Détection de mouvements dans des séquences d’images basée sur la dynamique de supraconductivité

(1)

Universit´

e de Montr´

eal

D´

etection de mouvements dans des s´

equences

d’images bas´

ee sur la dynamique de

supraconductivit´

e

par

Magatte Diagne

Département d’informatique et de recherche opérationnelle Faculté des arts et des sciences

Mémoire présenté à la Faculté des études supérieures en vue de l’obtention du grade de

Maˆıtre `es sciences (M.Sc.) en informatique

Aoˆut, 2016

c

(2)

R´

ESUM´

E

Le but de ce travail est d’étudier la faisabilité de la détection de mouvements dans des séquences d’images en utilisant l’équation de continuité et la dynamique de supraconductivité. Notre approche peut être motivée par le fait que l’équation de continuité apparait dans plusieurs techniques qui estiment le flot optique. Un grand nombre de techniques qui utilisent les flots optiques utilisent une contrainte appelée contrainte de l’invariance lumineuse. La dynamique de supraconductivité nous per-met de nous affranchir de la contrainte de l’invariance lumineuse. Les expériences se feront avec la base de données de séquences d’images CDNET 2014. Pour obtenir les résultats numériques en terme de score F1, une combinaison sera faite par la suite entre la dynamique de supraconductivité et un mécanisme d’attention qui est un résumé des vérites de terrain.

Mots clés : détection de mouvements, équation de continuité, dynamique de supraconductivité

(3)

ABSTRACT

The goal of this work is to study the feasibility of motion detection in images sequences by using the continuity equation and superconductivity dynamics. Our approach can be motivated by the fact that many techniques that compute the optic flow use the continuity equation combined with a constraint that is called the bright-ness constancy constraint. The dynamics of superconductivity allows us to escape from the brightness consistency constraint. The experiments will be done with a database of images sequences named CDNET 2014. To obtain the numerical results in terms of F1 score a combination will be done between the dynamics of supercon-ductivity and a mechanism of attention which is a resume of the ground truth.

Keywords: motion detection, continuity equation, superconductivity dynamics

(4)

ii

The next great era of awakening of human intellect may well produce a method for understanding the qualitative content of equations. Today we cannot. Today we cannot see that the water flow equations contain such things as the barber pole structure of turbulence that one sees between rotating cylinders. Today we cannot see whether the Schr¨odinger’s equation contains frogs, musical composers, or morality – or whether it does not. We cannot say whether something beyond it like God is needed, or not. And so we can all hold strong opinions either way.

(5)

NOTATION

∇ opérateur nabla ∇· opérateur de divergence ∇2 _{opérateur Laplacien} H opérateur Hamiltonien A vecteur potentiel ψ fonction d’onde φ potentiel électrostatique v vecteur vitesse

ρ puissance ou densit´e de charge

√_ρ _amplitude

θ phase

π pi

¯h constante de Planck r´eduite

m masse d’un ´electron

qe charge d’un ´electron

(6)

TABLE DES MATI`

ERES

R´esum´e

Abstract i

Notation iii

Chapitre 1: Introduction au sujet de recherche 3

Chapitre 2: Mod´elisation de l’avant-plan ou de l’arri`ere-plan 7

Chapitre 3: Equation de continuit´´ e et estimation du flot optique 9

Chapitre 4: Solution ´etudi´ee 13

4.1 Mécanisme d’attention . . . 14 4.2 Dynamique de supraconductivité . . . 34 4.3 Combinaison entre le mécanisme d’attention et la dynamique de

supra-conductivit´e . . . 46

Chapitre 5: R´esultats et discussion 50

5.1 R´esultats . . . 50 5.2 Discussion . . . 80

Chapitre 6: Conclusion 82

R´ef´erences 84

(7)

Annexe B: 94

(8)

Chapitre 1

INTRODUCTION AU SUJET DE RECHERCHE

Le sujet de recherche concerne la détection de mouvements dans des séquences d’images. La détection de mouvements est souvent utilisée comme prétraitement à d’autres tâches. Cependant il est considéré que c’est un problème assez difficile en général et une quantité impressionnante d’articles a été déjà publiées à son sujet [1]. Selon moi, une des difficultés du problème est liée au fait que lorsque les appareils photographiques ordinaires prennent une photo, l’information concernant l’amplitude des ondes est gardée, mais l’information concernant les phases relatives des ondes provenant des différentes régions est perdue [7]. Donc retrouver la scène en trois dimensions est compliqué et comme expliqué dans [16] il est important de raisonner au niveau de la scène. Notons qu’il existe un procédé appelé holographie permettant de conserver à la fois les amplitudes et les phases des ondes. Il est considéré que les principes de l’holographie furent établis par Dennis Gabor en 1948.

Similairement à la détection de mouvements, il existe la détection de changement qui est un problème quelque peu différent. Dans la détection de changement il y a certaines catégories de mouvements qui ne sont pas à détecter. Mouvements qui peuvent par exemple comprendre : le mouvement de l’eau ou encore des feuilles des arbres. La détection de changement comprend aussi le cas où un objet était en mou-vement puis s’arrête. Il arrive donc que des objets à l’arrêt doivent quand même être détectés par le système. Ceci indique que la détection de changement n’est pas tout à fait la détection de mouvement. Dans la détection de changement, il y a une volonté de se concentrer uniquement sur certains types de situtations qui peuvent contenir ou non du mouvement.

(9)

2014 [20] destinée à la détection de changement. CDNET 2014 contient en tout 53 séquences et a été annoté manuellement. On a comme entrée (input) une séquence d’images en couleur I1, I2, ... ayant toutes la même dimension MxN. La sortie désirée (aussi appelée vérité de terrain ou ground truth en anglais) est une image binaire où chaque pixel est soit noir, soit blanc. La couleur noire désigne l’absence de mouve-ment. La couleur blanche désigne le mouvemouve-ment. Voici un exemple où on a comme entrée une image en couleur et la sortie désirée.

(a) entrée (b) sortie désirée

Figure 1.1: Un exemple d’entrée et de sortie désirée

Dans cet exemple il n’y a que le mouvement des voitures qui nous intéresse. On doit donc détecter le mouvement des voitures qui passent. Le mouvement des arbres à gauche (ainsi que le mouvement de leurs ombres) ne doivent pas être detectés. En effet dans la détection de changement, seules certaines categories de mouvement sont à détecter.

La sortie désirée est la cible à prédire par l’algorithme et il est possible de mesurer la performance d’un algorithme face à la sortie desirée. La performance est mesurée en termes de F-measure ou score F1. En définissant TP comme le vrai positif (true positif), FP comme le faux positif (false positif) et FN comme le faux négatif (false

(10)

negative), la F-measure a pour formule F 1 = 2 ∗ P r ∗ Re P r + Re (1.1) où Pr désigne la précision P r = T P T P + F P (1.2)

et Re d´esigne le rappel (recall)

Re = T P

T P + F N (1.3)

Ici le vrai positif désigne les pixels qui ont été correctement classifiés comme étant en mouvement. Le faux positif désigne les pixels qui ont été incorrectement classifiés comme étant en mouvement. Le faux négatif désigne les pixels qui sont en mouvement mais qui n’ont pas été détectés comme tels. Pour chaque séquence on additionne ces valeurs d’abord au sein d’une même image puis d’image en image pour pouvoir calculer par la suite le score F1.

CDnet 2014 recèle de nombreux défis car les séquences d’images ont été cap-turées sous différentes conditions. Les images provenant de la même séquence ont la même dimension. Les images provenant de séquences différentes n’ont pas forcément les mêmes dimensions. Le nombre d’images varie selon les séquences. Sur chaque séquence il y a une zone d’interêt. Les zones d’interêt sont des images binaires (ayant la même dimension que l’entrée) qui désignent les endrois où l’algorithme sera évalué. Ceci peut être toute l’image ou une certaine partie de l’image. Les zones où l’algorithme sera evalué ont la valeur 255. Les zones où l’algorithme ne sera pas evalué ont la valeur 0. Voici des zones d’intéret pour différentes séquences.

(11)

(a) streetlight (b) abandonedbox (c) highway (d) streetcorneratnight

Figure 1.2: Zones d’intérêt pour différentes séquences

Pour les séquences streetlight et abandonedBox on remarque que ce n’est qu’une partie de l’image qui est concernée par la détection de changement. Pour la séquence highway c’est toute l’image qui est concernée. Quand á la séquence streetcornerat-night c’est presque toute l’image qui est concernée.

Le code pour réaliser les expériences se fera avec C/C++. Mathematica sera utilisé pour obtenir les images illustratives de certaines fonctions mathématiques et certaines statistiques.

(12)

Chapitre 2

MOD´

ELISATION DE L’AVANT-PLAN OU DE

L’ARRI`

ERE-PLAN

Une manière naturelle de considérer la détection de mouvement est de diviser chaque image en essentiellement deux zones : les zones qui comprennent le décor (zones plus ou moins immobiles) et les zones qui contiennent des éléments intrus au décor (zones mobiles). Ces deux zones sont respectivement appelées arrière-plan et avant-plan (background et foreground en anglais). Ce principe est à la base de plusieurs procédés dont certains s’appuient en plus sur la statistique. Dans ce cas-ci pour chaque pixel, différentes valeurs, telles que la moyenne ou la variance, sont calculées. La décision finale se base sur un ensemble de critères qui pren-nent généralement en compte la valeur courante du pixel ainsi que les différentes valeurs statistiques calculées. Certaines techniques se concentrent sur la modélisation de l’avant-plan alors que d’autres se concentrent sur la modélisation de l’arrière-plan. [11] décompose la modélisation de l’arrière-plan en principalement 4 étapes : représentation de l’image, manipulation statistique, sélection du seuillage ainsi que la mise à jour du modèle de l’arrière-plan. La mixture de gaussiennes est une méthode statistique potentiellement peu onéreuse en termes de temps en faisant cer-taine(s) simplification(s) telle qu’une matrice de covariance isotropique. Une prob-abilité d’appartenir soit à l’avant-plan soit à l’arrière-plan est assignée pour chaque pixel. La mixture de gaussiennes a été utilisée par exemple dans [21]. Notons aussi que la mixture de gaussiennes (sous certaines conditions) fait partie d’un ensem-ble plus large nommé dans [15]: modèles linéaires gaussiens. Dans cet article il est montré que différents modèles mathématiques sont des variations d’un même modèle plus général. Dans [6] la détection de changement est faite grâce à des réseaux de

(13)

neurones de type sans poids (weighless neural network). Le modèle est basé sur un réseau de noeuds de type RAM (random access memory) et possède un haut degré de parallélisation. Dans [19] la modélisation de l’arrière-plan est faite grâce à des autoencoders. Il a été montré dans [8] que les modèles de type autoencoder et les machines de Boltzmann restreintes (rbm) sont similaires. Le modéle rbm a été utilisé dans [13] mais dans le cas de caméras de type pan-tilt-zoom (Ptz). Dans [18], un modèle quelque peu différent de la machine de Boltzmann a été utilisé. Ce modèle inclut une notion temporelle adaptative. [11] utilise une approche physique basée sur des modèles de formation de l’image.

Toutes ces techniques mentionnées peuvent être utilisée pour la détection de change-ment.

(14)

Chapitre 3

´

EQUATION DE CONTINUIT´

E ET ESTIMATION DU

FLOT OPTIQUE

Comme le montre la page web actuelle du site de Scholarpedia 1 _{sur l’estimation}

du flot optique, la plupart des contraintes utilisées pour estimer le flot optique peu-vent être dérivées à partir de l’équation de continuité. La page web actuelle du site de Wikipedia 2 _{sur l’équation de continuité montre que celle-ci apparait dans les cas}

suivants : électromagnétisme, dynamique des fluides, énergie et chaleur, distribu-tions de probabilité et méchanique quantique. Elle décrit le transport d’une certaine quantité. L’équation de continuité peut s’écrire sous la forme générale

∂ρ

∂t = −∇ · J (3.1)

Dans ce qui suit l’interˆet se porte sur le cas particulier o`u

J = ρv (3.2)

Alors l’´equation de continuit´e devient ∂ρ

∂t = −∇ · ρv (3.3)

Dans le cas de l’estimation du flot optique, ρ désigne l’intensité d’un pixel, généralement en niveaux de gris, et v = (vx, vy) désigne le flot optique. L’expression ρv est donc

en r´ealit´e un vecteur

1_{http://www.scholarpedia.org/article/Optic flow} 2_{https://en.wikipedia.org/wiki/Continuity equation}

(15)

ρv = (ρvx, ρvy) (3.4) En d´eveloppant ∇ · ρv on a ∇ · ρv = _∂x∂ (ρvx) + ∂ ∂y(ρvy) (3.5) Ce qui donne ∇ · ρv = ∂ρ ∂x.vx+ ∂vx ∂x.ρ + ∂ρ ∂y.vy + ∂vy ∂y .ρ (3.6)

En choisissant comme notation

∂ρ ∂t = ρt (3.7) ∂ρ ∂x = ρx (3.8) ∂ρ ∂y = ρy (3.9)

Alors l’équation de continuité peut s’écrire sous la forme

−ρt = ρx.vx+ ρy.vy+ ρ.(

∂vx

∂x + ∂vy

∂y) (3.10)

Une hypothèse fréquemment utilisée pour estimer le flot optique est l’hypothèse de l’invariance de l’intensité lumineuse. Cette hypothèse est la suivante : on suppose que l’intensité de chaque point reste constante le long de sa trajectoire temporelle. Dans ce cas ci on peut montrer que

∂vx

∂x + ∂vy

∂y = 0 (3.11)

C’est-`a-dire que la divergence du flot optique est nulle. Autrement dit

∇ · v = 0 (3.12)

(16)

Ce qui fait que

−ρt= ρx.vx+ ρy.vy (3.13)

Montrons que supposer que l’intensité de chaque pixel reste constante le long de sa trajectoire, revient à supposer l’égalité suivante : ∇ · v = 0. Notons ρ(x, y, t) comme étant égale à la valeur de l’intensité d’un pixel de coordonnées (x, y) au temps t. En considérant que le pixel se déplace au fil du temps soit ρ(x + δx, y + δy, t + δt) comme

étant égale à la valeur de l’intensité du même pixel à la position (x + δx, y + δy) au

temps t+δt. L’hypothèse de l’invariance lumineuse revient à stipuler l’égalité suivante

ρ(x, y, t) = ρ(x + δx, y + δy, t + δt) (3.14)

En utilisant le d´eveloppement en s´erie de Taylor du premier ordre de ρ(x + δx, y +

δy, t + δt) on a ρ(x, y, t) = ρ(x, y, t) + δx. ∂ρ ∂x + δy. ∂ρ ∂y + δt. ∂ρ ∂t (3.15) Ou plus simplement δx. ∂ρ ∂x + δy. ∂ρ ∂y + δt. ∂ρ ∂t = 0 (3.16)

En divisant par δt, dont la valeur est suppos´ee non nulle, on a

δx δt .∂ρ ∂x + δy δt .∂ρ ∂y + ∂ρ ∂t = 0 (3.17) En remarquant que δx δt = vx (3.18) δy δt = vy (3.19) 11

(17)

On a

ρx.vx+ ρy.vy + ρt = 0 (3.20)

Donc, en revenant à l’équation de continuité

∇ · v = 0 (3.21)

Et on retrouve la forme

−ρt= ρx.vx+ ρy.vy (3.22)

Supposer l’hypoth`ese de l’invariance lumineuse revient `a supposer que ∇ · v = 0.

(18)

Chapitre 4

SOLUTION ´

ETUDI´

EE

La solution étudiée peut se décomposer en deux parties distinctes qui n’ont pas de lien direct.

Une première partie qui utilise un résumé des vérités de terrain comme mécanisme d’attention. Une deuxième partie qui elle, utilise la dynamique de supraconductivité comme détecteur de mouvement général. Ces deux approches seront combinées par la suite pour faire la détection de mouvements. Commen¸cons par ce qui a motivé le fait de résumer les vérités de terrain. Comme CDNET 2014 contient des mouvements de nature différentes (mouvements de véhicules, mouvements de personnes, etc), on aurait pu s’intéresser à une approche o`u on apprend à détecter le mouvement. Dans ce cas-ci chaque séquence aurait pu être divisées en trois ensembles : un ensemble d’apprentissage, un ensemble de validation et un ensemble de test. Cependant, offi-ciellement, cela n’a pas été fait pour CDNET 2014. Donc au lieu de diviser chaque séquence en trois parties, on utilise un résumé des vérités de terrain. Ce resumé permetrra de se concentrer que sur certaines parties de l’image. Sinon la dernière approche qui reste serait de détecter le mouvement de manière totalement non super-visée. Le résumé des vérites de terrain est donc un palliatif au découpage de chaque séquence en trois parties.

Ce qui a motivé l’usage de la dynamique de supraconductivité est le fait que les flots optiques désignent une estimation du mouvement apparent des objets sur une scène à trois dimensions. Comme vu en haut, le calcul des flots optiques repose, pour un grand nombre de techniques, sur l’équation de continuité. Cette équation apparait aussi dans le cadre de la dynamique de supraconductivité. Aussi il faut noter que la dynamique des fluides a été déjà utilisée pour le problème d’inpainting [2]. Dans ce

(19)

cas-ci on cherche à restaurer une image qui a été dégradée. La dynamique des fluides a été utilisée aussi pour le calcul des flots optiques [9]. Notre approche a été guidée par une similarité entre les équations provenant de la dynamique des fluides, et celles provenant de la dynamique de supraconductivité.

4.1 M´ecanisme d’attention

Chaque solution de l’ensemble de données CDNET 2014 peut être résumée par une accumulation de deux images nommées ici X et Y et par une troisième image appelée Z. Le but de ce mémoire n’est pas d’obtenir les meilleurs résultats possibles sur l’ensemble de données CDNET 2014 de manière non supervisée. Par non supervisée je veux dire ne pas utiliser les vérités de terrain dans la solution. Dans le livre [5] le chapitre trois se nomme Distributed Representations. Dans ce chapitre, il y a une section appelée Distributed Representations That Works Efficiently. Dans cette section différentes représentations distribuées telles que le coarse coding sont explorées. Ici comme mécanisme d’attention est utilisé le produit extérieur de X et Y et combiné à une intersection avec Z. Les images X et Y peuvent être vues de la manière suivante.

(20)

Soit une image I

0 255 0

0 0 0

255 255 0

0 255 255

alors X est ´egal `a

255 0 255 255 et YT _{est ´egal `a} 255 255 255

L’encodage de X et de Y se comporte comme une fonction OU (sur la valeur 255) suivant les lignes ou suivant les colonnes, ce qui donne X et Y. Dans l’exemple la racine carr´ee du produit ext´erieur √XYT _{donne :}

255 255 255

0 0 0

255 255 255 255 255 255

Le mécanisme d’attention consiste à utiliser le produit extérieur √XYT _combiné

à une intersection de l’image Z. L’opération en question peut s’écrire sous la forme

(21)

compacte : √XYT _{∩ Z. L’image Z est obtenue de la mani`ere suivante : un point}

(pixel) est marqué comme blanc (valeur 255) si dans toute la séquence vidéo quelque chose en mouvement est déja passé par cette position. Un pixel est marqué comme noir (valeur 0) si pendant toute la séquence aucun objet en mouvement n’est passé par ce pixel. Voilà comment sont obtenues les trois images X, Y et Z. Dans [5] l’encodage en X et Y est utilisé pour résoudre le problème suivant : supposons que l’on veuille encoder la position d’un point dans un plan en achevant une grande précision sans utiliser un grand nombre d’unités. Dans ce cas un encodage possible est de diviser les unités en deux groupes : un groupe X et un groupe Y. Chaque unité va encoder un intervalle particulier pour X ou pour Y. Chaque point sera encodé par l’activité de deux unités : une se trouvant dans la catégorie X et une autre se trouvant dans la catégorie Y. Un des problèmes qui peut survenir à cause de l’encodage utilisé est le problème nommé dans [5] ”the binding problem”. En effet en utilisant cet encodage certaines positions sont ambigües. Voici un exemple qui montre l’ambigu¨ıté. La racine carrée du produit extérieur donne des rectangles qui désignent des positions en mouvement fictives.

(a) sortie d´esir´ee (b)√XYT

Figure 4.1: Un exemple montrant des rectangles fictifs dus `a l’encodage utilis´e

(22)

Il faut noter que parmi ces trois images seule l’image Z a une notion temporelle. Concernant X et Y il est possible de les accumuler au fil du temps. En accumulant les X on a une image dont le nombre de lignes est égal au nombre de lignes de X et le nombre de colonnes est égal au temps discretisé. En accumulant les Y on a une image dont le nombre de colonnes est égal au nombre de colonnes de Y et le nombre de lignes est égal au temps discretisé. Voici les pseudo-codes pour obtenir Z ainsi que les accumulations de X et de Y :

Algorithme 1 Accumulation temporelle des X Entrée: vérités de terrain de dimensions: TxMxN Sortie: Acc X de dimensions: MxT

1: for _{t ∈ {0, ..., T − 1} do}

2: for _{r ∈ {0, ..., M − 1} do}

3: for _{c ∈ {0, ..., N − 1} do}

4: if verites de terrain[t][r][c] == 255 then

5: Acc X[r][t] = 255 6: end if 7: end for 8: end for 9: end for 10: return Acc X 17

(23)

Algorithme 2 Accumulation temporelle des Y Entrée: vérités de terrain de dimensions: TxMxN Sortie: Acc Y de dimensions: TxN

1: for _{t ∈ {0, ..., T − 1} do}

2: for _{r ∈ {0, ..., M − 1} do}

3: for _{c ∈ {0, ..., N − 1} do}

5: Acc Y[t][c] = 255 6: end if 7: end for 8: end for 9: end for 10: return Acc Y Algorithme 3 Obtention de Z

Entrée: vérités de terrain de dimensions: TxMxN Sortie: Z de dimensions: MxN

1: for _{t ∈ {0, ..., T − 1} do}

2: for _{r ∈ {0, ..., M − 1} do}

3: for _{c ∈ {0, ..., N − 1} do}

5: Z[r][c] = 255 6: end if 7: end for 8: end for 9: end for 10: return Z 18

(24)

Dans ce qui suit sont montrées les accumulations temporelles de X et de Y, l’image Z ainsi que √XYT _et√_XYT _{∩ Z pour cinq séquences différentes.}

(25)

(a) Accumulation tem-porelle des X

(b) Accumulation temporelle des Y (c) Z

Figure 4.2: streetLight - Accumulation temporelle des X, Y; Z

(26)

Figure 4.3: streetLight - √XYT

(27)

Figure 4.4: streetLight - √XYT _{∩ Z}

(28)

Figure 4.5: abandonedBox - Accumulation temporelle des X, Y; Z

(29)

Figure 4.6: abandonedBox - √XYT

(30)

Figure 4.7: abandonedBox - √XYT _{∩ Z}

(31)

Figure 4.8: intermittentPan - Accumulation temporelle des X, Y; Z

(32)

Figure 4.9: intermittentPan -√XYT

(33)

Figure 4.10: intermittentPan -√XYT _{∩ Z}

(34)

Figure 4.11: highway - Accumulation temporelle des X, Y; Z

(35)

Figure 4.12: highway - √XYT

(36)

Figure 4.13: highway - √XYT _{∩ Z}

(37)

Figure 4.14: streetCornerAtNight - Accumulation temporelle des X, Y; Z

(38)

Figure 4.15: streetCornerAtNight - √XYT

Figure 4.16: streetCornerAtNight - √XYT _{∩ Z}

(39)

Les accumulations temporelles de X et Y nous renseignent sur la nature du mou-vement. Pour la séquence highway par exemple les accumulations temporelles ressem-blent à l’écoulement d’un fluide. Pour certaines séquences (non montrées ici) il est même possible de connaitre le nombre d’objets en mouvement sur toute la séquence juste en observant les accumulations temporelles. L’image Z permet de se rendre compte que pour chaque séquence, juste une partie de l’image contient des objets qui seront à un moment ou à un autre en mouvement.

4.2 Dynamique de supraconductivit´e

La supraconductivité concerne des métaux dits supraconducteurs et est caracterisée par une absence de résistance électrique. Cela se passe à des températures très basses qui tendent vers le zéro absolu. En effet en de¸ca d’une temperature critique, cer-tains métaux tel que le plomb ou l’aluminium conduisent le courant électrique sans résistance.

Dans ce qui suit, pour la plus grande partie, les notations de [14] ont été utilisées. Ce qui est proposé ici se base sur ce qui a été fait dans le chapitre 21 du volume III de [14]. Le chapitre en question se nomme : The Schrödinger Equation in a Classi-cal Context: A Seminar on Superconductivity. Ce chapitre est considéré comme un séminaire ou un rapport de recherche par l’auteur. Le sujet du chapitre est l’équation de Schrödinger dans un contexte classique. Ce chapitre fait la description du com-portement d’une particule dans un champ magnétique. Normalement, la fonction d’onde qui apparait dans l’equation de Schrödinger n’a pas un sens classique. Cepen-dant il existe certaines situations où une fonction d’onde de la mécanique quantique a un sens classique. Les idées décrites dans ce chapitre conduisent à une équation de continuité qui peut s’écrire sous la forme

∂P

∂t = −∇ · J (4.1)

(40)

ou bien

∂ρ

∂t = −∇ · ρv (4.2)

Ici P désigne la densité de probabilité de trouver une particule à une position donnée. J désigne un courant de probabilité. Ce que cette équation signifie est le fait que lorsqu’une particule disparait d’une région, elle ne peut pas apparaˆıtre dans une autre région sans que quelque chose ne se passe entre les deux régions. Car une des charactéristiques de la mécanique quantique est le fait que la probabilité se conserve localement. Appeler flot optique le vecteur vitesse obtenu en bout de compte peut être néanmoins sujet à débat car ρ ici ne désigne pas l’intensité d’un pixel. Ici la valeur de ρ est plutôt proportionnelle á pα2 _{+ β}2 _{avec α comme étant la valeur}

d’un pixel à la position (x, y) au temps t et β comme étant la valeur d’un pixel à la position (x, y) au temps t+1. Cela découle du fait que la fonction d’onde peut s’écrire sous la forme d’une fonction complexe. Le contexte considéré permet de se passer de l’hypothèse de l’invariance lumineuse car la divergence du flot obtenu n’est pas nulle. Voir [14] pour des expliquations plus approfondies.

Il faut noter que le contexte de dynamique de supraconductivité permet de calculer plusieurs quantités, chacune ayant une signification particulière. Dans ce mémoire, pour la détection de mouvement, voici les termes que j’ai choisi de calculer : la fonction d’onde ψ, le vecteur potentiel A, le vecteur vitesse v, le rotationnel du vecteur vitesse ∇ × v et l’accéleration matérielle (comoving acceleration en anglais)

∂v ∂t+ vx

∂v ∂x+ vy

∂v

∂y. La fonction d’onde ψ et le vecteur potentiel A (qui repr´esentent ici

la même chose) sont calculés car on en a besoin pour le calcul du vecteur vitesse, du rotationnel du vecteur vitesse et pour l’accélération matérielle. Dans [14] la fonction d’onde utili´see est

ψ = ρ1/2eiθ (4.3)

(41)

Ici, la fonction d’onde suivante est prise

ψ = ρ1/2eiθ/2 (4.4)

La raison principale est que cela permet `a la fonction d’onde de s’´ecrire sous la forme ψ = F (ξ) = pξ (4.5) avec ξ = q ∗ (α + iβ) (4.6) et ρ = q ∗pα2_{+ β}2 _(4.7) et θ = arctan(β/α) (4.8)

où ξ est un nombre complexe (voir l’annexe B pour plus de détails sur ce choix). Venons en maintenant au vecteur potentiel. Ici (voir [14] pour plus de détails) le vecteur potentiel correspond à la fonction d’onde. La fonction d’onde est une fonction complexe et peut s’écrire sous la forme suivante

ψ = ρ1/2cosθ/2 + iρ1/2sinθ/2 (4.9)

Soit Ax et Ay les deux composantes non nulles du vecteur potentiel. Alors

Ax= ρ1/2cosθ/2 (4.10)

Ay = ρ1/2sinθ/2 (4.11)

(42)

Les trois termes qui restent à trouver sont le vecteur vitesse v, le rotationnel du vecteur vitesse ainsi que l’accélération matérielle. Ces trois termes contiennent tous v. Commen¸cons par v. En utilisant

J = ρv (4.12)

et (voir l’annexe pour la preuve)

J = ¯h m( 1 2∇θ − 1 ¯hqA)ρ (4.13)

il est facile de se rendre compte que

v = 1 m(

1

2¯h∇θ − qA) (4.14)

Comme v = (vx, vy) on peut aussi ´ecrire

vx = 1 m( 1 2¯h ∂θ ∂x − qAx) (4.15) vy = 1 m( 1 2¯h ∂θ ∂y − qAy) (4.16)

Notons que ¯h désigne la constante de Planck réduite et est égale à 6.62606896∗1e−34

π .

qe = 1.60217662 ∗ 1e−19 désigne la charge d’un électron et q = 2 ∗ qe désigne la

charge d’une paire de Cooper d’électrons. m désigne la masse d’un électron et vaut 9.10938356∗1e−31_{. ¯h, q et m pourraient être considerées comme étant des paramètres}

à choisir. L’effet de la variation de ces paramètres n’est pas exploré ici.

Le rotationnel de v donne la tendance en un point à être en rotation. Dans notre cas, c’est un vecteur qui est zéro dans les coordonnées en x et en y. Donc lorsque la valeur du rotationnel est négative la rotation a tendance à se faire vers le bas. Lorsque la valeur du rotationnel est positive la rotation a tendance à se faire vers le haut. Lorsque le rotationnel est zéro, cela indique une absence de rotation. Voir l’annexe pour la preuve de la formule suivante

(43)

∇ × v = (0, 0, −_mq( 1 2√ρsin( θ 2) ∂ρ ∂x + 1 2 ∂θ ∂xAx− 1 2√ρcos( θ 2) ∂ρ ∂y + 1 2 ∂θ ∂yAy)) (4.17) L’accélération matérielle est l’accéleration d’une pièce particulière d’un fluide. La dérivee ∂v_∂t donne le taux de changement pour un point fixe de l’espace. Ce qui nous intéresse ici c’est comment la vitesse change pour une particule donnée que l’on suit. On peut considérer que dans un intervalle de temps ∆t la particule va se déplacer dans une autre location. Dans l’axe des x la particule va se déplacer de ∆x = vx∆t.

Dans l’axe des y la particule va se d´eplacer de ∆y = vy∆t. Si v(x, y, t) d´esigne

la vitesse d’une particule à l’endroit (x, y) au temps t, alors la vitesse de la même particule au temps t + ∆t sera donnée par v(x + ∆x, y + ∆y, t + ∆t). Si ∆x, ∆y et ∆t tendent vers zéro alors on a v(x+∆x, y +∆y, t+∆t) = v(x+vx∆t, y +vy∆t, t+∆t) =

v(x, y, t) +_∂x∂vvx∆t +∂v_∂yvy∆t + ∂v_∂t∆t. L’acc´eleration ∆v_∆t est le vecteur

∂v ∂t + vx ∂v ∂x + vy ∂v ∂y (4.18) ∂v

∂x est aussi un vecteur dont les composantes sont

∂vx ∂x = 1 m( 1 2¯h ∂2_θ ∂x2 − q( 1 2√ρcos( θ 2) ∂ρ ∂x − 1 2Ay ∂θ ∂x)) (4.19) ∂vy ∂x = 1 m( 1 2¯h ∂2_θ ∂x∂y − q( 1 2√ρsin( θ 2) ∂ρ ∂x + 1 2Ax ∂θ ∂x)) (4.20)

Similairement ∂v_∂y est un vecteur et ses composantes sont

∂vx ∂y = 1 m( 1 2¯h ∂2_θ ∂x∂y − q( 1 2√ρcos( θ 2) ∂ρ ∂y − 1 2Ay ∂θ ∂y)) (4.21) ∂vy ∂y = 1 m( 1 2¯h ∂2_θ ∂y2 − q( 1 2√ρsin( θ 2) ∂ρ ∂y + 1 2Ax ∂θ ∂y)) (4.22) En se rappellant que 38

(44)

ρ = q ∗pα2_{+ β}2 _(4.23)

et que

θ = arctan(β/α) (4.24)

alors il reste `a trouver les expressions suivantes : ∂ρ_∂x, ∂ρ_∂y, ∂θ ∂x, ∂θ ∂y, ∂2 θ ∂x2, ∂ 2 θ ∂y2, ∂ 2 θ ∂x∂y.

Les expressions impliquant ρ sont faciles `a obtenir

∂ρ ∂x = q ∗ (2α ∂α ∂x + 2β ∂β ∂x) (4.25) ∂ρ ∂y = q ∗ (2α ∂α ∂y + 2β ∂β ∂y) (4.26)

Celles impliquant θ sont plus ardues et Mathematica a été utilisé pour les obtenir. Les voici

Tout d’abord les d´eriv´ees de premier ordre

∂θ ∂x = α∂β_∂x ₋ ∂α ∂xβ α2_{+ β}2 (4.27) ∂θ ∂y = α∂β_∂y ₋ ∂α ∂yβ α2_{+ β}2 (4.28)

Ensuite les d´eriv´ees de second ordre

∂2_θ ∂x2 = β(2α∂α_∂x + 2β∂β_∂x)∂α_∂x _{− α(2α}∂α_∂x + 2β∂β_∂x)∂β_∂x (α2_{+ β}2₎2 + −β∂∂x2α2 + α ∂2 β ∂x2 α2_{+ β}2 (4.29) ∂2_θ ∂y2 =

β(2α∂α_∂y + 2β∂β_∂y)∂α_∂y _{− α(2α}∂α_∂y + 2β∂β_∂y)∂β_∂y

(α2_{+ β}2₎2 + −β∂∂y2α2 + α ∂2 β ∂y2 α2_{+ β}2 (4.30) ∂2 θ ∂x∂y =

β(2α∂α_∂y+2β∂β_∂y)∂α_∂x−α(2α∂α∂y+2β ∂β ∂y) ∂β ∂x (α2 +β2 )2 + −β∂ 2 α ∂x∂y+α ∂2β ∂x∂y+ ∂α ∂y ∂β ∂x− ∂α ∂x ∂β ∂y α2 +β2 (4.31) 39

(45)

Les dérivées de premier ordre et de second ordre de α et de β par rapport à x et à y sont estimées en utilisant la méthode des différences finies. En considérant I comme étant un tableau à trois dimensions contenant les séquences d’images alors au point de coordonnées (x, y) les dérivées de premier ordre sont égales à

∂α ∂x =

I[t][x + 1][y] − I[t][x − 1][y]

2 (4.32) et ∂α ∂y = I[t][x][y + 1] − I[t][x][y − 1] 2 (4.33) Similairement ∂β ∂x =

I[t + 1][x + 1][y] − I[t + 1][x − 1][y]

2 (4.34)

et

∂β ∂y =

I[t + 1][x][y + 1] − I[t + 1][x][y − 1]

2 (4.35)

Les dérivées de second ordre sont égales à ∂2_α

∂x2 =

I[t][x + 1][y] − 2I[t][x][y] + I[t][x − 1][y]

4 (4.36)

et

∂2_α

∂y2 =

I[t][x][y + 1] − 2I[t][x][y] + I[t][x][y − 1]

4 (4.37)

et ∂2_α

∂x∂y =

I[t][x + 1][y + 1] − I[t][x + 1][y − 1] − I[t][x − 1][y + 1] + I[t][x − 1][y − 1] 4

(4.38) Similairement

(46)

∂2_β

∂x2 =

I[t + 1][x + 1][y] − 2I[t + 1][x][y] + I[t + 1][x − 1][y]

4 (4.39)

et

∂2_β

∂y2 =

I[t + 1][x][y + 1] − 2I[t + 1][x][y] + I[t + 1][x][y − 1]

4 (4.40)

et ∂2_β

∂x∂y =

I[t + 1][x + 1][y + 1] − I[t + 1][x + 1][y − 1] − I[t + 1][x − 1][y + 1] + I[t + 1][x − 1][y − 1] 4

(4.41) Maintenant que nous avons toutes les équations dont nous avons besoin pour faire les calculs, il faut choisir un seuillage pour détecter quels pixels sont en mouvements. Pour détecter le mouvement je considère ces trois éléments de manière séparée : le vecteur vitesse v, le rotationnel de v ainsi que l’accélération matérielle. Pour les résultats numériques je vais me limiter à ne considérer que v.

Maintenant il faut choisir un seuillage. Il devrait certainement y avoir plusieurs moyens de s’y prendre. Une manière de s’y prendre est de faire des graphiques statis-tiques concernant les valeurs d’interêts et de choisir un seuillage fixe qui éliminera la plupart des pixels (la supposition faite ici est que le mouvement est un évènement rare). Dans le cas de CDnet 2014, il est raisonnable d’assumer que la plupart des éléments à détecter peuvent être réduits à des courbes simples et fermées. Ici une courbe simple signifie une courbe qui ne s’intersecte pas avec elle même. Si on con-sidère que chaque image est dans un champ vectoriel (vx, vy) alors le long de chaque

courbe, le champ vectoriel fait un angle bien d´efini. L’angle peut ˆetre obtenu en utilisant la formule suivante:

arctan(vy/vx) (4.42)

Voir [17] pour plus d’informations. Visualisons un graphique de 10.000 valeurs de arctan(vy/vx) calcul´ees pour une s´equence de deux images qui se suivent (les deux

(47)

images appartiennent `a une sequence d’images quelconque).

Figure 4.17: 10.000 valeurs de arctan(vy/vx)

Cela ressemble à une distribution gaussienne. Comme seuillage un pixel est détecté comme étant en mouvement si arctan(vy/vx) < −2.85 ou arctan(vy/vx) > −2.65. En

ne se basant que sur v, voilà comment le mouvement est détecté.

Considérons maintenant le rotationnel de v. Comme montré plus en haut, le rotation-nel de v est nul dans les coordonnées en x et en y. Le rotationrotation-nel donne la tendance d’un pixel à être en rotation vers le haut ou vers le bas. Donc pour le seuillage on va éliminer les pixels qui n’ont pas une très grande rotation vers le bas (rotationnel negatif) ou vers le haut (rotationnel positif). Empiriquement on fixe le seuillage à 5.5 * 1e-9 pour un rotationnel positif et à -5.5 * 1e-9 pour un rotationnel négatif. En ne se basant que sur ∇ × v un pixel est designé comme étant en mouvement si ∇ × v < −5.5 ∗ 1e − 9 ou si ∇ × v > 5.5 ∗ 1e − 9.

Venons en maintenant à l’accélération matérielle. Ici il suffit de remarquer que grâce à la loi de Newton (F = ma), l’accélération est proportionnelle à la force qui s’applique

(48)

sur le point. Comme c’est une force, on peut considérer la norme de celle ci. Le seuillage consistera donc à éliminer les pixels qui n’ont pas une très grande force. De manière empirique on fixe le seuil à 1e16. C’est-à-dire qu’un pixel est désigné comme etant en mouvement si la norme de l’accélération dépasse 1e16.

Dans ce qui suit se trouvent les pseudo-codes pour faire la détection de mouvement en utilisant séparément le vecteur vitesse v, le rotationnel de v ainsi que l’accélération matérielle.

(49)

Algorithme 4 D´etection en utilisant vx et vy

Entr´ee: Images I de dimensions: TxMxN

Sortie: Images binaires S de dimensions: TxMxN

1: vx ← tableau vide de dimensions TxMxN

2: vy ← tableau vide de dimensions TxMxN

3: for _{t ∈ {0, ..., T − 2} do} 4: for _{r ∈ {0, ..., M − 1} do} 5: for _{c ∈ {0, ..., N − 1} do} 6: _{α ← I[t][r][c]} 7: β ← I[t + 1][r][c] 8: _{ρ ← q ∗}pα2+ β2 9: _{θ ← atan2(β, α)} 10: Ax ←√ρcos(θ₂) 11: Ay ←√ρsin(θ₂) 12: vx[t][r][c] ← ´equations 4.15 et 4.27 13: vy[t][r][c] ← ´equations 4.16 et 4.28 14: _{arctan ← atan2(v}y[t][r][c], vx[t][r][c])

15: if _{arctan > −2.65 k arctan < −2.85 then}

16: _{S[t][r][c] ← 255} 17: else 18: _{S[t][r][c] ← 0} 19: end if 20: end for 21: end for 22: end for 23: return S 44

(50)

Algorithme 5 _{D´etection en utilisant la composante z de ∇ × v} Entr´ee: Images I de dimensions: TxMxN

1: for _{t ∈ {0, ..., T − 2} do} 2: for _{r ∈ {0, ..., M − 1} do} 3: for _{c ∈ {0, ..., N − 1} do} 4: α ← I[t][r][c] 5: _{β ← I[t + 1][r][c]} 6: ρ ← q ∗pα2+ β2 7: _{θ ← atan2(β, α)} 8: Ax ←√ρcos(θ₂) 9: Ay ←√ρsin(θ₂) 10: rot v ← ´equation 4.17

11: if rot v <_{−5.5 ∗ 1e − 9 k rot v > 5.5 ∗ 1e − 9 then}

12: S[t][r][c] ← 255 13: else 14: S[t][r][c] ← 0 15: end if 16: end for 17: end for 18: end for 45

(51)

Algorithme 6 Détection en utilisant l’accélération matérielle Entrée: Images I de dimensions: TxMxN

1: (vx, vy) ← Calculez avec l’algorithme 4

2: for _{t ∈ {0, ..., T − 2} do} 3: for _{r ∈ {0, ..., M − 1} do} 4: for _{c ∈ {0, ..., N − 1} do} 5: (∂vx ∂x, ∂vy ∂x) ← ´equations 4.19 et 4.20 6: (∂vx ∂y, ∂vy ∂y) ← ´equations 4.21 et 4.22 7: (∂vx ∂t , ∂vy

∂t ) ← estimez par diff´erences finies

8: accx ← ∂v_∂tx + vx[t][r][c]∂v_∂xx + vy[t][r][c]∂v_∂yx

9: accy ← ∂v_∂ty + vx[t][r][c]∂v_∂xy + vy[t][r][c]∂v_∂yy

10: norme ← acc2_x+ acc2_y 11: if norme > 1e16 then

12: S[t][r][c] ← 255 13: else 14: S[t][r][c] ← 0 15: end if 16: end for 17: end for 18: end for

4.3 Combinaison entre le m´ecanisme d’attention et la dynamique de supraconductivit´e

Pour le moment le mécanisme d’attention et la dynamique de supraconductivité sont deux manières séparées de détecter le mouvement. Le mécanisme d’attention utilise un resumé des vérités de terrain. La dynamique de supraconductivité utilise

(52)

ment les pixels de l’image. On va maintenant combiner ces deux techniques pour faire la détection de mouvement et aussi pour obtenir les résultats numériques en termes de score F1. La combinaison se fait de la manière suivante. Le mécanisme d’attention nous donne des rectangles qui désignent des positions en mouvement (mais pas tou-jours). La dynamique de supraconductivité nous donne les contours des objets en mouvement. On va dessiner les contours des objets dans les rectangles donnés par √

XYT_{. On parcourt l’image}√_XYT _{en mettant les pixels `a z´ero. Le parcours se fait}

de gauche à droite puis de droite à gauche, de haut en bas puis de bas en haut. On arrête de mettre les pixels à zéro dès que l’on rencontre un pixel en mouvement détecté par la dynamique de supraconductivité. Dans ce qui suit se trouve l’algorithme de combinaison appellé ici super.

(53)

Algorithme 7 Super

Entr´ees: Images binaires IS et IProdExt de dimensions TxMxN obtenues respec-tivement avec l’algo 4 et le m´ecanisme d’attention

Sortie: IS: TxMxN

1: for _{t ∈ {0, ..., T − 1} do}

2: for _{r ∈ {0, ..., M − 1} do}

3: for _{c ∈ {0, ..., N − 1} do}

4: if IS[t][r][c] == 255 and IProdExt[t][r][c] == 0 then

5: IS[t][r][c] ← 0

6: else

8: _{c ← N} 9: end if 10: end if 11: end for 12: end for 13: end for 14: for _{t ∈ {0, ..., T − 1} do} 15: for _{r ∈ {0, ..., M − 1} do} 16: for _{c ∈ {N − 1, ..., 0} do}

18: _{IS[t][r][c] ← 0}

19: else

21: _{c ← −1} 22: end if 23: end if 24: end for 25: end for 26: end for ₄₈

(54)

1: for _{t ∈ {0, ..., T − 1} do}

2: for _{c ∈ {0, ..., N − 1} do}

3: for _{r ∈ {0, ..., M − 1} do}

5: _{IS[t][r][c] ← 0}

6: else

8: r ← M 9: end if 10: end if 11: end for 12: end for 13: end for 14: for _{t ∈ {0, ..., T − 1} do} 15: for _{c ∈ {0, ..., N − 1} do} 16: for _{r ∈ {M − 1, ..., 0} do}

18: IS[t][r][c] ← 0

19: else

21: _{r ← −1} 22: end if 23: end if 24: end for 25: end for 26: end for 27: return IS 49

(55)

Chapitre 5

R´

ESULTATS ET DISCUSSION

Dans ce qui suit les résultats obtenus sont montrés pour cinq séquences. Les images ont été redimensionnées pour l’affichage. Dans le résultat des images non redimensionnées, chaque pixel est soit noir, soit blanc. Une discussion des résultats est faite par la suite.

5.1 R´esultats

Ici sont montrés les résultats des différents algorithmes (4, 5, 6, et 7). L’algorithme 4 fait la détection en utilisant v. L’algorithme 5 fait la détection en utilisant le rotationnel de v. L’algorithme 6 fait la détection en utilisant l’accélération matérielle. Et enfin l’algorithme 7 (appellé ici super) fait la détection en combinant le résultat de l’algorithme 4 et le mécanisme d’attention.

(56)

Figure 5.1: streetLight - v

(57)

Figure 5.2: streetLight - rotationnel de v

(58)

Figure 5.3: streetLight - norme de l’accélération matérielle

(59)

Figure 5.4: streetLight - super

(60)

Figure 5.5: streetLight - v´erit´es de terrain

(61)

Figure 5.6: abandonedBox - v

(62)

Figure 5.7: abandonedBox - rotationnel de v

(63)

Figure 5.8: abandonedBox - norme de l’accélération matérielle

(64)

Figure 5.9: abandonedBox - super

(65)

Figure 5.10: abandonedBox - v´erit´es de terrain

(66)

Figure 5.11: intermittentPan - v

(67)

Figure 5.12: intermittentPan - rotationnel de v

(68)

Figure 5.13: intermittentPan - norme de l’accélération matérielle

(69)

Figure 5.14: intermittentPan - super

(70)

Figure 5.15: intermittentPan - v´erit´es de terrain

(71)

Figure 5.16: highway - v

(72)

Figure 5.17: highway - rotationnel de v

(73)

Figure 5.18: highway - norme de l’accélération matérielle

(74)

Figure 5.19: highway - super

(75)

Figure 5.20: highway - v´erit´es de terrain

(76)

Figure 5.21: streetCornerAtNight - v

(77)

Figure 5.22: streetCornerAtNight - rotationnel de v

(78)

Figure 5.23: streetCornerAtNight - norme de l’accélération matérielle

(79)

Figure 5.24: streetCornerAtNight - super

(80)

Figure 5.25: streetCornerAtNight - v´erit´es de terrain

(81)

Voici les résultats numériques en termes de score F1. Ils ont été arrondis au centième près. Plus le score F1 est élevé, mieux c’est. Les séquences de la base de données sont divisées en plusieurs catégories selon le type de mouvement qu’elles contiennent. Quelques abréviations ont été utilisées pour tenir dans la page. Voici à quoi elles réfèrent : dynBack réfère à la catégorie dynamic background et intobjctMot réfère à la catégorie intermittent object motion. La détection est faite en considérant les couleurs rouge, verte et bleu séparément. Un pixel est désigné comme étant en mouvement si une des trois couleurs est en mouvement. Le premier tableau compare les résultats, pour toutes les séquences, obtenus en utilisant le mécanisme d’attention et la combinaison entre le mécanisme d’attention et la dynamique de supraconduc-tivité (l’algorithme super). Le deuxième tableau fait une comparaison par catégorie par rapport à la meilleure technique publique 1 _{à ce jour qui est obtenu en}

combi-nant plusieurs algorithmes de d´etection de changement [3]. L’algorithme se nomme IUTIS-5 (In Unity There Is Strength).

S´EQUENCE # IMG DIM F1 √XYT _{∩ Z F1 SUPER}

highway 1700 320x240 0.63 0.91                baseline office 2050 360x240 0.73 0.85 pedestrians 1099 360x240 0.61 0.88 pets2006 1200 720x576 0.51 0.64 boats 7999 320x240 0.74 0.69                            dynBack canoe 1189 320x240 0.63 0.66 fountain01 1184 432x288 0.92 0.92 fountain02 1499 432x288 0.87 0.90 overpass 3000 320x240 0.79 0.84 fall 4000 720x480 0.86 0.86 1_{http://changedetection.net/} 76

(82)

badminton 1150 720x480 0.38 0.51                cameraJitter boulevard 2500 352x240 0.84 0.85 sidewalk 1200 352x240 0.88 0.90 traffic 1570 320x240 0.81 0.84 abandonedBox 4500 432x288 0.85 0.62                            intobjctMot parking 2500 320x240 0.95 0.42 streetLight 3200 320x240 0.96 0.69 sofa 2750 320x240 0.52 0.61 tramstop 3200 432x288 0.90 0.49 winterDriveway 2500 320x240 0.93 0.88 backdoor 2000 320x240 0.72 0.86                            shadow bungalows 1700 360x240 0.89 0.90 busStation 1250 360x240 0.74 0.83 cubicle 7400 352x240 0.75 0.87 peopleInShade 1199 380x244 0.77 0.77 copyMachine 3400 720x480 0.61 0.75 corridor 5400 320x240 0.75 0.65                      thermal library 4900 320x240 0.74 0.24 park 600 352x288 0.71 0.78 diningRoom 3700 320x240 0.72 0.69 lakeSide 6500 320x240 0.54 0.11 77

(83)

blizzard 7000 720x480 0.77 0.76                badWeather skating 3900 540x360 0.70 0.82 snowFall 6500 720x480 0.90 0.88 wetSnow 3500 720x540 0.71 0.85 port 0 17fps 3000 640x480 0.78 0.79                lowFramerate tramCrossroad 1fps 900 640x350 0.40 0.56 tunnelExit 0 35fps 4000 700x440 0.60 0.62 turnpike 0 5fps 1500 320x240 0.25 0.34 bridgeEntry 2500 630x430 0.86 0.65                            nightVideos busyBoulvard 2760 640x364 0.71 0.75 fluidHighway 1364 700x450 0.50 0.48 streetCornerAtNight 5200 595x245 0.80 0.87 tramStation 3000 480x295 0.63 0.78 winterStreet 1785 624x420 0.66 0.62 continuousPan 1700 704x480 0.75 0.76                ptz intermittentPan 3500 560x368 0.60 0.66 twoPositionPtzCam 2300 570x340 0.63 0.81 zoomInZoomOut 1130 320x240 0.84 0.93 turbulence0 5000 720x480 0.94 0.96                turbulence turbulence1 4000 720x480 0.74 0.79 turbulence2 4500 645x315 0.98 0.98 turbulence3 2200 720x486 0.84 0.87 78

(84)

Cat´egorie F1 √XYT _{∩ Z F1 SUPER F1 IUTIS-5} baseline 0.62 0.82 0.9567 dynamicBackground 0.80 0.81 0.8902 cameraJitter 0.73 0.78 0.8332 intermittentObjectMotion 0.85 0.62 0.7296 shadow 0.75 0.83 0.9084 thermal 0.70 0.49 0.8303 badWeather 0.77 0.83 0.8289 lowFramerate 0.51 0.58 0.7911 nightVideos 0.69 0.69 0.5132 ptz 0.71 0.79 0.4703 turbulence 0.88 0.9 0.8507 79

(85)

5.2 Discussion

Tout d’abord on remarque que dans la plupart des cas les r´esultats de l’algorithme super sont meilleurs que ceux de √XYT _{∩ Z. Cependant cela est moins vrai pour}

la catégorie intermittent object motion où on a des objets en mouvement par inter-mittence. Cela peut se comprendre car même si l’objet en mouvement est à l’arrêt √

XYT _{∩ Z donne toujours des rectangles pourvu qu’il y ait dans l’image quelque}

chose en mouvement. Concernant la dynamique de supraconductivité, d’un point de vue qualitatif, il est évident que tout ce qui est détecté comme étant en mouvement n’est pas forcément en mouvement. Aussi tout ce qui est détecté comme étant im-mobile n’est pas forcément imim-mobile. Les objets qui étaient en mouvement puis qui s’arrêtent ne sont pas aussi bien détectés. Le seuillage choisi y est certainement pour quelque chose, mais tout ne doit pas se résumer au seuillage. Les conditions (notam-ment en terme d’images par seconde) sous lesquelles les séquences ont été enregistrées doivent être analysées plus en profondeur. Il y a aussi le fait que α et β partagent la même position spatiale en des temps differents. Malgrés tout, differents types de mouvement sont quand même détectés. Cela peut s’apprécier notamment dans les séquences qui contiennent un feu de signalisation du type rouge, jaune et vert. Au feu rouge, les objets sont à l’arrêts et sont moins bien détectés. Au feu vert les objets prennent de la vitesse et sont nettement mieux détectés par le système. Visuellement, si détectés, la forme globale des objets est très bien conservée. Les distorsions d’objets (si elles existent) sont vraiment mineures. Ceci est plus difficile à réaliser avec les méthodes de type corrélation de fenêtres car cela devrait probablement impliquer un matching de fenêtres à multi échelles.

Cependant face à l’algorithme IUTIS-5 des progrès restent à faire. Cela peut se comprendre car l’algorithme IUTIS-5 est le résultat de la combinaison de plusieurs algorithmes de détection de changement. Combinaison faite avec l’aide de la program-mation génétique. Une manière potentielle d’améliorer les résultats numériques serait

(86)

de voir s’il est possible de combiner les algorithmes 4, 5, et 6 pour faire la détection de mouvement. Car après tout, le vecteur vitesse donne la vitesse en un pixel, le rotationnel du vecteur vitesse donne la tendance en un point à être en rotation et la norme de l’accélération matérielle donne une force qui s’applique en un point. Donc pour chaque pixel nous disposons de trois informations relatives au mouvement. Notons aussi que par l’utilisation des trois images provenant des vérités de terrain, l’algorithme super est avantagé par rapport à l’algorithme IUTIS-5 qui n’utilise pas les vérités de terrain dans sa solution.

(87)

Chapitre 6

CONCLUSION

Dans ce mémoire nous nous sommes intéressés au problème de détection de mou-vement dans des séquences d’images. La solution étudiée pour résoudre ce problème peut être décomposée en deux parties. Une première partie qui utilise un résumé des vérités de terrain comme mécanisme d’attention et une deuxième partie qui utilise la dynamique de supraconductivité comme détecteur de mouvement général. La combi-naison de ces deux techniques (l’algorithme super) donne des résultats parfois assez proches ou même meilleurs que ceux de la meilleure méthode à ce jour. Cependant face à l’algorithme IUTIS-5, l’algorithme super est avantagé à cause du méchanisme d’attention. Concernant la dynamique de supraconductivité, le cadre considéré nous permet d’obtenir entre autres pour chaque pixel : un vecteur vitesse, un vecteur accélération ainsi que le rotationnel du vecteur vitesse. Des éléments qui peuvent sans doute aider à la compréhension de ce phénomène déroutant qu’est la perception visuelle du mouvement.

Comme mentionné dans le chapitre sur les flots optiques, l’équation de continuité est à la base de plusieurs méthodes qui calculent le flot optique. L’exploration des équations de supraconductivité pour la modélisation du flot optique tient en deux raisons prin-cipales. La premiere raison tient au fait que l’équation de continuité apparait dans la dynamique de supraconductivité et je n’ai pas trouvé dans la littérature une méthode utilisant la dynamique de supraconductivité pour le calcul des flots optiques. La deuxième raison tient au fait que la divergence du flot optique résultant de la dy-namique de supraconductivité n’est pas nulle. On s’affranchit donc de l’hypothèse de l’invariance lumineuse. Voilà ce qui a motivé notre approche.

(88)

vecteur vitesse se font assez rapidement, de l’ordre de quelques secondes pour la plu-part des séquences. Le calcul de l’accélération matérielle prend un peu plus de temps car pour l’obtenir il faut aussi calculer le vecteur vitesse. Remarquons aussi que du fait de leurs structures, les algorithmes 4, 5 et 6 sont parallélisables. Cela veux dire qu’une implémentation parallèle de ces algorithmes devrait réduire encore un peu plus le temps d’exécution.

Pour la suite, il faudrait faire une étude statistique plus détaillée des angles du vecteur vitesse afin de pouvoir mieux classifier les zones mobiles et immobiles.

(89)

R´

EF´

ERENCES

[1] Yilmaz Alper, Javed Omar, and Mubarak Shah. Object tracking: A survey.

ACM Computing Surveys, 38(4), 2006.

[2] M. Bertalmio, A. L. Bertozzi, and G. Sapiro. Navier-stokes, fluid dynamics, and image and video inpainting. In Proc. IEEE Computer Vision and Pattern

Recognition (CVPR, pages 355–362, 2001.

[3] Simone Bianco, Gianluigi Ciocca, and Raimondo Schettini. How far can you get by combining change detection algorithms? CoRR, abs/1505.02921, 2015. [4] G. Carcassi. Derivation of Hamiltonian mechanics from determinism and

re-versibility. ArXiv e-prints, April 2013.

[5] Rumelhart David E., McClelland James L., and the PDP Research Group.

Par-allel Distributed Processing: Explorations in the microstructure of cognition,

vol-ume I: Foundations. The MIT Press, 1986.

[6] Massimo De Gregorio and Maurizio Giordano. Change detection with weight-less neural networks. In Proceedings of the 2014 IEEE Conference on Computer

Vision and Pattern Recognition Workshops, CVPRW ’14, pages 409–413,

Wash-ington, DC, USA, 2014. IEEE Computer Society.

[7] Benson Harris. University Physics. Wiley, 1996. 3 volumes.

[8] Hanna Kamyshanska and Roland Memisevic. The potential energy of an autoen-coder. IEEE Trans. Pattern Anal. Mach. Intell., 37(6):1261–1273, 2015.

(90)

[9] Cejnog Luciano Walenty Xavier. Implementation and evaluation of differential optical flow methods. 2013.

[10] Yingjie Miao and Jason J. Corso. Hamiltonian streamline guided feature extrac-tion with applicaextrac-tions to face detecextrac-tion. CoRR, abs/1108.3525, 2011.

[11] Sedky Mohamed, Moniri Mansour, and Chibelushi Claude C. Spectral 360: A physics-based technique for change detection. CVPR2014 workshop, 2014. [12] Neal Radford M. Handbook of Markov Chain Monte Carlo, chapter MCMC using

Hamiltonian dynamics. Chapman & Hall, 2011.

[13] Aasim Rafique, Ahmad Muqeem Sheri, and Moongu Jeon. Background scene modeling for PTZ cameras using RBM. In The International Conference on

Control, Automation and Information Sciences, ICCAIS 2014, Gwangju, South Korea, December 2-5, 2014, pages 165–169, 2014.

[14] Feynman Richard, Leighton Robert B., and Matthew L. Sands. The Feynman

Lectures on Physics. Addison-Wesley, 1963. 3 volumes.

[15] Sam Roweis and Zoubin Ghahramani. A unifying review of linear gaussian mod-els. Neural Comput., 11(2):305–345, February 1999.

[16] Stuart Russell and Norvig Peter. Artificial Intelligence: A modern Approah. Prentice Hall, 2003.

[17] Steven H. Strogatz. Nonlinear dynamics and chaos. Perseus Books Publishing, LLC, 2000.

[18] Linli Xu, Yitan Li, Yubo Wang, and Enhong Chen. Temporally adaptive re-stricted boltzmann machine for background modeling. In Proceedings of the

(91)

Twenty-Ninth AAAI Conference on Artificial Intelligence, AAAI’15, pages 1938–

1944. AAAI Press, 2015.

[19] Pei Xu, Mao Ye, Xue Li, Qihe Liu, Yi Yang, and Jian Ding. Dynamic background learning through deep auto-encoder networks. In Proceedings of the 22Nd ACM

International Conference on Multimedia, MM ’14, pages 107–116, New York,

NY, USA, 2014. ACM.

[20] Wang Yi, Jodoin Pierre-Marc, Porikli Fatih, Konrad Janusz, Benezeth Yannick, and Ishwar Prakash. Cdnet 2014: An expanded change detection benchmark dataset. CVPR2014 workshop, 2014.

[21] Zoran Zivkovic. Improved adaptive gaussian mixture model for background sub-traction. In Proceedings of the Pattern Recognition, 17th International

Confer-ence on (ICPR’04) Volume 2 - Volume 02, ICPR ’04, pages 28–31, Washington,

DC, USA, 2004. IEEE Computer Society.

(92)

Annexe A

Cette annexe contient les démonstrations mathématiques de certaines formules utilisées. Voici les relations à démontrer :

∂P ∂t = −∇ · ( 1 2mψ ∗₍¯h i∇ − qA)ψ + 1 2mψ( ¯h i∇ − qA)ψ ∗₎ _(A.1) J = ¯h m( 1 2∇θ − 1 ¯hqA)ρ (A.2) ∇ × v = (0, 0, −_mq ( 1 2√ρsin( θ 2) ∂ρ ∂x + 1 2 ∂θ ∂xAx− 1 2√ρcos( θ 2) ∂ρ ∂y + 1 2 ∂θ ∂yAy)) (A.3)

(93)

Montrez que ∂P ∂t = −∇ · ( 1 2mψ ∗₍¯h i∇ − qA)ψ + 1 2mψ( ¯h i∇ − qA)ψ ∗₎ _(A.4) On a P = ψ∗_ψ _(A.5) Donc ∂P ∂t = ψ ∗∂ψ ∂t + ψ ∂ψ∗ ∂t (A.6)

L’´equation de Schr¨odinger donne

−¯h_i∂ψ_∂t = Hψ (A.7) H a pour formule H = _2m1 (¯h i∇ − qA) · ( ¯h i∇ − qA) + qφ (A.8) Alors ∂ψ ∂t = − i ¯h( 1 2m( ¯h i∇ − qA) · ( ¯h i∇ − qA)ψ + qφψ) (A.9) On en d´eduit que ∂ψ∗ ∂t = i ¯h( 1 2m( ¯h −i∇ − qA) · ( ¯h −i∇ − qA)ψ ∗_{+ qφψ}∗₎ _(A.10)

Tout ceci nous conduit `a l’expression suivante

∂P ∂t = − i ¯h( 1 2mψ ∗₍¯h i∇−qA)·( ¯h i∇−qA)ψ+qφψ ∗_ψ− 1 2mψ(− ¯h i∇−qA)·(− ¯h i∇−qA)ψ ∗_−qφψψ∗₎ (A.11) 88

(94)

En développant et en simplifiant l’expression précédente on a ∂P ∂t = −1 2m( ¯h iψ ∗_∇2_ψ−qAψ∗_∇ψ−ψ∗_∇·qAψ+i ¯hψ ∗_(qA)2_ψ−¯h iψ∇ 2_ψ∗_−ψqA∇ψ∗_{−ψ∇·qAψ}∗₋i ¯h(qA) 2_ψ∗ (A.12) Ce qui donne ∂P ∂t = − 1 2m( ¯h iψ ∗_∇2_{ψ − qAψ}∗_{∇ψ − ψ}∗_{∇ · qAψ −} ¯h iψ∇ 2_ψ∗_{− qAψ∇ψ}∗_{− ψ∇ · qAψ}∗₎ (A.13) On constate les relations suivantes

ψ∗_∇2_{ψ = ∇ · ψ}∗_{∇ψ − ∇ · ψ}∗_.∇ψ _(A.14)

ψ∇2ψ∗ _{= ∇ · ψ∇ψ}∗_{− ∇ · ψ.∇ψ}∗ _(A.15)

qAψ∗_{∇ψ + ψ∇ · qAψ}∗ _{= ∇ · ψqAψ}∗ _(A.16)

qAψ∇ψ∗_{+ ψ}∗_{∇ · qAψ = ∇ · ψ}∗_qAψ _(A.17)

Ce qui fait que

∂P ∂t = − 1 2m( ¯h i∇ · ψ ∗_{∇ψ −}¯h i∇ · ψ∇ψ

∗_{− ∇ · ψqAψ}∗_{− ∇ · ψ}∗_qAψ) _(A.18)

Il fallait montrer que ∂P ∂t = −∇ · ( 1 2mψ ∗₍¯h i∇ − qA)ψ + 1 2mψ( ¯h i∇ − qA)ψ ∗₎ _(A.19)

En d´eveloppant cette expression on a

∂P ∂t = − 1 2m(∇ · ψ ∗¯h i∇ψ − ∇ · ψ ∗_{qAψ − ∇ · ψ}¯h i∇ψ ∗_{− ∇ · ψqAψ}∗₎ _(A.20)

ce qui est identique `a l’´equation A.18

(95)

Montrez que J = ¯h m( 1 2∇θ − 1 ¯hqA)ρ (A.21)

On a les relations suivantes déjà établies

∂P ∂t = −∇.J (A.22) ψ = ρ1/2eiθ/2 (A.23) ψ∗ _{= ρ}1/2_e−iθ/2 _(A.24) Ce qui donne J = 1 2mρ 1/2_e−iθ/2₍¯h i∇ − qA)ρ 1/2_eiθ/2₊ 1 2mρ 1/2_eiθ/2

(−¯h_i∇ − qA)ρ1/2e−iθ/2 _(A.25)

Donc J = 1 2mρ 1/2_e−iθ/2¯h i∇ρ 1/2_eiθ/2

−_2m1 ρqA−_2m1 ¯h_iρ1/2eiθ/2_∇ρ1/2e−iθ/2₋ 1

2mρqA (A.26) On a ∇ρ1/2eiθ/2 = (∂ρ 1/2_eiθ/2 ∂x , ∂ρ1/2_eiθ/2 ∂y ) (A.27) ∇ρ1/2e−iθ/2 _{= (}∂ρ 1/2_e−iθ/2 ∂x , ∂ρ1/2_e−iθ/2 ∂y ) (A.28)

La règle du produit des dérivées donne

∂ρ1/2_eiθ/2 ∂x = 1 2 1 √_ρeiθ/2∂ρ ∂x + i 2 √_ρeiθ/2∂θ ∂x (A.29) ∂ρ1/2_e−iθ/2 ∂x = 1 2 1 √_ρe−iθ/2∂ρ ∂x − i 2 √ ρe−iθ/2∂θ ∂x (A.30) 90

(96)

Similairement ∂ρ1/2_eiθ/2 ∂y = 1 2 1 √_ρeiθ/2∂ρ ∂y + i 2 √_ρeiθ/2∂θ ∂y (A.31) ∂ρ1/2_e−iθ/2 ∂y = 1 2 1 √_ρe−iθ/2∂ρ ∂y − i 2 √_ρe−iθ/2∂θ ∂y (A.32)

En rempla¸cant les dérivées par leurs expressions et en simplifiant on arrive à la relation suivante 1 2mρ 1/2_e−iθ/2¯h i∇ρ 1/2_eiθ/2 −_2m1 ¯h_iρ1/2eiθ/2_∇ρ1/2e−iθ/2 _{= ¯h} 1 2mρ∇θ (A.33) Donc J = −1 mρqA + ¯h 1 2mρ∇θ (A.34)

En factorisant cette expression on obtient la relation `a d´emontrer

J = ¯h m( 1 2∇θ − 1 ¯hqA)ρ (A.35) 91

(97)

Montrez que ∇ × v = (0, 0, −_mq( 1 2√ρsin( θ 2) ∂ρ ∂x + 1 2 ∂θ ∂xAx− 1 2√ρcos( θ 2) ∂ρ ∂y + 1 2 ∂θ ∂yAy)) (A.36) On a d´ej`a la relation suivante

v = 1 m(

1

2¯h∇θ − qA) (A.37)

Comme le rotationnel d’un gradient est toujours nul, on a

∇ × v = −_mq ∇ × A (A.38)

Si on consid`ere que A = (Ax, Ay, Az) avec Az = 0 alors

∇ × A = (∂A_∂yz − ∂A_∂zy,∂Ax ∂z − ∂Az ∂x , ∂Ay ∂x − ∂Ax ∂y ) (A.39) Comme Az = 0 alors

∇ × A = (0, 0,∂A_∂xy −∂A_∂yx) (A.40)

On a Ax = √ρcos(θ₂) et Ay = √ρsin(θ₂)

Ce qui fait que

∂Ay ∂x = 1 2√ρsin( θ 2) ∂ρ ∂x + 1 2 ∂θ ∂xAx (A.41) Et ∂Ax ∂y = 1 2√ρcos( θ 2) ∂ρ ∂y + 1 2 ∂θ ∂yAy (A.42) D’o`u ∇ × A = (0, 0,_2√ρ1 sin(θ 2) ∂ρ ∂x + 1 2 ∂θ ∂xAx− 1 2√ρcos( θ 2) ∂ρ ∂y + 1 2 ∂θ ∂yAy) (A.43) 92

(98)

En se rappelant l’´equation A.38, on a bien que ∇ × v = (0, 0, −_mq( 1 2√ρsin( θ 2) ∂ρ ∂x + 1 2 ∂θ ∂xAx− 1 2√ρcos( θ 2) ∂ρ ∂y + 1 2 ∂θ ∂yAy)) (A.44) 93