Champs scalaires en cosmologie: discussions sur les principes d'équivalence et cosmologique.

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principes d’équivalence et cosmologique.

Julien Larena

To cite this version:

Julien Larena. Champs scalaires en cosmologie: discussions sur les principes d’équivalence et

cosmologique.. Cosmologie et astrophysique extragalactique [astroph.CO]. Université ParisDiderot

-Paris VII, 2007. Français. �tel-00185582�

UFR DE PHYSIQUE

THESE pour l'obtention du diplme de

DOCTORAT

Spé ialité :

Champs, Parti ules, Matières

Présentée par

Julien Larena

Champs s alaires en osmologie :

Dis ussions sur les prin ipes d'équivalen e et

osmologique.

Dirigéepar Jean-Mi helAlimi

Soutenue le17Septembre 2007 devant le jury omposé de

M. Jean-Mi hel Alimi Dire teur de thèse

M. James Bartlett Président

M. Philippe Brax Rapporteur

M. Mi hel Cassé Examinateur

M. Edmund J. Copeland Rapporteur

M. Gilles Esposito-Farèse Examinateur

elleest l'idée : autre est le er le,autre l'idée du er le.

Je souhaiterais, en premier lieu, exprimer toute ma gratitude à Jean-Mi hel

Alimi pour avoira epté d'en adrer ette thèse etpour m'avoir formé, pas à pas,

à la démar he de re her he, dans un esprit de dis ussion libre. Ces trois années

m'ontouvert, au-delàde la osmologie, à de fabuleux questionnements.

Je tiens également à remer ier Thomas Bu hert, Jérme Pérez et Arturo Serna,

pour de fru tueuses ollaborationsetde très agréables é hanges,qui sont

indisso- iablesde es années de formationet, jel'espère, sepoursuivrontdans l'avenir.Je

suisaussiredevableauxmembresduLUTHqui,àtraversdefréquentesdis ussions,

m'ontaidé à onstruire mapensée, notamment: André Fuzfa,Pier-Stefano

Cora-saniti,JérmeCourtinettouslesmembresdu groupedegravitationrelativiste.Je

souhaitedemêmeexprimermare onnaissan eetmonamitiéàJean-Philippe

Bru-neton:sesremarquesetsonsensphysiquetoujoursenéveilm'ontbeau oupappris.

Je remer ie Philippe Brax et Edmund Copeland d'avoir a epté d'être les

rap-porteurs de ette thèse, ainsi que James Bartlett, qui a onsenti à être président

du jury, et enn Mi hel Cassé, Gilles Esposito-Farèse et Dominik S hwarz, pour

leur présen e dans lejury.

Je suis re onnaissant à Virginie Hababou et Stéphane Thomas de leur

dévoue-ment permanent et de leur bonne humeur, qui sont indispensables à la bonne

mar he du laboratoire,ainsi qu'àFabri e Roy, de sa disponibilitésans failleet de

sa patien e.

Mer i àtous euxdontl'amitiéest unejoieetun soutien onstants:Camille,Elie,

Ahmed, Elise, Fabienne, Erwann, Jean-Mi hel, Juliana,Katell, Romain, Vin ent,

lesdeuxThomas, ettous lesautres,quiontsouventsupporté,pour ertainsmême

auquotidien,mes sautesd'humeurpendantlapériode deréda tion de ettethèse.

Enn, je voudrais remer ier du fond du ÷ur mes parents qui m'ont toujours

en- ouragéàpoursuivredanslavoiequej'avais hoisie.Mare onnaissan eenverseux

La osmologie est a tuellement à un tournant de l'histoire de son

développe-ment. L'abondan e de données observationnelles diverses et pré ises a permis de

développer et de onrmer un modèle standard de on ordan e pour dé rire les

grandes é helles de l'Univers. Fort de e su ès, il devient ru ial d'interroger les

fondements de e modèle standard, an, notamment, d'é lai ir l'origine

d'envi-ron 90 % du ontenu énergétique de l'Univers, qualié de matière et d'énergie

sombres.

En lien ave le problème de l'énergie sombre, ette thèse se propose d'explorer,

à travers les propriétés dynamiques de hamps s alaires, deux prin ipes qui se

trouvent au ÷ur de la osmologie : lesprin ipes d'équivalen e et osmologique.

Le prin ipe d'équivalen e est abordé à travers les théories s alaire-tenseur de la

gravité,permettant d'intégrerla RelativitéGénéraledans un adrelarge de

théo-ries respe tant la version faible du prin ipe d'équivalen e tout en permettant de

tester sa version forte. Dans ette perspe tive, les propriétés dynamiques et les

onséquen es osmologiques de es théoriessont dis utées.

Le prin ipe osmologique quant à lui est reformulé; ses ontours sont redénis,

menant àlaformulationde modèles osmologiques diérentsdu modèlestandard,

par le biais des osmologies inhomogènesmoyennées. Ces modèles permettent de

prendreen omptede façon onsistantelastru turationàpetitesé hellesde

l'Uni-vers et son homogénéité aux grandes é helles, ouvrant ainsi la possibilité

d'expli-quer l'énergiesombre par laformationdes stru tures; ilest égalementpossible de

les mettre en orrespondan e ave l'apparition de hamps s alaires dans le adre

du modèlestandard.

Mots- lés : Cosmologie; théorie lassique du hamp gravitationnel; théorie

Cosmology is today at a turning point of its history. The diversity and high

pre isionofthemultipleobservationsavailablehaveledtotheemergen eofa

stan-dard on ordan e model that des ribes very well the large s ale stru ture of the

Universe. Nevertheless, the unknown natureof almost90 %of the energy ontent

of the Universe, the so- alled dark matter and energy, may be a sign that some

assumptions of the standard model are inadequate.

In this thesis, we explore, through the dynami al properties of s alar elds, two

assumptions at the heart of osmology : the equivalen e and osmologi al

prin- iples.

The equivalen e prin iple is studied thanks to s alar-tensor theories, so that

Ge-neral Relativity is embedded in a wider lass of theories that respe t the weak

equivalen e prin iple and allow to test its strong version. Both the dynami al

propertiesand osmologi al onsequen es (BigBangNu leosynthesis,Cosmi

Mi- rowave Ba kground, stru ture formation) of these theoriesare dis ussed.

Asforthe osmologi alprin iple,itisreformulatedand pre iselyredenedtolead

to new osmologi almodels dierent from the standard one, and alled averaged

inhomogeneous osmologies. These models providea self onsistent des ription of

stru tures on small s ales and of an ee tive homogeneous model for the large

s ales; this may be a way to explain dark energy through stru ture formation.

These models an also been put in orresponden e with the appearan e of s alar

elds in the standard model.

Keywords : Cosmology; lassi al theory of the gravitational eld;

Dansl'ensemblede et ouvrage, àl'ex eption de lase tionI.1.1 onsa réeaux

basesdelaRelativitéRestreinte, onsepla edansunsystèmed'unitésoùlavitesse

de lalumière

c

est posée égale à1.

Lorsque l'on traite des oordonnées et de la métrique d'espa e-temps, les indi es

représentés par des lettres de l'alphabet gre sont à valeurs dans

{0, 1, 2, 3}

,

l'in-di e

0

étant réservé à la oordonnée de genre temps; les indi es représentés par

des lettres de l'alphabet latin sont à valeurs dans

{1, 2, 3}

et sont réservés aux

oordonnées spatiales. La métrique de l'espa e-temps est toujours é rite ave la

signature

−+++

,andegarderune formedéniepositivepour sapartiespatiale.

Lesderivées ovariantes seront parfoisnotées

∇

,letyped'indi etraduisant la

na-ture spatialeou spatio-temporellede ette dérivée ovariante, d'aprèsles

onven-tions énon ées i-dessus :

∇

µ

désigneainsi une dérivée ovariantepour les

onne -tions de l'espa e-temps, alors que, dans le adre du formalisme 3+1,

∇

i

désigne

une dérivée ovarianteparrapportàlamétriqueriemannienneinduitesur l'espa e

uniquement. Les dérivées ovariantes par rapport à l'espa e-temps,

∇

µ

, et elles

seules, sont parfois abrégées par un point virgule. Par exemple, pour un ve teur

U

µ

:

U

µ

;ν

≡ ∇

ν

U

µ

.

De même, les dérivées partielle par rapport aux oordonnées d'espa e-temps,

sont parfois notées ave une virgule :

U

_,ν

µ

_≡

∂U

µ

∂x

ν

.

Enn, onnotera l'opérationde symétrisation de deux indi esd'un tenseur

U

µν

:

U

(µν)

≡

1

2

(U

µν

+ U

νµ

)

, et l'antisymmétrisation:

U

[µν]

≡

1

2

(U

µν

− U

νµ

)

.

Préambule iii

Remer iements iii

Résumé v

Summary vii

Notations et onventions ix

Table des matières xi

I Cosmologie : une introdu tion 1

1 Eléments de Relativité Générale 5

1.1 Relativité du mouvement : de Newton à Einstein . . . 6

1.2 Le prin iped'équivalen e . . . 12

1.3 Loide lagravitation . . . 16

2 Le modèle standard de la osmologie 21 2.1 L'Univers homogène etisotrope . . . 22

2.1.1 La distributionde matièreà grandeé helle . . . 22

2.1.2 Le prin ipe osmologique . . . 23

2.1.3 Espa es de symétrie maximale . . . 24

2.1.4 Les Univers de Friedmann . . . 26

2.2 Histoire thermiquede l'Univers . . . 33

2.2.1 Contenu de l'Univers . . . 33

2.2.2 Les diérentes ères . . . 35

2.2.3 L'Univers très primordial. . . 38

2.2.5 Dé ouplage etfond de rayonnement osmologique . . . 44

2.2.6 Stru turationà grandeé helle de l'Univers . . . 47

2.2.7 A élération tardive de l'Univers . . . 50

2.3 Lemodèle de on ordan e . . . 54

3 Au-delà du modèle standard 57 3.1 Ination . . . 57

3.2 Quintessen e. . . 62

3.2.1 Lesproblèmes de la onstante osmologique . . . 62

3.2.2 Laquintessen e . . . 64

II Le prin ipe d'équivalen e en osmologie : une explora-tion à l'aide des théories s alaire-tenseur de la gravité 67 4 Théories s alaire-tenseur 69 4.1 Pourquoi des théories s alaire-tenseur? . . . 69

4.1.1 Retoursur leprin iped'équivalen e . . . 69

4.1.2 Undétour par la physiquedes hautesénergies . . . 71

4.2 Formulation des théoriess alaire-tenseur . . . 73

4.2.1 Constru tions de l'a tion etéquations des hamps . . . 74

4.2.2 Transformation onformeet observables physiques . . . 77

4.2.3 Contraintes observationnelles . . . 79

4.3 Cosmologiess alaire-tenseur . . . 81

5 Dynamiques osmologiques 83 5.1 Les hamps s alairessans auto-intera tion . . . 84

5.2 Les hamps s alairesave auto-intera tion . . . 86

5.2.1 Méthode de Maupertuis-Ja obi . . . 86

5.2.2 Cosmologieave un hamp s alaire . . . 88

6 Eets osmologiques 93 6.1 Nu léosynthèse primordiale . . . 93

6.1.1 Modier lanu léosynthèse . . . 94

6.1.2 Unesolution auproblème du

7

Li . . . 96

6.2 CMBet stru tures . . . 107

6.2.1 Evolution des perturbations . . . 107

6.2.2 Solutionauproblèmedu

7

III Le prin ipe osmologique revisité 113

7 Constru tion d'un modèle osmologique 117

7.1 Retour sur lemodèle standard . . . 117

7.2 Cosmologie Observationnelle . . . 118

7.3 Cosmologie lissée . . . 119

8 Renormalisation 123 8.1 Lissage . . . 123

8.2 Flot de Ri i-Hamilton . . . 125

9 Une appro he par le hamp moyen 131 9.1 Cosmologies inhomogènesmoyennées . . . 131

9.1.1 Equations lo ales . . . 131

9.1.2 Modèle moyenné . . . 133

9.1.3 Fluidede poussière . . . 136

9.2 Etudes de quelques solutions . . . 140

9.2.1 Loisde puissan e . . . 140

9.2.2 Ba krea tion à partirdes perturbations . . . 143

9.2.3 Cal ul aupremierordre . . . 145

9.2.4 Cal ul audeuxième ordre . . . 146

9.3 Energiesombre etba krea tion . . . 149

9.3.1 Prin iped'une solution . . . 152

9.3.2 Le morphon . . . 157

9.3.3 Observables : quelques onsidérations . . . 162

IV Con lusion et perspe tives 167

10 Con lusion 169

11 Perspe tives 173

V Annexes 175

C Arti les 185

C.1 Arti le2 : Intégrabilité des modèles de Bian hi. . . 208

C.3 Arti le3 : Le morphon . . . 227

La osmologie est l'étude, en adrée par les prin ipes et le formalisme de la

physique, des lois régissant les très grandes é helles de la nature, 'est-à-dire e

quel'onappellel'Univers.Le on eptd'Univers estvaste etdésigneaumoinsdeux

objetsdiérents.Dansune première a eption,il signiel'ensembledu réel, la

to-talitéde e quiexiste. C'estuntermeenglobant,pluttvague,dontlasigni ation

physique demande à être pré isée, en général par l'adjon tion aux lois physiques

d'un ouplusieurs prin ipes d'originephilosophique. La deuxième signi ation du

mot,plus restreinte, on erneuniquementl'ensembledetouslesphénomènes

phy-siques a essibles à un observateur

1

donné dans un temps donné. Cette notion

de temps est en ore mystérieuse à e stade et devra être pré isée par la suite,

mais l'on voit que dans ette dénition de l'Univers, la notion d'âge est déjà

pré-sente :l'Univers apparaît omme un objet dynamique,puisqu'il est sus eptible,a

priori,d'évoluer, 'est-à-direde ne pas apparaître toujoursidentiqueàlui-mêmeà

un observateur donné.On appellegénéralement l'Univers de la se onde dénition

l'Universobservable,an de ledistinguerde eluide lapremière dénition,sensée

être plus généraleet engloberlase onde. Il est bienentendu possibleque lesdeux

notions oïn ident, et que l'ensemble des phénomènes de la nature se onfonde

ave l'ensemble de e qu'un observateur quel onque est apable d'observer. Cela

serait le as, par exemple, dans un Univers dans lequel la lumière se propagerait

instantanément dans l'espa e. Cependant, les lois de la physique ontemporaine,

et notamment la Relativité, ne favorisent pas e s énario, et nous verrons que la

notion d'Univers observable est apitale dans un modèle relativiste de la nature.

Dans lasuite de ettethèse nous réserverons, pour préserverla simpli itédu

pro-pos, le mot Univers à l'Univers observable, sauf s'il est fait mention expli ite du

ontraire. La osmologie moderne est fondée d'une part sur la Relativité

Géné-rale en tant que théorie lassique du hamp gravitationnel et d'autre part sur un

ensemble varié d'observations astrophysiques. Ces observations ouvrent

mainte-nant tous les domaines du spe tre éle tromagnétique, des rayons

γ

au domaine

infrarouge, et ont permis d'établir une vision ohérente de notre Univers dans le

adre d'un modèlestandard. Ce modèleest ditde on ordan e en e qu'ilpermet

de rendre ompte de la quasi totalité des observations astrophysiques a tuelles à

l'aide d'un nombre restreint de paramètres. Cependant, e nombre n'est restreint

que dans la mesureoùles loisde laphysique sont supposées valablesaux é helles

onsidérées, e qui permet de xer tous les paramètresde es lois àpartir des

ex-périen es réalisées sur Terre, indépendamment du ontexte osmologique. Il faut

souligneretgarderàl'esprit l'auda eintelle tuelle onsistantàextrapoler des lois

vériées aux é helles du système solaire jusqu'aux é helles de l'Univers dans son

1

L'observateur,i i,n'estabsolumentpaslimitéàunêtre ons ient.Ildoitêtre ompris omme

unpointdel'espa e auquelest atta héunensemble d'appareilsde mesure,ausens donnéà e

entier.

Cette thèse ommen e par un exposé du modèle standard de la osmologie,

qui, à défaut d'être exhaustif, se propose d'introduire les notions fondamentales

qui seront né essaires à la ompréhension des parties suivantes. C'est pourquoi il

m'a semblé né essaire d'insister sur les deux prin ipes autour desquels 'est

arti- ulé mon travail; le prin ipe d'équivalen e m'amenera à présenter su in tement

les idées physiques à l'origine de la formulation de la Relativité Générale, et la

présentation des modèles de Friedmann me permettra de formuler lairement le

prin ipe osmologique dans sa version forte, ainsi que de présenter un bref

rap-pel de l'histoire thermique de l'Univers et des prin ipaux phénomènes physiques

quiseront dis utés par lasuite. Enn, ette première parties'a hèvera sur

l'intro-du tion des hamps s alaires en osmologie. Nous verrons omment eux- i sont

apparus dans lemodèle standard dès qu'un problème y est apparu.Cela est sans

doute lié au double fait qu'ils sont simples à manipuler, tout en possédant une

phénoménologie très ri he.

Signalons dès à présent que les deux prin ipes dont traitera ette thèse sont

de natures assez diérentes et parti ipent ha un séparément d'un des deux

fon-dementsà la osmologie pré ités.

Le prin ipe d'équivalen e est une omposante essentielle de la stru ture de

l'in-tera tion gravitationnelle; ilest un adre de formulation de sa propriété entrale,

et, dès les débuts de la Relativité Générale, il a été un guide important pour sa

formulation. C'est pourquoi nous dirons que 'est un prin ipe premier : 'est un

prin ipede lagravitation, agissant au ÷ur de toutesses manifestations.

Leprin ipe osmologiquequant àlui,traite delafaçondontlesobservations

d'in-térêt osmologique s'organisent en un ensemble ohérent et ompréhensible par

le osmologiste. C'est un prin ipe d'organisationdes données empiriques dans un

hamp donné de la physique, la osmologie, et non de fondement premier ou

on-tologiquepour l'ensemblede laphysique

2 .

2

Signalons tout de même i i la tentative originale de Milne [1℄ de onsidérer le prin ipe

Eléments de Relativité Générale

Le euve du temps est un euvequi emporte ave soises rives. Celui qui voyage

semeut entre des parois xes, sur un solxe; mais parois etsol,de manière

imper eptible, sont très étroitementasso iés auxmouvementsdes voyageurs.

R. Musil,L'homme sans qualités, 1930.

Lepremierélément fondamentalde la osmologieest l'intera tion

gravitation-nelle. Si faible aux é helles mi ros opiques, elle jouit, à la diéren e des autres

intera tions, d'une parti ularité qui la rend déterminante aux grandes é helles,

notamment osmologiques : 'est une intera tion universelle, à portée innie non

é rantée. Universelle d'abord, ar tout les types d'énergie y sont soumis; et bien

plus, omme nous le verrons par la suite, en Relativité Générale, ils y sont tous

soumis de la mêmefaçon ( 'est leprin iped'équivalen e).

De plus, parmi les quatre intera tions fondamentales : forte, faible,

éle troma-gnétique et gravitationnelle, la première est à faibleportée (elle agitaux é helles

nu léaires) à ause du onnement des quarks et les eets de la deuxième sont

limités aux é helles atomiques par la masse importante de ses bosons-ve teurs.

Par onséquent, lesseulesintera tions àportée inniesontlagravitationet

l'éle -tromagnétisme. Cependant,l'éle tromagnétismeest uneintera tioné rantée :elle

admet, pour les orps éle triquement hargés, des harges positives et négatives,

si bien que, pour une parti ule-test située loin d'un objet onstitué d'un grand

nombre de orps hargés, et objet apparaîtéle triquement neutres. C'est e

phé-nomène qui explique que les orps ma ros opiques apparaissent éle triquement

neutre. On omprend don qu'aux é helles osmologiques, l'éle tromagnétismene

joue pas un grand rle ( e n'est ependant pas tout à fait vrai, et nous verrons

quelorsdes phasesoùl'Universest petit etàhautetempérature, e jugementdoit

être révisé).

Pour ommen er, il nous faut présenter rapidement les prin ipales

théoriegénéraliséedelaRelativitéareçu,depuis1916,biendesaménagementsqui

ontpermisderendre ettethéorie ompréhensibledansdestermesmathématiques

plusadaptésàsonin lusiondanslerestedelaphysiquemoderneouauxdivers as

d'appli ations.On pourra trouver de très bons développementssur es diérentes

formulations dans [2, 3, 4, 5℄.Dans le présent ouvrage, on se bornera à présenter

lesidées physiques qui ontamené à laformulation de la RelativitéGénérale.

1.1 Relativité du mouvement : de Newton à

Ein-stein

Dèsledébut desPrin ipiaMathemati aPhilosophiaeNaturalis,Newton, dans

les dénitions préliminaires explique les diéren es indispensables qu'il introduit

entretempsetespa esabsolusetrelatifs.Dufaitdeson importan eetdesa larté,

nous nous permettons de iter e texte in extenso

1 :

"I. Le temps absolu, vrai et mathématique, sans relation à rien

d'ex-térieur, oule uniformément, et s'appelle durée. Le temps relatif,

ap-parent et vulgaire, est ette mesure sensible et externe d'une partie

de durée quel onque (égale ou inégale) prise du mouvement : telles

sontlesmesures d'heures, de jours,de mois, et 'est e dontonse sert

ordinairementà lapla e du tempsvrai.

II. L'espa e absolu, sans relation aux hoses externes, demeure

tou-jourssimilaireet immobile.

L'espa e relatif est ette mesure ou dimension mobile de l'espa e

ab-solu, laquelle tombe sous nos sens par sa relation aux orps, et que

le vulgaire onfond ave l'espa e immobile. C'est ainsi, par exemple,

qu'un espa e, pris au dedansde la Terre oudans le iel, est déterminé

par lasituation qu'ila àl'égard de la Terre."

Ainsi, il existe un adre xe, dans lequel se meuvent les orps - 'est l'espa e

absolu-,etun adrexeparrapportauquel onmesurel'impermanen edes

phéno-mènes- 'est le tempsabsolu-. De façonmoderne,nous dirions quel'espa e-temps

absoluest la réunionde ladroite réelle

R

pour le tempsave l'espa e ve toriel

R

3

pourl'espa e

2

.Auseinde e adrexe,sedéroulentlesfaitsphysiques, quiontune

extensionetunedurée.L'extensionestlaportiond'espa eabsoluqu'ilso upentà

un instantdonné du temps,etladurée laportionde tempsabsoluqu'ils ouvrent

1

Latradu tionest elledeMmeduChâtelettellequepubliéeparDunod.Lesmotsenitalique

lesontdans ettetradu tion. 2

Et non l'espa e ve toriel

R

4

en e i que dans ette vision, temps et espa e ne sont pas

entre leurémergen e etleurn. Danslasuitede sa onstru tionmé anique,

New-ton in lut ensuite leprin ipede relativité de Galilée. Sil'on onsidère deux orps

notés1 et2en mouvementsre tilignesetuniformes parrapportà l'espa eabsolu,

ave des vitesses respe tives

~v

1

et

~v

2

, la vitesse du orps 2 relativement au orps

1 est donnée par

~v

2

− ~v

1

.Cela e omprend aisément sil'on munit l'espa eabsolu

d'un repère artésien d'origine

O

et que l'on nomme les orps 1 et 2, supposés

pon tuels

C

1

et

C

2

respe tivement. Alors, la vitesse de 2 relativement à 1 s'é rit

naturellement :

~v

_2|1

=

d

−−−→

C

1

C

2

dt

=

d

−−→

OC

2

dt

−

d

−−→

OC

1

dt

. (1.1.1)

Celapermetdedénirun ensemblederéférentielsprivilégiés,quenousappellerons

référentielsinertiels galiléens. C'est l'ensemble de tous les référentiels qui sont au

reposouen translationre tiligneetuniformeparrapportàl'espa eabsolu.Sil'on

onsidère deux de es référentiels

R

et

R

′

munis de repères artésiens,

(O, x, y, z)

et

(O

′

, x

′

, y

′

, z

′

)

, les transformations qui permettent d'exprimer les résultats de

mesures réalisées dans

R

′

en fon tion des résultats de mesures réalisées dans

R

sont appelées transformationsgaliléennes etsont données par :

t

′

= t + τ





x

′

y

′

z

′





= R





x

y

z





+ t~v

_R|R

′

+ ~a

, (1.1.2)

où

τ

est un réel,

~v

R|R

′

est la vitesse de

R

relativement à

R

′

,

R

une rotation

in-dépendante du temps, et

~a

le dépla ement de

0

par rapport à

O

′

à

t = 0

. On

noteraqu'un orpsaniméd'unevitesse

V

~

dansleréférentiel

R

possèdeune vitesse

~

V

′

= ~

V + ~v

_R|R

′

: 'est la loi galiléenne de omposition des vitesses. Les

transfor-mations (1.1.2)formentun groupe à 10paramètres, etsous-tendent le :

Prin ipe de Relativité de Galilée :

Toutes leslois delaphysiques'é riventdelamêmefaçon danstous lesréférentiels

inertiels galiléens.

Autrement dit, il est impossible, par une expérien e quel onque de distinguer le

reposdu mouvementre tiligneetuniforme (par rapportà l'espa eabsolu).La loi

de lamé anique de Newton :

m

d

2

_~x

dt

2

= ~

F (~x)

, (1.1.3)

tonienne est invariantepar tous les hangements de oordonnées galiléens. En

re-van he, on peut aisément onstater que leslois de l'éle tromagnétisme, formulées

parMaxwellne sont pasinvariantes par hangementsde oordonnées galiléens.La

physique, jusqu'au début du vingtième siè le, semble don soumise à une tension

formelle: bien quedes référentielssoitprivilégiéspar les loisde lamé anique, es

mêmesréférentielsne semblentjouerau unrleparti ulier quantàlaformulation

desloisgouvernantle omportementdu hampéle tromagnétique.Considérant e

dernier du point de vue inématique, on ne voit apparaître qu'une seule vitesse

ara téristique : la vitesse de propagation, ou élérité, des ondes libres asso iées

au hamp, notée

c

. Si l'éle tromagnétisme obéissait à l'invarian e galiléenne, on

s'attendraitdon àpouvoirappliquerlaloide ompositiondesvitesses àunrayon

lumineux:lavitesse d'unrayonlumineuxdevrait don variersuivantleréférentiel

àpartir duquel onobserve e rayon. Mi helsonen 1881, puis Mi helson etMorley

en 1887, ont réalisé des expérien es an de mettreen éviden e une telle variation

de la vitesse de la lumière. Grâ e à un interféromètre de Mi helson, ils ont tenté

de mettre en éviden e une diéren e de hemin optique entre la lumière se

pro-pageant dans la dire tion du mouvement de la Terre autour du Soleil, et elle se

propageant dans une dire tion orthogonale.Sans au un résultat. Il semblait don

quela lumièren'obéissait pas àla loigaliléenne de ompositiondes vitesses. Cela

fut interprété par Einstein ommeune défaillan e,non du prin ipede Relativité,

mais de la dénition des référentiels inertiels.Autrement dit, ilposa que les

réfé-rentielsàprivilégiern'étaitpaslesréférentielsen reposouenmouvementre tiligne

et uniforme par rapport à l'espa e absolu. Il lui fallait don dénir de nouveaux

référentielsinertiels.Pour ela,l'invarian ede lavitesse de lalumièreest un guide

e a e. Considérons en eet que deux observateurs sont en dépla ement relatif

re tiligne et uniforme. Soient

R

et

R

′

les référentiels atta hés à haque

observa-teur, et

~v

la vitesse de

R

′

par rapport à

R

. Nous supposerons, et nous verrons

parlasuitepourquoi elaest important,quelesréférentielssontspatio-temporels,

'est-à-dire dénis par

(O, t, x, y, z)

et

(O

′

, t

′

, x

′

, y

′

, z

′

)

. Considérons que les

ori-gines des deux systèmes de référen e,

O

et

O

′

oïn ident à l'instant

t = t

′

= 0

.

Soit alors un signal lumineux émis en

O = O

′

à l'instant initial

t = t

′

= 0

, et reçuen

P = (x, y, z) = (x

′

, y

′

, z

′

)

auxinstants

t

et

t

′

respe tivement danslesdeux

référentiels. L'invarian ede lavitesse de lalumière impose :

k~rk

2

= c

2

t

2

(1.1.4)

k~r

′

k

2

= c

2

t

′

2

, (1.1.5) où

~r = (x, y, z)

T

et

~

r

′

= (x

′

, y

′

, z

′

)

T

. Don , ona larelation:

k~rk

2

− c

2

t

2

_{= k~r}

′

k

2

− c

2

t

′

2

. (1.1.6)

L'invarian e de

c

modie don les symétries fondamentales : dans le as galiléen,

les transformations laissant les lois invariantes laissaient la norme des ve teurs

spatiaux invariante; désormais, l'invarian e fait intervenir un mélange des

oor-données spatialeset de la oordonnée temporelle. C'est pourquoi nous avions

au-torisé le temps de par ours à ne pas être le même dans les deux référentiels. An

de satisfaire à la onstan e de la vitesse de la lumière, nous sommes don

obli-gés d'abandonner l'idée d'un temps absolu, et de dénir les référentiels dans un

espa e-temps étendu, d'où la notation

(O, t, x, y, z)

pour un référentieldonné. Le

quadruplet

(t, x, y, z)

est appelé un évenement

3

. Il nous faut alors un moyen de

mesurer la"distan e" entre deux évenements. Dansle as galiléen,ladistan e

eu- lidienne lassique, fondée sur le produit s alaire standard de

R

3

, est invariante

sous lestransformations(1.1.2).Désormais,l'invarian edelavitesse de lalumière

implique l'existen e de l'invariant (1.1.6), don , par analogie, on dénira la

"dis-tan e" entre deux évenements grâ e àla forme

d

dénie par :

R

4

_{→ R}

(t, ~x) 7→ d(t, ~x) = k~xk

2

− c

2

t

2

= x

2

+ y

2

+ z

2

_{− c}

2

t

2

. (1.1.7)

R

4

muni de la forme

d

est appelé espa e de Minkowski. Sur et espa e, on a

l'habitude d'introduire l'élément de distan e diérentiel entre deux évènements

inniment pro hes

(t, x, y, z)

et

(t + dt, x + dx, y + dy, z + dz)

:

ds

2

_{= −c}

2

dt

2

+ dx

2

+ dy

2

+ dz

2

, (1.1.8)

ainsi qu'une notation ovariante pour les oordonnées. Un ve teur de l'espa e

de Minkowski

(t, ~x)

, appelé 4-ve teur (ou quadrive teur), sera noté

x

µ

pour

µ ∈

{0, 1, 2, 3}

et

x

0

_{≡ t}

,

~x ≡ (x

1

_{, x}

2

_{, x}

3

₎

. En introduisant le tenseur symétrique

η

µν

tel que

η

00

= −1

,

η

ij

= δ

ij

,

∀(i, j) ∈ {1, 2, 3}

2

, et

η

0i

= 0

,

∀i ∈ {1, 2, 3}

, on a

ds

2

_{= η}

µν

dx

µ

dx

ν

.

η

µν

est la métrique de Minkowski. Les transformations laissant

et élément de distan e invariant nousdonneront l'équivalentdes transformations

galiléennes pour le nouveau prin ipede Relativité. Ces transformations,appelées

transformations de Lorentzinhomogènes sont données par :

x

′

α

= Λ

α

_β

x

β

+ a

α

, (1.1.9)

où

a

α

est un quadrive teur onstant et

Λ

α

β

un tenseur

(1, 1)

onstant vériant :

Λ

α

_γ

Λ

β

_δ

η

αβ

= η

γδ

. (1.1.10)

3

nota-Le groupe formé par es transformations est dit groupe de Poin aré 4

, et le

sous-groupe ave

a

µ

_{= 0}

s'appelle le groupe de Lorentz homogène. Les sous-groupes

de es groupes dont les éléments vérient

Λ

0

0

≥ 1

et

det Λ = 1

sont dits propres;

e sont lessous-groupes onnexes àl'identité.Le sous-groupe des transformations

de Lorentz homogène propre ontient deux sous-groupes remarquables : elui des

rotations, et elui des "boosts". Lesrotations sont obtenues par :

Λ

0

0

= 1

,

Λ

0

i

= Λ

i

0

= 0

,

Λ

i

j

= R

i

j

, (1.1.11) où

R

i

j

représentent les éléments d'une matri e orthogonale de

M

n

(R)

. Ainsi, le

groupede Lorentzhomogènepropre omprendlestransformationsgaliléennes

(ro-tations et translations). Les "boosts" quant à eux sont une nouvelle lasse de

transformations prenant en omptela vitesse relative de deux référentiels. Soient

deux observateurs

(O, x

µ

₎

et

(O

′

, x

′

µ

₎

,

O

ayant une vitesse

~v

relativement à

O

′

.

D'après (1.1.9) appiquéeaux éléments innitésimaux de oordonnées, le

dépla e-ment spatio-temporelde

0

s'é rit

dx

′

_µ

= Λ

µ

ν

dx

ν

, ave

d~x = 0

, don :

dt

′

= Λ

0

₀

dt

,

dx

′

_i

= Λ

i

₀

dt

; (1.1.12) or

d ~

x

′

dt

′

= ~v

, e quipermetd'é rire:

Λ

i

0

= v

i

Λ

0

0

.De plus,la relation(1.1.10)permet d'é rire:

c

2

(Λ

0

₀

)

2

₋

3

X

i=1

(Λ

i

₀

)

2

= c

2

. (1.1.13)

Endénissantlefa teurde Lorentz

γ ≡ 1/p(1 − k~vk

2

_/c

2

₎

,lasolutiondu système

(1.1.12)-(1.1.13)est donnée par :

Λ

0

0

= γ

,

Λ

i

0

= γv

i

. (1.1.14)

Restent à déterminer les autres omposantes; elles- i ne sont pas dénies de

façon unique étant donné que toute rotation d'un des sytèmes de référen e laisse

lasituationinvarianteen e qui on erne lavitesse.Le hoix habituelquel'on fait

an de satisfaire (1.1.10) onsiste à poser :

Λ

0

_i

= Λ

i

₀

et

Λ

i

j

= δ

j

i

+

γ − 1

k~vk

2

v

i

_v

j

. (1.1.15)

Onremarqueque estransformationsseréduisentauxtransformationsgaliléennes

pour des vitesses

k~vk

faibles devant la vitesse de la lumière

c

. Cela lt notre

4

On peut montrer [6℄ que les représentations irrédu tibles du groupe de Poin aré sont

a-ra tériséespar deux nombres

(m, s)

,

m

étant réel et

s

entierou demi-entier. Cela fournit une interprétation du on ept departi ule relativiste ommereprésentationirrédu tible dugroupe

dis ussion des bases de la inématiquerelativiste. Al'aide de es transformations,

nous pourrons alors dé rire tous les phénomènes physiques par les mêmes lois

dansl'ensembledesréférentielsinertielssedéduisantlesuns desautresgrâ eàdes

transformations de Lorentz. Ainsi, la dénition de la for e relativiste exer ée sur

une parti ulede masseinertielle

m

repéréepar les oordonnées

x

µ

,obtenue par la

loi de ladynamique de Newton,s'é rira, dans es référentiels:

F

µ

_{= m}

d

2

x

µ

dτ

2

, (1.1.16)

où

τ

est le temps propre de la parti ule est invariant sous les transformations de

Lorentz, et est donné par

c

2

_dτ

2

_{= −η}

µν

dx

µ

dx

ν

.

Il nous faut maintenant introduire les notions d'énergie et d'impulsion d'une

parti ule relativiste. La relation (1.1.16) suggère une déniton pour la

quadri-impulsiond'une parti ulede masse

m

:

p

µ

_{≡ m}

dx

µ

dτ

. (1.1.17) Alors,on a:

p

0

_{= mγ ≡}

E

c

2

et

p

i

_{= mγv}

i

. (1.1.18)

E

est alors l'énergie de la parti uleet

p

i

son impulsion

5

. De plus, on voit àpartir

de ladénition que l'on a larelation:

η

µν

p

µ

p

ν

= −m

2

c

2

soit

E

2

= k~pk

2

c

2

+ m

2

c

2

. (1.1.19)

Pour nir, on introduit également le tenseur énergie-impulsion

T

µν

, qui donne

la densité

T

0µ

et le ourant

T

µi

asso iés à la quadri-impulsion d'un ensemble de

parti ule ou d'un hamp. Si l'on prend en ompte l'ensemble des orps matériels

et leurs intera tions, e tenseur est onservé, 'est-à-dire :

∂T

µν

dx

µ

= 0

. (1.1.20)

Pour un systèmede

n

parti ules libres, on apar exemple :

T

µν

=

n

X

k=1

Z

dτ p

µ

_k

dx

ν

k

dτ

δ

4

_(x

ρ

− x

ρ

i

)

. (1.1.21) 5

Celapeutsevoirendéveloppant esexpressionsauvoisinagede

v/c ∼ 0

:

E = mc

2

_+mk~vk

2

_/2

et

p

i

_{= mv}

i

1.2 Le prin ipe d'équivalen e

Danslase tionpré édente, nousavons su in tementprésentélesprin ipesde

la relativité du mouvement pour des orps en mouvement relatif de translation

re tiligne et uniforme. Nous avons vu que la physique devait être formulée dans

le adred'un espa e-tempsunié, l'espa equadridimensionnelde Minkowski dans

lequel l'invariantde "longueur"est donnépar la forme(1.1.7).Les loisde la

phy-siquesont alors formulées de façon ovariante dans et espa e-temps; 'est-à-dire

qu'elles s'é rivent de la même manière dans tous les référentiels se déduisant les

uns des autrespar lestransformations d'inertie, ditestransformationsde Lorentz.

C'est en parti ulier le as de l'éle trodynamique, 'est-à-dire la dynamique des

orps éle triquement hargés

6

. Cependant, il manque à notre des ription un

der-nier pas : dans des référentiels dont le mouvement relatif n'est pas re tiligne et

uniforme,lesloisde laphysiquene seformulentpasde façonéquivalente. Parvenir

àune des ription uniée quelque soitlemouvementrelatif des observateurs est le

but de la Relativité Générale; mais an de formuler ette dernière, il faut avant

tout é lair ir une propriété fondamentale des orps, qui fait le lien entre e

pro-blèmederéférentielsa élérésetlagravitation:l'équivalen edesmassesinertielle

et pesante. Galilée, à l'aide d'un plan in liné puis de pendules, en utilisant une

lepsidre pour mesurer le temps, avait misen éviden e une propriété troublante :

les orps lâ hés d'une hauteur donnée, tombent de la même manière ( 'est-à-dire

qu'ilsarriventausolen mêmetemps),indépendammentdeleur ompositionetde

leurmasse

7

.Newton,enformulantsadeuxièmeloi,selaissalalibertéde distinguer

deux on epts de masse :

 Lamasseinertielle

m

i

quiest la apa ité d'un orpsàrésisteraumouvement

qu'on luiimprimepar une for eextérieure. C'est ellequi intervientdans la

deuxièmeloi:

F = m

~

i

~a

,etquitraduitla onversion entrefor eextérieure et

a élérationdu orps; plus elle est grande plus il faut une for e importante

pour modier lemovement d'un orps.

 La masse gravitationnelle

m

g

, qui est la " harge" gravitationnelle,

'est-à-6

Commenous l'avonsvu, 'est leproblème de lavitesse dela lumière qui a motivé

l'intro-du tion de ette nouvelle relativité. Ilest don normalque les lois de l'éle trodynamique,qui

traitentdel'intera tiondu hampéle tromagnétiqueave lesparti ules soient ovariantesdans

eformalisme. 7

Cela n'est évidemment pas vrai sur Terre, où l'atmosphère a tendan e à freiner les orps

diéremment suivant leur masse; ependant, l'utilisation d'un plan in liné, en ralentissant la

hute, permet de s'abstraire susamment de la fri tion de l'air pour mettre en éviden e le

résultat.L'utilisationdependuleesten orepluse a e arellepermetégalementdes'abstraire

delafri tionduplan in liné, et pendantlespremièresos illations,lafri tionde l'airpeutêtre

négligée,lependule étantalorsquasimentharmonique.Lefait quelafréquen ed'os illationdu

dire la omposante d'un orps qui réagit au hamp gravitationnel (masse

gravitationnelle passive) ou qui le produit (masse gravitationnelle a tive).

En toute généralité, les masses gravitationnelles a tive et passive peuvent

aussi être distinguées, mais nous ne rentrerons pas dans ette subtilité par

la suite 8

.

En posant dans les Prin ipia que la for e gravitationnelle ressentie par un orps

soumis au hamp

~g

d'un autre orps était proportionnelleà samasse

gravitation-nelle, et en utilisant sa deuxième loi, Newton put alors é rire que l'a élération

d'un orps dans un hamp de pesanteur était :

~a =

 m

g

m

i



~g

. (1.2.1)

Il repritalors lesexpérien es de Galiléeave des pendulesde mêmelongueur mais

de ompositionsdiérentes,etneparvintpasàmettreen éviden eunequel onque

diéren e entre leurs périodes. Il en on lut don que

m

i

et

m

g

était égales à un

fa teurmultipli atifprèsindépendantdu orps onsidéré.Poser efa teurégal à

1

est alorsleplussimple(lavaleurde e oe ientn'étantpas mesurabled'après e

que l'on vient de dire, et orrespondant simplement à une redénition des unités

de hamp et d'a élération). Eötvös tenta plus tard de tester e résultat à l'aide

d'un autre dispositif onstitué d'un pendule de torsion auquel il avait suspendu

deux orpsde ompositionsdiérentes. Ilparvintàmontrerquelerapport

m

i

/m

g

ne varie pas de plus de

10

−9

d'un orps à l'autre. L'équivalen e des masses

iner-tielleetgravitationnellesetrouvaitalorssuperbementvériée,etlaloide Newton

rendait ompte des observations de Galilée. Cependant, ette équivalen e restait

un mystère. SuivantEinstein dansses réexions, onsidéronsun observateur situé

dans un as enseur au sommet d'un immeuble. A un instant donné, une personne

extérieure oupele ablequiretientl'as enseuret elui- iseretrouveen hutelibre

(onnégligelesfrottementsdel'air),ave notreobservateuràl'intérieur.Supposons

que le hamp de gravité de la Terre

~g

est statique et homogène dans l'ensemble

de l'espa e o upé par l'as enseuret son intérieurau ours du mouvement. Alors,

é rivant ladeuxièmeloi de Newton respe tivement pour l'as enseur de masse

m

A

etl'observateurdemasse

m

Obs

,ontrouvera queleursa élérationssontidentiques,

en a ord ave le prin ipe d'équivalen e. Ainsi, l'observateur, parti ave la même

vitesseinitialequel'as enseur,seraenreposparrapportàluiduranttouteladurée

du mouvement et sera in apable de per evoir le hamp de gravitation extérieur.

En allantun peu plus loin, imaginonsque l'observateur réalise une expérien e au

ours de la hute libre, par exemple une expérien e d'éle trostatique, à l'aide de

n

parti ules hargées de masse

m

i

.Du point de vued'un observateur situé ausol,

dans un référentiel

(O, ~x)

atta hé à e dernier,la loide la dynamique s'é rit :

8

∀i ∈ {1, 2, ..., n}

,

m

i

d

2

_~x

i

dt

2

= m

i

~g + ~

F

i

, (1.2.2)

où

F

~

i

est la résultante des for es agissant sur la parti ule

i

. Le hangement

de oordonnées qui permet de se ramener au référentiel

(O

′

, ~

x

′

)

dans lequel

l'ob-servateur qui est dans l'as enseur est au repos est obtenu grâ e à l'équation du

mouvementde et observateurpar rapportauréférentiel

(O, ~x)

,etest donnépar :

~

x

′

= ~x −

1

2

t

2

_~g

. (1.2.3)

C'estun hangementde oordonnéesnongaliléen.Dans esnouvelles oordonnées,

laloi de la dynamiquepour lesparti ules de l'expérien es'é rit alors :

∀i ∈ {1, 2, ..., n}

,

m

i

d

2

~x

′

i

dt

2

= ~

F

i

(x

′

k

)

. (1.2.4)

Autrement dit, l'observateur en hute libre est in apable, par une expérien e de

physique quel onque, de mettre en éviden e la présen e du hamp gravitationnel

extérieur. Le prin ipe d'équivalen e d'Einstein onsiste à généraliser le résultat

pré édent en serestreignantà uneportionde l'espa esusammentfaible,etàun

tempssusamment ourtpourque,sur es é helles,n'importequel hampde

gra-vitationpuisse être vu ommehomogène etstatique. Cela permet alors d'énon er

leprin ipelo al suivant :

Prin ipe d'équivalen e d'Einstein:

En haque point de l'espa e-temps, en présen e d'un hamp de gravitation

arbi-traire, il est possible de hoisir un système de oordonnées lo alement inertiel,

desorte qu'au voisinagede e point, les loisde laphysique puissentêtre formulées

omme en l'absen e de hamp de gravitation.

Bien sûr, fort des résultats de la Relativité Restreinte, nous savons qu'il nous

faut dénir les référentiels inertiels non par rapport aux transformations de

Ga-lilée, mais par rapport aux transformations de Lorentz. Leprin iped'équivalen e

dans ette forme"ultime"armedon qu'en présen e d'un hamp gravitationnel

quel onque, on peut toujours trouver une portion d'espa e-temps susamment

"petite" pour pouvoir formuler, au sein de ette portion les lois de la physique

dans un référentiel dans lesquelles elles prennent la forme qu'elles ont en

Relati-vité Restreinte. Pour aller en ore plus loin, notons que pour annuler le hamp de

gravitationde l'expérien epré édente, nous avons utilisé un hangement de

un repère inertiel

e

µ

danslequellaparti uleest libre.Dans e repère,sonéquation

du mouvement s'é rit:

d

2

_e

µ

dτ

2

= 0

, (1.2.5)

oùl'onaintroduitletempspropredelaparti ule

dτ

2

_{= −η}

µν

de

µ

de

ν

.Parextension

de l'exemplepré édent,plaçons-nousdans un système de oordonnéesquel onque

x

µ

, obtenu à partir de

e

µ

par une transformation arbitraire

x

µ

_(e

ν

₎

. L'équation

(1.2.5) s'é rit alors,après quelques manipulations:

d

2

_x

σ

dτ

2

+ Γ

σ

µν

dx

µ

dτ

dx

ν

dτ

= 0

(1.2.6) ave

Γ

σ

µν

=

∂x

σ

∂e

α

∂

2

_e

α

∂x

µ

_∂x

ν

, et letemps propre :

c

2

dτ

2

_{= −g}

µν

(x

ρ

)dx

ν

dx

ν

(1.2.7) ave

g

µν

(x

ρ

_{) =}

∂e

α

∂x

µ

∂e

β

∂x

ν

η

αβ

.

Une personne familiarisée ave les mathématiques de la n du XIX

ème siè le

(telles que nous les formulons aujourd'hui), et en parti ulier ave la géométrie

diérentielle remarque immédiatement la stru ture à laquelle nous arrivons :

g

µν

est exa tement lamétrique d'une variétédiérentiable de dimension 4lo alement

diéomorphe à un espa e-temps de Minkowski, et

Γ

α

µν

est la onne tion ane

asso iée. La onnaissan e de la métrique en un point parti ulier

X

de la variété

et dans un système de oordonnées quel onque permet alors de déterminer les

oordonnées

e

µ

auvoisinagede

X

: e sont les oordonnées asso iées à la base de

l'espa e tangent à la variété en

X

. En faisant en ore une fois une analogie ave

(1.2.3),rappellonsquedans e as,le hangementde oordonnéesétaitentièrement

déterminéparle hampgravitationnel

~g

;onpeut don supposerquetousleseets

de la gravitation sont traduits par la métrique

g

µν

9

. Cela mène alors à la vision

moderne de la gravitation lassique :notre espa e-temps peut être dé rit par une

variété diérentiable à quatre dimensions lo alement diéomorphe à l'espa e de

Minkowski,leseetsde lagravitationétantlereetdespropriétésgéométriquesde

ettevariété.Danslasuite,onsupposera onnueslesnotionsdebasesdegéométrie

diérentielle, en parti ulier les notions de variété, espa es tangent et otangent,

dérivée ovariante (ou transport parallèle). Pour une introdu tion à e sujet, on

pourra se reporter auxouvrages lassiques ommepar exemple [7℄.

9

La onne tion ane peut être déduite de la métrique après quelques manipulations

algé-briques:

Γ

α

µν

=

1

2

g

αρ



_∂g

ρν

dx

µ

+

∂g

µρ

dx

ν

−

∂g

µν

dx

ρ



.

1.3 Loi de la gravitation

Lavisiongéométrique introduite i-dessus permetde généraliser leprin ipede

Relativité. En eet, une variété diérentielle peut être dé rite de façon

indépen-dantedes oordonnéesquel'onintroduiten onstruisantunatlassur ettevariété.

Nous avons vu qu'en Relativité Restreinte existait une notion de ovarian e, les

loisdephysiqueprenantlamêmeformedanstoutsystèmede oordonnéesinertiel.

Notre espa e-temps étant maintenant vu omme une variété nous pouvons

géné-raliser ette invarian een introduisant le:

Prin ipe de ovarian e généralisée :

Les loisde laphysiqueprennentlamême formedans toutsystème de oordonnées,

qu'il soit inertiel ou non.

Ce prin ipe est l'a hèvement du relativisme de la formulation de la physique en

e i qu'il fait disparaître la notion d'observateur privilégié : les observateurs

me-surentdes hosesdiérentes,maislesloisqu'ilsdoiventappliquerpour omprendre

leur mesure ont une formulation universelle, qu'ils n'ont plus qu'à parti ulariser

en pré isant leur référentiel, 'est-à-dire leur état de mouvement relatif les uns

par rapportaux autres. Dans e adre,les observateurs inertiels ne sont plus que

lesobservateurs parti uliers dont l'état de mouvement orrespond à la hute libre

dansle hampdegravitation, 'est-à-direque esont euxdontl'équationdu

mou-vementest l'équationdes géodésiquesde l'espa e-temps (1.2.6).Pour formulerles

lois de la physique de façon ovariante, il sut alors (ave quelques pré autions

de symétrisation des lois)de rempla er dans leslois formulées dans un référentiel

inertiellamétriquede Minkowski

η

µν

par lamétriquedelavariétéd'espa e-temps

g

µν

,et lesdérivées partiellespar des dérivées ovariantes

∇

µ

10

.

Pour lore e hapitre il ne reste plus qu'à établir les lois de la gravitation,

'est-à-dire les équations permettant de al uler la métrique de l'espa e-temps.

Dans lasuite, nous poseronspartout

c = 1

. Commençons par onsidérer la limite

newtoniennede lathéorieen examinantla hute libred'uneparti ulenewtonienne

dans un hamp de gravitation statique. Dans e adre, la parti ule est supposée

avoir une vitesse faible devant la vitesse de la lumière, 'est-à-dire

kd~x/dτk ≪ 1

.

alors, l'équation(1.2.6) devient :

d

2

_x

µ

dτ

2

+ Γ

µ

00

 dt

dτ



2

= 0

(1.3.1)

Le hamp gravitationnel étant statique, si l'on retient l'équivalen e entre hamp

de gravitationet métriquede l'espa e-temps, ladérivée temporelle de lamétrique

10

s'annuleet:

Γ

µ

₀₀

_{= −}

1

2

g

µα

∂g

00

∂x

ν

. (1.3.2)

De plus, l'approximationnewtonienne revient égalementà supposer que le hamp

gravitationnelest faible.onpeut alors dé omposerla métriqueen une partie

min-kowskienne perturbée :

g

µν

= η

µν

+ h

µν

ave

h

µν

un tenseur

(0, 2)

dont toutes les

omposantes sont petites devant

1

(en valeur absolue). Alors,aupremierordre en

h

µν

,les équations(1.3.1) deviennent :

d

2

_~x

dτ

2

=

1

2

 dt

dτ



2

∇h

00

(1.3.3)

d

2

_t

dτ

2

= 0

. (1.3.4)

Ladeuxième équationpermetd'é rire

(dt/dτ )

omme une onstante, et ontrouve

don pour lapremière équation, en posant ette onstantenon nulle:

d

2

_~x

dt

2

=

1

2

∇h

00

(1.3.5)

En omparantaurésultatnewtonien,ontrouveque

h

00

= −2φ

,où

φ

estlepotentiel

gravitationnel newtonien habituel. La métrique totale est don donnée par

g

00

=

−(1 + 2φ)

, les autres omposantes étant identiquement nulles. Or, le potentiel

φ

obéit àl'équationde Poisson :

∇

2

φ = 4πGρ

, (1.3.6)

où

ρ

estladensitédemassede lasour enon-relativistedu hamp.Dans

l'approxi-mation newtonienne, lamétrique obéitdon a :

∇

2

g

00

= −8πGρ

. (1.3.7)

Cette forme est une indi ation nous permettant de trouver "intuitivement"

la forme générale des équations du hamp. Dans le as relativiste, la densité de

masse est en eet rempla ée par le tenseur énergie-impulsion

T

µν

de la matière

qui ontient toute l'information sur l'énergie et l'impulsion de la distribution de

matière(dansle as newtonien,lesimpulsionssont faiblesparrapportàlamasse;

'estpourquoiseul

ρ

intervient).Onpeutdon her herdeséquationsdelaforme:

G

µν

[g

µν

] = 8πGT

µν

, (1.3.8)

et de ne pas introduire de nouvelle onstante dimensionnée dans la théorie. Le

ara tèretensorielestàrelierauprin ipede ovarian egénéralisée.Deplus,onsait

que letenseur énergie-impulsionest onservé le long du mouvementen Relativité

Restreinte :

∂

µ

T

µ

ν

= 0

, don , en remplaçant d'après le prin ipe de ovarian e

généralisée ladérivée partiellepar une dérivée ovariante, ondoit avoir :

∇

µ

T

ν

µ

= 0

; (1.3.9)

e qui implique quele tenseur

G

µν

doit satisfaireles identités dites de Bian hi :

∇

µ

G

µ

ν

= 0

. (1.3.10)

Une analyse du tenseur de Riemann,

R

µ

νρσ

, ara térisant la variété 11

, alliée à la

limitenewtonienne, montre quele hoix d'un teltenseur

G

µν

est unique :

G

µν

= R

µν

−

1

2

Rg

µν

, (1.3.11)

où

R

µν

= R

ρ

µρν

est le tenseur de Ri i et

R = R

µ

µ

le s alaire de ourbure de la

variété.Leséquationsdu hampgravitationnelsontdon leséquationsd'Einstein:

R

µν

−

1

2

Rg

µν

= 8πGT

µν

. (1.3.12)

Une autre version des équations d'Einstein peut être obtenue en introduisant

une nouvelle onstante. Pour ela, il sut de remarquer que

∇

µ

g

µν

_{= 0}

, si bien

queles identités de Bian hi sontaussi satisfaites si l'on introduit :

G

µν

= R

µν

−

1

2

Rg

µν

− Λg

µν

, (1.3.13)

pour

Λ

réel ayantlesdimensions du arréd'unelongueur.

Λ

est appelée onstante

osmologique;nousy reviendrons.Lesystème (1.3.12)estun système de10

équa-tionsauxdérivéespartiellesindépendantes (lestenseurs sontsymétriques);

epen-dantlesidentitésdeBian hi(1.3.10) onstituentunsystèmede4équations,sibien

queseules6fon tionsindépendantes peuventêtredéterminéesgrâ eauxéquations

d'Einstein.Or

g

µν

possèdeégalement10fon tionsindépendantes.C'estlereetde

l'invarian e par hangement de oordonnées : si

g

µν

est une solution de (1.3.12),

la métrique

g

′

µν

obtenue en hangeant les oordonnées

x

µ

en des oordonnées

x

′

_µ

11

Letenseurde Riemanntraduitl'impossibilitépourunve teurde redeveniridentiqueà

lui-mêmeaprèsavoirététransportéparallèlementlelongd'unepetite ourbefermée.C'esten ela

qu'il ara térisela ourburedelavariété.Une variétéest ditenon ourbéeoueu lidienne siet

seulementsi sontenseurde Riemannest identiquement nul.En terme desdérivées ovariantes,

ils'é rit,sionl'appliqueàlaformedualed'unve teur

v

µ

:

R

µ

quel onqueest aussiunesolution.Or,un teldiéomorphismeimplique4fon tions

indépendantes

x

′

_µ

(x

α

₎

. Il ne reste don plus que 6 degrés de liberté à xer grâ e

aux équations. Ces équations ouplent manifestement géométrie et ontenu

ma-tériel, justiant le fait que l'on dise ommunément qu'en Relativité Générale, la

distribution de matière détermine la géométrie de l'espa e-temps (l'inverse étant

d'ailleurstoutaussi vrai,maisbeau oup moins"intuitif").On peut également

no-ter queleséquation(1.3.12)peuvent êtredérivéesd'unprin ipede moindrea tion

en onsidérant l'a tiond'Einstein-Hilbert :

S

EH

=

Z

_R

16πG

√

−gd

4

x + S

m

, (1.3.14)

où

g

estledéterminantde lamétrique

g

µν

,

S

m

l'a tiondelamatière,età ondition

de dénir le tenseur énergie-impulsion de la matière par

√

−gT

µν

= 2δS

m

/δg

µν

.

Cettea tionestlaplussimplequel'onpuisse onstruireennefaisantintervenirque

desdérivéese ondesoudesproduitsdedeuxdérivéesdelamétrique(and'obtenir

des équationsduse ond ordre ommedans touteslesautresthéoriesdes hamps).

Pour é rire les équations du hamp asso iées à ette a tion, il sut d'en al uler

la dérivée fon tionnelle par rapport à la métrique

g

µν

en notant que

δ

√

−g =

−g

µν

δg

µν

/2

et quele terme en

R δR

µν

g

µν

√

_−gd

4

_x

est une pure divergen e

12 .

12

En touterigueur, eterme nes'annuleaprioripas arseule

g

µν

est gardéexesurlebord du domaine, non sesdérivées. On peut toutefois ajouter un ontre-terme faisant intervenir la

Le modèle standard de la osmologie

Donnez-moi seulement de la matière,je vaisà partirde làvous bâtir un monde.

E. Kant, Histoire générale de la nature et théorie du iel,1755.

Lemodèle osmologiquea onnu, esdernièresdé ennies,àlafoisdes

onrma-tions é latantes de sa apa ité prédi tive, et l'émergen e de questions

fondamen-talesquipourraientbienbouleverser omplètementsesfondementsetson

dévelop-pement futur. Dans la première atégorie, itons notamment les multiples

obser-vations des anisotropies du fond de rayonnement mi ro-onde [8,9,10, 11,12, 13℄,

qui ont onrmé que la distribution de matière dans l'Univers primordial était

fortement homogène et isotrope, sous la forme d'un plasma ouplant intimement

photons et baryons, e qui dé oule de la stru ture du spe tre des anisotropies

(os illations a oustiques). Dans le se onde atégorie, on rangera bien entendu le

surprenantrésultatde l'observationdes Supernovæde type1a[14,15,16,17,18℄:

elle- i laisse apparaître que la lumièreproduite par es explosions est plus faible

qu'attendue pour un Univers ne ontenant que de la matière ordinaire (baryons,

éle trons, photons, neutrinos, etmême matière sombre), signe potentiel de la

né- essité de réviser, soit notre on eption de la gravité aux grandes é helles, soit

notre on ept mêmede matière,soitennle adre théoriquede onstru tiond'un

modèle osmologique.

Aprèsavoirprésentéle adrestandard dela osmologiemoderne,ses postulats

etses développementsformels, 'est-à-direlafaçon lassiquede onstruireun

Uni-vers homogèneetisotrope,nous dé rirons brièvementson histoirethermique, puis

nous on lurons ette partie en montrant omment les hamps s alaires ont été

une réponse ré urrente de la osmologie aux questions posées tantt par le adre

2.1 L'Univers homogène et isotrope

Lepremiermodèlemodernede l'Universen tantqu'objetest dûàEinsteinqui,

préo upé par la onstru tiond'un Univers respe tant leprin ipede Ma h

1 ,

pro-posa en 1917 une solution exa t aux équations de la Relativité Généralepour un

espa e-temps dont les se tionsspatiales sont homogènes, isotropes etfermées (au

senstopologique).Cemodèle,statique,devaitdonnernaissan eauxdis ussionssur

lastru turationde la distributionde matière auxgrandesé helles qui onstituera

le ÷urde la osmologie auvingtième siè le.Très vite ependant, lesobservations

réaliséespar Hubble en 1929,tendant à suggérer que lesgalaxies lointaines

s'éloi-gnaient toutesles unes des autres ave une vitesse proportionnelle àleur distan e

respe tive,allaitrelan erlané essitédedénirune lassedemodèlespluslargeque

la solution d'Einstein, apables d'expliquer ette dynamique globale d'expansion

del'Univers.C'est equeréalisentlesmodèlesde F

riedmann-Lemaître-Robertson-Walker que nous allons examiner dans ette se tion. Mais avant, il est bon de

rappeler les observations qui étayent l'hypothèse d'homogénéité et d'isotropie de

notre Univers aux grandes é helles, an de omprendre pré isément e que ette

a eption re ouvre.

2.1.1 La distribution de matière à grande é helle

L'homogénéité et l'isotropie de l'Univers sur les grandes é helles sont

main-tenant bien établies, au sens statistique, par une série d'observations que nous

allons présenter i i. La première de es indi ations observationnelles vient de la

distribution à grande é helles de la matière visible, telle que donnée par le

a-talogue de galaxies rouges du Sloan Digital Sky Survey (SDSS) [19, 20, 21, 22℄;

ette mesure repose sur la onstru tion de ellules en moyennant la répartition

de matière sur des domaines de tailledonnée. Puis, en al ulant la varian e de la

distribution de densité sur les ellules, on peut estimer l'é helle typique

d'homo-généité statistique tirée de e atalogue. Elle est de l'ordre de

70

à

100h

−1

Mp

(où

h = H

0

/(100

km/s/Mp

)

),mais ilexiste également des travauxmettant ette

é helleaudelà de

100

à

200h

−1

Mp [23,24,25℄.Certaines stru tures sontmêmes

bienplusgrandes que esé hellesstatistiques:legrandmurdéte té parSDDS

at-teint

420h

−1

Mp ,soitprèsde15%del'Universobservableaujourd'hui.Cependant,

l'existen ed'uneé helleàpartirdelaquelleladistributiondematièremoyenneest

statistiquementhomogèneparaîtrobusteetnousretiendronsuneé helle

d'homogé-néitétypiquede l'ordrede la entainede mégaparse s.D'unautre té, l'isotropie

1

Ceprin ipe,dontnousauronsàreparlerdansladeuxièmepartiede etouvrage,formulait,

unpeuvaguement,que lespropriétés mé aniquesintrinsèquesdes orps matériels,telque leur