Travaux dirigés
PC
∗Topologie et continuité
Exercice 1 Justifier que On(R) est une partie fermée et bornée de Mn(R).
Exercice 2 On suppose que A est une partie convexe d’un espace vectoriel normé E. a) Montrer que A est convexe.
b) Montrer que ˚A est convexe.
Exercice 3 Soit A une partie non vide de E, et x ∈ E. On pose d(x, A) = infnkx − ak a∈A
o .
a) Justifier que si A est fermé et borné, il existe pour tout x ∈ E un point a0∈A tel que kx − a0k= d(x, A), puis montrer
que cette propriété reste vraie lorsqu’on suppose uniquement A fermé.
b) Soient A et B deux parties fermées d’un même espace vectoriel normé E tels que A ∩ B = . Montrer qu’il existe deux ouverts U et V tels que A ⊂ U, B ⊂ V et U ∩ V = .
Exercice 4 Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie, et A une partie fermée et bornée de E. Montrer l’existence de (a, b) ∈ A2tels que pour tout (x, y) ∈ A2, kx − yk 6 ka − bk.
Exercice 5 Soit f : R2→ Rune fonction continue et C un cercle de centre O = (0, 0) et de rayon r. a) Montrer qu’il existe deux points A et B diamétralement opposés de C tels que f (A) = f (B).
b) Montrer qu’il existe deux points C et D de C, se déduisant l’un de l’autre par un quart de tour, tels que f (C) = f (D). Exercice 6 Soit E un K-espace vectoriel normé de dimension finie et f : E → E une fonction k-lipschitzienne avec
k ∈ ]0, 1[.
a) Soit (xn) une suite de E telle que que la série
X
kxnkconverge. Justifier que la sérieXxnconverge.
b) Soit (xn) une suite définie par la donnée de x0∈E et la relation xn+1= f (xn). Montrer que la suite (xn) converge (utiliser
la question précédente).
c) En déduire que f possède un unique point fixe.
Exercice 7 Soit E un espace vectoriel normé de dimension finie, et A une partie fermée et bornée de E. On considère une fonction k-lipschitzienne f : A → A avec k ∈ ]0, 1[.
Montrer que f possède un unique point fixe.
Exercice 8 Soit f : R → R une application de classeC1. On définit g : R × R → R en posant
g(x, y) = f (x) − f (y) x − y si x , y f0(x) si x = y Montrer que g est continue.
