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Exercice 1 Expression de f (t) :

Pour tout t de [ 0,2 ; 9 ], ln(2 t) = ln(2) + ln(t) donc f (t) = 30 – 10 ln(2) – 10 ln(t) 2.a) Calcul de f ’(t) :

- Formules : Dans le tableau ci-dessous, g ’ désigne la fonction dérivée d’une fonction g :

g(x) constante réelle k ln(x) k ln(x) g ’(x) 0 x 1 x k - Pour tout t de [ 0,2 ; 9 ], f ’(t) = – t 10

car 30 et -10 ln 2 sont des constantes (ne dépendent pas de t). 2.a) Signe de f ’(t) et variations de f :

Pour tout t de [ 0,2 ; 9 ], t 10 > 0 donc – t 10 < 0 et donc, f ’(t) < 0. Il en résulte que la fonction f est décroissante sur [ 0,2 ; 9 ].

3.a) Tableau de valeurs de f arrondies à l’unité :

t 0,2 0,5 1 2 3 4 5 7 9

f(t) 39 30 23 16 12 9 7 4 1

3.b) Courbe représentative (Cf) :

4) Inéquation f (t) ≤ 5 :

Graphiquement, les solutions de cette inéquation sont les abscisses t des points de la courbe (Cf) situés au dessous

de la droite d’équation y = 5 ou sur cette droite.

Par lecture graphique, l’ensemble des solutions est l’intervalle [ 6,1 ; 9 ].

Interprétation : Environ 6,1 heures après l’application du désinfectant, et au-delà, la quantité de bactéries au cm2

est inférieure à 5 milliers. 5.a) Egalités équivalentes :

Les égalités suivantes sont équivalentes :

f (t) = 20 ; 30 – 10 ln(2 t) = 20 ; – 10 ln(2 t) = – 10 ; ln(2 t) = 1

Donc, résoudre l’équation f (t) = 20 revient à résoudre l’équation ln(2 t) = 1. 5.b) Résolution :

Bac blanc mathématiques

– Avril 2013- Durée 2h

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Les équations suivantes sont équivalentes :

ln(2 t) = 1 ; eln( t2) = e1 ; 2 t = e car eln( t2) = 2 t L’équation ln(2 t) = 1 admet la solution

2 e soit 1,4 à 10 – 1 près. Exercice 2 PARTIE A 1°) Réseau

Age (ans) Facebook Twitter My Space Autres Total

Moins de 18 115 77 20 8 220

[18 ; 25[ 148 273 14 15 450

[25 ; 40[ 107 60 66 97 330

Total 370 410 100 120 1000

2°)

a) Le réseau social le plus utilisé est Twitter (410 internautes).

b) 410/1000 = 0,41 ; donc le pourcentage des internautes qui utilisent Twitter est égal à 41%. c) 273/450 = 0,6067 ; Environ 61% des internautes âgés de 18 à moins de 25 ans préfèrent Twitter d) 330/1000 = 0,33 ; donc le pourcentage des internautes âgés de 25 à moins de 40 ans est égal à 33%. e) 115/1000 ; donc le pourcentage des internautes âgés de moins de 18 ans et utilisateurs de Facebook

est égal à 11,5%, soit environ 12%.

PARTIE B 1°) Age (ans) [9 ; 16[ [16 ; 18[ [18 ; 25[ [25 ; 30[ [30 ; 40[ Total Effectif ni 80 148 270 110 92 700 Centre xi 12,5 17 21,5 27,5 35

2°) 15566/700 = 22,24 donc la moyenne d’âge x des 700 utilisateurs de Twitter est environ égale à 22,2 ans.

3°) L’écart-type

σ

σ

σ

Au vu de la courbe des fréquences cumulées croissantes de l’annexe D, environ 10% des internautes ont moins de 15 ans et 84% ont au plus 29 ans.

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Exercice 3

Ci-dessous, la représentation graphique (Cg) de la fonction g et la tangente (D) à (Cg) au point d’abscisse 0,5 :

(D) est parallèle à l’axe des abscisses.

Questions Réponses

L’image par g de 4 est – 6 (voir graphique ci-dessus) L’équation g(x) = 0 a pour solution(s) – 2 et 3(voir graphique ci-dessus) L’ensemble des solutions de l’inéquation g(x) > 0 est ]– 2 ; 3 [

Sur l’intervalle [– 3 ; 0,5 ] la fonction g est croissante

g admet un maximum pour x égal à 0,5 (voir graphique ci-dessus) Le coefficient directeur de la droite (D) est 0 (droite horizontale)

Une équation de la droite (D) est y = 6,25 (les points de la droite D ont en commun

leur ordonnée qui vaut 6.25) La fonction g est définie sur [– 3 ; 4 ] par g(x) = – x2 + x + 6.

Une primitive de g est donc la fonction G définie sur [– 3 ; 4 ] par G(x) = – 3

3 x + 2 2 x + 6 x – 7 L’intégrale

∫

0 g(x)dx a pour une valeur comprise entre

12 et 15 (cette intégrale représente l’aire de la partie grisée ci-dessous. Il suffit de compter le nombre d’unités d’aire : rectangle de 1 unité x 1 unité)