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Séries de Fourier
60
Leçon n° Niveau BTSPrérequis séries, intégrales, trigonométrie Références [155]
60.1
Introduction
60.1.1 Joseph Fourier
FIGURE60.1 – Joseph Fourier
Joseph FOURIER(1768-1830), étudia à l’Ecole Royale Militaire d’Auxerre, et dès l’âge de treize ans, manifesta un intérêt certain pour les mathématiques, mais hésita à devenir prête (il entra à Saint-Benoît-sur-Loir, qu’il quitta en 1789). En 1793, il se joint à un comité révolutionnaire mais, sous la Terreur, faillit être guillotiné (la mort de Robespierre lui permit d’en réchapper). Il eut, à l’Ecole Normale Supérieure, Lagrange et Laplace comme professeurs, obtint un poste à l’Ecole Centrale de Travaux Publics, puis enseigna à l’Ecole Polytechnique. Il participa à la campagne d’Egypte sous Napoléon, fut nommé préfet de l’Isère et, là, étudia la théorie de la propagation de la chaleur, ce qui le mena à la décomposition des fonctions périodiques.
60.1.2 Première approche
Considérons les fonctions indexées par n définies par :
Sn(t) = 4 π nX−1 k=0 1 2k + 1sin[(2k + 1)2πt]. Considérons ensuite le signal en créneau f de période 1 (voir la figure60.2) :
Ce signal est discontinu, donc a fortiori non dérivable. Nous allons l’approcher par ses sommes de Fourier Sn, qui sont des fonctions sinusoïdales (polynômes trigonométriques, infiniment dérivables et
commodes pour les calculs). Traçons donc quelques-unes de ces sommes, et observons leurs allures (voir la figure60.3)
Nous pouvons déjà noter que, pus n est grand, plus la somme de Fourier semble se rapprocher du signal en créneau. Plus précisément, Sn converge vers f en tout point de continuité de f. Cela
dit, près d’une discontinuité de f, il reste toujours une « crête », de plus en plus proche de la dis-continuité, mais d’amplitude constante (environ 9% du saut de discontinuité). C’est le phénomène
FIGURE60.2 – Signal f en créneau de période 1
de Gibbs (Josiah Willard Gibbs, américain, 1839-1903). Ceci conduit à faire des moyennes de Césaro des sommes de Fourier (appelées sommes de Fejér), rendant la convergence bien meilleure (mais c’est hors programme).
60.2
Coefficients de Fourier
Dans cette partie, nous allons définir la somme de Fourier SN(f) d’une fonction périodique f :
nous étudierons la convergence de cette somme vers f dans la prochaine section (mais il faut garder à l’idée que SN(f) est une approximation de f).
60.2.1 Formes exponentielle et réelle ; somme de Fourier
Dans la suite, soit f une fonction T -périodique continue par morceaux, et soit ω= 2π T .
Définition 60.1 — Coefficients de Fourier complexes. Pour n dans Z, on définit les nombres com-plexes : cn(f) = 1 T Z T 0 f(t)e −iωntdt.
Ces nombres sont appelés les coefficients de Fourier complexes de f.
R 60.2 Vu que t 7→ f(t)e−iωntest aussi T -périodique, on pouvait l’intégrer sur n’importe quel intervalle de longueur T , par exemple[−T/2 , T/2]. Le choix est purement pratique et dépend du signal considéré.
Définition 60.3 — Somme de Fourier. Soit N ∈ N. La somme de Fourier d’ordre N de f est la fonction définie par :
SN(f)(x) = N X n=−N
cn(f)eiωnx.
Proposition 60.4 Soit n dans N. On a les résultats suivants :
1. cn(f) + c−n(f) = T2 RT 0 f(t) cos(ωnt) dt ; 2. i(cn(f) − c−n(f)) = T2 RT 0 f(t) sin(ωnt) dt.
60.2 Coefficients de Fourier 11
(a) S1 (b) S2
(c) S3 (d) S4
(e) S5 (f) S11
Dv •Démonstration de la proposition60.4— 1. cn(f) + c−n(f) = T1 Z T 0 f(t)e −iωntdt + 1 T Z T 0 f(t)e iωntdt = 1 T Z T 0 f(t)(e iωnt+ e−iωn) dt = 1 T Z T 0 f(t)2 cos(ωnt) dt = 2 T Z T 0 f(t) cos(ωnt) dt. 2. i(cn(f) + c−n(f)) = iT1 Z T 0 f(t)e −iωntdt − i1 T Z T 0 f(t)e iωntdt = −iT1 Z T 0 f(t)(e iωnt − e−iωnt) dt = −iT1 Z T 0 f(t)2i sin(ωnt) dt = 2 T Z T 0 f(t) sin(ωnt) dt.
On conclut à chaque fois grâce aux formules d’Euler. •
On définit, pour n dans N∗, des nombres réels (appelés coefficients de Fourier réels) par :
a0(f) = 1 T Z T 0 f(t) dt; an(f) = 2 T Z T 0 f(t) cos(ωnt) dt; bn(f) = 2 T Z T 0 f(t) sin(ωnt) dt.
Corollaire 60.5 Soit n dans N∗. On en déduit les égalités fondamentales suivantes :
cn(f)eiωnx+ c−n(f)e−iωnx= an(f) cos(ωnx) + bn(f) sin(ωnx);
c0(f) = 1
T
Z T
0 f(t) dt = a0(f).
Dv
•Démonstration du corollaire60.5—On calcule directement, en utilisant la relationeit=
cos t + i sin t, et en n’oubliant pas que cos(−t) = cos t :
cn(f)eiωnx+ c−n(f)e−iωnx= cn(f)[cos(ωnx) + i sin(ωnx)] + c−n(f)[cos(ωnx) − i sin(ωnx)]
= [cn(f) + c−nf] cos(ωnx) + i[cn(f) − c−n(f)] sin(ωnx)
60.2 Coefficients de Fourier 13 Ensuite : c0(f) = 1 T Z T 0 f(t)e i0ωtdt = 1 T Z T 0 f(t) dt = a0(f). •
R 60.6 Le coefficient c0(f) = a0(f) est la valeur moyenne de f.
Soit N dans N∗. On obtient le résultat fondamental suivant :
SN(f)(x) = a0(f) + N X n=1
[an(f) cos(ωnx) + bn(f) sin(ωnx)] (60.1)
et en particulier SN(f) est une fonction à valeurs réelles (ce qui n’était a priori pas évident). Dv
•Justification de l’équation (60.1) —On calcule directement :
SN(f)(x) = N X n=−N cn(f)eiωnx= c0(f) + N X n=1
[cn(f)eiωnx+ c−n(f)e−iωnx].
ce qui mène directement au résultat en utilisant le corollaire précédent. •
Définition 60.7 — Fondamental et harmonique. Le terme a1(f) cos(ωx) + b1(f) sin(ωx) est appelé
le fondamental (de fréquenceT1). Pour b ≥ 2, le terme an(f) cos(ωnx)+bn(f) sin(ωnx) est appelé
harmonique de rang n (c’est un signe de fréquence n
T, multiple du fondamental).
60.2.2 Propriété des coefficients
Proposition 60.8 On retrouve les coefficients complexes à partir des coefficients réels grâce aux for-mules, valables pour n dans N∗ :
cn(f) = 12[an(f) − ibn(f)];
c−n(f) = 1
2[an(f) + ibn(f)].
Pour la preuve, on pourra se servir de la proposition60.4.
Proposition 60.9 Les coefficients complexes d’indices opposés sont conjugués : ∀n ∈ N∗, c−n(f) = cn(f).
Proposition 60.10 — Energie de l’harmonique. L’énergie de l’harmonique de rang n ≥ 1 est (par définition) le nombre :
En(f) = |cn(f)|2+ |c−n(f)|2 = an(f) 2+ b
n(f)2
Définition 60.11 — Spectre des fréquences. Le spectre des fréquences de f s’obtient en représentant les fréquences n
T des harmoniques en abscisse et
|cn(f)| + |c−n(f)| = q
an(f)2+ bn(f)2
en ordonnée.
Théorème 60.12— Lemme de Riemann-Lebesgue. Les coefficients de Fourier tendent vers0 à l’in-fini :
lim
n→+∞|cn(f)| = limn→−∞|cn(f)| = limn→+∞an(f) = limn→+∞bn(f) = 0.
La démonstration de ce théorème est hors programme et admise.
R 60.13
1. Ainsi, lorsque n est grand, l’harmonique de rang n est négligeable (son amplitude est petite). Mais attention, ceci ne veut pas dire que l’importance des harmoniques va forcément en décroissant (une harmonique de rang élevé peut-être dominante).
2. En pratique, on va négliger les termes de rangs « élevés » de la somme de Fourier. Tout dépend du degré de précision souhaité. En général, on fait un spectre des fréquences, et par une application pifométrique du plus bel effet, on oublie les harmoniques qui représentent un « faible » pourcentage de l’énergie totale.
3. En fait, plus f est régulière (c’est-à-dire dérivable), plus on est assuré de la décroissance rapide des coefficients de Fourier (l’idée est de comparer cn(f) et cn(f0), puis par extension, cn(f) et cn(f(k)))x.
Proposition 60.14— Parité du signal. 1. Si f est une fonction paire, alors ses coefficients bn(f)
sont nuls, et donc ses sommes de Fourier ne sont composées que de cosinus.
2. Si f est une fonction impaire, alors ses coefficients an(f) sont nuls, et donc ses sommes de
Fourier sont composées que de sinus.
Dv
•Démonstration de la proposition60.14—On prouve la deuxième assertion. On peut cal-culer les coefficients de Fourier de f en intégrant sur[−T
2 ,T2]. Ensuite puisque t 7→ cos(ωnt)
est paire, on remarque t 7→ f(t) cos(ωnt) est impaire ; ainsi son intégrale, sur un intervalle symétrique comme[−T
2 ,T2], est nulle. Ce qui signifie que an(f) = 0. •
Exemple 60.15 Les sommes de Fourier du signal en créneau considéré dans l’introduction ne sont
composées que de sinus, puisque ce signal est impair.
60.3
Théorème de convergence
60.3.1 Egalité de Bessel-Parseval
Définition 60.16 — Norme euclidienne. La norme euclidienne de f est le nombre réel : kfk = T1
Z T 0 f(t)
60.3 Théorème de convergence 15
R 60.17
1. Les coefficients de Fourier sont en fait définis grâce à un produit scalaire (hors programme) sur l’espace des fonctions T -périodiques continues par morceaux, et la norme de f est issue de ce produit scalaire, d’où son qualificatif « euclidienne ».
2. La norme euclidienne de f est la valeur efficace du signal f sur une période.
3. Le carré de la valeur efficace de f est l’énergie du signal f sur une période : E(f) = kfk2.
Théorème 60.18— Egalité de Bessel-Parseval. On a l’égalité fondamentale suivante : kfk2 = +∞X n=−∞ |cn(f)|2 = a0(f)2+ +∞X n=1 an(f)2+ bn(f)2 2 . R 60.19
1. On récupère au passage le lemme de Riemann-Lebesgue. En effet, puisque les séries considérées convergent, leurs termes généraux tendent vers0.
2. Cette égalité nous permettra de calculer la somme de quelques séries usuelles, l’idée étant de créer un signal périodique dont les coefficients de Fourier sont « semblables » aux termes de la série étudiée.
R 60.20 En termes physiques, l’énergie d’un signal périodique f est la somme des énergies des harmoniques et du carré de la valeur moyenne :
E(f) = a0(f)2+ +∞
X
n=1 En(f).
60.3.2 Convergence des séries de Fourier
Définition 60.21 — C1 par morceaux. On dit que f est C1 par morceaux s’il existe une subdivision
0 = x0 < x1 <· · · < xp = T de l’intervalle [0 , T ] telle que, pour 0 ≤ i ≤ p − 1, la restriction de
f à]xi, xi+1[ est prolongeable par continuité sur [xi, xi+1] en une fonction de classe C1.
Théorème 60.22 — Dirichlet. Si f est de classe C1 par morceaux, alors, quel que soit x, la série de Fourier SN(f)(x) converge vers la demi-somme des limites à droites et à gauche de f en x.
Formellement :
∀x ∈ R, lim
N→+∞SN(f)(x) =
f(x+) − f(x−)
2 .
La preuve de ce théorème est hors programme et admise.
Corollaire 60.23 Si f est continue en x, alors SN(f)(x) converge vers f(x) lorsque N tend vers
l’infini.
R 60.24
1. La vérification systématique des conditions du théorème de Dirichlet n’est pas un objectif du pro-gramme du BTS. On retiendra que tout honnête signal périodique les satisfait. . .
2. Le théorème confirme, sous certaines conditions, que les sommes de Fourier de f en sont des approxi-mations. Mais encore une fois attention, si f n’est pas continue, la convergence est simple (c’est-à-dire se traite pour un x donné), mais pas uniforme (c’est-à-dire partout de la même manière). En effet, il se produit le phénomène de Gibbs aux discontinuités. Par contre, si f est continue, alors il n’y a pas de phénomène de Gibbs, et la convergence de la série de Fourier de f est uniforme.
60.4
Sommes de Fourier de signaux usuels
On détermine ici les sommes de Fourier de deux signaux électriques classiques.
60.4.1 Signal en créneau
Description du signal C’est le signal qu’on a étudié dans l’introduction. Calcul des coefficients On calcule les coefficients de Fourier de f :
an= 0 car f est impaire ;
bn= 21 Z 1/2 −1/2f(t) sin 2π 1 nt dt = 4Z 1/2
0 f(t) sin(2πnt) dt par parité de la fonction intégrée
= 4Z 1/2 0 sin(2πnt) dt = 4 −cos(2πnt)2πn t=1/2 t=0
= 2πn4 (− cos(πn) + cos 0) = πn2 (1 − (−1)n) car cos(πn) = (−1)n
= ( 0 si n est pair 4 πn si n est impair . Ainsi, on trouve : SN(x) = N X n=1 nimpair 4 πnsin(2πnx),
ce qui correspond bien à la formule de l’introduction. Puisque f est C1par morceaux mais pas continue, sa somme de Fourier converge simplement (théorème de Dirichlet).
Représentations graphiques Voir la figure60.4.
(a) f, S1, S2, S3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Spectre des fr´equences
(b) Spectre des fréquences
FIGURE60.4 – Représentations graphiques des séries de Fourier et du spectre des fréquences du signal créneau
60.4 Sommes de Fourier de signaux usuels 17
60.4.2 Signal en triangle
Description du signal On considère le signal 2π-périodique f, défini sur [−π , π] par f(t) = |t|. Il faut observer immédiatement que :
1. la fonction f est paire, donc ses coefficients bnsont nuls ;
2. la fonction f est C1par morceaux et continue, ce qui assure une convergence uniforme de sa série de Fourier.
Calcul des coefficients Calculons :
a0= 2π1 Z π −π|t| dt = 2 1 2π Z π
0 |t| dt par parité de la fonction valeur absolue
= 1 π Z π 0 tdt = π 2. an= 2π2 Z π −π|t| cos(nt) dt = 2 π Z π
0 tcos(nt) dt par parité de la fonction intégrée
= 2 π tsin(nt) n t=π t=0 − 2 π Z π 0 sin(nt)
n dt en intégrant par parties
= −πn2 − cos(nt)n t=π t=0 carsin(nπ) = 0 = 2 πn2((−1) n− 1) = ( 0 si n est pair, −πn42 si n est impair. Ainsi, on trouve : SN(x) = π 2 − N X n=1 nimpair 4 πn2 cos(nx).
Représentations graphiques Voir la figure60.5
(a) f, S1, S2, S3
6, 2832 12, 5664 Spectre des fr´equences
(b) Spectre des fréquences
FIGURE60.5 – Représentations graphiques des séries de Fourier et du spectre des fréquences du signal triangle
Energies et approximation L’énergie du signal f sur une période est : E = kfk2 = 1 2π Z π −π|t| 2dt = 1 π Z π 0 t 2dt = 1 π " t3 3 #t=π t=0 = π32.
L’énergie de l’harmonique de rang n est nulle si n est pair. Si n est impair, elle vaut :
En= a 2 n+ b2n 2 = 12 − 4 πn2 2 = 8 nπ2n4.
La formule de Parseval appliquée à f donne :
π 3 = E = a20+ +∞ X n=1 En= π2 4 + +∞X n=1 8 π2n4.
(on note au passage que cette égalité permet de calculer la somme d’une série numérique). Ce qui nous intéresse, c’est de savoir où tronquer la série de Fourier. Pour cela, on calcule :
E= π 2 3 '3,289 9; a20= π 2 4 '2,467 4 soit 75% de E; a20+ E1= π 2 4 +π82 ' 3,278 0 soit environ 99,64% de E; a20+ E1+ E3= π 2 4 +π82 + 8 81π2 ' 3,288 0 soit environ 99,94% de E.
On peut donc raisonnablement approcher f par la valeur moyenne et le fondamental, c’est-à-dire S1.
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