Formuler un système d’équations qui décrit précisément ce qui est énoncé avec des mots 5) Résoudre le système d’équations formulé à l’étape

Indiquer la méthode utilisée (triangulation, etc.).

6) Contrôler la ou les solutions obtenues à l’étape 5) en se reportant à l’énoncé de départ du

problème. Vérifier que la solution concorde avec les conditions de l’énoncé.

7) Formuler une phrase en français contenant la solution du problème.

Exercice 92

Un champ rectangulaire a un périmètre de 632 mètres.

Calculer ses dimensions sachant que la longueur mesure 24 mètres de plus que sa largeur.

Exercice 93

Un champ rectangulaire a un périmètre de 1350 mètres.

Calculer ses dimensions sachant que la longueur du champ vaut 4 fois sa largeur.

Exercice 94

La recette d'un cinéma s'élève à 13'450 F ; les places sont à 30 F et à 40 F.

Sachant qu'il y a eu 400 places vendues, déterminer le nombre de places de chaque espèce.

Exercice 95

Un entrepreneur doit déplacer 460 tonnes de terre : il dispose de 2 camions, l'un pouvant transporter 5 tonnes et l'autre 3 tonnes ; il désire effectuer 100 transports. Combien de fois doit-il utiliser chaque camion ?

Exercice 96

Un diététicien hospitalier veut préparer un plat de 10 unités de viande et de légume qui donnera 7 g de protéines. Si une unité de légume fournit 0,5 g de protéines et une unité de viande 1 g de

Exercice 97

La largeur d’une piscine rectangulaire est égale au 3/4 de sa longueur. Cette piscine est entourée d’une allée large de 3 m. L’aire de l’allée est de 246 m2 .

Calculer les dimensions de la piscine.

Exercice 98 (avec calculatrice)

Un crayon de 8 centimètres de long et 1 centimètre de diamètre doit être fabriqué à partir de 5 cm3

de cire colorée. Le crayon doit avoir la forme d’un cylindre surmonté d’une petite pointe conique (voir la figure).

Trouver la longueur x du cylindre et la hauteur y du cône.

Exercice 99

Un fermier prépare un mélange d’avoine et de blé pour le bétail. 30 grammes d’avoine apportent 4 grammes de protéines et 18 grammes d’hydrates de carbone, et 30 grammes de blé fournissent 3 grammes de protéines et 24 grammes d’hydrates de carbone.

Quelle quantité (en grammes) de chaque céréale faudrait-il employer pour satisfaire à des besoins nutritionnels de 200 grammes de protéines et 1320 grammes d’hydrates de carbone pour chaque ration ?

Exercice 100 *

a) Résoudre le système d’équations linéaires suivant, en fonction du paramètre réel m.

m mx y 1 2 m m x y 3 2  _{+ =}   + = 

b) Pour quelle(s) valeur(s) de m ce système d’équations linéaires :

i) admet une solution ?

ii) pas de solutions ? (système impossible)

iii) une infinité de solutions ? (système indéterminé)

Exercice 101 *

Résoudre les systèmes d’équations non linéaires 2×2 suivants :

a) x y 8 x y 7 + =   ⋅ =  b) x y m x y n + =   ⋅ =  c) b u v a c u v a  + = −    ⋅ = 

Exercice 102 *

Un réservoir d’eau de 1200 litres est rempli par un seul tuyau d’amenée. Deux tuyaux de vidange identiques peuvent être utilisés pour fournir de l’eau aux champs environnants (voir la figure). Il faut 5 heures pour remplir le réservoir vide lorsque les deux tuyaux de vidange sont ouverts. Quand un des tuyaux de vidange est fermé, il faut 3 heures pour remplir le réservoir.

Déterminer les débits D1 et D2 (en litres par heure) dans les tuyaux d’amenée et de vidange.

Rappel : Débit = variation de volume

variation de temps

Exercice 103 *

Combien pèsent le gros Dédé, le petit Francis et le chien Boudin ?

Exercice 104 *

Avec son vélomoteur, un adolescent atteint les vitesses suivantes : 30 km/h en terrain plat, 20 km/h en montée et 40 km/h en descente. Pour aller d’une ville A à une ville B, distantes de 90 km, il met 3 h. Pour revenir de B vers A, il lui faut 3 h 30 min.

Calculer les longueurs des montées, des descentes et des terrains plats entre A et B.

Exercice 105 *

Une société a trois machines A, B et C qui sont capables chacune de produire un certain article. Toutefois, à cause du manque d’opérateurs qualifiés, seules deux machines peuvent être utilisées simultanément. Le tableau suivant indique la production pendant une période de trois jours, en utilisant diverses combinaisons des machines.

Combien de temps faudrait-il à chaque machine, si elle était utilisée seule, pour produire 1000 articles ? Machines utilisées Heures utilisées Articles produits 1er _{jour A et B 6 4500} 2ème _{jour A et C 8 3600} 3ème _{jour B et C 7 4900} D1 D2 D2

Exercice 106 * (avec calculatrice)

Trois solutions contiennent un certain acide. La première contient 10 % d’acide, la deuxième 30 % et la troisième 50 %. Un chimiste aimerait utiliser les trois solutions pour obtenir 50 litres d’un mélange contenant 32 % d’acide. S’il veut utiliser deux fois plus de solution à 50 % que de solution à 30 %, combien de litres de chaque solution devrait-il utiliser ?

Exercice 107 * (avec calculatrice)

Une balle est tirée horizontalement sur une cible, et on entend le bruit de l’impact 1,5 seconde plus tard. Si la vitesse de la balle est 990 m/s et la vitesse du son 330 m/s, quel est l’éloignement de la cible ?

Exercice 108 *

Dans un test médical destiné à mesurer la tolérance aux hydrates de carbone, un adulte boit 7 centilitres d’une solution à 30 % de glucose.

Lorsque le test est administré à un enfant, la concentration de glucose doit être ramenée à 20%. Combien de solution à 30 % et combien d’eau devra-t-on utiliser pour préparer 7 centilitres de solution à 20 % ?

Exercice 109 *

En combien de temps l'aiguille des minutes fait-elle 110 tours en plus que l'aiguille des heures ?

Exercice 110 *

La théophylline, médicament contre l’asthme, est préparée à partir d’un élixir contenant une concentration de 5 mg/ml d’un produit et d’un sirop parfumé à la cerise pour masquer le goût du produit.

Combien de chaque ingrédient doit-on utiliser pour préparer 100 millilitres de solution avec une concentration de 2 mg/ml ?

Exercice 111 *

À quel moment, entre 2 heures et 3 heures, les aiguilles des minutes et des heures coïncident-elles ?

Exercice 112 * (avec calculatrice)

Un train part de A vers B, à 12 heures, à la vitesse de 66 km à l'heure ; un autre train part de B vers

A, à 12 heures 10 minutes, à la vitesse de 72 km à l'heure.

1.4.3

Ce qu’il faut absolument savoir

29♥ Connaître la définition d'un système d'équations ok

30♥ Connaître la définition d'une équation linéaire ok

31♥ Connaître les principes d'équivalences pour résoudre un système d'équations linéaires ok

32♥ Résoudre un système d'équations linéaires 2×2 et 3×3 par triangulation ok

33

*

34♥ Résoudre des problèmes simples faisant intervenir un système

1.5 Solutions des exercices

a)

1) Les nombres impairs : 2n 1+

car si n est un entier naturel n∈{0,1,2,3,4,...} alors 2n 1+ ∈{1,2,3,5,7,9,...}

2) Les multiples de 3 : 3n

3) Les multiples de 5 : 5n

4) Les multiples de π : π n

5) Les multiples de 2π : 2 nπ

6) Les nombres entiers positifs qui se terminent par 3 : 10n+ 3 (10 n⋅ =multiple de 10)

7) Les nombres entiers positifs qui se terminent par 23 : 100n+23 (100 n⋅ =multiple de 100)

8) Les nombres entiers positifs qui se terminent par 570 : 1000n+570 (1000 n⋅ =multiple de 1000) b) 1) 2a+2b 2) 2xy+2xz+2 yz 3) _{5 r}π 2 4) 2 91x 5) _x3+_y3 6) 9c 7)π_y2−π_x2 8) 2 d 2 9) 3_d2 2 10) 8 rπ 11) 2 34 x 9 12) 2 4 x y+2xy Ex 2

1) Oui c’est un polynôme ; 2 1 0

2 5 1

deg(P) = 2 Coeff: c = , c = , c =

3 − 3 3

2) Non ce n’est pas un polynôme.