Formuler une équation qui décrit précisément ce que vous avez énoncé avec des mots 5) Résoudre l’équation formulée à l’étape en utilisant la méthode adéquate (Viète, etc.)

Les maths sans problèmes, c'est comme le tennis sans raquette ; ça n'a pas de sens Alors voilà une jolie gerbe de problèmes ! Attention, ça démarre pépère puis ça se

4) Formuler une équation qui décrit précisément ce que vous avez énoncé avec des mots 5) Résoudre l’équation formulée à l’étape en utilisant la méthode adéquate (Viète, etc.)

6) Contrôler la ou les solutions obtenues à l’étape 5) en se reportant à l’énoncé de départ du

problème. Vérifier que la solution concorde avec les conditions de l’énoncé.

7) Formuler une phrase en français contenant la solution du problème.

Exercice 59

On considère la figure ci-contre composée du rectangle

ABCD et du triangle CDE rectangle et isocèle en D.

Les dimensions sont indiquées sur la figure avec x un nombre réel.

Déterminer la ou les valeurs possibles de la variable x afin que l’aire du rectangle ABCD soit égale à quatre fois l’aire du triangle CDE.

Exercice 60

Un jardin de forme rectangulaire a pour dimension

20 m de longueur et 15 m de largeur.

Deux allées d’une largeur de x mètres partagent transversalement le jardin. Du gazon est planté sur le reste du jardin (voir figure ci-contre).

Déterminer la ou les valeurs possibles de la variable x afin que l’aire des allées et du gazon soient égales.

Exercice 61

On veut construire un aquarium sans couvercle de 6 m de long, deux faces latérales étant carrées, comme le montre la figure.

a) Calculer la hauteur de l’aquarium si le volume doit

être de 54 m3_.

Exercice 62

Déterminer deux nombres entiers naturels consécutifs tels que le carré du plus petit, diminué de vingt soit égal au triple du second, augmenté de cinq.

Exercice 63

On veut faire une boîte ouverte de base carrée à partir d’un morceau de métal carré, en coupant à chaque coin un carré de 3 cm de côté et en pliant les côtés.

Quel est la longueur x du côté du morceau

de métal pour que la boîte ait un volume de 48 cm3 ?

Exercice 64

Soit ABCD un carré.

Déterminer la valeur x si l’aire du carré IJKL vaut 25 cm2_.

Exercice 65

Déterminer tous les triangles rectangles dont les côtés ont pour mesure trois nombres entiers consécutifs.

Exercice 66 (avec calculatrice)

Déterminer les dimensions d’un rectangle ABCD tel que si on retire un carré, on obtient un nouveau rectangle EBCF, qui garde les mêmes proportions entre longueur et largeur que le rectangle ABCD. Autrement dit : on cherche x.

Remarque :

La proportion entre longueur et largeur du rectangle ABCD

est appellé le nombre d’or

ϕ

( phi ). Par rapport au dessin ci-dessus

ϕ

= .

Exercice 67 (avec calculatrice)

Une fabrique de boîtes de conserve veut faire une boîte de forme cylindrique de 20 cm de haut, contenant 3 dm3 (voir figure). Calculer le rayon intérieur r de la boîte.

Exercice 68 (avec calculatrice)

a) Exprimer l’aire A de l’anneau circulaire en fonction

du grand rayon R et du petit rayon r.

b) Sachant que 2 A=120 cm et r=4 cm calculer R . A B C D I J K L x − 3 x A E B 1 1 C D _F x R r •

1 cm

r r 0.5 cm

1.5 cm Exercice 69 (avec calculatrice)

Mille mètres de grillage de hauteur fixée sont utilisés pour construire six cages à animaux, comme le montre la figure. Les cages ont les mêmes dimensions.

a) Exprimer la largeur y en fonction de la longueur x.

b) Montrer que l’aire totale clôturée A en fonction de x est donnée par la relation :

= −3 2 +

A x 250 x

c) Déterminer les dimensions x et y qui donnent une aire de 20'000 m2_.

Exercice 70 * (avec la calculatrice)

Alexandre à réussi à construire un château de cartes de 3 étages. Si on dispose de 100 cartes, combien d’étages aura le château ?

Indication : 1 2 3 ... x x x 1

(

)

+ + + + =

Exercice 71 * (avec la calculatrice)

Malika laisse tomber une pierre dans un puits et entend le « plouf » au bout de 4 secondes. Quelle est la profondeur du puits ?

Indications : i) La distance d (exprimée en mètres) parcourue par la pierre après une chute d’une durée de t secondes est donnée par d=5t² .

ii) La distance d’ (exprimée en mètres) parcourue par le son sur la durée de t’ secondes est donnée par d’=340 t’⋅

Exercice 72 * (avec calculatrice)

La rapidité avec laquelle un comprimé de vitamine C se dissout dépend de sa surface. Une première sorte de comprimé a la forme d’un cylindre de 1,5 centimètres de long terminé à chaque extrémité par un hémisphère de rayon r centimètre comme le montre la figure. Une seconde sorte de

comprimé a la forme d’un cylindre circulaire droit de 0,5 centimètre de hauteur et de 1 centimètre de rayon.

a) Calculer le rayon r du premier comprimé pour que sa surface soit égale à celle

du second comprimé.

Exercice 73 * (avec la calculatrice)

Rappel : la masse volumique ρ est donnée par = masse = m

volume v

ρ .

Une sphère métallique creuse a pour masse 72 kg. L'épaisseur de sa paroi est de 6 cm. La masse volumique est de 8 grammes par centimètre cube.

Quels sont ses rayons internes et externes ?

Exercice 74 * (avec calculatrice)

La forme du premier engin spatial du programme Apollo était un tronc de cône circulaire droit, solide obtenu en coupant un cône par un plan parallèle à sa base.

a) Montrer que _V = 1 _{h a}

(

2+_ab+_b2

)

3π Indication : − =

(

−

)(

+ +

)

3 3 2 2

a b a b a ab b

b) Si h = 9 m et b = 3 m, pour quelle valeur de a le volume du tronc de cône est-il de 600 m3 ?

Exercice 75 * (avec calculatrice)

Un jardinier dispose de 40 buissons qu'il veut planter autour d'un parterre dont la forme est donnée ci-contre, les extrémités sont des demi-cercles.

Pour une pousse correcte, on doit respecter une distance de 50 cm entre chaque buisson. Notre jardinier doit ensemencer le parterre et il dispose d'une quantité de graines pour 28 m2 (qui sera utilisé totalement).

Exercice 76 * (avec la calculatrice)

Monsieur Fauché emprunte à monsieur Richard la somme de 30'000 francs à un certain taux d'intérêt. À la fin de la première année, Fauché rembourse à Richard la somme de 20'075 francs. Le taux d'intérêt de la seconde année est celui de l'année précédente majoré de 1 %.

À la fin de la seconde année monsieur Fauché rembourse à monsieur Richard la somme de 11'788 francs, éteignant ainsi sa dette.

Pouvez-vous aider ce brave Fauché à retrouver ce taux d'intérêt ?

Exercice 77 *

L'aire ombrée est égale à A cm2.

a) Déterminer la valeur de x en fonction de c et de A. b) Déterminer la valeur de x si c = 11 cm et A = 24 cm2_.

Exercice 78 *

Max veut fabriquer une table susceptible de se replier exactement à la verticale, pour avoir alors un meuble extra-plat, comme il est indiqué sur les figures 1, 2, 3. Il utilise deux tiges IA et IB articulées autour du point I. Ces deux tiges doivent être d'inégales longueurs afin que, lorsque la table est repliée (voir figure 3), le point B ne vienne pas buter contre le point A, ce qui empêcherait le meuble d'être tout à fait plat. On donne donc les longueurs IA = a et IB = b avec a > b > 0.

Déterminer la position des points A et B, c'est-à-dire les longueurs OA et OB. c c x x x x

1.2.4 Ce qu’il faut absolument savoir

11♥ Connaître la définition d'une équation ok

12♥ Connaître les principes d'équivalences pour résoudre une équation ok

13♥ Utiliser correctement le symbole d'équivalence

⇔

14♥ Savoir reconnaître une équation polynomiale du premier degré ok

15♥ Résoudre une équation polynomiale du premier degré ok

16♥ Résoudre des problèmes simples faisant intervenir une équation du premier degré ok

17♥ Savoir reconnaître une équation polynomiale du second degré ok

18♥ Résoudre une équation du second degré par factorisation ok

19♥ Résoudre une équation du second degré en utilisant la formule de Viète ok

20♥ Résoudre des problèmes simples faisant intervenir une équation du second degré ok

21♥ Connaître les relations de Viète ok

22♥ Connaître le critère permettant de savoir si un polynôme du second degré

est factorisable ou non ok

23♥ Savoir factoriser un polynôme du second degré à l’aide des solutions

1.3 Les inéquations

1.3.1 Intervalles

Rappel

En mathématique, une inégalité est un énoncé permettant de comparer la taille, ou l’ordre de deux objets (dans le cas où ils seraient égaux, on a une égalité).

La notation : • a b< signifie que a est (strictement) plus petit que b. • a b≤ signifie que a est plus petit ou égal à b.

• a b> signifie que a est (strictement) plus grand que b. • a≥b signifie que a est plus grand ou égal à b.

x∈ tel que 0≤ ≤x 1

− +∞1;

[

se lit : « l’intervalle -1 compris à plus l’infini ». C’est un intervalle semi-ouvert.

Remarques

a) Dans un intervalle, il y a une infinité de nombres réels.

b) +∞ et −∞ ne sont pas des nombres, ils ne font donc jamais partie d'un intervalle qui est un

ensemble de nombres. Par conséquent, un intervalle sera toujours ouvert « du côté de l'infini ».

0 -1 1 -2 5 0 -1 1 -2 5 0 -1 1 -2 5

I _J

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