2kx +10kx 132k− 33) 3 x 1

(

+

)

2+18 x 1

(

+ +

)

27 34)

(

x2+16

)

2 35)

(

x2−4

)

(

x 1−

)

(

x+22

)(

x2+4

)

36)

(

x2−8

)

2 37) x2

(

8 x 3− + −

) (

3 8 x

)(

2x 1+ −

)

16 x 6+ 38) x2

(

8 x 3 3 8 x−

)(

−

)(

2x 1+

)

39) 2 2 1 z 9 z 25 16 4  ₋  ₋   _ _   40)

(

2

)(

2

)

0,81 0,64 u− 0,64 u +0,81 41) 4 x4 −100 42)

(

4 x2 −1

)

3 43)

(

2

)(

2

)

x −8 x 12+ x −22x+85 44) 1 2 y 8 5 y 2 + + 45)

(

x2+20 x 19+

)(

x2 −14 x 13+

)

46) 2 kx −4kx−32k 47)

(

2

)

(

)

(

2

)

9 x +12x+4 −2x 3x+2 + 4−9 x 48)

(

7−2x

)(

x+5

) (

− 21 6 x−

)(

2x 1−

)

49)

(

7−2v v 5

)(

+

)(

21 6v−

)(

2v 1−

)

50)

(

x2 −4 x 5−

)(

x2−4 x 12−

)

51) 2 x −115x 1500+ 52)

(

2

)

2

(

)(

)

2 x −2x 1+ + −1 x + x 1 2x 1− +

(16)

Exercice 12

Développer à l’aide des identités remarquables.

Exemples : i)

(

) ( )

2 2 2 2 2x+3 = 2x + ⋅2 2x 3 3⋅ + =4 x +12x+9 ii)

(

y+8

)(

y 8−

)

= y2−82 = y2−64 1)

(

x+2

)

2 2)

(

x 3−

)

2 3)

(

y+5

)

2 4)

(

y 7+

)(

y 7−

)

5)

(

2

)(

2

)

x +1 x −1 6)

(

3 y−3

)

2 7)

(

4 z+4

)(

4 z−4

)

8)

(

6b2 +1

)

2 9)

(

4m 3+

)

2 10)

(

5s−2

)

2 11)

(

2a2−1

)

2 12)

(

x2+ 5

)(

x2− 5

)

13)

(

x3+23

)

2 14)

(

x+2

)(

x 12−

)

15)

(

)(

)

(

2

)(

4

)

a 1 a 1 a+ − +1 a −1 16)

(

2

)(

2

)

a +6 a +4 17) 2 1 7a 2  ₋      18)

(

2

)(

2

)

ax −1 ax −19 19)

(

4a4−24

)

2 20)

(

2

)(

2

)

6 ax−a 6 ax+a 21)

(

9 z−2 9 z

)(

+2

)

22) 10 x 1 10 x 1 10 10  ₋  ₊        23)

(

x 1−

)

(

x2+1

)

(

x 1+

)

24)

(

)(

)

(

4

)(

2

)

x+2 x−2 x +16 x +4 25)

(

2

)(

2

)(

4

)

x −1 x +1 x −8 26) 1a 3 1a 3 1a2 32 2 2 4  ₊  ₋  ₊          27)

(

)(

)

(

2 2

)

0,1w 5 0,1w 5 0,01w+ − +5 Exercice 13

a) Développer les produits suivants et compléter le tableau des coefficients s’y rattachant : 0 1 2 2 2 3 4 5 6 ( a b ) 1 1 ( a b ) a b 1 1 ( a b ) a 2ab b 1 2 1 ( a b ) ... ... ( a b ) ... ... ( a b ) ... ... ( a b ) ... ... + = + = + + = + + + = + = + = + =

b) Y a-t-il une règle pour déterminer les puissances et les coefficients des termes de ces sommes ?

(17)

Exercice 14

Calculer mentalement (en vous aidant des identités remarquables) :

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

2 2 2 2 2 2 A 103 B 105 C 110 D 99 E 98 F 95 G 5 3 5 3 H 10 7 10 7 I 10 2 10 2 = = = = = = = + − = − + = − + Exercice 15 * Théorème

La somme des n premiers nombres entiers 1 2 3 ... + + + +n est égale à n n 1

(

)

2

+ .

a) Vérifier que cela est vrai pour quelques valeurs de n. b) Démontrer cette égalité pour n quelconque.

c) Calculer la somme des 1'000 premiers nombres entiers : 1 + 2 + 3 + ...+ 999 + 1'000.

d) Estimer le temps nécessaire au calcul de la somme des 1'000 premiers nombres entiers sans

le théorème et avec le théorème. Comparer.

Exercice 16 * Théorème

La somme des n premiers nombres entiers impairs 1 3 5 ... + + + +2n 1 − est égale à 2

n .

a) Vérifier que cela est vrai pour quelques valeurs de n. b) Démontrer cette égalité pour n quelconque.

c) Calculer la somme des 3'000 premiers nombres entiers impairs : 1 + 3 + 5 + ... + 5'997 + 5’999. d) Estimer le temps nécessaire au calcul de la somme des 3'000 premiers nombres entiers impairs

(18)

1.1.4 Ce qu’il faut absolument savoir

1♥ Savoir reconnaître les constantes et les variables dans un énoncé ok

2♥ Connaître la définition d'un monôme et d'un polynôme ok

3♥ Connaître la définition du degré d'un polynôme ok

4♥ Déterminer le degré et les coefficients d'un polynôme ok

5♥ Calculer la somme, la différence et le produit de deux polynômes ok

6♥ Connaître parfaitement les identités remarquables ok

7♥ Comprendre ce que veut dire : factoriser un polynôme et développer

des produits de polynômes ok

8♥ Savoir développer des produits de polynômes ok

9♥ Savoir factoriser certains polynômes à l’aide de la mise en évidence et des identités

remarquables ok

(19)

1.2 Les équations

Considérons l'égalité : 6 x 7− =2 x 5+ . Pour quelles valeurs de x cette égalité est-elle vérifiée ? C'est le genre de problème que nous allons résoudre dans ce chapitre.

Beaucoup de problèmes en mathématique ou en physique conduisent à l’obtention d’une ou de plusieurs équations. Nous traiterons en première année les équations polynomiales du 1er_et

du 2ème_{degré ainsi que les systèmes d’équations linéaires de 2 équations à 2 inconnues et}

3 équations à 3 inconnues. Exemples d’équations

1) 6 x 7− =2x+5 une équation polynomiale de degré 1 à une inconnue x.

2) u2 −6u− =9 4 une équation polynomiale de degré 2 à une inconnue u.

3) 3x−2 y=6 une équation linéaire à deux inconnues x et y.

4) 3x− + =y z 33 une équation linéaire à trois inconnues x, y et z .

5) 3x 7 y 2 un système de 2 équations linéaires à 2 inconnues x et y. 5x 9 y 0

− =



 ₊ ₌



6) _3x2+_2=x _{une équation irrationnelle à une inconnue x.}

1.2.1 Théorie sur les équations

L'égalité 6 x 7− =2 x 5+ est une équation.

Définition

Une équation est l’énoncé d’une égalité entre deux expressions algébriques, dans lesquelles

figurent une ou plusieurs variables qui prennent le statut d’inconnues.

Une équation est composée :

- d'une ou de plusieurs inconnues. - d'un signe d'égalité.

- d'un membre de gauche et d'un membre de droite.



membre de droite membre de gauche

6x 7

−

=

2x + 5

  signe d'égalité inconnue

(20)

Résolution d’une équation

Exemple 6 x 7− =2x+ 5 _donnée 6 x 7 2x 5 ⇔ − + 7= + + 7 _{additionner +7} 6 x 2x 12 ⇔ = + _réduire 6 x 2x 12 ⇔ - 2x= + - 2x _{soustraire 2x} 4 x 12 ⇔ = _réduire 4 x 12 ⇔ = 4 4 diviser par 4 x 3 ⇔ = réduire Contrôle

x=3 dans le membre de gauche : 6⋅ − =3 7 18 7− =11 x=3 dans le membre de droite : 2⋅ + = +3 5 6 5 =11

Conclusion : x=3 est l’unique solution de l’équation. On note : S ={ 3 }

Le principe général utilisé pour résoudre une équation, c'est remplacer l’équation donnée par des équations équivalentes de plus en plus simples jusqu'à isoler l'inconnue .

Définitions

Résoudre une équation, c’est trouver le ou les nombres réels qui substitués à l'inconnue vérifient

l’égalité. Ces nombres s’appellent les solutions (ou racines) de l’équation.

Deux équations sont équivalentes lorsqu’elles ont les mêmes solutions.

Remarques

Les équations précédentes sont toutes équivalentes, elles ont toutes la même solution (x = 3) . Deux équations équivalentes sont liées par le symbole : ⇔ .

6x

−

7 =

2x+5

+7

=

+7

−

2x

=

−

2x

(21)

Principes d’équivalence pour résoudre une équation

Pour passer d'une équation équivalente à une autre il faut respecter les principes suivants :

Principe 1)

On peut additionner (ou soustraire) une même expression aux deux membres d’une équation.

Principe 2)

On peut multiplier (ou diviser, mais pas par 0) par une même expression ne contenant pas l’inconnue les deux membres d’une équation.

Remarques

1) Les principes d’équivalences se résument de la manière suivante :

Effectuer les mêmes opérations à droite et à gauche de l’égalité. L’illustration souvent retenue est "une balance qui doit rester en équilibre".

2) Ne pas multiplier ou diviser les deux membres de l’équation par l’inconnue . Exemples

a) x+ =1 2 ⇔ x( x 1) 2x+ = multiplication par l’inconnue ⇒ ajoute une solution

b) x2+ = ⇔x 0 x

(

x 1

)

0

x x

⋅ +

= ⇔ x 1 0+ = division par l’inconnue ⇒ perte d’une solution

A

=

B

_⇔

_{A + C}

=

_{B + C}

(22)

1.2.2 Équations polynomiales du 1

er

_degré

Définition

On appelle équation (polynomiale) du premier degré toute équation qui peut s'écrire sous la forme : ˆ er polynome du 1 degré avec a,b∈ a≠0  ax + b = 0 x est l’inconnue Exemple

6 x 7− =2x 5+ est une équation polynomiale du 1er degré d’inconnue x car on peut la mettre sous la forme ax b+ =0.

En effet : _ _

b a

6 x 7− =2x+5 ⇔ 4 x 12− = 0

L'unique solution est : S={ 3 } Contrôle : 4 3 12⋅ − =0 ok !

Résolution générale b ax b 0 ax b x a + = ⇔ = − ⇔ = − S b a   = −_ _

  Il y a une unique solution.

Exercice 17

Résoudre les équations polynomiales du 1er degré suivantes (réponses en valeurs exactes). Indications : Lors de la résolution des équations doivent figurer toutes les étapes de calculs (addition, soustraction, multiplication, etc..) et le contrôle des solutions.

1) 2x− =4 6 x 14− 2) 3 t 7t− = −8 3) 6 x= 0 4) 10 y 7 10 y 7+ = + 5) 2 y= +8 2 y 6) 3 t 7

(

− =

) (

5 3 t− + +

)

2t 6 7)

(

x 1− +

) (

x+2

) (

− x 1− −

) (

6 3x−2

)

= 0 8) 2 2 x− =3 4 2 x+3 9) πR− 3 = +R 2 10) 0,25R+ =2 0,75R+5 11) 14 x2−8 x− =2 14 x2−6 12) x 6 x 3 6 4 − ₌ − 13) 3 R

(

5

)

6 R 7 4 − = 14) x 3 x 1 6 − = −4 15) t 13t 5t 152 9+ 10 +18 = 16)

(

)

4 x x 3 5x 1 x 4 4 2 6 + ₋ ₋ ₌ − ₋ + 17) 3=ax+ (inconnue : x ) b 18) a c

(

−x

) (

=b d− (inconnue : x) x

)

19) x 1 2x 4 x x 3 7 2 21 − − − − + = 20) 3x=18+3 x 6

(

−

)

21) 4 x

(

2−49

)

+61=

(

2x−5

)

2 22)

(

t+1 t

)(

+2

) (

= −t 3 t

)(

−4

)

+10 23) x 1 1 x 3 7 x x 3 5 4 2 2 5 2 8 − ₋  − ₋ − ₌ + ₋     24) 2x 1 5x 2 x 1 1 3 5 3 − + + − = −

(23)

Exercice 18

1) Donner 5 équations polynomiales du 1er_{degré « simple », ayant comme solution S={4}.}

2) Donner 5 équations polynomiales du 1er degré « simple », ayant comme solution S={−7}.

3) Combien y a-t-il d’équations polynomiales du 1er_{degré ayant comme solution S={4} ? Justifier.}

4) Combien y a-t-il d’équations polynomiales du 1er degré ayant comme solution S={−7} ? Justifier.

Exercice 19

Résoudre ces équations mentalement.

1) 2( x+1 )= x 2) 3x 1+ =2x 3) 100=450 2x− 4) x−2x=− 5 5) 4 x 1 8 2 + ₌ 6) 5( x+1 ) 7 x= + −5 2x 7) 7 x 21 0− = 8) 1 2x− = 5 Exercice 20

Voici des relations entre des grandeurs physiques qui seront étudiées au Collège dans le cours de Physique.

Résoudre (transformer) les équations (formules) par rapport à l’inconnue donnée.

Exemple On a la relation v x t ∆ ∆ = et l’inconnue est

∆

x. Résolution : v x t v x t ∆ t ∆ ∆ ∆ ∆ = ⇔ ⋅ = ⋅ ∆t ⇔ ∆ =x ∆t v⋅

Indication : Lors de la résolution des équations doivent figurer toutes les étapes de calculs (addition, soustraction, multiplication, etc..)

Equations (formules) Description Inconnue(s)

1) v x t ∆ ∆ = _{Vitesse moyenne.} _{∆ =}_t 2) 1 0 1 0 x x v t t − = − x0 = t1= 3) v=gt+v0 g= t= 4) x 1g t2 2

= Mouvement uniformément accéléré (M.U.A.). _{t =}

5) x 1g t2 v t₀ x₀ 2 = + + _{g =} 6) T p 2 M m F G R = _{Force de pesanteur.} R= m= 7) T 2 M g G R

(24)

Suite exercice 20

8) 1mv2 mg h

2 = v =

9) E_cal =m c

(

θ_f −θ_i

)

_{Énergie calorifique.} m= θf =

10) m c_{1 1}

(

θ θ₁− _f

)

=m c₂ ₂

(

θ_f −θ₂

)

_{Mélange sans changement d’état.} θf = m2 =

11) pV =n RT _{Loi des gaz parfaits} V = T =

12) 1 1 2 2

1 2

p v p v

T = T p2 = T2 =

13) V =V 1₀

(

+αθ

)

V₀ = θ =

14) T_K =T_C −273.15 _{Changement d’échelle de température.} _T_C₌

15) T_C 5

(

T_F 32

)

9

= − _{Changement d’échelle de température.} _T_F₌

16) 1 1 1

p+ p' = f Lentille sphérique mince. p'= f =

17) I Q t ∆ ∆ = _{Courant électrique .} ∆ =Q t∆ = 18) 2

P=RI _{Puissance en courant continu.} R= I =

19) 1 2 1 1 1 R = R +R Résistances en parallèles. R2 = 20) V 4 r3 3π

= _{Volume d’une sphère} _{r =}

21) A=4 rπ 2 _{Aire d’une sphère} _{r =}

22) V =πr h2 _{Volume d’un cylindre} _{r = h =}

23) A_lat =2 rhπ _{Aire latérale d’un cylindre} _{r = h =}

24) 2 r h V 3 π

= _{Volume d’un cône} _{r = h =}

Rappel : Si x2 =a et a≥0 alors x= ± a

Notations : Ne pas confondre x2 x puissance 2 et x2 = ⋅x x

2x 2 fois x et 2x= + x x

x x indice 2 ; le symbole 2 est un numéro et pas un nombre. ₂ ∆x delta x (différence de x) ; le symbole ∆ n’est ni un nombre ni un numéro par contre ∆x est un nombre.

(25)

Équations du 1

er

_{degré : Applications}

Les maths sans problèmes, c'est comme le foot sans ballon ; ça n'a pas de sens. Alors

voilà une jolie gerbe de problèmes ! Attention, ça démarre pépère puis ça se corse....

Marche à suivre pour résoudre des problèmes

1) Lire le problème plusieurs fois et clarifier ce qui est donné (connu) et ce qui est à chercher

(inconnue).

2) Choisir une lettre qui représente la quantité inconnue et écrire ce que cette lettre remplace. 3) Faire éventuellement un dessin avec des légendes (si nécessaire).

4) Formuler une équation qui décrit précisément ce que vous avez énoncé avec des mots. 5) Résoudre l’équation formulée à l’étape 4) en utilisant les principes d'équivalences.

6) Contrôler la ou les solutions obtenues à l’étape 5) en se reportant à l’énoncé de départ du

problème. Vérifier que la solution concorde avec les conditions de l’énoncé.

7) Formuler une phrase en français contenant la solution du problème.

Exercice 21

La coupe d’un canal d’écoulement est un trapèze dont la petite base mesure 3 m et la hauteur 1 m. Déterminer la dimension de la grande base pour que l’aire de la coupe soit 5 m2.

Exercice 22

Un étudiant a obtenu en français les notes suivantes : 3.5 , 4.5 , 4.5 , 3 , 2.5 et 5.5. Quelle note doit-il encore avoir pour obtenir une moyenne de 4.5 ?

Remarque : les notes vont de 1 à 6.

Exercice 23

Pendant l’année, un étudiant a obtenu les notes suivantes : 5 , 4.5 , 3 , 3.5 et 6.

Si l’examen final compte triple dans la note annuelle, quelle note l’étudiant doit-il obtenir pour avoir une moyenne annuelle de 5 ?

Remarque : les notes vont de 1 à 6.

Exercice 24

a) Trouver trois nombres entiers consécutifs dont la somme est 426. b) Trouver quatre nombres pairs consécutifs dont la somme vaut 1172. c) Trouver cinq nombres pairs consécutifs dont la somme vaut 1172.

(26)

Exercice 25

Un magasin de vêtements décide de faire une réduction à la caisse de 20 % sur tous ses articles restants en stock.

Si le prix payé à la caisse par le client est de 300 euros, quel est le prix de vente avant réduction ?

Exercice 26

Monsieur Hélios prévoit d' économiser 225 euros par an sur le chauffage de l'eau grâce à une installation solaire. Son système a couté 1365 euros et les frais d’entretien annuel sont de 12,5 euros en juin et 17,5 en décembre.

Au bout de combien d'années l'installation de M Hélios sera-t-elle rentable ?

Remarque : Une installation devient rentable lorsque la somme des économies réalisées est égale à la sommes des coûts de l’installation.

Exercice 27

Catherine et Michel affichent le même nombre sur chacune de leurs calculatrices. Catherine multiplie le nombre affiché par 2, puis enlève 7 au produit obtenu. Michel multiplie le nombre affiché par 6, puis ajoute 3 au produit obtenu.

Ils s'aperçoivent alors que le même résultat apparaît sur l'écran de leurs calculatrices. Quel nombre ont-ils affiché au départ ?

Exercice 28

Pour chacun des carrés suivants, calcule la valeur de x pour que l'aire ombrée soit égale à 80 cm2.

Exercice 29 (avec calculatrice)

La figure montre la coupe d’une maison de deux étages. La hauteur h au centre du deuxième étage n’a pas encore été déterminée.

Calculer h pour que le second étage ait la même superficie en coupe que le premier étage.

(27)

cm

Exercice 30 (avec calculatrice)

Où placer le point P le long du segment [BC] pour que :

a) les triangles ABP et CDP aient la même aire ? b) l'aire du triangle ABP soit le double de celle

du triangle CDP ?

Exercice 31

Yannick possède des CD : un quart est constitué de CD de rock, deux tiers de CD de rap et tous les autres sont des CD de techno. Yannick a quatre CD de techno. Combien Yannick possède-t-il de CD au total ?

Exercice 32

Actuellement, l’âge de M. Dupont est le double de celui de Frédéric. Dans cinq ans, ils auront à eux deux 70 ans. Quel est l’âge de M. Dupont ?

Exercice 33

Lors d’une récente élection, 5219 bulletins (tous valables) furent déposés dans l’urne. Le vainqueur battait ses trois concurrents respectivement par 22, 30 et 73 voix. Quel est le nombre de voix obtenues par chaque candidat ?

Exercice 34

Guillaume a 5 euros de plus que Samuel. Ils dépensent 11 euros chacun et il reste alors à Guillaume le double de ce qu’il reste à Samuel. Quelle somme avait chacun avant leur achat ?

Exercice 35

Si Jennifer achète trois CDs, il lui reste 22 €. Si elle en achète cinq, il lui manque 20 €. Tous les CDs sont au même prix. Combien coûte un CD ?

Exercice 36

Paul a lu un livre de 400 pages en quatre jours. Chaque jour, il lisait 20 pages de plus que la veille. Combien a-t-il lu de pages le premier jour ?

Exercice 37

Les 24 élèves d’une classe vont ensemble au restaurant. Au moment de régler l’addition, trois élèves constatent qu’ils ont oublié leur portefeuille. Chacun des autres élèves doit, dès lors, payer 1.5 € en plus du prix de son repas. Quel est le prix du menu ?

Exercice 38

Le salaire horaire de base d’un travailleur est 10 $, mais il reçoit une fois et demie son salaire horaire pour chaque heure supplémentaire fournie en plus des 40 heures hebdomadaires. S’il reçoit 595 $ pour la semaine, combien d’heures supplémentaires a-t-il effectuées ?

(28)

Exercice 39

Un jardin rectangulaire a un périmètre de 100 m. Si on ajoute 3 m à sa longueur et 5 m à sa largeur, son aire augmente de 225

m

2. Quelles sont les dimensions du jardin ?

Exercice 40

Le marchand de pop-corn a remplacé ses emballages cylindriques par des emballages coniques, de mêmes hauteurs et de mêmes rayons.

Quel prix le marchand devrait-il indiquer sur le second emballage ?

Exercice 41 * (avec calculatrice)

Le cornet à glace montré sur la figure doit contenir 125 cm3

de glace quand on le remplit jusqu’au sommet. Le diamètre du cône est 5 cm, et le sommet de la glace est un hémisphère. Calculer la hauteur h du cône.

Remarque : Volume d’une sphère de rayon r 4 r3 3 π

= ⋅ ⋅

Deux enfants qui sont éloignés de 224 mètres partent au même instant et marchent l’un vers l’autre aux vitesses respectives de 1.5 m/s et 2 m/s (voir figure).

a) Dans combien de temps vont-ils se rencontrer ? b) Quelle distance chacun aura-t-il parcourue ? Exercice 43 * (avec calculatrice)

Deux guides de montagne munis d’émetteurs-récepteurs quittent le même point à 9 h, l’un marchant plein sud à 4 km/h et l’autre allant plein nord à 3 km/h. Combien de temps pourront-ils

communiquer l’un avec l’autre si chaque radio a une portée maximale de 10 km ? (Réponse en : heures / minutes / secondes)

Un couple prévoit de ne pas dépenser plus de 70 $ au restaurant. Si une taxe de 6 % est ajoutée à la facture et s’il projette de donner un pourboire de 15 % après que la taxe ait été ajoutée, quel est le prix maximal du menu pour deux ?