Applications du codage Spatio-Temporel à des réseaux sans fils

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sans fils

Elie Jandot Dit Danjou

To cite this version:

Elie Jandot Dit Danjou.

Applications du codage Spatio-Temporel à des réseaux sans fils.

do-main_other. Télécom ParisTech, 2006. English. �pastel-00002519�

Thèse

présentée pour obtenir le grade de Docteur

de l’École Nationale Supérieure des Télécommunications

Spécialité : Électronique et Communications

Élie Jandot dit Danjou

Applications du codage Spatio-Temporel

à des réseaux sans fils

Soutenue le 14 décembre 2006 devant le jury composé de :

David Gesbert

Président

Jean-Francois Hélard

Rapporteurs

Emanuelle Viterbo

Emilio Calvanese Strinati

_Examinateurs

Ghaya Rekaya - Ben Othman

Remerciements

Je tiensàexprimertoutemareconnaissanceàMonsieurJean-ClaudeBelorepouravoirdirigécette thèse,poursesnombreuxconseilsetsonsoutienconstant.

Cette thèse n'aurait vu le jour sans le soutien et le nancement de la société COMSIS. Toute ma gratitudevaàsonprésidentMonsieurLeclairqui enestàl'origine.

JeremercieMonsieurDavidGesbertpourm'avoirfaitl'honneurdeprésiderlejurydethèse.Je remer-ciesincèrementMessieursJean-FrançoisHélardetEmannuelleViterbod'avoiracceptéd'êtrerapporteurs etpourletemps qu'ilsyontconsacré.MerciàGhayaRekayapoursaprésenceauseindujury.

Je souhaiteremerciertout spécialementEmilio CalvaneseStrinati, égalementmembredujury,pour ses encouragements et ses conseils. Je remercie également Artur Hecker de m'avoir aidé àpréparer la soutenance.

Je remercie toute l'équipe de COMSIS avec qui j'ai passé ces années de travail remplies de bons moments:lesthésardsDavidet Alexandreainsiqu'Etienne, OlivieretRoxana.

Table des matières

Acronymes ix

Notations xi

Introduction 1

I Codage Cohérent 5

1 Codes Espace-Tempscohérents 7

1.1 Schémadetransmission . . . 7

1.1.1 Modélisationducanaldetransmission . . . 8

1.1.2 Lesdiversitésnoncodées . . . 10

1.2 RésultatsconnussurlescodesST. . . 12

1.2.1 Capacité etdiversité . . . 12

1.2.1.1 Capacitéergodique . . . 13

1.2.1.2 Capacitédecoupure . . . 14

1.2.2 Probabilités d'erreur . . . 15

1.3 CritèresdeperformancedescodesST . . . 18

1.4 LesdiérentscodesSTcohérents . . . 19

1.4.1 CodesSTentreillis . . . 21

1.4.2 LescodesSTencouches. . . 22

1.4.2.1 D-BLAST . . . 22 1.4.2.2 V-BLAST. . . 22 1.4.2.3 CodesSTWrapped . . . 23 1.4.3 CodesSTenblocs . . . 23 1.5 CodesSTorthogonaux . . . 24 1.5.1 Lecoded'Alamouti . . . 24

1.5.2 Codesorthogonauxdegrandedimension. . . 25

1.6 Codesàdispersionlinéaire. . . 25

1.7.2 CodesalgébriquesdiagonauxDAST . . . 27

1.8 Premiercodealgébriqueoptimal . . . 28

1.8.1 CodesTAST . . . 29

1.8.2 Codesalgébriquesàrotationsréelles . . . 30

1.8.3 GoldenCode . . . 32

2 Décodage des codes Espace-Tempscohérents 35 2.1 Modélisation ducodageSTparlesréseauxdepoints . . . 35

2.1.1 Casd'unetransmissionnon-codée . . . 36

2.1.2 Casd'unetransmissioncodée . . . 37

2.2 Décodageaumaximumdevraisemblance . . . 39

2.3 Décodagespararbrederecherche . . . 39

2.3.1 Formationdel'arbre . . . 40

2.3.2 Algorithmesderecherchedupointleplusproche . . . 41

2.3.3 Algorithmegénériquederecherchepararbre . . . 41

2.3.4 Décodeurparsphère . . . 42

2.3.5 DécodeurdeSchnorr-Euchner . . . 45

2.3.6 Algorithmesséquentiels . . . 47

2.4 Prétraitements . . . 48

2.4.1 Réductiond'unréseaudepoints . . . 49

2.4.1.1 OrthogonalisationdeGram-Schmidt . . . 50

2.4.1.2 RéductiondeMinkowski . . . 51

2.4.1.3 RéductionKZ . . . 52

2.4.1.4 RéductionLLL . . . 52

2.4.1.5 Réductionalgébrique . . . 52

2.4.2 MiseenformeMMSE-GDFE . . . 52

2.5 Décodeuritératif . . . 55

3 Prototype WiFi de COMSIS 65 3.1 LanormeIEEE802.11a . . . 66

3.1.1 LamodulationOFDM . . . 66

3.1.2 Principalescaractéristiquestechniquesdu802.11a . . . 67

3.1.2.1 Bandedefréquence . . . 67

3.1.2.2 Modulationet codagedesdonnées . . . 68

3.1.2.3 Débitbinaire . . . 68

3.1.2.4 Synchronisationsetestimationdecanal . . . 69

3.1.3 Aperçud'unechaînedetransmission802.11a . . . 69

3.1.3.1 Structuredel'émetteur 802.11a . . . 69

3.1.3.2 Structuredurécepteur802.11a . . . 70

3.2.1 CodageSpatio-Temporel. . . 72

3.2.2 Aperçudelachaînedetransmissionmulti-antennaire . . . 73

3.2.2.1 Structuredel'émetteur MIMO . . . 73

3.2.2.2 StructuredurécepteurMIMO . . . 74

3.2.3 Le décodeurSpatio-Temporel . . . 75

3.2.4 Conclusion . . . 76

3.3 Performanceset algorithmesducodageEspace-Temps . . . 76

3.3.1 Lesalgorithmesd'estimationetdesynchronisation . . . 76

3.3.1.1 Lasynchronisationtemporelle . . . 76

3.3.1.2 Synchronisationfréquentielle . . . 78

3.3.1.3 Estimationdescanaux . . . 79

3.3.2 Modélisationdescanaux . . . 80

3.3.2.1 Descriptiondescanauxmulti-trajets. . . 80

3.3.2.2 Modélisation del'osetfréquentiel . . . 82

3.3.3 PerformancesdelasolutionMIMO

2

× 2

. . . 82

3.3.3.1 Performancessurlesbitscodés . . . 83

3.3.3.2 Performancessurlesbitsd'information . . . 83

3.3.4 Conclusion . . . 85

3.4 Ledémonstrateuretlesévolutionsfutures . . . 86

3.4.1 Le démonstrateur. . . 86

3.4.2 Évolutionsfutures . . . 88

II Codage Non Cohérent 91 4 Codage Spatio-Temporel noncohérent 93 4.1 Approchegéométrique . . . 94

4.1.1 LavariétédeStiefel . . . 94

4.1.2 LavariétédeGrassmann . . . 94

4.1.3 Changementdecoordonnées . . . 95

4.1.4 Notionssurlessous-espacesvectoriels . . . 95

4.2 Étudedecapacité. . . 97

4.2.1 Résultatsgénéraux . . . 97

4.2.2 ComportementasymptotiqueàfortSNR . . . 97

4.2.2.1 Structuredesignaloptimale . . . 98

4.2.2.2 Expressiondelacapacitéasymptotique . . . 98

4.2.3 ComportementasymptotiqueàfaibleSNR . . . 99

4.3 Ledécodageennoncohérent . . . 99

4.3.1 Décodageaumaximumdevraisemblance . . . 99

4.3.2.2 LeGLRTdanslecasMIMO . . . 101

4.4 Calculdelaprobabilitéd'erreur. . . 102

4.4.1 CodageSpatio-Temporelunitaire . . . 102

4.4.2 Expressionasymptotique . . . 102

4.5 Diversitéennoncohérent . . . 103

4.5.1 Notiondediversitéissuedelaprobabilitéd'erreurparpaire . . . 103

4.5.2 Notiondediversitéissuedelaprobabilitéd'erreursurlesmotsdecodeST . . . . 104

4.5.3 Diversitéalgébrique . . . 104

4.6 ConstructiondeCodesSpatio-Temporelsnoncohérents . . . 105

4.6.1 Codesdiérentiels . . . 105

4.6.1.1 Introduction . . . 105

4.6.1.2 CodesDPSK généralisés . . . 105

4.6.1.3 Constructiondiérentielleissueducoded'Alamouti . . . 106

4.6.1.4 CodesdiérentielsbaséssurlatransforméedeCayley . . . 108

4.6.1.5 Conclusion . . . 112

4.6.2 Codespurementnoncohérents . . . 112

4.6.2.1 Codeconstruit parminimisationdedistance . . . 113

4.6.2.2 Codeconstruit parparamétrisation . . . 116

4.6.3 Codesnoncohérentsàentraînement . . . 118

5 CodagesSpatio-TemporelsnoncohérentspourlesmodulationsFSKetpourlanorme Bluetooth 121 5.1 ModulationFSKSpatio-Temporelle . . . 122

5.1.1 RappelsurlamodulationFSK . . . 122

5.1.2 Modélisationdusystème. . . 123

5.1.3 ConstructionducodesurlavariétédeGrassmann . . . 124

5.1.4 ModulationFSKSpatio-Temporelleà

2

antennesd'émissionet

2

antennesderéception126 5.1.5 Applicationausystème Bluetooth . . . 128

5.1.5.1 LanormeBluetooth . . . 128

5.1.5.2 ModulationCPFSKSpatio-Temporelle . . . 130

5.1.6 Conclusion . . . 131

5.2 ExtensiondeBluetooth . . . 132

5.2.1 LanormeBluetoothEDR . . . 132

5.2.2 SolutionsSpatio-Temporellespourl'EDR . . . 132

Table des gures

1.1 Compromisgaindemultiplexage/diversitépour

M = N = 2

. . . 20

1.2 LesdiérentscodesEspace-Temps . . . 20

1.3 Codeentreillisà4 . . . 21

2.1 RégionsdeVoronoïd'unréseaudepointsetintérêtdelaréduction . . . 51

2.2 Pertedelaformedelaconstellation aprèsréduction . . . 53

2.3 Décodeuritératif . . . 56

2.4 Performancesd'unsystème

4

× 4

enBPSK . . . 60

2.5 Performancesd'unsystème

4

× 4

enQPSK . . . 61

2.6 Performancesd'unsystème

6

× 6

enBPSK . . . 62

3.1 Principed'orthogonalitéfréquentielleàl'intérieurd'unsymboleOFDM . . . 66

3.2 ModulateurOFDM sanspréxecyclique . . . 67

3.3 SymboleOFDMavecpréxecyclique . . . 67

3.4 ModulateurOFDM avecpréxecyclique . . . 68

3.5 Schémad'unémetteur802.11a . . . 69

3.6 Schémad'unrécepteur802.11a . . . 70

3.7 Schémadel'émetteurMIMO . . . 73

3.8 SchémadurécepteurMIMO . . . 74

3.9 Comparaisondupréambule longdu802.11a (enhaut) et celuidusystème bi-antennaire (enbas) . . . 78

3.10 Étalementdesretardsdescanauxexpérimentaux . . . 82

3.11 Performancesdu802.11a et duMultidiversesurlesbitsnoncodés . . . 83

3.12 Performancesdu802.11a et duMIMO à24Mbpsaprèsdécodagesouple . . . 84

3.13 Performancesdu802.11a et dediérentscodageMIMOà24Mbpsaprèsdécodagesouple 85 3.14 Débitdu802.11a et duMIMO auniveaudelacoucheMAC. . . 86

3.15 CarteFPGAcontenantlacouchephysiqued'untransmetteur . . . 87

3.16 Démonstrationdetransmissionvidéoenliaisondirecteàl'ENSTBretagne. . . 88

4.2 PerformancesdecodesdiérentielsutilisantlatransforméedeCayleypour

M = N = 2

et

R = 6

bitspcu . . . 112

4.3 Performancesdu Codede McCloud pourdeux antennesd'émission et deux antennesde réception . . . 116

5.1 RécepteurMIMOFSKà2antennes . . . 126

5.2 Tauxd'erreurbinairedessolutionsBFSKenSISOet enMIMO. . . 127

5.3 Tauxd'erreurparmotdecodeSTdessolutionsBFSKenSISOet enMIMO . . . 128

5.4 OccupationsspectralesdessolutionsBFSKenSISOetenMIMO . . . 129

5.5 RéponseimpulsionnelleduFiltreGaussienpourplusieursvaleursde

K

BT

. . . 130

5.6 OccupationsspectralesdessolutionsGFSK enMIMO etBluetooth(GFSK-SISO). . . . 131

5.7 PerformancesduGFSKenMIMOet deBluetooth(SISO-GFSK) . . . 135

5.8 Constellationet transitionsdelamodulation

π/4

-DQPSK . . . 135

5.9 Constellationettransitions delamodulation

8

-DPSK . . . 136

5.10 Performancesdelamodulation

π/4

-DQPSKet ducodeTASTdiérentiel . . . 136

Liste des tableaux

3.1 Débitenfonctiondelaconstellationet ducodeconvolutifutilisédelanorme802.11a . . 68 3.2 Proldepuissancedescanauxexpérimentaux . . . 81

Acronymes

AWGN AdditiveWhite GaussianNoise Bruitadditifblancgaussien BFSK Binary Frequency ShiftKeying Modulationdefréquencebinaire

BLAST Bell LabsLayeredSpace-Time CodeespacetempsencouchedesBellLabs BPSK Binary PhaseShift Keying Modulationdephasebinaire

CAN Digitaltoanalogic converter ConvertisseurAnalogiqueNumérique CNA Analogic todigitalconverter ConvertisseurNumériqueAnalogique CPFSK ContinuousPhaseFrequencyShift. Keying Modulationdefréquenceàphase DAST DiagonalAlgebraicSpace-Time code Codeespace-tempsalgébriquediagonal DFE Decision Feedback Equalizer Égaliseuràretourdedécision

DFT DiscreteFourierTransform TransforméedeFourierDiscrète

EDR EnhancedDataRate NormeaméliorantledébitdeBluetooth FFH Fast-FrequencyHopping Sautdefréquencerapide

FFT FastFourierTransform TransforméedeFourierrapide

FHSS Frequency HoppingSpreadSpectrum Étalementdespectreparsautdefréquence FPGA Field ProgrammableGate Array Circuitintégréprogrammable

FSK Frequency ShiftKeying Modulationdefréquence

GDFE GeneralizedDecisionFeedbackEqualizer Égaliseur àretourdedécisiongénéralisé GFSK GaussianFrequencyShiftKeying Modulationdefréquenceàltragegaussien GLRT GeneralisedLikelihood RatioTest Testdurapportdevraisemblancegénéralisé ICI Inter-CarrierInterference Interférenceentreporteuses

IFFT InverseFastFourierTransform TransforméedeFourierrapideinverse iid independent andidentically-distributed indépendantsetidentiquementdistribués ISI IntersymbolInterference Interférenceentresymboles

LD Linear Dispersion code Codeàdispersionlinéaire LMMSE Linear MinimumMeanSquareError Égaliseurlinéaire

LST LayeredSpace-Time code Codeespacetempsencouche

MAC Medium Access Control Sous-couchegérantl'accèsausupportphysique MIMO Multi InputMultiOutput Entréesmultiplessortiesmultiple

ML Maximum likelihood Maximumdevraisemblanc

MMSE Minimum MeanSquareError Erreurquadratiquemoyenneminimale

OFDM OrthogonalFrequencyDivision Multiplexing Multiplexageparrépartitionenfréquencesorthogonales PAM Pulse AmplitudeModulation Modulationd'amplitudepulsée

PEP Pairwise ErrorProbability Probabilitéd'erreurparpaire PSK Phase Shift Keying Modulationdephase

puc per channel use parutilisationcanal

QAM QuadratiqueAmplitudeModulation Modulationd'amplitudeenquadraturedephase SD Sphere Decoder Décodeur parsphères

SE Schnorr-Euchner Schnorr-Euchner

SIC Successive InterferenceCancellation Suppressionsuccessived'interférence SISO Single InputSingleOutput Entréeuniquesortieunique

SNR SignaltoNoise Ratio RapportSignalàBruit

ST Space-Time Espace-temps

SVD Singular ValueDecomposition Décompositionenvaleurssingulières TAST ThreadedAlgebraic Space-Time code Codeespace-tempsalgébriqueencouches UWB UltraWideBand Ultralargebande

VHDL VeryHigh SpeedIntegratedCircuit Langagededescriptionmatérielle Hardware DescriptionLanguage

WiFi Wireless Fidelity Fidélitésansl WLAN Wireless Local AreaNetwork Réseaulocalsansl WPAN Wireless PersonalAreaNetwork Réseaupersonnel sansl ZF Zero-Forcing Forçageàzéro

Notations

Z

Ensembledesentiers relatifs

R

Ensembledesréels

C

Ensembledesnombrescomplexes

S

T,M

VariétédeStiefel

G

T,M

VariétédeGrassmann

M

_l×c

Matriceà

l

ligneset

c

colonnes

v

l

Vecteurcolonnededimension

l

I

n

Matriceidentité dedimension

n

Diag

(v)

Matricediagonaleet dontlevecteur

v

constitueladiagonale diag

(M)

Vecteurconstituédesélémentsdiagonauxdelamatrice

M

(

_·)

T

Transposition

(

_·)

∗

Conjugaison

(

·)

†

Trans-conjugaison

(

_·)

−1

Inversion

⊗

ProduitdeKronecker

< (·)

Partieréelle

= (·)

Partieimaginaire

kvk

Normeeuclidienneduvecteur

v

kMk

F

NormedeFrobeniusdelamatrice

M

Introduction

Cette thèse s'inscrit dansun contexteglobal de multiplication desappareilsélectroniquesintégrant des systèmes de transmissionnon laires. Lessolutions techniques deréseaux sans ls rencontrentdes succèstantindustrielsquecommerciauxetsontencoreappeléesàévoluerrapidement.Lademandepour uneaugmentationdesdébitsesttrèsforte,alorsmêmequelescellulessedensientavecl'augmentation dunombred'utilisateursetdeleurséquipements,etquelesressourcesspectralesdisponiblessontlimitées. Tout est mis en ÷uvre pour obtenir la qualité des liaisons laires,en termes de débit et de abilité... maissanslesls.

Dessolutionsdetransmissionradiomulti-antennairescommencentàapparaîtreetprésententdetrès signicativesaméliorationsdeperformance.Lesperspectiveslesplusintéressantespourl'exploitationdes systèmesàplusieursantennessontoertesparlescodagesSpatio-Temporels(ST).Lesprincipauxcritères de performance d'un code ST sont : son rendement, sonordre de diversité et songain de codage. Un codeSTderendementmaximalpermet demultiplier ledébit detransmissionparlenombred'antennes employéàchaquetransmetteur. Plus l'ordredediversitéd'un code STest importantet moins il ya,à fortrapportsignalàbruit,d'erreurdedécodage.Enn,legaindecodagepermetdediminuerlapuissance dusignalenconservantlesmêmesperformances.

Cetravaildethèseaétéeectuédanslecadred'uneconventionindustrielleentrel'ENSTetlasociété COMSIS

1

. L'objectif de COMSIS, en 2002, était de proposer une solution multi-antennaire pour les réseauxlocauxsanslsintégrantuncodageEspace-Temps.Ceprojetprécurseurpassaitparlaréalisation d'un démonstrateur MIMO dérivé de la norme Wi 802.11a de l'IEEE. Cette norme basée sur une modulationOFDMà

5

GHzavaitdumalàs'imposerfaceàla802.11b,plussimpleàréaliser.Lecodage STdevaitpermettredediminuerlestauxd'erreurpouréviterlesré-émissionsdestramesetlespertesde liaison.Laqualitédeservicedevaitêtresusantepoursupporterdesapplicationsvidéo.Deplus,ilfallait pouvoirtransmettreàplusbasrapportsignalàbruit andebaisserlaconsommationetdediminuerles interférencesentrecellules.Cedémonstrateurfonctionneactuellementet continued'êtreamélioré.

Le savoir-faireacquis aétémisàprotdans ledéveloppementMIMO d'autressystèmesde réseaux sansls telsqueBluetooth.

1 COMSIS 3,rueBroussais

Le décodage ST est un point sensible dans la mise en pratiquedes techniques Spatio-Temporelles. Si lecodeur STest très simple,iln'en vapasde mêmedudécodeurqui occupeunesurfacedesilicium nonnégligeablepouruntransmetteurWi.Destechniquesdedécodageontétéretenuesenfonctiondu nombre d'antenneset des constellations utilisées an de satisfaire au mieux à un compromis entre les performancesetlacomplexité.

Cette thèse s'articule en deux parties. Les trois premiers chapitres forment la première partie. Ils traitentducasdestransmissionscohérentesoùlescaractéristiquesducanalsontsupposéesinconnuesau niveaudel'émetteurmaisparfaitementconnuesauniveaudurécepteur.Cettepremièrepartiecorrespond doncauscenarioWietaboutitàlaprésentationdupremierprototypedeCOMSIS.

Leschapitresquatreetcinqformentlasecondepartieettraitentducasnon-cohérent,lorsquelecanal de transmissionest inconnu, aussibien à l'émetteur qu'au récepteur.Cette partie aboutit àlamise en pratiqueducodageSTpourlanormeBluetooth.

Le premier chapitreprésente unétat de l'artsur lesST construits dansl'optique d'un décodage cohérent.Lescalculsdelathéoriedel'information surlacapacitéd'un canalMIMO etsur les probabi-litésd'erreurdescodesSTpermettentdedégagerdescritèrespourconstruireet comparerlesdiérents codes.Nousnousintéressonsplusparticulièrementàunecatégoriedecodesenblocslinéaires:lescodes algébriques.

LedécodagedescodesSpatio-Temporelsdanslecascohérentesttraitédansledeuxièmechapitre. Un codeST est délicat àconstruiremais sonintégrationdans unsystème est simple.Le décodeur ST, parcontre,esttrès lourdàimplémenteretil estprimordialdelechoisiravecsoin.

LessystèmesMIMO peuventêtrereprésentéspardesréseauxdepointsetledécodageSTpeutainsi sefaireparlarecherched'unpointleplusprochedansunréseaudepoints.Celapasseparlaconstruction d'unarbre de recherche.Lechoix desalgorithmespermet dechoisirsoit unalgorithmeoptimal,c'est à direéquivalentaudécodeurausensdumaximumdevraisemblance,soit unalgorithmesous-optimal.

Nousprésentons,enndechapitre,undécodeursous-optimalminimisantlebruitet lesinterférences demanièreitérative.

Le troisièmechapitre estconsacréauprototypedéveloppéparCOMSIS. Dansunpremiertemps, nousprésentonsleprincipedelamodulationOFDMainsiquelanormepourlesréseauxsansls802.11a de l'IEEE. Puis nous précisons le codeur et le décodeur ST utilisés dans cette premièreversiondu dé-monstrateur.Ennnousévoquonslesévolutionsfuturesquisontactuellementàl'étudeandeconstituer uneorecommerciale.

Les schémas de codage non cohérents font l'objet du quatrième chapitre. Nous présentons une approchegéométriqueduproblèmeainsiquedescalculsdecapacitéet deprobabilitéd'erreur.

construc-purementnoncohérentsetennissantparlescodesàentraînement.

Le cinquième chapitre proposeune nouvellefamillede codes STconstruite pourlesmodulations numériques de fréquence. Ce système de transmission non cohérent utilise des signaux de puissance constante où l'information est uniquement portée par leurs fréquences. Cette solution a l'avantagede pouvoirêtreproduiteindustriellementàtrèsbascoût,dansl'espritdestransmetteursBluetooth. L'adap-tationducodageSTàlanormeBluetoothest ensuiteprésentéedanslecasd'unsystèmebi-antennaire. Lesperformancesd'uncodageSTdiérentielontégalementétéétudiées,an desuivrel'évolutiondela normeBluetooth.

Première partie

Chapitre 1

Codes Espace-Temps cohérents

Introduction

Ce premier chapitre traite des systèmes de transmission multi-antennairse et plus particulièrement desschémasdecodageEspace-Temps dans lecascohérent,où lescoecientsducanal de transmission sontsupposésconnusauniveaudurécepteur.Nousverronsunesynthèsesurl'étatdel'artducodageST, avantdenousintéresser,dansleschapitressuivants,audécodageet àlamiseen÷uvrepré-industrielle.

Après unexposéde laproblématique,l'étude delacapacitédes canauxMIMO 1

mettra enévidence l'intérêt des schémas multi-antennaires. Le calcul analytique de la probabilité d'erreurnous permettra ensuitedefaireressortirlesprincipaux critèresdeconstructiondescodesST.

PuisnousprésenteronslespremierscodesSpatio-Temporelsetlesdiérentesclassesdecodesconstruits, jusqu'auxcodesenblocsetcodesalgébriquesqui serontutilisésdanslasuite.

1.1 Schéma de transmission

Le codage Spatio-Temporel s'inscrit dans uncadre plus général que sont lessystèmes de transmis-sionmulti-antennaires. Un systèmeMIMO emploie

M

antennesau niveaude l'émetteuret

N

antennes auniveaudurécepteur. Lecoecient multiplicatif représentantlecanal entre l'antenned'émission

i

et l'antennederéception

j

estnoté

h

ij

. Auniveaudel'émetteur,lesbits d'informationàtransmettresont modulésavantd'entrerdanslecodeurST.Parlasuite,nousutiliseronsdesmodulationsd'amplitudeen quadrature (QAM

2

) ou des modulations de phase (PSK 3

). Le codeur ST agit ensuitecomme un mul-tiplexeur sur les symboles d'informationavant de les transmettresur le canal. Le récepteur réalise les opérationsinverses,avec,toutd'abord,undécodeurSTquireformelessymbolesd'information,puisun

1

MultiInputMultiOutput 2

QuadratureAmplitudeModulation 3

démodulateurquirégénèrelesbitsd'information.

De fait,lecodeur Espace-Temps forme,àpartirdesymboles d'information,unmot decode Spatio-Temporel

X

dedimension

M

× T

,où

T

est lalongueur temporelle ducode.Dans uncodeST linéaire, chaque élément

x

it

de la matrice

X

est une combinaison linéaire des symboles d'information. Le ren-dement du code est déni comme le nombre de symboles d'informationtransmis par utilisation canal (p.u.c.),soit lenombredesymbolesparmotdecodedivisépar

T

.

Dans lecasextrêmeoù

T = 1

,lesmotsdecodesnesontalorsquedesvecteurscolonnesetla trans-missionest ditenon-codée.

Alaréception,lesignalreçuparchaqueantenneestmodéliséparlasommedessignauxémisparles antennesd'émissionaectésd'uncoecientdecanal,etparunbruitadditif.Surl'ensembledurécepteur, nousreformonslemotdecode

Y

_{N ×T}

= H

_{N ×M}

_{· X}

_M×T

+ W

_{N ×T}

(1.1)

où

H

est la matrice de transfert du canal de transmission et

W

est le bruit additif blanc gaussien (AWGN

4

).Lesindicescorrespondentauxdimensionsdesmatrices.

1.1.1 Modélisation du canal de transmission

Nous nous intéressons,ici, aux systèmes de transmission radio-mobiles.Que nous soyonsen milieu fermé (INDOOR)ou àl'extérieur(OUTDOOR), les ondesélectromagnétiquessuiventplusieurstrajets entre chaque antennede l'émetteur et chaque antenne durécepteur. Ilpeut y avoir untrajet direct si l'émetteur et le récepteur sont en vision direct (LOS

5

), et des trajets indirects dus aux réexions et diractionssur desobjetsenvironnants.Lestrajetsindirectssontdéphaséset arriventavecdesretards étalés dans le temps en fonctionde la distance parcourue et tousles trajets interfèrent entre eux. Les multi-trajets peuvent donc créer des problèmes d'interférences entre symboles qui serons vus dans le chapitre3.

Sur le planfréquentiellesmulti-trajetsrendentlecanal sélectif enfréquenceavecdes risques d'éva-nouissementsàcertainesfréquences.Les partiesréelle et imaginairedechaquecoecientducanalsont indépendantesetsuiventdesloisgaussiennes(

N

).Lescoecientssuiventdoncdesloisgaussiennes com-plexes(

CN

).Silesantennesd'émissionsontsusammentespacéesentreelles,etquec'estégalementlecas desantennesderéception,lescoecientsducanalpeuventêtreconsidéréscommeindépendantsentreeux.

S'iln'yapasdetrajetdirect(NLOS 6

),lesloisgaussiennessontalorsàmoyennesnulles.Danscecas, l'enveloppedechaquecoecientducanalsuit uneloideRayleighet laphasesuitune loiuniforme.Un telcanalestappelé canaldeRayleigh.

En présenced'un trajetdirect (LOS),lamoyennedesévanouissementsn'estpasnulle,lemodulede chaquecoecientducanalsuitune loideRiceet lecanalestditdeRice.

Dans les chapitres 1 et 2, nous ne travaillerons que sur des canaux de Rayleigh. Nous prendrons des coecientsde canali.i.d.

7

avecdes parties réelles et imaginaires dans

N (0,

1

2

)

. Les enveloppesdes coecientssuiventdoncdeslois

CN (0, 1)

.

Nousnormaliseronsl'énergiemoyennedesmotsdecodeà

T

.Ainsi,quelquesoitlenombred'antennes utilisées ou lalongueur temporelle du code ST, lapuissance d'émission sera toujours unitaire, comme danslecasmono-antennaire.Lesantennesderéceptioncaptent,enplusdusignalémis, dubruitdûaux autresutilisateursetàd'autressystèmesradio auquels'ajoutelebruitdûauxchaînesradio-fréquences. L'ensembledecesbruitsestmodéliséparunbruitAWGN,i.i.d.surchaqueantenne,demoyennenulleet devariance

σ

2

.Lecalcul durapportsignalàbruit (SNR)dépendrauniquementdelavariancedubruit SNR

=

1

σ

2

=

_N

1

0

.Lacomparaisondesperformancesdescodesseferapréférentiellementen

E

b

N

0

,où

E

b

est l'énergieparbitd'informationtransmis.

Simaintenantl'émetteur,lerécepteuroulesobjetssedéplacent,alorsils'ajouteuneetdynamique: lecanalvarieaucoursdutemps.Letempsde cohérence

T

c

estdénicommeletempspendantlequella

5

LineOfSight 6

NonLineOfSight 7

variationducanalestnégligeable.L'étudedescanauxMIMOutilisenttroismodèlesclassiquesdecanaux deRayleigh.

Le canal ergodique 8

: àchaque temps symbole,il faut considérer une nouvelle réalisationducanal indépendantedelaprécédente.

Le canalquasi-statique 9

:lecanalresteconstantdurantlatransmissiond'unetrameoud'unmotde codeST.

Le canalàévanouissementparblocs 10

:lecanalresteconstantdurantlatransmissiondeplusieurs tramesoudeplusieursmotsdecodeST.

LamobilitéengendreaussiundécalagedesfréquencespareetDoppler,quiseravudanslachapitre3. Lecanaldetransmissionutilisédansleschapitres1et2serauncanaldeRayleighquasi-statique,saufpour certainscalculs decapacité. En outre,ladétectionsera cohérente et lecanalsera supposéparfaitement connuauniveaudurécepteur.

1.1.2 Les diversités non codées

Si nousconsidéronsunsystèmedetransmissionSISOsurcanaldeRayleigh

y = h

_{· x + w ,}

ilestclairque,mêmesilavarianceducoecientducanalvaut

1

,certainesréalisationsducanal présen-terontdefortsévanouissementsqui ferontchuterle SNRau niveaudurécepteuret nepermettrontpas de décoder l'information transmise.L'idée sous-jacente destechniques de diversité est depermettreau récepteur de récupérer

n

fois lesignaltransmis et qu'àchacunede ces transmissions, laréalisation du canalsoitdiérente.Unetechniquedediversitéconsistedoncàenvoyersurplusieursvoiesindépendantes lemêmesignaldefaçonàmoyennerlesévanouissements.L'ordredediversitécorrespondau nombrede voiesindépendantes parlesquelles transitechaquesignal.

Ainsi lesrisquesd'avoiruntrèsmauvaiscanaldiminuent,mais parallèlementleschances d'avoirun trèsboncanalbaissentdemême.Néanmoins,danslecadredescommunicationsnumériques,laplagede rapportsignal àbruit utilisée correspond, dans la pratique,àde faibles taux d'erreuroù seuls lestrès mauvaiscanaux engendrent desestimations fausses.Nous voyonsdonc clairementl'intérêt apporté par ladiversitépouraméliorerlesperformancesdestransmissions.

Ilexistedeuxgroupesdediversitésnoncodées.Toutd'abord,lestechniquesdediversitérelativement intuitivesoùchaquesignalest émis

n

foispouratteindreunediversitéd'ordre

n

:

La diversité temporelle : ellecorrespond au code àrépétition

(n, 1, n)

, oùchaque signalest trans-mis

n

fois, chaqueenvoiétant séparédu suivant parun intervalleau minimumégal au tempsde 8

Fast-FadingChannel 9

Quasi-StaticFadingChannel 10

cohérence ducanal

T

c

, and'assurerl'indépendance descoecientsde canal.Cettetechniqueest utilisable suruncanalsélectif entempset lorsque

T

c

est assezcourt, commedanslecasducanal ergodique.

La diversité fréquentielle:l'envoides

n

signauxest simultané,maisest réalisésur

n

fréquences dif-férentes. Sur un canal sélectif en fréquence, les canaux sont indépendants si les fréquences sont séparéesd'aumoinslabandedecohérenceducanal.Ladiversitéfréquentiellepeutnotammentêtre utiliséedanslessystèmesOFDMquenousverronschapitre3.

La diversitéd'espaceenémission:les

n

signauxsontémispardesantennesdiérentesséparéesd'au moins lalongueur de cohérence qui assure l'indépendance descanaux. La longueurde cohérence dépendde lafréquence,elleest d'environdix foislalongueurd'onde(

λ

)à

900

MHz(GSM),mais peutêtreréduiteà

λ

2

danslabandedes

5

GHz.

Cestechniquesdediversitésontcoûteusesenterme d'ecacitéspectralecarellesconsomment

n

utilisa-tionscanalpourchaquesignalàtransmettre.L'associationd'unentrelaceuret/oud'un code correcteur d'erreuràcestechniquesdediversitéestplusecaceetévitedegaspillerlesressourcesspectrales.

L'autregroupedetechniquesdediversitéa,intrinsèquement,unemeilleureecacitéspectrale :

La diversité d'espace en réception :lesignal,émis paruneou plusieursantennes,est traitépar

n

antennesderéceptiondiérentes,séparéesd'aumoinslalongueurdecohérenceducanal.

La diversité de trajet : elleutilise,dans ledomainetemporel, l'étalementdesretards dûaux multi-trajets.S'ilyaaumoins

n

trajetsdiérents,unrécepteurRakepeutdiscriminerces

n

trajetsqui sontaectésdecoecientsdecanaldiérents.

L'associationdediérentestechniquesdediversitépermetd'augmenterl'ordredediversitéglobal.L'ordre dediversitétotalatteignable estleproduitdesordresdediversitédechaquetechniqueemployée.

Cette étude porte sur la diversité Spatio-Temporelle. Le codage Espace-Temps associe la diversité d'espaceenémissionetladiversitéd'espaceenréception

11

,maisladiversitéSpatio-Temporellen'estpas une simple addition desdeux. Le codage et l'entrelacement sont eectués de façonàobtenir une forte diversitéenutilisantpeulesressourcesducanal.

11

1.2 Résultats connus sur les codes ST

Nousprésentonsicidesrésultatsdelathéoriedel'information,quipermettentdedéterminer analyti-quementlesperformancesdescodesEspace-Temps.L'étudedelacapacitéainsiquecelledelaprobabilité d'erreurnouspermettront,parlasuite,dedégagerlesprincipauxcritèrespourconstruirede"bons"codes ST.

1.2.1 Capacité et diversité

Surunsystèmedetélécommunicationnumérique,ilestprimordialdeconnaîtrelaqualitéd'uneliaison, c'estàdirelaquantitémaximaled'informationtransmissibleentre unémetteuret unrécepteur.

L'information mutuelle entre deux variables aléatoires

A

et

B

, notée

I(A; B)

, est la quantité d'in-formationqu'apporte laréalisationdel'un sur laréalisationde l'autre.Nousconsidérons ici des trans-missions non-codées où

T = 1

. Dans le cas où le décodage est cohérent, la réalisation

H

du canal

H

est supposéeinconnue de l'émetteur et parfaitement connue du récepteur. La sortiedu canal est alors

(Y,

_{H) = (HX + W, H)}

, etl'informationmutuelleentrel'entréeetlasortieest

I(X; (Y,

_{H)) = I(X; H) + I(X; Y|H)}

= I(X; Y

|H) .

Dans notre schémadetransmission, lemotémis

X

peut prendredesvaleursdiscrètesdans uncode etlemotreçu

Y

peutprendredesvaleurscontinues.L'informationmutuelles'écritalors

I(X; Y

_{|H) =}

X

X ∈ Code

Z

C

M

P (

_{Y|X , H)P (Y|H) log}

2

P (

_{Y|X , H)}

P (

_Y|H)

d

Y

où

X

,

Y

et

H

sontlesréalisationsde

X

,

Y

et

H

.

Soit une réalisation de canal

H

. Si

Y

est le signal reçu lorsque le signal

X

est émis, la capacité instantanéedu canal de transmissionest lemaximum de l'information mutuelle entre

X

et

(Y

|H)

sur toutes les distributions possibles de

X

, soit encore l'information mutuelle lorsque le signalémis est le meilleursignalpossible

C

i

, max

p(X )

I(X; Y

|H = H) .

(1.2)

Lacapaciténedépendplusducodage,maisuniquementdescaractéristiquesducanalutilisé.Lacapacité s'exprimeenbitsparutilisationdecanal(bitsp.u.c.).Lacapacitéestaussiledébitmaximalaveclequel ilest possibledetransmettreengarantissantuntauxarbitrairementbas.

Dans la suite nous présentonsles calculs de capacité dans le cas des canaux ergodiques. Le canal ergodique est un cas d'école et n'est pas très réaliste,néanmoins ce modèlesimple permet de trouver uneexpressiondelacapacitéenMIMO.Historiquement,c'estlacapacitéMIMOergodique,étudiée par

1.2.1.1 Capacitéergodique

Lacapacitéergodiqueestl'espérancedelacapacitéinstantanée(1.2)surlavariablealéatoire

H

.Nous présentonsdansunpremiertempslecasbienconnuducanalSISOavantd'étudierlecasmulti-antennaire.

Sous la contrainte d'une puissancemaximale d'émission

P

, lacapacité ergodique d'un canal mono-antennaire s'écrit

C

SISO

= E

H





 max

_p(x)

E

_[

|X|

2

_]

≤P

I(X; Y

_|H)





 .

Silecanalest AWGN,lacapacités'écritaussi

C

SISO

= E

H



log

2

(1 + ρ

|h|

2

)



où

h

estlecoecientcomplexeducanalàévanouissementet

ρ =

P

σ

2

lerapportsignalàbruit.

h

suit uneloideRayleigh,donc

|h|

2

suituneloidu

χ

2

.

Dans lecasMIMO,l'énergied'unmotdecodeest E

mot

= E



X

†

X



= T rE[XX]

†

etlacontraintede puissancedevientE

mot

≤ P

.

LacapacitéergodiqueducanalMIMOs'écritalors

C = E

H



 max

p(X )

E

mot

≤P

I(X; Y

_|H)



 .

[Telatar,1995] a montré qu'il était optimal de mettre la même puissance sur toutes les antennes d'émission(

E[XX]

†

₌

P

M

I

M

)et quelacapacitéergodiqueducanalMIMOAWGNs'écrivaitalors

C = E

H

h

log

2



det



I

N

+

ρ

M

H

†

_H

i

(1.3) où

ρ =

P

σ

2

est leSNR moyenparantennederéception.

Lorsquelenombred'antennesd'émissiontend versl'inni,nouspouvonsappliquerlaloidesgrands nombres.Noustrouvonsalorsque

1

M

H

†

H

−−−−→

_M→∞

I

N

.Danscecas,lacapacités'écrit

lim

M→∞

C = N

· log

2

(1 + ρ)

Ilapparaîtdoncunphénomènedesaturation.Augmenter lenombred'antenned'émission seraalors in-ecace.

Telataraproposédeprendreladécompositionenvaleurssingulières(SVD 12

)delamatricedecanal: 12

H

= UDV

†

où

D

estunematricediagonalecomposéedesvaleurssingulières

λ

i

de

H

etoù

U

et

V

sont desmatricesunitaires.Lacapacité(1.3)peutalorssemettresouslaforme

C

=

E

H

h

log

2



det



I

N

+

ρ

M

D

2

i

=

E

H



log

2





min(M, N )

_Y

i=1

1 +

ρ

M

λ

2

i









=

min(M, N )

_X

i=1

E

H

h

log

2



1 +

ρ

M

λ

2

i

i

.

La capacitéergodiquedenotre canalMIMO à

M

antennesd'émission età

N

antennesde réception correspond donc àla capacité de

K = min(M, N )

canaux mono-antennaires.

K

est appelé nombre de degrés deliberté ougain demultiplexage ducanalMIMO.

À fortrapportsignalàbruit,lacapacitéergodiqueducanalMIMO peuts'écrire

C = K log

2

(ρ) + O(1)

(1.4)

soitl'équivalentde

K

canauxSISOparallèles.

1.2.1.2 Capacitéde coupure

L'hypothèse d'ergodicitédu canal n'est généralementpas vériée dans la pratiquepour lescanaux radio-mobiles,oùladuréedecohérenceducanalestsouventgrandedevantlatailledesblocsdedonnées émis ([Biglieriet al,1998]). Dans ce cas, lacapacité deShannon du canal est nulle. En eet,quel que soitledébitdecommunicationvisé,ilyauneprobabiliténonnullequelaréalisationducanalnepuisse lasupporter,etcemêmeavecuncodedetrèslongue taille.

Pourmesurerlesperformancesdescanauxàévanouissementparblocs,unenouvellecapacitéestdonc dénieàpartirdelaprobabilitédecoupure

13

etenassociantainsiuntauxdeconanceàchaquecapacité. La capacité est alors considérée commeune variable aléatoiredépendant de la réponse instantanée du canal,celle-cirestantconstantedurantlatransmissiond'unmotdecodedelongueurnie.

Pourune réalisationde canal, silacapacité instantanéeest inférieure aurendementvisé, lemotde codetransmisne pourra êtredécodésanserreur,quelque soit lecode utilisé. Inversement,sipourune réalisation de canal, la capacité instantanée est supérieure au rendement voulu, alors le théorème de Shannon indique qu'il existe un code permettant de transmettre à ce rendement avec une probabilité d'erreuraussipetitequel'onveut.

Laprobabilitédecoupuresedénitcommelaprobabilitéquelacapacité instantanéedusystèmede transmissionsoitinférieuraudébit(ourendement)

R

P

out

(R) = P

{C

i

(H) < R

} .

Lacapacitédecoupure 14

sedénitensuitedefaçonnaturelle:

C

ε

,lacapacitédecoupureà

ε%

,estla capacité atteinte parlesmeilleures réalisationsdecanal, sansconsidérerles

ε%

deréalisationsdecanal qui ont les plus mauvaises capacités instantanées.

C

ε

correspond doncau débit

R

maximal auquelon peutémettreenpouvantavoir

(100

− ε)%

des transmissionssanserreur,soit encoreledébit

R

,telque

P

out

(R) = ε%

.

Les capacités decoupure sont diciles àcalculer, c'est pourquoi lesexpressionsdes capacités ergo-diquessontsouventprisescommeréférences,mêmelorsquelescanauxconsidéréssontàévanouissement parblocs.

1.2.2 Probabilités d'erreur

And'établirdescritèresdeperformancesdescodesEspace-Temps,[Tarokhet al,1998]ontété ame-nés àévaluerles probabilités d'erreurpar motde code ST. Le système de transmission à

M

antennes d'émissionet

N

antennesderéceptionsuittoujoursl'équation(1.1)

Y

_{N ×T}

= H

N ×M

· X

M×T

+ W

N ×T

oùlescoecientsdecanal

h

i,j

sont

CN (0, 1)

et lescoecientsdubruitadditif

w

i,j

sont

CN (0, σ

2

₎

.

Lesperformancesdelatransmissiondépendentévidemmentdudécodeurutilisé. Nousétudieronsici unrécepteur employant ledécodeur optimal: ledécodeur àmaximumde vraisemblance(ML

15 ).Nous sommesdanslecas cohérentet

H

, lamatrice decanal,est supposéeparfaitementconnuedurécepteur. Le décodeur MLcherchealors,de façonexhaustive,dansl'alphabet ducodeST, lemotde code

ˆ

X

qui minimiseladistancequadratiqueaveclemotreçu

ˆ

X

= arg min

X

∈ Code

kY − HXk

2

.

(1.5)

Laprobabilitéd'erreurparmotdecodeestalors

P

e

mot

=

P

n

ˆ

X

_{6= X}

o

=

X

X

0

_{∈ Code}

P

_{X

0

_{} · P}

n

X

ˆ

_{6= X | X = X}

0

o

.

(1.6) 14 OutageCapacity 15

Labornedel'unionpermetensuitedemajorer

P

n

ˆ

X

_{6= X | X = X}

0

o

P

n

X

ˆ

_{6= X | X = X}

0

o

_≤

X

E

∈ Code

E

6=X

0

P (X

0

_{→ E)}

(1.7) où

P (X

0

_{→ E)}

estlaprobabilitéd'erreurparpaire(PEP 16

),laprobabilitédedétecterlemotdecode

E

, alorsquec'estlemotdecode

X

0

quiaétéémis.Pouruneréalisation

H

ducanaletdanslecascohérent, laPEPs'écrit

P (X

_{→ E| H = H) = P}

n

_{kY − H · Ek}

2

_{≤ kY − H · Xk}

2

_{| X}

estémis

o

= P

n

kH · (X − E) + Wk

2

≤ kWk

2

| X

est émis

o

= P

{V ≤ 0}

avec

V

=

kH · (X − E) + Wk

2

− kWk

2

.

V

est unevariablealéatoiregaussienne demoyenne

m

V

=

kH · (X − E)k

2

et de variance

σ

2

V

= 4

kH · (X − E)k

2

σ

2

. LaPEP corresponddoncàlaqueuede lagaussienne

P (X

_{→ E|H = H) = Q}



m

V

σ

V



=

Q



kH · (X − E)k

2σ



.

En utilisantlaborneexponentielle

Q(x)

≤ e

−

x2

2

,nous trouvons

P (X

→ E|H = H) ≤ exp

−

kH · (X − E)k

2

8σ

2

!

etenmoyennantsur

H

,nousobtenons

P (X

_{→ E) ≤ exp}



−

E

H

h

kH · (X − E)k

2

i

8σ

2



 .

(1.8)

Nousallonsmaintenantexpliciterlenumérateur del'exponentielle

E

H

h

kH · (X − E)k

2

i

= E

H



H(X

_{− E)(X − E)}

†

H

†



.

Parconstruction,lamatricealéatoire

A

= (X

− E)(X − E)

†

esthermitienne.Elleestdoncdiagonalisable etnouspouvonsécrire

A

= U

†

_DU

où

U

estunematriceunitairedontlescolonnessontlesvecteurpropres de

A

et

D

est une matrice diagonale contenant les valeurs propresde

A

. Comme

A

est hermitienne

positive,sesvaleurspropres

λ

i

(i = 1, ..., M )

sontpositives.Notreexpressiondevientdonc

E

H

h

kH · (X − E)k

2

i

=

E

H



T r HUDU

†

H

†



=

E

H



T r BDB

†



=

E

H





M

X

i=1

N

X

j=1

λ

i

|b

ji

|

2





=

M

X

i=1

N

X

j=1

λ

i

E

H

h

|b

ji

|

2

i

où

B

= HU

.

Étant donné que les colonnes de

U

sont les vecteurs propres normés de

A

, elles forment une base orthonormalede

C

M

.Deplus,commelescoecientsdecanauxsont

CN (0, 1)

etindépendantsentreeux, lescoecients

b

ji

sonteuxaussi

CN (0, 1)

.L'équation(1.8)devientdonc

P (X

_{→ E) ≤}

N

Y

j=1

exp

₋

1

8σ

2

M

X

i=1

λ

i

!

.

Soit

r

lerangdelamatrice

A

,nouspouvonsréécrirel'équationennetenantcomptequedes

r

valeurs propresnon-nullesde

A

P (X

→ E) ≤

r

Y

i=1



1 +

λ

i

8σ

2

!

−N

.

ÀfortSNR,lorsquelapuissancedubruitdevientnégligeabledevantlesvaleurspropres,c'estàdire,

σ

2

_{= N}

0

 λ

i

∀i = 1, ..., r

,nousobtenons

P (X

→ E) ≤

r

Y

i=1

λ

i

!

−N

_

1

8σ

2



−rN

.

(1.9)

Àfortrapportsignalàbruit,laPEPdiminuedoncasymptotiquementen

ρ

−rN

.Par(1.6)et(1.7),la probabilitéd'erreursecomportedemêmeet

r

· N

estl'ordredediversitéducodeEspace-Temps.

Leproduit

(λ

1

λ

2

...λ

r

)

1

r

estappelégaindecodageetcorrespondàunediminutionstatiquedelaPEP, indépendante duSNR. Commeson nom l'indique, il est obtenu pourun système detransmission codé (

T > 1

).LegaindecodageducodeSTestdéterminéparlaplusmauvaisepairedemotsdecode

(X, E)

quiferachuterlesperformances

δ

Code

=

min

X

_{, E∈ Code}

X

6=E

(λ

1

λ

2

...λ

r

)

1

r

=

min

X

, E∈ Code

X

_6=E

|det (X − E)|

2/r

.

(1.10)

descritèresdeconstruction.

1.3 Critères de performance des codes ST

Lesdeux principauxcritèresdeperformance etdeconstructiondescodesSTsontbaséssur la mini-misationdelaPEP, entraînantune diminutiondelaprobabilitéd'erreurparmot.Ce sontlecritèredu ranget lecritèredudéterminant,introduitspar[Tarokhetal,1998].

Critère du rang:And'obtenirladiversitémaximale

(M

· N)

,lamatrice

A

= (X

− E)(X − E)

†

doit êtrede rangpleinpourtouslescouplesde motsde code

(X, E)

.Si

r

estlerangminimalatteintpar la matrice

A

surtouslescouplesdemots decode,alors l'ordrede diversitéducode STest

(r

· N)

. Nousremarquonsqueladiversitéd'espaceenréceptionest structurellementacquise.En revanche, l'ob-tention de la diversité d'espace en émission est plus délicate et nécessite un codage spatio-temporel judicieux.

Critère du déterminant: Sila diversitémaximale

(M

· N)

estatteinte,le minimumdudéterminant de

A

surtousles couplesde motsde code STdoit êtremaximisé.

Legaindecodage

δ

Code

estalorsmaximisé.

Ilexiste d'autrescritèresdeconstructiondecodesST,maisilssontmoins utilisés:

 Le critère de l'information mutuelle ([Hassibiet Hochwald1,2002]) maximise l'information mu-tuelleentrelesignalémiset lesignalreçu,and'atteindre lacapacitéducanal.

 Le critèrede la trace ([Aktaset al,2002])maximise latracede

AA

†

surtouslescouplesde mots decode,andemaximiserladistanceeuclidienne minimaleducodeST.

Lecompromisgainde multiplexage/diversité NousavonsvuquelescodesEspace-Tempsétaient construitsde façonàminimiserlaprobabilitéd'erreurparmotdecode.Pourcela,ilsdoiventatteindre une fortediversité(critèredurang)ets'approcherde ladiversité maximalexéeparlecanalMIMO et correspondantaunombred'antennesd'émissionmultipliéparlenombred'antennesderéception

(M

· N)

. Alors,pourundébit

R

xé,laprobabilitéd'erreurdiminueaveclerapportsignalàbruit

ρ

.ÀfortSNR,

P

e

décroîten

1

ρ

M ·N

.

D'unautrecôté,l'étudedelacapacitéergodiquedescanauxMIMOamisenévidencel'existenced'un gaindemultiplexage spatial

K

quiaugmentelacapacité ducanal. Ce gainde multiplexagecorrespond aunombrededegrésdelibertéducanal:

K = min(M, N )

.Àfortrapportsignalàbruit,nousavonsvu quelacapacité étaitéquivalenteà

K log

2

(ρ)

,soitl'équivalentde

K

canauxSISOenparallèle.

Un systèmede transmissionMIMO associé àuncodeST peutbénécier àla foisde ladiversité et d'ungaindemultiplexage,néanmoinslesdeuxrestentdicilesàconcilier:ladiversitéestobtenueàfort SNR,enayantxéledébit

R

,alorsquelegaindemultiplexagetraduituneaugmentationdelacapacité

etdoncuneaugmentationdudébit

R

utilisable.

Pourtraduirecela,[ZhengetTse,2003] ontintroduituncompromisentre lelegaindemultiplexage etlegaindediversité.Pourcela,nousnotonslegaindemultiplexagemaximal

r

max

= K = min(M, N )

etladiversitémaximale

d

m

ax = M

· N

.Nousnousplaçonstoujoursàfortrapportsignalàbruitetnous considéronsunpointdefonctionnementcorrespondantàundébit

R

.Lerendementnormalisé

r =

R

log ρ

représentelegaindemultiplexage.

r

estxéetledébit

R = r log ρ

augmenteavecleSNR,maisreprésente toujoursunemêmefractiondelacapacitéergodique.Àcerendementnormalisé

r

correspondungainde diversité

d =

_{− lim}

ρ→∞

log

2

(P

e

)

log

2

(ρ)

.

EnutilisantuncodeSTdelongueurtemporelle

T

≥ M + N − 1

,[ZhengetTse,2003]ontmontréque legaindediversitémaximalatteignableparlesystème pourungaindemultiplexagedonnéest

d(r) = (M

_{− r)(N − r) .}

Etlorsque

T

≤ M + N − 1

,[Zhenget Tse,2003]ontproposédesbornesinférieuresetsupérieuresdu gaindediversité

(r)

.

Dans le cas simple

M = N = 2

, la gure 1.1 illustre le compromis gain de multiplexage/diversité avecune diversité maximaleatteinte

d

max

= 4

pour

r = 0

et ungainde multiplexagespatial maximal

r

max

= 2

atteintpour

d = 0

.

Lagureprésenteaussilesperformancesducodeàrépétitionquiémetdeuxfoislemêmesignal:une premièrefois suruneantenne,puisl'intervalledetempssuivantsurl'autre antenne

X

=

"

x

1

0

0

x

1

#

.

Le code à répétition peut atteindre la diversité maximale

d

max

= 4

pour

r = 0

, mais son gain de multiplexage ne peut dépasser

r = 1/2

, car il ne transmet qu'un seul symbole sur deux intervalles temporels.

1.4 Les diérents codes ST cohérents

Gain de multiplexage spatial r = R/log(SNR)

Gain de diversité d(r)

Compromis optimal

Code à répétition

(0, 4)

(2, 0)

(1, 1)

(1/2, 0)

Fig.1.1Compromisgaindemultiplexage/diversitépour

M = N = 2

codesontété proposésdepuis1998.

Lagure(1.2)présentelesplusintéressants,ainsiqueleur"liation".Deuxfamilles decodesSTont toutd'abordétéprésentées,lescodesSTentreillisetlescodesSTenblocs.

Fig.1.3Codeentreillisà4

1.4.1 Codes ST en treillis

Les codesST en treillisontété les premierscodesST présentés par[Tarokhetal,1998]. Ces codes sont une adaptation des codes en treillis classiques (transmission mono-antennaire sur canal gaussien AWGN) auxsystèmes MIMO.A chaqueinstant, lestransitions dutreillissont codéespar lessymboles PSKtransmisparl'ensembledesantennesd'émission.

Lagure(1.3)présenteunexempledetreillisMIMOà

M = 2

antennesd'émissionpourune modula-tionQPSK.Sinousvoulonstransmettrelaséquence

{0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1}

,correspondantauxsymboles QPSK

{0, 2, 3, 1, 2}

ilfautalorstransmettrelemotdecodeST

X

=

"

0

0 2

3 1

0

2 3

1 2

#

.

La constructionde codesST entreillisvériantlescritèresdurang etdudéterminantpermet d'ob-tenirdescodesàdiversitémaximaleavecunfortgaindecodage.

Commepourlescodesentreillisclassiques,lescodesSTentreillissedécodentenutilisantl'algorithme deViterbi. Cetalgorithmecalculeen chaquenoeuddutreillislessommesdesmétriquesdesbranchesy parvenantet qui correspondent auxdiérentscheminspossibles. Ensuite, pour chaquenoeud, il sélec-tionnelecheminobtenantlapluspetitesomme.Malheureusement,lenombred'étatsdutreillisaugmente exponentiellement avec ledébit detransmission et le nombre d'antennesd'émission. La complexité du décodeurlimite doncrapidementlespossibilitésd'utilisationdescodesentreillis.

1.4.2 Les codes ST en couches

[Foschini,1996]atrèstôtétudiélacapacitédessystèmesMIMOauxBellLabsetaproposéuncodage Espace-Temps. Ce codage ST est structuré en diérentes strates d'où son appellation de code Spatio-Temporelencouches(LAST

17

),et soncodeSTencouchesdiagonalesseraensuitebaptiséD-BLAST 18

. Uneversionsimpliéeàcouchesverticales(V-BLAST)seraensuiteproposéepar[Wolnianskyetal,1998]. Le codage WST, présenté postérieurement par [CaireetColavolpe,2001], permet de regrouper les codesentreillisetencouchesdansunemêmefamille.

1.4.2.1 D-BLAST

Le codage D-BLAST a été conçu pour un système symétrique (

M = N

). La trame de bits d'in-formationest démultiplexéepourformer

M

sous-trames, lessous-tramesformant ensuitelesdiérentes couchesducode. Chaquesous-trameest codéeindépendammentparuncodecorrecteurd'erreur,avant d'être modulée(PSK ouQAM). Lessymboles dechaquetrame sontémis uneseulefois, maisl'antenne allouée à chaque sous-trame change de façoncyclique tous les

d

i

symboles. Les sous-trames occupent ainsilesdiagonalesducodeST.

Le décodage peut se faire à l'aide d'un égaliseur par retour de décision (DFE 19

) par suppression successived'interférence(SIC

20

)descouchesdéjàdécodées.Nousvoyons,pourcela,qu'ilestintéressant denepasfairedecodageentrelescouches.

NousvoyonsqueD-BLASTatteintlerendementmaximalde

M

symbolesparutilisationcanal(puc). Depluslecodagebinairedessous-couchespermetdefairetransiterunepartiedel'énergiedechaquebit d'informationsurl'ensembledescheminsentreles

M

antennesd'émissionetles

N

antennesderéception. La diversitémaximale

M

× N

est doncelle aussiatteinte.Malheureusement ledécodageest beaucoup tropcompliquéet D-BLASTn'estdoncpasutilisé.

1.4.2.2 V-BLAST

LasolutionD-BLASTserévélantdicilementexploitable,lesBellLabs[Wolnianskyetal,1998]ont construitunnouveaucodebeaucoupplussimple:V-BLAST.Cettefois,chaquecoucheestassociéeàune seuleantenneémettrice.V-BLASTestdoncunsimplesystèmenon-codéetpeutentrerdanslacatégorie descodesenblocsavec

T = 1

.

Le rendement est toujours plein avec

M

symboles puc, mais la diversité obtenue est uniquement une diversitéderéception(

d = N

).Commelecodagebinairedessous-tramesnepermet plusd'obtenirdela diversitéd'émission,il devientfacultatif.

Ledécodagepeutaussisefaireàl'aided'unégaliseurSIC,et commetouteslescouchessont équiva-lentes, nouspouvons décoder lescouchesde façonordonnée, decelle ayantle meilleur rapport signalà bruitàcelleayantlemoins bon.NousobtenonsainsiunSICavecordonnancement(OSIC).

17

LayeredSpace-Time 18

Diagonal-BellLaboratoriesLAST 19

DecisionFeedbackEqualiser 20

V-BLASTestsusammentsimplepourêtreutilisé,bienqu'ilnepossèdequeladiversitéderéception. Une solution V-BLAST à deux antennes d'émissionet trois antennes de réception est actuellementen ventesurlemarchégrandpublique.LechipsetestproduitparAirgoNetworksetestintégréparBelkin. LasolutionV-BLASTestaussil'unedestechniquesproposéespourlanormeMIMOWiIEEE802.11n.

1.4.2.3 Codes ST Wrapped

[Caire etColavolpe,2001]ontproposéuncodageSTWrapped 21

(WST)quipermet deconstruiredes codescouchesdegrandelongueur,sanspourautantprésenterunetropgrandecomplexité.Cettesolution utiliseununiquecodagebinairepourtoutelatramedebitsd'informationetlalongueurdumotdépend delalongueurducodagebinaire.

Cetteconstructionestremarquable,carelleenglobelescodesentreillispourquiledélaid'intercalage

d

i

est nul.Le code D-BLASTest obtenu enchoisissantun code binaire formé de laréunion des codes binairesindépendantsdechaquesoustrame.Sanscodagebinaireetavec

d

i

= 0

,nousretrouvonslecode V-BLAST.

1.4.3 Codes ST en blocs

Un codageEspace-Tempsenblocsdécoupelessymbolesàtransmettreenpaquetsdetaillexeet les incorporedansunmotdecodespatio-temporel

X

M×T

,luiaussidetaillexe.

Depuis1998,denombreusesconstructionsdecodesSTenblocsontétéproposées.Nousprésentonsici lescodesqui nousparaissentavoirapportécertaines"innovations"parrapport auxcodespréexistants. Les caractéristiquesde ces codesnous permettent d'observercertainesliationsentre lesfamilleset de suivrel'évolutiondescodesSTenblocs(gure1.2).

Le plus célèbre des codes ST en bloc est, sans doute,celui présenté par[Alamouti,1998]. C'est un codeEspace-Tempsàdeuxantennesd'émissiondontlastructureorthogonalepermetundécodagelinéaire simpleetastucieux.Deplus,ilpermetd'atteindreladiversitémaximale

M

× N

et ilapuêtregénéralisé àun plusgrandnombre d'antennes. Toutefois le code d'Alamouti est pénalisé par sonrendementde

1

symbolepucquinetirepaspartidesantennesmultiples.L'augmentationdunombrededegrésdeliberté passeparl'abandondelacontrainted'orthogonalité.

Lescodesàdispersionlinéaire(LD 22

)sontdescodesenblocsnon-orthogonaux,maisdontl'expression généralenepermetpasdetrouverfacilementdescodesintéressants.

L'utilisationd'outilsd'algèbrepermetlacréationdenouveauxcodes:lescodesalgébriques(AST 23

). Ces codesutilisent des constellations tournées,ce qui revientà augmenter ladimension algébriquedes constellations.

21

enveloppés 22

LinearDispersion codes 23

1.5 Codes ST orthogonaux

LescodesSTorthogonauxsontdescodesSpatio-Temporelsenblocsdonttouslesmotsdecodessont desmatricesorthogonales.Cette orthogonalitéest une contrainte trèsforte qui vafaciliterledécodage, maisquivaaussiempêcherl'augmentationdunombrededegrésdeliberté.

1.5.1 Le code d'Alamouti

LecodeSTconstruitpar[Alamouti, 1998]pourdeuxantennesd'émissionetuneantennederéception estoptimal. Ilregroupelessymbolesàtransmettre(PSKouQAM) parpaires

(s

1

, s

2

)

et lesplacedans lemotdecodecarré(

T = M = 2

)

X

=

"

s

1

−s

∗

2

s

2

s

∗

1

#

.

L'antennederéceptioncaptedoncsuccessivement

y

1

= h

1

· s

1

+ h

2

· s

2

+ w

1

et

y

2

=

−h

1

· s

∗

2

+ h

2

· s

∗

1

+ w

2

où

h

1

et

h

2

sontlescoecientsdecanauxentrelesantennesd'émissionetl'antennederéception.Lemot decodereçus'écritdonc

y

= [ y

1

y

2

] = [ h

1

h

2

]

·

"

s

1

−s

∗

2

s

2

s

∗

1

#

+ [ w

1

w

2

] .

En remarquantque

y

2

∗

= h

∗

2

· s

1

− h

∗

1

· s

2

+ w

∗

2

,

nouspouvonsintroduirelenouveaumotdecodeenréception

y

0

qui faitintervenir

"

s

1

s

2

#

y

0

=

"

y

1

y

2

∗

#

=

"

h

1

h

2

h

∗

2

−h

∗

1

#

·

"

s

1

s

2

#

+

"

w

1

w

∗

2

#

.

La transmission étant cohérente,

h

1

et

h

2

sont connus du récepteur et nous pouvons facilement construire

b

X

=

"

ˆ

x

1

ˆ

x

2

#

=

"

h

∗

1

h

2

h

∗

2

−h

1

#

· y

0

₌



_|h

1

|

2

+

|h

2

|

2



·

"

s

1

s

2

#

+

"

v

1

v

2

#

.

Comme les coecients

h

1

et

h

2

sont décorrélés, les bruits additifs

v

1

et

v

2

restent décorrélés. La constellationdessymboles

s

n'asubiqu'unedilatationde



|h

1

|

2

+

|h

2

|

2



etledétecteurMLestdoncun simpledétecteuràseuil.

Lorsquelerécepteurpossèdeplusieursantennes,ilsut defaireunMRC 24

encalculantlamoyenne des

X

b

j

calculéssurchaqueantenneréceptrice

j = 1...N

.

Avecuneseuleantennederéception,lecoded'Alamoutiestoptimal:ilatteintladiversitémaximale

M

_{× N = 2}

ainsiquelegaindemultiplexagemaximal

K = min(M, N ) = 1

symbole puc.

Parcontre,lorsque

N > 1

,siladiversitémaximale

M

× N = 2N

esttoujoursatteinte,lerendement restebloquéà1symbole puccommedanslecasd'unetransmissionSISO.

Bien qu'il ne permette pas d'augmenter le débit, le code d'Alamouti est utilisé sur de nombreux systèmesradio-mobilescommel'UMTS(release99)enmodeSTTD

25

,lanormeWiMaxIEEE802.16ou encoreleprojetdenormeMIMO pourleWiIEEE802.11n.

1.5.2 Codes orthogonaux de grande dimension

Des codesorthogonauxontétéproposéspourunnombred'antennesd'émission

M > 2

,en générali-santlecoded'Alamouti.

[Tarokhet al,1999] ontconstruit des codesorthogonaux réels àdiversité maximale pour n'importe quelnombred'antennes.Leurrendementestde

1

symboleréel puc,ce quien complexenedonnequ'un rendementde

1/2

symbole puc.

[Tarokhet al,1999]ontaussimontréqu'ilestpossibledetransmettre

K

symbolesd'informationdans unmotdecodeSTorthogonalcarrédetaille

M

×T = 2

K−1

_×2

K−1

.Lerendementducodeestalors

K

2

K−1

.

Parexemplelecodeorthogonal

4

× 4

proposépar[Tirkkonenet Hottinen,2002] s'écrit

X

=













s

1

−s

∗

2

−s

∗

3

0

s

2

s

∗

1

0

s

∗

3

s

3

0

s

∗

1

−s

∗

2

0

_−s

3

s

2

s

1













.

Les codesST orthogonaux, bien qu'étant facilesàutiliser et àdiversitémaximale, ne sont pastrès intéressantsenraisondeleursfaiblesrendements(inférieursouégauxà

1

symbolepuc),alorsquel'étude de lacapacité nous permet d'espérer unrendement pleinde

M

symboles puc. Nous devons doncnous aranchirdelacontrainte d'orthogonalitéqui assuraitpourtantundécodageremarquablementsimple.

1.6 Codes à dispersion linéaire

La généralisation des codes orthogonaux aux codes ST linéaires en blocs a été faite de façon for-mellepar[Hassibi etHochwald1,2002].Soitunsystèmedetransmissionà

M

antennesd'émissionet

N

24

MaximumRatioCombining 25

antennesde réception, uncodageà dispersionlinéaire(LD) delongueur temporelle

T

transmettrasur chaqueantenneetàchacundes

T

instants,une combinaisonlinéairede

Q

symbolesd'information.An d'atteindreladiversitémaximale,l'énergieallouéeàchaquesymboledevra êtredisperséesurl'ensemble desantennesd'émission.

Les

Q

symbolescomplexes(QAMouPSK)sedécomposentenpartiesréelleetimaginaire

s

q

= α

q

+iβ

q

. Lemotdecode

X

s'écritalorsdefaçongénérale

X

=

Q

X

q=1

α

q

A

q

+ iβ

q

B

q

.

(1.11)

LecodeLDdetaille

M

× T

estentièrementdéniparlechoixde

Q

etdes

2Q

matricesdedispersion

A

q

et

B

q

.Lecodeestlinéaireparconstruction,sonrendementestde

Q

T

symbolespuc.Commele rende-mentnepeutpasdépasserlacapacité ducanal(1.4),ilfaut prendre

Q

≤ K

,où

K = min(M, N )

estle nombrededegrésdelibertéducanalMIMO.Lecas

Q = K

correspondalorsaurendementplein.

L'expression (1.11) est une formulationtropgénérale pourpermettre deconstruire directementdes codesintéressants.Elleanéanmoinsl'avantagedeformaliserlaconstructiondescodeslinéaires enblocs etenglobedonclescodesorthogonauxet V-BLAST.

Lecoded'Alamoutipeutainsis'écrire

X

= α

1

"

1

0

0

1

#

+ i β

1

"

1

0

0

−1

#

+ α

2

"

0

1

−1 0

#

+ i β

2

"

0 1

1 0

#

.

NousallonsmaintenantprésentercertainsdesprincipauxcodesLD.Ilssontbaséssurdesconstructions algébriques.

1.7 Codes algébriques

Nousintroduisonstoutd'abordquelquesélémentsd'algèbre.Ilsnouspermettrontensuitedeconstruire notammentlescodesDAST, TASTet leGoldenCode.

1.7.1 Quelques notions d'algèbre

Nous dénissons quelqueséléments d'algèbre([Samuel,2003], [Rekaya,2004])qui serontutiles pour laconstructionultérieuredescodesSTalgébriques.

 Un nombre algébriquesur uncorps

K

est lasolution d'uneéquationpolynomiale

P (X) = 0

à coecientsdans

K

(

P (X)

∈ K(X)

).Un nombrenonalgébriqueest dittranscendant.