Limites continuité image d’un intervalle Bac Math
I) Limite d’une fonction 1) Rappel lim 𝑥→1(−𝑥 3+ 𝑥2+ 𝑥 + 1) = ⋯ lim 𝑥→+∞(−𝑥 3+ 𝑥2+ 𝑥 + 1) = ⋯ lim 𝑥→0 𝑥2+ 3𝑥 + 2 𝑥3− 1 = ⋯ lim 𝑥→1 𝑥 |𝑥 − 1| = ⋯ lim 𝑥→1 𝑥2− 3𝑥 + 2 𝑥2− 1 = ⋯ = ⋯ lim 𝑥→−∞ 𝑥2− 3𝑥 + 2 𝑥3− 1 = ⋯ lim 𝑥→6 √𝑥 + 3 − 2 𝑥 − 1 = ⋯ lim 𝑥→1 √𝑥+3−2 𝑥−1 = ⋯ … … lim 𝑥→+∞ √𝑥2 + 3 − 2 𝑥 − 1 = … …
2) Calcul d’une limite par encadrement ou comparaison
Théorème : Soit 𝑓 , 𝑔 et ℎ trois fonctions, 𝑎 ∈ ℝ ∪ {−∞ , +∞} et 𝑙 ∈ ℝ
Si ¤ pour tout réel x voisin de a on a :
𝒈(𝒙) ≤ 𝒇(𝒙) ≤ 𝒉(𝒙) ¤ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂𝒈(𝒙) = 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝒂𝒉(𝒙) = 𝒍 alors 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂𝒇(𝒙) = 𝒍 Exercice 1
1) a) Montrer que ∀𝑥 ∈ ℝ∗ on a : −𝑥2 ≤ 𝑥2sin (1 𝑥) ≤ 𝑥 2 b) En déduire lim 𝑥→0 𝑥 2sin (1 𝑥)
2) a) Montrer que ∀𝑥 ∈ ℝ+∗ on a : −𝑥 ≤ 𝑥 sin (1
𝑥) ≤ 𝑥 b) Montrer que ∀𝑥 ∈ ℝ−∗ on a : 𝑥 ≤ 𝑥 sin (1
𝑥) ≤ −𝑥 c) En déduire lim
𝑥→0 𝑥 sin ( 1 𝑥)
Corollaire :
Soit 𝑓 et 𝑔 deux fonctions et 𝑎 ∈ ℝ ∪ {−∞ , +∞} Si ¤ pour tout réel x voisin de a on a :
|𝒇(𝒙)| ≤ |𝒈(𝒙)| ¤ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂𝒈(𝒙) = 𝟎 alors 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂𝒇(𝒙) = ⋯ Exercice 2
1) Montrer que ∀𝑥 ∈ ℝ∗ on a : |𝑥 sin (1
𝑥)| ≤ |𝑥| 2) En déduire lim 𝑥→0 𝑥 sin ( 1 𝑥) Théorème :
Soit 𝒇 et 𝒈 deux fonctions et 𝒂 ∈ ℝ ∪ {−∞ , +∞}
* Si ¤ pour tout réel x voisin de a on a :
𝒇(𝒙) ≥ 𝒈(𝒙)
¤ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂𝒈(𝒙) = +∞
alors 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂𝒇(𝒙) = ⋯
* Si ¤ pour tout réel x voisin de a on a :
𝒇(𝒙) ≤ 𝒈(𝒙) ¤ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂𝒈(𝒙) = −∞ alors 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂𝒇(𝒙) = ⋯ Exercice 3
1) Montrer que ∀∈ ℝ on a : 𝑥 − 1 ≤ 𝑥 + cos 𝑥 ≤ 𝑥 + 1 2) En déduire lim
𝑥→+∞(𝑥 + cos 𝑥) et lim𝑥→−∞(𝑥 + cos 𝑥) 3) Limite d’une fonction monotone
Théorème :
Soit 𝒇 une fonction, 𝒂 ∈ ℝ ∪ {−∞} et 𝒃 ∈ ℝ
* Si 𝒇 est croissante et non majorée sur l’intervalle ]𝒂 , 𝒃[
resp sur ]𝒂 , +∞[
alors 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒃−𝒇(𝒙) = ⋯ resp 𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞𝒇(𝒙) = ⋯
* Si 𝒇 est croissante et majorée sur l’intervalle ]𝒂 , 𝒃[
resp sur ]𝒂 , +∞[
alors 𝒇 …
Théorème
Soit 𝒇 une fonction, 𝒂 ∈ ℝ ∪ {−∞} et 𝒃 ∈ ℝ
* Si 𝒇 est décroissante et non minorée sur l’intervalle ]𝒂 , 𝒃[
resp sur ]𝒂 , +∞[
alors 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒃−𝒇(𝒙) = ⋯ resp 𝐥𝐢𝐦𝒙→+∞𝒇(𝒙) = ⋯
* Si 𝒇 est décroissante et minorée sur l’intervalle ]𝒂 , 𝒃[
resp sur ]𝒂 , +∞[
4) Limite et ordre
Soit 𝑓 une fonction, 𝑎 ∈ ℝ ∪ {−∞} et 𝑙 ∈ ℝ
* Si pour tout réel 𝒙 voisin de 𝒂 on a :
𝒇(𝒙) ≥ 𝟎 ou 𝒇(𝒙) > 0
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂𝒇(𝒙) = 𝒍
alors 𝒍 …
* Si pour tout réel 𝒙 voisin de 𝒂 on a :
𝒇(𝒙) ≤ 𝟎 ou 𝒇(𝒙) < 0
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂𝒇(𝒙) = 𝒍
alors 𝒍 …
Activité
Soit 𝑓 et 𝑔 deux fonctions ; 𝑎 ∈ ℝ ∪ {−∞ , +∞} ; 𝑙 ∈ ℝ et 𝑙′ ∈ ℝ tel que pour tout réel 𝑥 voisin de 𝑎 on a : 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥)
lim
𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝑙 et lim𝑥→𝑎𝑔(𝑥) = 𝑙′ alors : ….
* pour tout réel 𝑥 voisin de 𝑎 on a :
𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) ≤ 0 ⇒ (𝑓 − 𝑔)(𝑥) … * lim
𝑥→𝑎(𝑓 − 𝑔)(𝑥) = lim𝑥→𝑎(𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)) = ⋯ d’où 𝑙 − 𝑙′… ⇒ 𝑙 … 𝑙′
Théorème
Soit 𝒇 et 𝒈 deux fonctions ; 𝒂 ∈ ℝ ∪ {−∞ , +∞} ; 𝒍 ∈ ℝ et 𝒍′ ∈
ℝ
Si pour tout réel 𝒙 voisin de 𝒂 on a :
𝒇(𝒙) ≤ 𝒈(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂𝒇(𝒙) = 𝒍 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂𝒈(𝒙) = 𝒍′ alors 𝒍 … 𝒍′ Exercice 4
Soit 𝑓 la fonction définie sur 𝐼𝑅 par
𝑓(𝑥) = {(1 + 1
𝑥−2) |𝑥 − 2| si 𝑥 ≠ 2 1 si 𝑥 = 2
Etudier la continuité de 𝑓 sur 𝐼𝑅 Exercice 5
Soit la fonction 𝑓 ∶ 𝑥 ↦ 𝑥+3 √|𝑥2+𝑥−6|
1) Déterminer le domaine de définition de 𝑓
2) Montrer que 𝑓 est prolongeable par continuité en −3 et déterminer son prolongement
Exercice 6
On considère les fonctions : 𝑓 ∶ ↦ 1+cos 𝑥
√𝑥 ; 𝑔 ∶ ↦
𝑥 𝑠𝑖𝑛4𝑥 2𝑥2+1 et
ℎ ∶ ↦ −𝑥3+ 3 sin 𝑥
1) Montrer que pour 𝑥 ≥ 1 les inégalités suivantes |𝑓(𝑥)| ≤ 2
√𝑥 ; |𝑔(𝑥)| ≤ 1
2𝑥2 et ℎ(𝑥) ≤ −𝑥
3 + 3 2) En déduire les limites en +∞ de ces fonctions Exercice 7
on considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 2𝑥 sin 𝑥 1+𝑥2 1) a) Montrer que por tout réel 𝑥, |𝑥𝑓(𝑥)| ≤ 2
b) En déduire lim 𝑥→−∞𝑓(𝑥) et lim𝑥→+∞𝑓(𝑥) 2) Déterminer lim 𝑥→−∞ (𝜋−2𝑥) cos 𝑥 1+(𝜋 2−𝑥) 2
II) Limite et continuité d’une fonction composée 1) Définition
Soit 𝒇 et 𝒈 deux fonctions, la fonction, notée 𝒈 𝝄 𝒇 ; et définie
par (𝒈 𝝄 𝒇)(𝒙) = 𝒈[𝒇(𝒙)] est dite une fonction composée des
fonctions 𝒇 et 𝒈
Exercice 8
On considère les fonctions 𝑓 et 𝑔 définies par ; 𝑓(𝑥) = √𝑥 − 2 𝑔(𝑥) = 1+𝑥𝑥2
1) Donner les domaines de définition de 𝑓 et 𝑔 2) a) Calculer (𝑔 𝜊 𝑓)(6) et (𝑓 𝜊 𝑔)(1)
b) Peut-on calculer (𝑔 𝜊 𝑓)(0) et (𝑔 𝜊 𝑓)(2)
3) Déterminer les domaines de définition des fonctions 𝑔 𝜊 𝑓 et 𝑓 𝜊 𝑔
4) Exprimer en fonction de 𝑥 ; (𝑔 𝜊 𝑓)(𝑥) et (𝑓 𝜊 𝑔)(𝑥) 2) Limite d’une fonction composée
Théorème
Soit 𝒇 et 𝒈 deux fonctions et 𝒂 ∈ ℝ ∪ {−∞ , +∞}
Si 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂𝒇(𝒙) = 𝒍 avec 𝒍 ∈ ℝ ∪ {−∞ , +∞} 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒍𝒈(𝒙) = 𝒍′ avec 𝒍′ ∈ ℝ ∪ {−∞ , +∞} alors : 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂(𝒈 𝝄 𝒇)(𝒙) = 𝒍′ Corollaire
Soit 𝒇 et 𝒈 deux fonctions et 𝒂 ∈ ℝ ∪ {−∞ , +∞}
Si 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂𝒇(𝒙) = 𝒍 avec 𝒍 ∈ ℝ
𝒈 est continue en 𝒍 alors : 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂(𝒈 𝝄 𝒇)(𝒙) = ⋯ Exemples
* Soit à calculer : lim
𝑥→+∞sin ( 1 𝑥) lim 𝑥→+∞ 1 𝑥 = ⋯
La fonction 𝑥 ↦ sin 𝑥 est continue en … donc lim
𝑥→+∞sin ( 1
* Soit à calculer : lim 𝑥→+∞cos ( 𝜋𝑥 𝑥+1) lim 𝑥→+∞ 𝜋𝑥 𝑥+1= ⋯ = ⋯ = ⋯ La fonction 𝑥 ↦ cos 𝑥 est continue en …
donc lim
𝑥→+∞cos ( 𝜋𝑥
𝑥+1) = ⋯ = ⋯ * Soit à calculer : lim
𝑥→+∞𝑥 sin ( 1 𝑥) lim 𝑥→+∞𝑥 sin ( 1 𝑥) =? On pose 𝑋 = 1 𝑥 lorsque 𝑥 → +∞ alors 𝑋 → ⋯ donc lim 𝑥→+∞𝑥 sin ( 1 𝑥) = lim𝑋→0… = ⋯ = ⋯ 3) Continuité d’une fonction composée
Activité
Soit 𝑓 et 𝑔 deux fonctions et 𝑎 ∈ ℝ.
Supposons que 𝑓 est continue en 𝑎 et 𝑔 est continue en 𝑓(𝑎) ¤ 𝑓 est continue en 𝑎 donc lim
𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = ⋯ ¤ 𝑔 est continue en 𝑓(𝑎)
donc lim
𝑥→𝑎(𝑔 𝜊 𝑓)(𝑥) = ⋯ = ⋯ donc la fonction 𝑔 𝜊 𝑓 est …
Théorème
Soit 𝒇 et 𝒈 deux fonctions et 𝒂 ∈ ℝ.
Si 𝒇 est continue en 𝒂
𝒈 est continue en 𝒇(𝒂)
alors 𝒈 𝝄 𝒇 est …
Conséquence
Soit 𝒇 et 𝒈 deux fonctions
Si 𝒇 est continue sur un intervalle 𝑰
𝒈 est continue sur un intervalle 𝑱
∀𝒙 ∈ 𝑰 ; 𝒇(𝒙) ∈ 𝑱
alors 𝒈 𝝄 𝒇 est …
Exemples Montrons que 𝑓: 𝑥 ↦ sin (𝑥2 +𝜋
4) est continue sur ℝ ¤ la fonction 𝑥 ↦ … est continue sur …
¤ la fonction 𝑥 ↦ … est continue sur … ¤ ∀𝑥 ∈ ⋯ on a …
donc 𝑓 est continue sur ℝ * Montrons que 𝑔: 𝑥 ↦ tan (𝜋
2𝑥) est continue sur ]−1 , 1[ ¤ la fonction 𝑥 ↦ … est continue sur …
¤ la fonction 𝑥 ↦ … est continue sur … ¤ ∀𝑥 ∈ ]−1 , 1[ on a : −1 < 𝑥 < 1 ⇒ −𝜋
2 < 𝑥 < 𝜋 2
⇒ …
donc 𝑔 est continue sur …
III) Image d’un intervalle par une fonction continue
Activité Dans chacun des cas suivants, déterminer l’image de l’intervalle par la fonction 𝑓.
𝑓([1 , 4]) = ⋯
𝑓([0 , +∞[) = ⋯
Théorème
¤ L’image d’un intervalle par une fonction continue est … ¤ L’image d’un intervalle fermé borné [𝒂 , 𝒃] par une
fonction continue est … où 𝒎 est le … et 𝑴 est le …
Image d’un intervalle par une fonction continue est strictement monotone
Soit 𝑓 une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle 𝐼. On a :
Forme de 𝐼
𝑓(𝐼)
𝑓 est strict 𝑓 est strict
[𝑎 , 𝑏] 𝑎 ∈ ℝ ; 𝑏 ∈ ℝ … … [𝑎 , 𝑏[ 𝑎 ∈ ℝ ; 𝑏 ∈ ℝ … … [𝑎 , +∞[ 𝑎 ∈ ℝ … … ]𝑎 , 𝑏] 𝑎 ∈ ℝ ; 𝑏 ∈ ℝ … … ]−∞ , 𝑏] ; 𝑏 ∈ ℝ … … Exercice 9
Soit la fonction 𝑓 définie par : 𝑓(𝑥) = 𝑥3− 3𝑥 + 1 1) Dresser le tableau de variation de 𝑓.
2) Déterminer les images par 𝑓 des intervalles : [−1 , 1] ;[1 , +∞[
IV) Etude des équations de la forme 𝒇(𝒙) = 𝒌 Activité
La droite 𝐷 ∶ 𝑦 = −1 coupe la courbe en 3 points donc l’équation 𝑓(𝑥) = ⋯ admet dans l’intervalle [−2 , 2] … solutions.
Théorème des valeurs intermédiaires
¤ Soit 𝒇 une fonction continue sur un intervalle [𝒂 , 𝒃] et 𝒌 un
réel compris entre 𝒇(𝒂) et 𝒇(𝒃).
Alors l’équation 𝒇(𝒙) = 𝒌 admet …
¤ Soit 𝒇 une fonction continue et strictement monotone sur
un intervalle [𝒂 , 𝒃] et 𝒌 un réel compris entre 𝒇(𝒂) et 𝒇(𝒃).
Alors l’équation 𝒇(𝒙) = 𝒌 admet dans [𝒂 , 𝒃] …
Corollaire
¤ Soit 𝒇 une fonction continue sur un intervalle [𝒂 , 𝒃].
Si 𝒇(𝒂) × 𝒇(𝒃) < 0 alors l’équation 𝒇(𝒙) = 𝟎 admet dans [𝒂 , 𝒃] …
¤ Soit 𝒇 une fonction continue et strictement monotone sur
un intervalle [𝒂 , 𝒃].
Si 𝒇(𝒂) × 𝒇(𝒃) < 0 alors l’équation 𝒇(𝒙) = 𝟎 admet dans [𝒂 , 𝒃] …
Corollaire
Soit 𝒇 une fonction continue sur un intervalle 𝑰.
Si 𝒇 ne s’annule en aucun point de 𝑰 alors 𝒇 garde … sur 𝑰
Exercice 10
Soit 𝑓 la fonction définie par : 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥 − 3
1) Montrer que l’équation 𝑓(𝑥) = −2 admet au moins une solution dans [0 , 1].
2) Montrer que l’équation 𝑓(𝑥) = 15 admet au moins une solution dans [0 , +∞[.
3) a) Montrer que l’équation 𝑓(𝑥) = −𝑥 admet dans [−1 , 1] une unique solution 𝛼.
