VARIABLE ALEATOIRE
Ω est un ensemble rapporté à une loi de probabilité P.
I) Définitions
1) Définition : on appelle variable aléatoire toute application X de Ω dans ℝ, qui à chaque événement élémentaire de Ω associe un nombre réel.
Lorsque x1 ; x2 ; ... ; xn sont les valeurs prises par une variable aléatoire X, on note (X = xi) l’événement « X prend la valeur xi ».
2.a) Loi de probabilité d’une variable aléatoire X : c’est la fonction qui à toute valeur xi de X associe le réel pi qui est la probabilité de l’événement (X = xi).
Une loi de probabilité P est souvent donnée par un tableau ou par une formule.
b) Exemple : on considère le tirage de 2 pièces parfaitement équilibrées. Ω = {FF ; FP ; PF ; PP}. A chaque éventualité, on associe le nombre de fois où F apparaît. On définit alors la variable aléatoire X qui prend les valeurs 0 ; 1 ou 2.
p(X =0) = 4 1 car (X =0) = {PP}, p(X = 1) = 2 1 car (X =1) = {PF ; FP} et p(X =2) = 4 1 car (X =2) = {FF}. La loi de probabilité P de X
est donnée par le tableau :
xi 0 1 2 p(X=xi) 4 1 2 1 4 1
II) Espérance, variance et écart type
Dans ce paragraphe, X désigne une variable aléatoire sur Ω prenant les valeurs {x1 ; x2 ; ... ; xn}. 1) L’espérance mathématique de X est le réel :
E =
=
n
i 1
xì×p(X=xì) = x1×p(X=x1) + x2×p(X=x2) + … + xn×p(X=xn) 2) La variance de X est le réel :
V =
=
n
i 1
p(X=xì)×(xi – E)2 = p(X=x1)×(x1 – E)2 + p(X=x2)×(x2 – E)2 + … + p(X=xn)×(xn – E)2 3) L’écart type de X est le réel positif σ = V .
4) Exemple : on reprend la loi définie au II.2) : nombre de fois où Face est sorti lors du tirage de deux pièces parfaitement équilibrées.
E = 0 × + 1 × + 2 × = 1 ;
V = × 0 − 1 + × 1 − 1 + × 2 − 1 = ; σ = = √ ≈ 0,7071 .
III) Effet d’un chagement affine
X est une variable aléatoire prenant les valeurs xi et avec la probabilité pi; a et b sont deux réels quelconques. Soit Y la variable aléatoire définie par Y = aX + b.
1) Sur l’espérance : E(Y) = E(aX + b) =
=
n
i 1
(axì + b)×pi = (ax1 + b)p1 + (ax2 + b)p2 + ... + (axn + b)pn = ax1p1 + bp1 + ax2p2 + bp2 + ... + axnpn + bpn = ax1p1 + ax2p2 + ... + axnpn + bp1 + bp2 + ... bpn = a(x1p1 + x2p2 + ... + xnpn) + b(p1 + p2 + ... pn)
= a E(X) + b × 1 = aE(X) + b
2) Sur la variance et l’écart-type : V(Y) =
= n i 1 pì×(axi + b – E(Y))2 =
= n i 1 pì×(axi + b – aE(X) – b)2 =
= n i 1 pì×(axi – aE(X))2 =
= n i 1 pì×a2(xi – E(X))2 = a2
= n i 1 pì(xi – E(X))2 = a2 V(X). Donc σ(Y) = Y = X = √ X = | | X . V(aX + b) = a2 V(X) et σ(aX + b) = | |3) Remarque : a désigne un réel quelconque, | | désigne la valeur absolue du réel a. Elle vérifie la définition suivante : si a ⩾ 0, alors | | = a, et si a < 0 alors | | = –a.
Par exemple, 7 ⩾ 0 donc |7| = 7. –3 < 0 donc |−3| = –(–3) = 3 Dans tous les cas, | | ⩾ 0.
4) Application : Soit X une variable aléatoire dont l’espérance est 18,2 et l’écart-type 2,1. Soit Y la variable aléatoire définie par Y = –3X + 1.
