Minimum géométrique
Samuel Rochetin
Dimanche 17 avril 2016
Énoncé. Hypatie construit un pont pour aller de A en B. Où doit-elle le placer, parallèlement à (d), pour minimiser son trajet ?
(d)
•A
• B
Solution. Traçons un trajet quelconque :
(d) •A • B • M • N
La longueur du trajet est AM + M N + N B. Puisque la longueur M N est fixe, Hypatie doit minimiser AM + N B. Elle a l’idée de réagencer les portions du trajet en introduisant le point A0 défini par−−→AA0 =−−→M N :
(d) •A • A0 • B • N
Par définition de A0, AM N A0 est un parallélogramme donc A0N = AM , donc A0N + N B = AM + N B. Puisque A0, B sont fixes, Hypatie doit placer le point N de façon à minimiser A0N + N B. D’après l’inégalité triangulaire A0N + N B ≥ A0B, la valeur minimale de A0N + N B est atteinte si les points A0, N, B sont alignés : (d) •A • A0 • B • N
Ce qui donne, après réagencement, le trajet minimal d’Hypatie, atteint si (AM ) k (BN ) : (d) •A • B • M • N 2
