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Mathématiques,
2, voire comme un !
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Recommandations
Il sera tenu compte dans le barème, de la clarté et de la précision apportées à la rédaction de ce devoir. Les étapes de calcul doivent être détaillées et les affirmations justifiées.
G.O.
Soit ABCD un parallélogramme.
1) Placer les points M, N et P tels que :
AB AM 4 3 = AN AD 4 3 = et P milieu de [MN]. 2) On choisit le repère
(
A;AB;AC)
.a) Calculer les coordonnées des points M, N et P dans ce repère ; b) Calculer les coordonnées des vecteurs APetAC .
c) En déduire que les points A, P et C sont alignés.
La FIN de la LANDE !
Un de vos clients possède une petite lande rectangulaire ayant deux allées de largeur x.
Elle est représentée ci–dessous :
L’unité est le mètre. L’aire des deux allées (partie grisée) ne doit pas excéder une surface de 8 m².
1. Entre quelles valeurs peut varier x ?
2. Montrer que l’aire S(x) des l’allées (partie grisée) peut s’écrire sous la forme : S(x) = –x² + 9 x
6m
3m x
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2 3. Résoudre l’inéquation suivante :
(1 – x) (
4
1
x – 2) ≤ 0
4. A l’aide de la question précédente résoudre l’inéquation : S(x) ≤ 8
5. En déduire la largeur maximale de l’allée pour répondre au critère du client.
L’aire min !
Partie A
ABCD représente une surface carré de coté 6m. On s’intéresse à l’aire du triangleMNC.
On pose : x= AN =DM .
1. Donner l’intervalle de valeurs, possibles, prises par x
2. Calculer l’air du carréABCD
3. Exprimer NB en fonction dex
4. Exprimer AM en fonction dex
5. Exprimer en fonction de x : a) l’aire du triangle ANM . b) l’aire du triangle CDM . c) l’aire du triangle BCN .
6. En déduire de 1) et 2) que l’aire du triangle MNC est égal à : ² 3 18 2 1 − + x x . Partie B A N M D B C
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3 On considère la fonction f définie sur [0;6] par : ² 3 18
2 1 )
(x = x − x+
f .
1) Démontrer que pour tout x de l’intervalle [0;6]
2 27 )² 3 ( 2 1 ) (x = x− + f 2) En déduire le minimum de f
3) En quelle valeur de x ce minimum est atteint ? 4) Etudier les variations de f sur l’intervalle [0;3] ;
5) On sait que f est croissante sur l’intervalle [3;6] ; dresser le tableau de variations de f
6) Remplir le tableau de valeurs de f en annexe
7) Construire la représentation graphique de la fonction f dans le repère donné en annexe.
Partie C
On donne la représentation graphique de la fonction f sur l’intervalle [3;6] en annexe.
1) Résoudre graphiquement, en justifiant votre réponse, f(x)≥14
2) A partir de quelle valeur de x à l’aire du triangle MNC de la Partie A dépasse 14m².
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Annexe (à rendre avec la copie)
Nom est classe : ………..
Partie B Tableau de valeurs x 0 1 2 3 4 5 6 ) (x f Graphique courbe de f 0 7 14 21 28 0 1 2 3 4 5 6 Partie C courbe de f 0 7 14 21 28 3 4 5 6
