Optimistation par réseaux de neurones du potentiel de découverte du boson de Higgs dans le canal H ->ZZ* ->4e± sur le détecteur CMS, et étude des primitives de déclenchement du calorimètre électromagnétique

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découverte du boson de Higgs dans le canal H ->ZZ*

->4e

± sur le détecteur CMS, et étude des primitives de

déclenchement du calorimètre électromagnétique

Stéphane Bimbot

To cite this version:

Stéphane Bimbot. Optimistation par réseaux de neurones du potentiel de découverte du boson de

Higgs dans le canal H ->ZZ* ->4e

± sur le détecteur CMS, et étude des primitives de déclenchement

du calorimètre électromagnétique. Physique [physics]. Ecole Polytechnique X, 2006. Français.

�pastel-00002590�

Optimisation par réseaux de neurones

du potentiel de dé ouverte du boson de Higgs

dans le anal

H

→ ZZ

∗

_{→ 2e}

+

2e

−

sur le déte teur CMS

et étude des primitives de dé len hement du

alorimètre éle tromagnétique

Stéphane BIMBOT

Thèse soutenue le 19 o tobre 2006

Composition du jury :

Bernard Ille Président du jury & rapporteur Corinne Augier Rapporteur

Ludwik Dobrzynski Dire teur de thèse Pas al Paganini Co-Dire teur de thèse

Introdu tion 7

1 Le boson de Higgs : fondements théoriques et prin ipales

ara téristiques 11

1.1 Lesbases dumodèle standard . . . 11

1.2 Invarian e de jauge etmédiateurs desintera tions . . . 13

1.2.1 L'exemplede l'éle trodynamique quantique . . . 14

1.2.2 Intera tion éle trofaible . . . 15

1.3 Le mé anismede Higgs. . . 16

1.3.1 Le mé anismede Higgsappliqué au groupeU(1) . . . 16

1.3.2 Le mé anismede Higgsdans lathéorieéle trofaible . . 19

1.4 Contraintes surlamassedubosonde Higgs . . . 20

1.4.1 Contraintes théoriquessurlamassedu Higgs . . . 20

1.4.2 Contraintes expérimentalesindire tes surlamassedu Higgs . . . 25

1.4.3 Contraintes expérimentales dire tes sur la masse du bosonde Higgs . . . 28

1.5 Modes deprodu tion etde désintégration dubosonde Higgs auLHC . . . 31

1.5.1 Produ tiondu bosondeHiggs. . . 31

1.5.2 Désintégration dubosondeHiggs . . . 33

1.6 Con lusion. . . 36

2 La situation expérimentale 39 2.1 Introdu tion . . . 39

2.2 Lesexpérien es ne her hant pasdire tement leHiggs . . . . 40

2.3 Lesexpérien es à lare her he duHiggs . . . 42

2.3.1 Le LEPau CERN . . . 42

2.3.2 Le Tévatron auFermilab. . . 48

2.3.3 Le LHCau CERN . . . 51

3 LHC et CMS : présentation te hnique 59 3.1 Cara téristiques duLHC . . . 59

3.2 Cara téristiques te hniquesde CMS . . . 61 3.2.1 Traje tographe . . . 62 3.2.2 Calorimètreéle tromagnétique . . . 68 3.2.3 Calorimètrehadronique . . . 69 3.2.4 Solénoïde . . . 71 3.2.5 Déte teursdemuons . . . 71

3.3 Les ara téristiquesdu alorimètre éle tromagnétique. . . 72

3.3.1 Géométrie . . . 72

3.3.2 Les ristauxde

PbWO

4

. . . 76

3.3.3 Conversionde lalumière . . . 77

3.3.4 L'éle troniquede le ture . . . 79

3.3.5 Résolutionen énergie. . . 81

3.3.6 Calibrationdes ristaux . . . 84

3.3.7 Monitorage . . . 86

3.4 Con lusion. . . 87

4 Parti ipation aux études menéesen fais eau test et élabora-tion d'un logi iel de simulation 89 4.1 Dispositif expérimental utilisé lors destestssurfais eaux . . . 90

4.2 Exemplesderésultatsobtenus surfais eau-test . . . 92

4.3 Re onstru tiondesdonnéesobtenueslors destests . . . 93

4.3.1 Des riptiondessignaux issusdu alorimètre . . . 93

4.3.2 Re onstru tionde l'énergie :laméthode despoids . . 97

4.3.3 Résolutionen énergie. . . 99

4.4 Simulationdesdonnées prisessur fais eau . . . 100

4.4.1 Geant4 etH4Sim . . . 101

4.4.2 g4Simulation . . . 101

4.4.3 Comparaisonde lasimulation etdesdonnées . . . 104

4.5 Con lusion. . . 106

5 Etude et analyse des primitives de dé len hement 107 5.1 Lepremier niveaude dé len hement deECAL . . . 108

5.2 LesTriggerPrimitives:des ription te hnique . . . 108

5.3 Comparaisonde lasimulation desTrigger Primitivesave les données . . . 112

5.4 Relationreliant laréponsedesTPG à l'énergieréelle . . . 116

5.5 Etude delarésolution en énergie . . . 118

5.6 Identi ation du roisement de fais eaux . . . 121

5.7 Con lusion. . . 122

6 Cara téristiques du anal

H → ZZ

∗

_{→ 4e}

±

125 6.1 Le bruit de fondphysique . . . 126

6.2.2 Simulationdel'énergiedéposéedanslesdiérentes

par-ties deCMS . . . 133

6.2.3 Simulation dessignauxde sortie . . . 134

6.3 Re onstru tiondeséle trons . . . 134

6.3.1 Identi ation deséle trons . . . 135

6.3.2 Optimisation de ladétermination desgrandeurs asso- iéesàl'éle tron . . . 139

6.4 Présentation desvariables potentiellement dis riminantes. . . 145

6.4.1 Triggers etprésele tions . . . 147

6.4.2 Impulsionstransverses . . . 148

6.4.3 Isolation . . . 151

6.4.4 Compatibilité devertex . . . 153

6.4.5 Masses invariantes re onstruites par les deux paires éle tron-positron . . . 154

6.4.6 Masseinvariante re onstruitepar les quatreéle trons . 158 6.5 Con lusion. . . 159

7 Optimisation de lare her hedu bosondeHiggspar réseaux de neurones 161 7.1 Prin ipede laséparation par unréseau de neurones. . . 161

7.2 Algorithmede rétro-propagation . . . 170

7.3 Pouvoir de séle tion etsigni an e . . . 172

7.4 Le hoix d'unréseau adapté . . . 173

7.5 Réseausimple ou he. . . 175

7.5.1 Apprentissage . . . 175

7.5.2 Lesmeilleurs réseaux . . . 177

7.5.3 Séle tionopérée sur ha un des bruits . . . 177

7.5.4 Combinaison destroistrisetsigni an e . . . 178

7.6 Réseaudouble ou he . . . 181

7.7 Analyseà diérentes masses . . . 184

7.8 Stratégiemenant àladé ouverte duHiggs . . . 187

7.9 Dé ouvertedu Higgs . . . 191

7.9.1 Faisabilité :événementsFAMOSdansréseaux FAMOS 191 7.9.2 Extension des résultats : événements ORCA dans ré-seaux FAMOS . . . 195

7.9.3 Simulation d'uneexpérien eréelle . . . 195

7.10 Con lusion. . . 198

Con lusion 199

Bibliographie 203

La physique de l'inniment petit,ou physique desparti ules, apour ob-je tif d'expliquer la stru ture etle omportement de la matière au-dessous du femtomètre en e qui on erne les dimensions et bien au-delà du GeV pour e qui est des énergies mises en jeu. Deux hamps de re her he dis-tin ts mais orrélés se sont développés dans le but d'atteindre et obje tif. Il s'agit de l'étude des omposants ultimes de la matière, en ore appelées parti ules élémentaires et de elle des for es mises en jeu, les intera tions fondamentales. Ce développement s'est ee tué en parallèle sur le plan ex-périmentaletthéoriqueetaaboutiàl'élaborationdu modèlestandard de laphysique desparti ules,quiee tuelasynthèseentre esdeux hamps, ets'est avéré apable d'expliquer l'ensembledes phénomènes observésdans e domaine jusqu'àaujourd'hui.

Depuis le milieu du XXème siè le, les grandes étapes qui ont marqué les progrès de ette physique ont été l'hypothèse des quarks, formulée par Gell-Mann et Zweig dans les années 1960, et la théorie éle trofaible, éla-borée par Glashow, Salam et Weinberg à la même époque. La première a permis d'expliquer lastru turede toutelamatière stableen faisant appelà quatre onstituants debase, les quarks

u

et

d

,l'éle tronet leneutrino, puis elle de la matière dans tous ses états, stables ou instables en introduisant deux autres familles de quatre parti ules, homologues de la pré édente. La se ondeétapeaétélepremierpasversl'uni ationdesfor esfondamentales enétendantleformalisme del'éle trodynamiquequantiqueàl'ensembledes intera tionsfaibles.Rappelonsque,danslesannées1930,quatreintera tions fondamentalesavaientétédénombrées,lagravitation,lafor e éle tromagné-tique, l'intera tion forte et l'intera tion faible. La théorie quantique de la for e éle tromagnétique, amor ée par Dira et a hevée par Feynmann, ex-pliquaitlatransmissionde ette for eà distan epar l'é hange departi ules médiatri es,quisontlesphotons.La théorieéle trofaibleaétendu e forma-lismeàl'intera tion faibleetmontréqu'ellese onfondenuneseuleetmême intera tion ave la for e éle tromagnétique. Elle a été brillamment onr-mée, en 1984, au CERN, par la mise en éviden e des bosons

Z

0

,

W

+

et

W

−

,quisont venusrejoindre lephoton entantque médiateursde l'intera -tionéle trofaible.Cependant, esbosonsfaiblesprésententunediéren e essentielle ave le photon: e sont des parti ules massives. Cette propriété

étaitprévuethéoriquement,par equ'elleestenrelationave la ourteportée del'intera tionfaible,etaété onrméeexpérimentalementparlamesurede leurmasse. Maisl'existen e detels médiateurs massifsn'étaitpassans sou-lever d'importantes questions théoriques. En parti ulier, elle se trouvait en oppositionave lesprin ipesdesymétrie-oud'invarian e-quisont omnipré-sents en physique. Une théorie, omme l'éle trodynamique quantique, doit eneet laisserinvariants les systèmesphysiqueslorsqu'onleur fait subirles transformationsappartenant à ertains groupesde symétrie.C'est e qu'on appelle l'invarian e de jauge de la théorie. En e qui on erne l'intera tion éle trofaible, l'existen e de bosons massifs s'avérait don en ontradi tion ave l'invarian e de jauge. Pour rétablir ette invarian e, le théori ien Pe-terHiggs imaginaunmé anisme onsistant àintroduire unnouveau hamp, appelédepuis hampdeHiggs,qui,ense ouplantàl'intera tion éle tro-faible,provoque une brisurespontanée de symétrie onduisant à l'existen e d'une masse pour es bosons médiateurs. Qui plus est, e hamp se ouple également auxfermions,etl'intensité, plusou moinsgrandede e ouplage, expliqueles diéren esde masseentreéle trons,muons,taus, d'unepart,et entreles diérentsquarks,d'autre part.Cette théorieesttrèsséduisante,et sa onrmationexpérimentalepermettraitd'a heverlavalidationdumodèle standard. Cette onrmation onsisterait à mettre en éviden e la parti ule asso iée à e nouveau hamp, le bosonde Higgs ,également désigné par unra our i, leHiggs.C'est pourquoideseorts onsidérablessont pro-diguésa tuellement parlaphysiquedesparti ulespouratteindre etobje tif majeur:ladé ouverte duHiggs.

Le modèlestandard etla théoriede Higgsont fournidesindi ations sur un ertainnombre depropriétés de ette parti ule,et e sont esprévisions quiont guidé lapréparation des expérien es en ours etprogrammées dans edomaine. Lamasse duHiggs estl'undesparamètres les plusimportants, par equ'elle onditionnel'énergiedes ollisionsàmettreenoeuvrepour espé-rerlesynthétiser,maislesse tions e a esdesdiérentspro essuspouvant mener à sa produ tion ne le sont pas moins, par e qu'elles imposent l'in-tensité minimale desfais eaux ou la luminosité minimale des ollisionneurs quidevrontêtreutilisésà eteet.Les ontraintesexpérimentalesindire tes situentlamassedu Higgsdansune zoneallant de89à

170 GeV/c

2

,ave un degréde onan e de 95%. Celasignie que, de e point de vue, sa dé ou-verte n'auraitpas étéhors de portée du LEP. Lesrésultats obtenus ave e ollisionneurontportélalimiteinférieurede ette masseà

114 GeV/c

2

.Par ailleurs,lamiseenéviden edubosonesttoujourspossibleave leTevatron, en ore en fon tionnement a tuellement. Mais, pour maximiser les han es de dé ouverte, et éventuellement a éder à l'étude expérimentale des pro-priétés de ette nouvelle parti ule, il a été dé idé de onstruire au CERN un ollisionneur deprotons detrès hauteénergie(14TeV)etdetrès grande luminosité.Cettema hine devrait entrer en fon tionnement à l'été2007.

existen e.En orefaut-ill'identier ave ertitude.Cetteidenti ation passe par elledesesproduitsdedésintégration, equiimpliqueunvoletthéorique etun volet expérimental. Dans le as quinous on erne,le volet théorique, 'estlaprévision desmodesde désintégration dubosonde Higgs,etlevolet expérimental, 'est l'utilisation d'un grand déte teur, le  Compa t Muon Solenoid , ouCMS.

LesprévisionsthéoriquesrelativesàladésintégrationduHiggssontissues du modèle standard et de la théorie de Higgs. Plusieurs modes de désinté-grationsont prévus.Leplusfa ileàobserverdevraitêtre elui qui onduità l'émissionsimultanéededeuxphotons.Maisd'autresmé anismespourraient êtreutiliséspourdé ouvrir laparti uledeHiggsou onrmersadé ouverte. Enparti ulier, si samasseest inférieureà

180 GeV/c

2

,sadésintégration en deuxbosons Z, dont l'un serait virtuel, ha un d'eux produisant à sontour unepaire éle tron-positron, pourraitfournir également une bonne signature de l'existen e dubosontant re her hé. C'est e anal de désintégration qui fait l'objet de e travail. Il est noté

H → ZZ

∗

_{→ 2e}

+

_2e

−

, où le sym-bole

H

désigne le boson de Higgs,

Z

et

Z

∗

le boson

Z

0

dans un état réel et dans un état virtuel, et où

e

+

et

e

−

représentent respe tivement le po-sitron et l'éle tron. Du point de vue expérimental, la dé ouverte du Higgs par e anal implique de déte ter et d'identier les deux éle trons et les deux positrons, et de démontrer que es quatre parti ules sont issues de la désintégration de deux bosons Z provenant eux-mêmes de elle d'une seule parti ule. Cette démonstration sera fondée sur les propriétés inématiques des deux paires éle tron-positron, qui doivent permettre de re onstruire la masse invariante des deux Z, et elle du Higgs. Le déte teur CMS, dont la onstru tions'a hève,permettraunedéte tione a e de eséle tronsdans une large gamme d'énergies, et la re onstru tion de leur inématique, no-tammentgrâ eàson alorimètreéle tromagnétiqueECALetàson traje to-graphe interne.Cette thèse s'ins rit dans les phases ultimes de préparation de ette expérien e qui ont pour but de naliser les outils expérimentaux et informatiques. Elle fait partie intégrante d'un travail d'équipe, qui s'est étendu sur de nombreuses années au sein de la grande ollaboration CMS quiregroupe prèsde 2000 personnes.

Lepremiervoletde etteétude on ernelaparti ipationàdesexpérien es réaliséessurunfais eaud'éle tronsdehauteénergieduCERN,andetester les prin ipales omposantes du alorimètre éle tromagnétique. Les données re ueilliesau ours de estestsont éténotamment utilisées pour mettre au pointdessimulations spé iques.Cesdernières ontservi àplusieurs usages, dontlavéri ation dubonfon tionnement dusystèmeéle tronique quisera utilisé pour ee tuer un tri rapide des événements avant de les diriger vers le système d'a quisition de données. Un tel tri est rendu indispensable par le nombre formidable d'intera tions se produisant au point de roisement des fais eaux du ollisionneur ombiné à la grande e a ité du déte teur

éle tromagnétique,en ore appeléesTrigger Primitives.

Le se ondvolet de e travail est entrésurl'optimisation de l'extra tion du signal orrespondant au Higgs par rapport au bruit de fond onstitué de l'ensemble des événements donnant naissan e à deux éle trons et deux positrons. Pour atteindre et obje tif, qui a déjà fait l'objet de plusieurs études, une analyse originale mettant en jeu des réseaux de neurones a été développée enpartantdesprin ipesde basede etteméthode informatique, ettousles paramètres permettant d'optimiser l'extra tiondu signalont été étudiés.

Le premier hapitre présente les fondements théoriques sur lesquels re-pose le mé anisme de Higgs, ainsi que les ara téristiques du boson, telles qu'ellesrésultentdumodèlestandard.Ledeuxième hapitre faitlepoint sur lasituation expérimentale on ernant les re her hes passées, en ours eten projet, visant à la dé ouverte du Higgs. Le troisième donne les prin ipales ara téristiquesdu ollisionneur LHCet ellesdudéte teurCMS,tousdeux enn de onstru tion au CERN, ens'attardant surles partiesdu déte teur plusparti ulièrement mises en oeuvre pour la re her he du Higgs via le a-nal

H → ZZ

∗

_{→ 2e}

+

_2e

−

, 'est-à-diresurletraje tographeetle alorimètre éle troniqueECAL.Le quatrième hapitre indique omment lesexpérien es réaliséessurunfais eaud'éle tronsduCERNont permisdeparfairela ali-brationdes ristaux omposant e alorimètreECAL.Le inquième hapitre présente l'étudemenée surles primitivesde dé len hement qui a permis de validerles ara téristiquesde l'éle troniquequi leurestasso iée.Le sixième hapitredé ritlapro édured'analysedesdonnéesmenantàlare onstru tion des événements de physique déte tés par CMS, et l'extra tion des ara té-ristiquesquiserontutiliséespourl'identi ationformelledubosondeHiggs. Enn, le septième hapitre est onsa ré à l'optimisation de l'extra tion de la signature du Higgs, initialement noyée dans un abondant bruit de fond. Après un rappel du prin ipe des logi iels intelligents appelés  réseaux de neurones,ilprésente l'élaboration d'untellogi ielspé ialement adaptéau problème on erné.Puisildé rit ommentlesdiérentesvariantesde e ode ont étéutilisées,d'unepartpour hoisirlesparamètres àreteniran d'opti-miserl'identi ation du signalpar rapport auxbruits, et d'autre part pour sonextra tion proprement dite, e qui a permis d'atteindre des taux élevés deréje tionde esbruits,qui pourront permettrel'observation dubosonde Higgs.

Le boson de Higgs :

fondements théoriques et

prin ipales ara téristiques

1.1 Les bases du modèle standard

L'Universest onstituéde omposantsélémentaires:lesparti ules. Celles- i peuvent être lassées en deux atégories, les parti ules de rayonnement, quisontdesbosons, ara térisés par un spinentier,etles parti ulesde ma-tière, quisont desfermions, auspin demi-entier. Il yadeux sous- atégories de fermions:les quarksetles leptons.

Quarks Leptons up

u

éle tron

e

down

d

neutrino

ν

e

harmed

c

muon

µ

strange

s

neutrino

ν

µ

top

t

muon

τ

bottom

b

neutrino

ν

τ

Tab.1.1 Lesfermions, parti ulesdematière

L'ensemble de la matière qui nous entoure, ainsi que toutes les entités observéesjusqu'à présent dansles a élérateursde parti ules, s'interprètent omme des ombinaisons de es omposants élémentaires, et de leurs anti-parti ules

1

asso iées.

Le modèle standard dé rit non seulement la omposition de la matière, mais aussi les intera tions entre les parti ules élémentaires. Il intègre trois

1

A haque parti ulede matière orrespond uneparti uled'antimatièreappelée anti-parti ule,ayantdes ara téristiquesidentiquesmaisune hargeéle triqueopposée.

desquatreintera tionsfondamentales:l'intera tionéle tromagnétique, l'in-tera tion forte (responsable de la liaison des quarks dans les neutrons et lesprotons, ainsiquede elledesprotons etdes neutrons danslenoyau) et l'intera tionfaible(responsablenotammentdetouteslesréa tionsfaisant in-tervenirunneutrinoet,enparti ulier,deladésintégration

β

).Lagravitation n'est pas prise en ompte dansle modèle. En eet, aux é helles auxquelles ons'intéresse,ses eetspeuvent être onsidérés ommenégligeables.

INTERACTION PORTEE INTENSITE MEDIATEUR

ACTEURS Gravitationnelle Innie

10

−38

?Graviton? Toutesles parti ules Ele tromagnétique Innie

10

−2

Photon Leptons hargéset Quarks Nu léaireForte

10

−13

m 1 Les8Gluons Quarks Nu léaireFaible

10

−15

m

10

−7

_W

+

_{, W}

−

_{, Z}

0

TouslesLeptons ettouslesQuarks

Tab.1.2 Lesintera tions fondamentalesetles bosons médiateursasso iés

Le modèle standard est fondé sur la théoriequantique des hamps, qui uniela mé anique quantique etla mé anique relativiste. Il s'appuie large-ment surdessymétriesde jauge.

Cessymétriestraduisent lefaitquelesloisdelaphysiquenedoivent pas dépendre de  hoix arbitraires. Cela signie que si l'on applique ertaines transformationssurlesfon tionsd'état d'unsystème, e système(ouplutt les grandeurs mesurables qu'il met en jeu) doit rester invariant. Une telle invarian e est appelée symétrie. Sila transformation appliquée n'est pas la même pour les diérents points de l'espa e, latransformation de jauge est dite lo ale. Pour que le système physique reste invariant (lo alement), il faut alors qu'un hamp de for e apparaisse. C'est e hamp ompensateur, appelé hampdefor edejaugeoùen oreintera tiondejauge,quipermettra de onserverl'invarian e lo ale desgrandeurs mesurablesdusystème. Cette invarian e est appelée symétrie lo alede jauge.

Les groupes de jauge rassemblent l'ensemble des transformations qui doiventlaisserlesystèmeinvariant.Celuiquiestutilisé danslemodèle stan-dard estnotéSU(3)

C

⊗

SU(2)

L

⊗

U(1)

Y

[Weinberg, 1980℄.

U (1)

Y

désigneungroupedesymétriesanalogueà eluiquipermetde a-ra tériser l'intera tion éle tromagnétique en éle trodynamique quantique

2 . Lesystèmen'estpasmodiéquandon hangelaphasedelafon tiond'onde. Il est équivalent de dire qu'on peut hoisir arbitrairement l'origine des po-tentiels. L'indi e

Y

signie que e groupe de transformationss'applique sur l'hyper harge

3 .

2

C'est la ombinaison de

U (1)

Y

et

SU (2)

L

qui permetdefaire apparaître lephoton danslathèorieéle tro-faible.

3

L'hyper harge

Y

estreliéeàlaproje tiond'isospin

I

3

etàla hargeéle trique

Q

par larelation

Q = I

3

+

Y

2

.

SU (2)

L

est le groupe qui on erne l'intera tion faible, ou plus exa te-mentles omposantesd'héli ité

4

négative,dites gau hes,relevantde ette intera tion. Le système mettant en jeu es omposantes n'est pas modié quand on hange la proje tion de l'isospin faible, 'est-à-dire lorsque l'on transforme unéle tron enneutrino.

SU (3)

C

est legroupede jauge quirégit l'intera tion forteet qui permet sonintrodu tion dansle modèle standard, 'est-à-direla hromodynamique quantique.Nousn'expli iterons pas epoint quin'intervient pasau premier plandanslaproblématique du bosonde Higgs.

Lestransformations dejauge, qu'ellessoient lo ales ou globales, doivent don laisserinvariantl'étatphysiquedusystème.C'estainsiqu'apparaissent lespotentiels orrespondantauxdiérentesintera tions. Lefaitd'introduire la transformation fait apparaître un ou plusieurs hamps né essaires pour laisserleséquations du mouvement in hangées.

1.2 Invarian e de jauge et médiateurs des

intera -tions

Toutsystèmephysiqueest ara tériséparunefon tion

L

appeléefon tion de Lagrange ou lagrangien. En mé anique lassique, ette fon tion dépend uniquement du temps, des oordonnées et des vitesses généralisées (notées

q

i

et

˙q

i

).

Ce lagrangien permet, via leprin ipe de moindre a tion, d'aboutir aux équations dumouvement. Cesont les équations d'Euler-Lagrange :

d

dt

∂L

∂ ˙q

i

−

∂L

∂q

i

= 0

(1.1)

Ce formalisme est étendu au as où le système est dé rit par des oor-données ontinues représentées par un hamp dépendant du temps

φ(

→

x , t)

en remplaçant lelagrangien

L

par une densitélagrangienne

L

,déniepar :

L =

Z Z Z

V

Ld

3

_x

(1.2)

L

estunefon tiondu hamp

φ

,etleséquationsd'Euler-Lagranges'é rivent alors :

∂

µ



∂(L)

∂(∂

µ

φ)



−

_∂φ

L

= 0

(1.3) où les

∂

µ

désignent lesdérivées partielles par rapportauxvariables 4

Onditqu'uneparti uleestd'héli itédroite(R)oupositivesisonspinestorientédans lemêmesensquesonimpulsion.Dansle as ontraire,onditqu'elleestd'héli itégau he

x

µ

= (x

0

, x

1

, x

2

, x

3

) = (t, x, y, z)

:

∂

µ

= (

∂

∂x

0

, −

→

∇)

et

∂

µ

_{= (}

∂

∂x

0

,

→

∇)

. Chaque intera tion sera dé rite par un lagrangien parti ulier, qui doit respe ter lesinvarian es par transformationde jauge.

1.2.1 L'exemple de l'éle trodynamique quantique

Le lagrangien orrespondant à l'éle trodynamique quantique (notée QED pour Quantum Ele tro Dynami s) s'é rit (voir par exemple [Halzenand Martin,1984 ℄) :

L

QED

= iψγ

µ

∂

µ

ψ − mψψ

(1.4)

Lestermes présents dans ette équationsont les suivants:



ψ

est un ve teur à 4 dimensions appelé bi-spineur, qui représente en fait lafon tion d'ondedeséle trons dé rits par lathéorieQED,  les

∂

µ

_ψ

désignentles dérivées partiellesde e ve teur,



ψ = ψ

†

_γ

0

,où

ψ

†

estlatransposéedu onjuguéde

ψ

,  les

γ

µ

sont les matri es(

4 × 4

) de Dira :

γ

0

=









1 0

0

0

0 1

0

0

0 0 −1

0

0 0

0

₋₁









γ

1

=









0

0

0 1

0

0

1 0

0

_{−1 0 0}

−1

0

0 0









(1.5)

γ

2

=









0

_{0 0 −i}

0

0 i

0

0

i 0

0

−i 0 0

0









γ

3

=









0

0 1

0

0

_{0 0 −1}

−1 0 0

0

0

1 0

0









(1.6)

En substituant

L

QED

dans l'équation d'Euler-Lagrange, on obtient l'équationde Dira

(iγ

µ

∂

µ

− m)ψ = 0.

(1.7)

Le lagrangiendoit resterinvariant souslatransformation dejauge

ψ(x) → e

iα(x)

ψ(x)

(1.8)

Si

α(x)

est une onstante ( 'est-à-dire si elle est indépendante de

x

), la transformation est globale. Elle se résume alors à une modi ation de la phase de la fon tion d'onde. On peut démontrer que l'invariant asso ié à ette transformation globale estla harge éle trique. En d'autres termes, lasymétrie globale de jauge de l'éle trodynamique quantique équivaut à la onservationde la hargeéle trique.

Si maintenant

α(x)

est une fon tion s alaire dépendante de laposition, la transformation est lo ale. Le lagrangien, tel qu'il est al ulé i-dessus,

il est né essaire de rempla er les dérivées partielles

∂

µ

, par les opérateurs

D

µ

= ∂

µ

− ieA

µ

,appelésdérivées ovariantes, où

A

µ

estun hampve toriel (le hampdejauge),quiagitsurlesparti ulesdé ritespar

ψ

, 'est-à-diresur les éle trons. Notons que

A

µ

est le quadrive teur regroupant les potentiels s alairesetve teur de l'éle trodynamique lassique

(

A

µ

_{= (Φ,}

→

_A)

et

A

µ

= (Φ, −

→

A)

)

Le lagrangien QEDprendalors la forme:

L

QED

= ψ(iγ

µ

∂

µ

− m)ψ + eψγ

µ

A

µ

ψ −

1

4

F

µν

F

µν

(1.9)

où

F

µν

= ∂

µ

A

ν

− ∂

ν

A

µ

orrespond au hamp éle tromagnétique las-sique:

F

µν

=









0

E

x

E

y

E

z

−E

x

0

B

z

−B

y

−E

y

−B

z

0

B

x

−E

z

B

y

−B

x

0









(1.10)

On note que le formalisme ne fait pas apparaître de terme de masse, qui seraitde la forme

−

1

2

m

2

A

µ

A

µ

.En eet,un telterme ne respe terait pasla symétriede jauge.Le médiateur del'intera tion, asso iéau hampdejauge

A

µ

est don de massenulle.Ce médiateur orrespond au photon. Le terme

1

4

F

µν

F

µν

est, quant à lui,appeléterme inétique.

1.2.2 Intera tion éle trofaible

L'intera tionfaible agitsurlesquarksetlesleptons, etpluspré isément sur les omposantes d'héli ité gau he de es parti ules. Celles- i sont grou-péesendoubletsd'isospinfaible,telsque(

u

L

,

d

L

),(

ν

eL

,

e

L

),(

ν

µL

,

µ

L

),...Au ontraire,lesquarksetleptonsd'héli itédroite,qui onstituentdessingulets d'isospin(

u

R

),(

d

R

),(

e

R

),(

µ

R

),...sont insensibles à l'intera tion faible.

La théorie éle trofaible, qui ombine éle tromagnétisme et intera tion faible,estfondéesurl'invarian epartransformationdejaugelo ale

SU (2)

L

⊗

U (1)

Y

.Commepourl'éle trodynamiquequantique,l'invarian e parrapport à

U (1)

Y

s'é rit :

ψ → ψ

′

= V ψ

ave

V = e

iα(x)

(1.11)

.

Cette transformation fait apparaître un médiateur, éle triquement neutre,parfoisnoté

B

0

.

La transformation de jauge lo ale, appartenant au groupe

SU (2)

L

est ditede Yang-Mills.Elle aunea tion surles doubletsd'isospin.Cette trans-formationlaisse invariants lessingulets :

tandis quepour un doublet, ette transformation s'é rit :



ψ

1

ψ

2



L

→



ψ

′

1

ψ

′

2



L

= U



ψ

1

ψ

2



L

ave

U ∈ SU(2)

(1.13)

Ilestéquivalentdedirequelafon tiond'onde

ψ

est hangéeen

ψ

′

telleque:

ψ

′

= exp (i

ǫ(x

→

µ

_{) ·}

→

τ ) ψ

(1.14) où leterme

→

ǫ(x

µ

₎

désigne unve teur dépendant de l'espa eet dutemps etoù

→

τ

est unopérateur de rotation dansl'espa e d'isospinfaible, dont les trois omposantespeuventêtrepriseségalesauxmatri esdespinde Pauli

5

Cette transformation fait apparaître dansle lagrangien trois hamps de jauge, dont les médiateurs sont trois bosons portant respe tivement une harge positive,négative etnulle,etque l'ondésigne par

W

+

,

W

−

et

W

0

. Cependant, à ette étape de la théorie, les quatrebosons sont de masse nulle. Ce i est en ontradi tion ave la ourte portée de l'intera tion faible qui impose des médiateurs massifs.C'est pour résoudre e problème que le mé anismede Higgsà étéintroduit.

1.3 Le mé anisme de Higgs

Le prin ipe du mé anisme de Higgs [Higgs, 1964 ℄ est d'introduire un nouveau hamp, s alaire, qui va se oupler ave l'intera tion de jauge. Ce ouplage va faire apparaître des termes de masse qui seront asso iés aux parti ulesporteusesde l'intera tion. Le potentiel orrespondant à e hamp estdit en

λφ

4

(

V (φ) = −µ

2

_φ

2

_{+ λφ}

4

), e quireprésentel'expressionla plus simple qui permette, tout en ayant une symétrie de révolution, d'aboutir à labrisurespontanéedesymétrieindispensableàl'apparitiondebosons mas-sifs.Nousétudieronstoutd'abord omment emé anismes'appliquedansle adred'unethéorieabélienne, 'est-à-dire ommutative, ommelaQED(voir par exemple [Gunionetal.,1989 ℄), puis nous expliquerons qualitativement omment elle setranspose àlathéorie éle trofaible,qui estnon abélienne.

1.3.1 Le mé anisme de Higgs appliqué au groupe U(1)

En tenant ompte du potentiel

V (φ)

que nous venons de dénir, le la-grangien del'équation 1.9devient :

L = (D

µ

ψ)(D

µ

ψ) + µ

2

ψψ − λ(ψψ)

2

−

1

4

F

µν

_F

µν

(1.16) 5

Lesmatri esdePaulisontlessuivantes:

σ

1

=

„

0

1

1

0

«

σ

2

=

„

0

−i

i

0

«

σ

3

=

„

1

0

0

−1

«

(1.15)

Fig. 1.1Représentation du potentiel deHiggs

L'apparitiondestermesdemasseseproduiradansle asoù

µ

2

>0,etsera dueau faitqueleminimumdepotentiel,qui ara térisel'état fondamental,

ne sera pas situé en

φ = 0

,mais en

φ =

v

√

2

=

q

µ

2

2λ

qui représente un état

d'équilibre stable. Cetétat représente également l'état duvide.

Quel quesoit l'argument de

φ

qui positionne lepoint d'équilibre dansle plan

(Re(φ), Im(φ))

,l'étatphysiquedusystèmeestidentique.Bienque

V (φ)

présenteune symétriederévolution, ettesymétrie n'estplusvisiblepourle système physique. On dit que la symétrie à été spontanément brisée. C'est ettebrisure quivafaireapparaître destermesdemassedanslelagrangien. En eet,enle développant autour duminimumde potentiel, 'est-à dire en posant:

φ =

v + h(x)

_√

2

(1.17)

où

h(x)

est un hampréel, onobtient :

L =

1

₂

[(∂

µ

−igA

µ

)(v+h)(∂

µ

+igA

µ

)(v+h)]+

1

2

µ

2

_(v+h)

2

₋

1

4

λ(v+h)

4

₋

1

4

F

µν

_F

µν

(1.18) Onnote que ladérivée ovariante

D

µ

est i i

(∂

µ

− igA

µ

)

an de distinguer e asgénéral de groupe

U (1)

du asparti ulier de QED traitéplushaut.

Le développement de ette équationfaitapparaître plusieurs termes im-portants :

-unterme

g

2

v

2

2

A

µ

A

µ

,interprèté ommeuntermedemassepourleboson dejauge, quiest don devenumassif,

- unterme

−λ v

2

_h

2

,oùapparait lamasse dubosons alaire, - des termes en

h

3

,

h

4

,

hA

µ

A

µ

et

h

2

_A

µ

A

µ

représentant diverses inter-a tionsave leurs for esrespe tives.

La théorie, qui impliquait un boson s alaire omplexe et un boson de jauge sans masse, a don été remaniée en une théorie mettant en jeu un boson s alaire réel et un boson de jauge massif,grâ e à l'introdu tion d'un potentiel s alaire présentant un minimum pour une valeur de

φ

non nulle. C'estl'essen e-mêmedu mé anismede Higgs.

I i,quatre remarquespeuvent être faites:

1. Le bosonreprésenté par le hamph,désormaisréel, orrespond àune entité physique,leHiggs.

2. Sa massedépend de

v

etde

λ

.La massedubosondejauge détermine

v

, mais

λ

a été introduit omme paramètre pour dénir le potentiel s alaire, etsavaleur nepeutêtretiréedelaseule théorie. Sa détermi-nationrequiertdesinformationsexpérimentalessurles ara téristiques dubosondeHiggs.En onséquen e,lamasseduHiggsestapriori in- onnue.

3. Lestermes d'intera tion -et euxqui dé oulent du ouplageduboson de Higgs aux fermions, à qui e ouplage onfère une masse - déter-minent quelssontlesmodesdeprodu tion etdedésintégration du bo-sondeHiggs, 'est-à-direlafaçon dont ilse oupleauxparti ulesdont la ollision peut engendrer e nouveau boson età elles qui résultent desadésintégration.Lestermesdeself-intera tiondépendentde

λ

et sont don in onnus, mais eux qui dé rivent l'intera tion du Higgs ave le boson de jauge ne dépendent pasde e paramètre. Leur for e (intensité) estdon onnue.

4. Le nombre d'états indépendants (degrés de liberté de la théorie) a été onservéparl'introdu tion dumé anismedeHiggs.Audépart, es étatsétaientaunombredequatre,deuxservantàdénirlapartieréelle et la partie imaginaire du hamp omplexe

φ

, et deux orrespondant auxdeuxétatsdepolarisationdubosondejaugesansmasse-lephoton dans le as de QED. A l'arrivée, un seul degréde liberté est onsa ré à dénir lebosonde Higgs (qui estun s alaire réel), maisle bosonde jauge, massifetde spin1,possède troisétats depolarisation(

J

Z

= 1

,

1.3.2 Le mé anisme de Higgs dans la théorie éle trofaible

L'extensiondumé anismedeHiggsaugroupe

SU (2)

L

⊗U(1)

Y

,non abé-lien,est alquéesurl'appli ationde e mé anismeaugroupe

U (1)

,quenous venons d'examiner. Cependant, son développement mathématique s'avère beau oup plus omplexe.

Le hamps alaireminimal

φ

qu'ilfaut introduirepour briserlasymétrie

SU (2)

L

etgénérerlesmassesdestroisbosonsdejauge(

W

+

,

W

−

,et

Z

0

)est

maintenantundoubletdes alaires omplexes

φ =



φ

+

φ

0



=



φ

1

− iφ

2

φ

3

− iφ

4



omprenant quatre hampsréels,

φ

k

ave

k ∈ [1; 4]

.

Audépart,lestroisbosonsdejaugesontdemassenulle,et ha und'entre euxestdé ritpar deux hamps, orrespondant à leurs deuxétats de polari-sation possibles. Le nombre initial de hamps indépendants, 'est-à-dire de degrés deliberté,estdon égal à10.

Le minimum depotentielresponsable delabrisure desymétrie estsitué

en

0

v

√

2

!

,où

v

est toujours donné parla relation

v

2

₌

µ

2

λ

.

On développe alors le hamp

φ

au premier ordre au voisinage de e mi-nimum; e développementfaitapparaîtretroisbosonsde jaugemassifs, or-respondant ha unàtrois hamps(undepolarisationlongitudinale,deuxde polarisation transverse). Le dernier hamp, s alaire, est le hamp de Higgs. Le boson deHiggs est laparti ule qui orrespondà e hamp. C'est l'inter-a tionentrelesHiggsvirtuels

6

,quipeuventapparaîtren'importeoùdansle vide,etles bosonsWet Zqui donne leurmasse à es bosons.Comme nous l'avonsdéjàsignalé,lesvaleursde esmassessontdéterminéesparlestermes d'intera tion apparaissant dansles équationsdu type 1.18.

Dans ettedémar he,quiprésente unevuesimpliéedelathéorieréelle, lasymétrie

U (1)

de laQED n'apasétébrisée, puisqueseullelagrangien de

SU (2)

a étémodié. Le photonreste don unbosonsansmasse.

Cependant, l'appli ation omplète du mé anisme de Higgs à la théorie éle trofaiblené essitede l'étendre àlasymétrie

SU (2)

L

⊗ U(1)

Y

.La pro é-dureestlamêmeque elleexposée i-dessus,etelle onduitnonseulement à faireapparaîtredestermes demassepour lesbosons dejauge,maisenplus, elle permet,grâ e àl'introdu tion du ouplage deYukawaave le hampde Higgs,d'obtenirdestermesde massepourles fermions, 'est-à-direpour les parti ulesde matière.

Le mé anisme de Higgs, que nous venons de présenter su in tement, jouedon unrle lédanslemodèlestandard delaphysique desparti ules. Le boson de Higgs, qui en onstitue la piè e maîtresse, n'a jamais été ob-servé expérimentalement. Sa dé ouverte permettraitd'a hever lavalidation

6

Uneparti uleestditevirtuellesielleviolela onservationdel'énergie.Cetteparti ule nepeutalors existerquependantun tempstrèsbref donnéparlarelationd'in ertitude

de ette théorie.

1.4 Contraintes sur la masse du boson de Higgs

Selon le modèle standard, toutes les harges du boson de Higgs (éle -trique,spin, ...)doivent êtrenulles,sauflamassequiestun paramètrelibre de la théorie. Toutefois, ette masse ne peut pas prendre n'importe quelle valeur.Eneet,elleapuêtre ontrainteàpartird'hypothèsespurement théo-riques on ernant notamment le domaine en énergie dans lequel la théorie desperturbations,etdon lemodèlestandard,restentvalables.Parailleurs, elleestliéeàun ertainnombredeparamètres dumodèle, quiontété déter-minésexpérimentalement ave une grandepré ision.Cesmesuresontfourni des ontraintes expérimentales indire tessurlamassedu Higgs.Enn, bien que négatives, les expérien es de re her he du boson de Higgs, entreprises entre 1989 et 2000 sur les deux versions du LEP (LEP 1 et LEP 2), ont permis ausside xer deslimites àla massedu boson. Une analyse détaillée de es ontraintes peutêtre trouvée danslaréféren e[Djouadi, 2005 ℄.

1.4.1 Contraintes théoriques sur la masse du Higgs

La validité du modèle standard repose sur un ertain nombre d'hypo-thèsesdontplusieursmettent enjeu,dire tement ouindire tement,lavaleur delamassedubosondeHiggs. Nousexaminerons i-dessousles ontraintes duesà l'unitarité

7

,à l'appli abilité de lathéoriedesperturbations, à la tri-vialité du modèle, à la stabilité du vide et à l'ajustement ou réglage n (ne-tuning) des orre tionsradiativesportant surlamassedu Higgs.

L'unitarité

La ondition d'unitarité impose une limite supérieure aux se tions e- a es de ertains pro essus à hauteénergie, tels quela diusiondes bosons hargés

W

+

_W

−

_{→ W}

+

_W

−

[Chanowitz, 1998℄ qui peut s'ee tuer par ou-plagedire tdelavoied'entréeàlavoiedesortie,ouparl'intermédiaired'un boson de Higgs. Or, l'analyse théorique de l'amplitude de ette diusion, lorsquel'énergieestbiensupérieureàlamassedesbosonsW(

√

s >> M

W

), fait apparaître une ontribution roissante de la omposante longitudinale de es bosons, menaçant d'entraîner la se tion e a e au-delà de la limite imposée par la ondition d'unitarité. On démontre alors que l'unitarité ne peut être respe tée que si la masse du Higgs, qui apparaît expli itement dansle développement de l'amplitude de diusion, est elle-même inférieure à une ertaine limite. Cette dernière s'élève à

870 GeV/c

2

si l'on se limite aux anaux mettant en jeu des bosons W, et à seulement

710 GeV/c

2

si 7

l'on onsidèreaussile ouplageave d'autres anauximpliquant notamment desbosonsZ[Mar ianoand Willenbro k, 1988 ℄.Nousretiendronsdon ette dernièrevaleur :

M

H

< 710 GeV/c

2

(1.19)

Cetteargumentation peutaussiêtreprésentéedefaçonàfaireapparaître unelimiteenénergieàl'appli abilitédumodèlestandard[Chanowitz, 1998 ℄: si l'onsuppose quele bosonde Higgs est très massif,ou, hypothèse équiva-lente,qu'iln'existepas,etsil'onexaminelemêmepro essusdediusiondes bosons hargés, la ondition d'unitarité restera satisfaite tant que l'énergie

√

s

serainférieureà

1, 7 TeV

,sil'onprenden ompteuniquementles anaux impliquantdesbosonsWetà

1, 2 TeV

sil'onélargitl'étudeàl'ensembledes anaux. Cette énergie de

1, 2 TeV

peutêtre onsidérée omme la limite de validitédumodèlestandardsilamassedubosondeHiggsesttrèsgrandeou si elui- in'existepas.Desphénomènesnouveauxdevronteneetapparaître au-delà de esénergiesan de restaurerl'unitarité de lathéorie.

L'appli abilité de la méthode des perturbations

De la même façon qu'elle risque de mettre en périll'unitarité, la masse du boson de Higgs, si elle s'avère trop élevée, est sus eptible de ompro-mettrelathéoriedesperturbations, lédevoûtedumodèlestandard.Sil'on onsidère, par exemple, ladésintégration du Higgs en bosons de jauge Z et W, l'appli ation de la théorie des perturbations onduit au développement suivant de la largeur partielle de désintégration du Higgs (notée

Γ

) en es bosons [Mar ianoand Willenbro k,1988 ℄ :

Γ = Γ

0

[1 + 3ˆ

λ + 62ˆ

λ

2

+ f (ˆ

λ

3

)]

(1.20) où

Γ

0

désigne la largeur orrespondant au premier ordre de la théorie (Leading Order,noté LO),

ˆ

λ =

_16π

λ

2

,

λ

étantla onstantede ouplagequartiquequi régit lesvertex mettant enjeu quatreHiggs,

et où le dernier terme de l'expression (

f (ˆ

λ

3

₎

) regroupe l'ensemble des orre tionsd'ordre supérieur.

Plus le terme

ˆ

λ

est faible par rapportà 1, plus la série onvergera vite. Par ailleurs, si

λ > 1/3

ˆ

, la onvergen e n'a plus lieu : la théorie des per-turbations ne peut plus s'appliquer. Comme la masse du Higgs

M

H

entre dans l'expression de

λ

(

λ

est proportionnel à la masse du Higgs au arré), ette ondition poseune ontraintesur ette masse. En fait, elle luiimpose une borne supérieure de l'ordre de

1 TeV/c

2

. En tenant ompte d'autres pro essus, omme ladiusion desbosons Wquenousavonsdéjà onsidérée plushaut,etenranantl'appro hethéorique[Lus her and Weisz, 1988 ℄,on montre que ette limitedoitêtre abaisséeauxenvirons de

700 GeV/c

2

,une

La trivialité

Stri tement parlant, pour que la théorie des perturbations reste appli- ableàtouteslesé helles,l'argumentdetrivialité[Lus herand Weisz, 1988 ℄ [Cabibbo etal.,1979℄exigequela onstante

λ

de ouplagequartiquedénie i-dessussoitnulle, equi orrespondraitàunHiggssansmasse.Adéfaut,on peutespérerque ettevaleurrestetrèspetite.Le al uldutermedupremier ordre, et des orre tions radiatives orrespondant à e ouplage quartique, en fon tion de l'énergie mise en jeu, fait apparaître deux valeurs lés, qui sont

1. l'énergie

v

2

pourlaquellelalimitedevaliditédelathéorieéle trofaible estatteinte. Tant quel'é helled'énergiereste trèspetitepar rapportà

v

2

,lathéoriereste triviale [Wilsonand Kogut, 1974℄

2. le plede Landau, orrespondant à l'énergie

Λ

C

pour laquellele ou-plage

λ

devient inni.

Ces deux valeurs sont liées entre elles et à la masse du Higgs par la relation:

Λ

C

= v exp (

4π

2

v

2

M

2

H

)

On onstate, à partir de ette relation, que l'énergie de  ut-o 

Λ

C

sera élevée si la masse du Higgs est relativement faible et vi e-versa. Par exemple,unemasse

M

H

inférieure à

200 GeV/c

2

porteraitlavaleurdu ut-oà

10

16

_GeV

,etsil'onétablitle ut-oàl'énergie orrespondantàlamasse du Higgs (

Λ

C

= M

H

), on retrouve une valeur de l'ordre de

700 GeV/c

2

. La valeur résultant de simulations de théories de jauge sur réseaux, dans lesquelles les eets non perturbatifs sont pris en ompte rigoureusement, xe ette limite, due à la ondition de trivialité de la théorie, ave plus de pré ision:

M

H

< 640 GeV/c

2

[Hasenfratz,1992 ℄.

La stabilité du vide

La ondition de stabilité du vide apparaît lorsque l'on al ule le ou-plage quartique

λ

en tenant ompte, non seulement du ouplage du Higgs à lui-même, mais aussi des ontributions des bosons et fermions massifs. Parmi elles, 'est la ontribution du quark top qui s'avère prépondérante. Son in orporation dansl'analyse théorique (par les équations du groupe de renormalisation) n'apporte ependant pas degrand hangement sila valeur de

λ

est assez élevée. La limite en masseassurant la trivialité de la théorie s'entrouve simplement quelque peumodiée. C'estdansle asoù lavaleur de

λ

estfaiblequela ontributiondutop peuts'avérer ru iale.Eneet,elle apparaît sous la forme d'unterme négatif qui peutfaire bas uler

λ

dans la région de valeursnégatives [Lindneretal.,1989 ℄. Or esvaleurs sont inter-dites par e qu'elles orrespondent à une instabilité du vide. Contrairement aux ontraintes pré édentes, elle qui apparaît sur la masse du Higgs pour assurer la stabilité du vide, en maintenant une valeur susante à

λ

, xe

don une borneinférieureà

M

H

.Enfait, ettelimitedépenddelavaleur de l'énergiede ut-o

Λ

C

:

si

Λ

C

estde l'ordre de

10

3

_GeV

,la onditions'é rit

M

H

> 70 GeV/c

2

si

Λ

C

estde l'ordre de

10

16

_GeV

,elle devient

M

H

> 130 GeV/c

2

En ombinant les ontraintes issues de la trivialité et de lastabilité du vide, on peut ainsi en adrer la masse du boson de Higgs entre une borne inférieure et une borne supérieure qui peuvent être al ulées en fon tion de l'énergie

Λ

C

au-dessous de laquellele modèle standard reste valide. Les valeursde esbornes, al uléesave unepré isionsupérieureauxestimations données i-dessussontreprésentéesenfon tionde

Λ

C

danslagure1.2.Cette gure in lutune estimation des erreurs (bandes olorées sur lagure). Les ontraintes surlamasse duHiggs s'expriment par ladoubleinégalité :

50 GeV/c

2

_{≤ M}

H

≤ 800 GeV/c

2

si

Λ

C

est del'ordre duTeV;

130 GeV/c

2

_{≤ M}

H

≤ 180 GeV/c

2

si

Λ

C

est de l'ordrede

10

16

_GeV

.

Cette se onde hypothèse orrespond à un domaine possible beau oup plusrestreint pourla masseduHiggs.

Le réglage n de la masse du Higgs

Paradoxalement,une ontraintesupplémentaire apparaîtsurlamassedu boson deHiggs lorsque l'ontente dela al uler ave unmaximumde pré i-sionparlathéoriedesperturbationsenappliquant les orre tionsradiatives appropriées. En eet, lorsque e type de al ul, appelé réglage n (ne-tuning) estee tué, ilapparaît un terme orre tifdu premier ordre propor-tionnelau arrédel'énergie

Λ

C

,(énergie àlaquelleontronquelesintégrales quientrentenjeudansle al ul)alorsque etermeestgénéralement logarith-mique. Une telle divergen e mène à des orre tions radiatives importantes, voireàl'impossibilitéde al uler

M

H

,enparti uliersilavaleurde

Λ

C

est éle-vée.Toutefoisdansledomaine d'énergie orrespondantà

Λ

C

< 100 TeV

,on peutdénir,pour haquevaleurde

Λ

C

,unintervalledemasseduHiggspour lequel l'in iden e du réglagen sera inférieure à une valeur relative donnée (parexempleà10%delamasseduHiggs)[Kolda andMurayama, 2000℄.On peut ainsidénir, pour

Λ

C

ompris entre 1et

100 TeV

, desdomaines pour lesquels ette in iden e sera limitée. Bien que les ontours de es domaines soientouspuisqu'ilsdépendentdupour entagedelamasseduHiggs onsi-déré omme a eptable pour es orre tions, ils laissent nettement ouverte l'éventualitéd'unevaleur

M

H

ompriseentre100et

400 GeV/c

2

lorsque

Λ

C

est inférieur à environ

10 TeV

,et maintiennent lapossibilitéd'unHiggs de massepro hede

200 GeV/c

2

Fig. 1.2  Limites théoriques sur la masse du boson de Higgs en fon -tion de la valeur de l'énergie pour laquelle le modèle standard reste valable (

Λ

C

). Les bandes olorées illustrent les diérentes in ertitudes. [Hambye and Riesselmann,1997℄

1.4.2 Contraintes expérimentales indire tes sur la masse du Higgs

Aux ontraintes théoriques que nous venons d'examiner s'ajoutent des ontraintesprovenantdesmesuresexpérimentales.Danslebutdefournirdes tests aussi ontraignants que possible du modèle standard et de la théorie éle trofaible,ungrandnombred'observables relevantde ettethéorie, telles quelalargeurtotaleduboson

Z

0

_(Γ

Z

)

,l'angledemélangeéle trofaible,ditde Weinberg,(

sin(θ

W

)

),ouen orelamasseduboson

W

(

M

W

)ontétémesurées ave une grandepré ision(del'ordrede0,5pour mille).Cesgrandeurs phy-siquessont ensuite omparéesauxvaleurs al ulées àpartir d'ingrédients de basedumodèlestandard,tels queles onstantesde ouplage del'intera tion forte, elledel'intera tionéle trofaible

G

µ

,lamasseduquarktopet elledu boson

Z

(

M

Z

), également déterminés de façon très pré ise, notamment au CERNouauFermilab.Ces al ulspeuventêtreee tuésaupremierordrede lathéorie, maisonn'aboutitalors qu'àunepré isiondel'ordredupour ent. Pour atteindredesvaleursthéoriquessusammentpré ises,ilestné essaire d'ee tuerdes orre tionsradiatives,dontl'amplitudedépenddelamassedu boson de Higgs. La omparaison entre valeursexpérimentales et théoriques impose ainsides ontraintes, dites indire tes, sur ettemasse. Par exemple, la gure 1.3 ([TheLEP Ele troweak WorkingGroup,2006 ℄[The LEP Ele -troweak Working Group , 2005-2006℄) ompare les valeurs expérimentales moyennes de l'angle de mélange éle trofaible (à gau he), etde la masse du boson

W

(à droite), ave les valeurs théoriques al ulées en tenant ompte des orre tionsradiativesdanstoutundomainedevariationde

M

H

.Onvoit qu'un a ord satisfaisant est obtenu pour les deux grandeurs (

sin

2

_(θ

W

)

et

M

W

) auxenvironsde

M

H

= 100 GeV/c

2

.

Ondisposeenfaitd'unnombre important demesuresdehautepré ision on ernant desgrandeurs dela théorieéle trofaible :

 les résultats obtenus à basse énergie à partir des se tions e a es de diusion profondément inélastique de neutrinos et d'antineutrinos muoniques par des nu léons. Le rapport de es se tions e a es per-met d'a éder à une détermination pré ise de l'angle de Weinberg,

sin

2

(θ

W

)

, via les ouplages droits et gau hes des fermions au boson

Z

0

,

 toujoursà basse énergie,la déterminationde lamême grandeur nale (

sin

2

_(θ

W

)

) par la mesure de la violation de parité dans les atomes de ésium et de thallium donnant la harge faible Qw qui exprime le ouplagedu noyauau boson

Z

0

,

 auxénergiesduLEP1,lesparamètresissusdesmesuresee tuéessurle boson

Z

0

:largeurtotale

Γ

Z

,se tione a e hadronique

σ

0

had

aupi de produ tion,largeurspartielles

R

l

,

R

b

et

R

c

dedé roissan edubosonen leptons,etenquarks

b

et

c

( eslargeursétantnormalisées à elledela

10

2

10

3

0.23

0.232

0.234

sin

2

θ

lept

_eff

m

H

[

GeV

]

χ

2

_{/d.o.f.: 11.8 / 5}

A

0,l

_fb

0.23099

±

0.00053

A

_l

(P

_τ

)

0.23159

±

0.00041

A

_l

(SLD)

0.23098

±

0.00026

A

0,b

_fb

0.23221

±

0.00029

A

0,c

_fb

0.23220

±

0.00081

Q

had

_fb

0.2324 ± 0.0012

Average

0.23153 ± 0.00016

∆αhad= 0.02758 ± 0.00035

∆α

(5)

m

t

= 172.7

±

2.9 GeV

M

_W

[GeV]

M

H

[

GeV

]

Mass of the W Boson (preliminary)

M

t

= 171.4

±

2.1 GeV

linearly added to

0.02758

±

0.00035

∆α

(5)

∆α

had

=

Experiment

M

_W

[GeV]

ALEPH

80.440

±

0.051

DELPHI

80.336

±

0.067

L3

80.270

±

0.055

OPAL

80.416 ± 0.053

χ

2

/ dof = 49 / 41

LEP

80.376 ± 0.033

10

10

2

10

3

80.2

80.4

80.6

Fig. 1.3  Superposition des prédi tions théoriques (bandes de ouleur) et desvaleursmesurées par lesdiérentesexpérien es duLEP pour

sin

2

_(θ

ef f

)

(à gau he)et

M

W

(à droite) [The LEP Ele troweak Working Group, 2005-2006℄

Measurement

Fit

|O

meas

−O

fit

|/σ

meas

0

1

2

3

0

1

2

3

∆α

_had

(m

_Z

)

∆α

(5)

_0.02758

_±

_{0.00035 0.02766}

m

_Z

[

GeV

]

m

_Z

[

GeV

]

91.1875

±

0.0021

91.1874

Γ

Z

[

GeV

]

Γ

Z

[

GeV

]

2.4952

±

0.0023

2.4957

σ

_had

[

nb

]

σ

0

41.540

±

0.037

41.477

R

_l

R

_l

20.767

±

0.025

20.744

A

_fb

A

0,l

0.01714

±

0.00095 0.01640

A

_l

(P

_τ

)

A

_l

(P

_τ

)

0.1465

±

0.0032

0.1479

R

_b

R

_b

0.21629

±

0.00066 0.21585

R

_c

R

_c

0.1721

±

0.0030

0.1722

A

_fb

A

0,b

0.0992

±

0.0016

0.1037

A

_fb

A

0,c

0.0707

±

0.0035

0.0741

A

_b

A

_b

0.923

±

0.020

0.935

A

_c

A

_c

0.670

±

0.027

0.668

A

_l

(SLD)

A

_l

(SLD)

0.1513

±

0.0021

0.1479

sin

2

θ

_eff

sin

2

θ

lept

(Q

_fb

) 0.2324

±

0.0012

0.2314

m

_W

[GeV]

m

_W

[GeV]

80.392 ± 0.029

80.371

Γ

_W

[GeV]

Γ

_W

[GeV]

2.147 ± 0.060

2.091

m

_t

[

GeV

]

m

_t

[

GeV

]

171.4

±

2.1

171.7

Tab.1.3S hémarésumantles pré isionsdesmesures desdiérentes gran-deurséle trofaiblesauLEP1,LEP2,SLC,etTevatron[TheLEPEle troweak Working Group, 2005-2006℄. Les barres olorée représentent les déviations standard orrespondantes. notées

A

0, l

F B

,

A

0, b

F B

et

A

0, c

F B

, etenn asymétrie de polarisation du tau

A

τ

pol

, esasymétriespermettant également d'évaluer

sin

2

_(θ

W

)

,  la mesure de l'asymétrie de polarisation longitudinale

A

f

LR

, ee tuée auSLAC- qui onduit elle aussià

sin

2

_(θ

W

)

- etles asymétriesav ant-arrière droite et gau he pour les quarks lourds

b

et

c

provenant de la désintégration du

Z

0

,

 la masse

M

W

du boson W et sa largeur totale de dé roissan e

Γ

W

, mesuréesde façon pré ise auLEP2 etau Tevatrondu Fermilab. Le tableau 1.3 [The LEP Ele troweak Working Group, 2005-2006℄ pré-senteunelistedegrandeursquiontfaitl'objetde etypedemesurespré ises sur plusieurs ma hines (LEP1, LEP2, SLC et Tevatron), et dont la valeur est omparée à elle qui résulte d'un al ul tout aussi pré is, in luant les orre tionsradiatives, dansle adredu modèlestandard.L'ex ellent a ord obtenu entre théorie et expérien e est symbolisé par les barres gurant à droite du tableau, qui représentent l'é art entre la valeur expérimentale et lavaleur issue des al uls, exprimé en unité d'é art-type (

σ

) lié à la valeur expérimentale. Dans presque tous les as, et é art théorie-expérien e est inférieurà

σ

- 'est-à-direàl'in ertitudeexpérimentale -ou dumêmeordre.

Bienentendu,pour ha unedesgrandeursprésentéesdansletableau1.3, lavaleur al ulée par le modèle standard dépend des orre tions radiatives appliquées,qui sont elles-mêmes inuen éespar lamasse

M

H

adoptée pour leHiggs.Uneméthodede

χ

2

adon puêtreutiliséepourdéterminerlavaleur de

M

H

qui assure lemeilleur a ord global entre l'ensemble de esdonnées expérimentales etles valeursrésultant du al ul. Le résultat de ette étude estprésenté surla gure1.4, quiin lut les in ertitudes estimées surles va-leursthéoriquesetquelquesvariantes on ernant lesdonnéesexpérimentales retenues et les ingrédients du al ul. Cette guremontre lairement que le meilleur a ord est obtenu pour une valeur de

M

H

légèrement inférieure à

100 GeV/c

2

.Le al ulpré is onduità

M

H

= 85

+39

₋₂₈

GeV/c

2

(1.21)

ave unniveau de onan ede 68%,etàunebornesupérieurede

M

H

égale à

166 GeV/c

2

M

H

≤ 166 GeV/c

2

(1.22)

ave unniveaude onan ede95%.Cettelimiteaugmentetoutefoisjusqu'à

199 GeV/c

2

sil'onprenden omptelalimitede

114 GeV/c

2

obtenueparles re her hesdire tes auLEP2. Cettelimite de

114 GeV/c

2

estreprésentéeen jaunesur lagure.

Il faut toutefois remarquer quela re her he du meilleur a ord possible par la méthode du

χ

2

onduit à ee tuer une sorte de moyenne - un om-promis-entreles valeursquiseraient déduitesde ha unedesmesures gu-rant dansletableau 1.3, etnon pasà un a ord général [Chanowitz, 2003 ℄. En parti ulier, les deux mesures qui onduisent au plus grand é art

A

0,b

f b

et

A

l

(SLD)

pré oniseraient des valeurs s'é artant notablement de la valeur moyennede

114 GeV/c

2

,maisl'uneverslesfaiblesmassesetl'autreversles massesélevées.

1.4.3 Contraintes expérimentales dire tes sur la masse du boson de Higgs

Lesdernières ontraintessurlamasseduHiggssontissuesdelare her he dire tede e bosonee tuée auLEP etau Tevatron.

LebosondeHiggs aétére her hé surLEP1 àdesénergiespro hes dela résonan e du

Z

, soit

√

s ≈ M

Z

. A es énergies, deux modes prin ipaux de produ tionsont envisagés:

 le pro essus de Bjorken [Bjorken,1976 ℄ dont le s héma est donné sur lagure1.5,danslequelleboson

Z

sedésintègreenunbosondeHiggs réeletunbosonvirtuel

Z

∗

quisedésintègreàsontourendeuxfermions légers :

Z → HZ

∗

_{→ Hf ¯}

_f

.

0

1

2

3

4

5

6

100

30

300

m

_H

[

GeV

]

∆χ

2

Excluded

Preliminary

∆α

had

=

∆α

(5)

0.02758

±

0.00035

0.02749±0.00012

incl. low Q

2

data

Theory uncertainty

m

_Limit

= 166 GeV

Fig. 1.4 Limites expérimentales de lamasse dubosonde Higgs, notée i i

m

H

, dues aux re her hes dire tes au LEP, et le

∆χ

2

résultant des ts des grandeurs de lathéorieéle trofaible ensupposant que

m

H

soit leseul para-mètrelibre. Lesbandes oloréesreprésentent lesin ertitudesexpérimentales [The LEP Ele troweak WorkingGroup,2005-2006℄.

•

•

f

_¯

f

Z

H

Z

∗

•

•

•

Z

W

H

γ

•

•

•

F

Z

H

γ

+

Fig. 1.6Diagrammes à une bou le

Z → Hγ

LenombredebosonsdeHiggspréditsparlemodèlestandardparmillion de désintégrations de

Z

0

a pu être évalué en fon tion de lamasse

M

H

.La produ tion par le pro essus de Bjorken est prépondérante pour toutes les valeursde ettemasseinférieuresà

60 GeV/c

2

.L'absen edesignalpositifde produ tiondeHiggsparlesquatreexpérien esengagéessurLEP1(ALEPH, DELPHI,L3etOPAL)permetdeposerunelimiteinférieurede

65, 2 GeV/c

2

à ette masse, ave un niveaude onan e de95%.

Les re her hes ont été poursuivies sur LEP2 jusqu'à une énergie de 209 GeV dans lesystèmedu entre de masse(

√

s = 209 GeV

). LEP2 étant un ollisionneurleptonique,leprin ipalmodedeprodu tionduHiggsà ette énergieaurait étéleHiggs-strahlung[Ellis etal.,1976 ℄ :

e

+

e

−

_{→ Z}

∗

_{→ H + Z}

(1.23)

dont lediagramme est lesuivant :

•

•

e

−

e

+

Z

∗

H

Z

Diagramme du Higgs-Strahlung

I i en ore, en ombinant les informations fournies par les quatre expé-rien es présentes au LEP, il n'a pas été observé d'ex ès d'événements par rapport au bruit de fond attendu. La ondition obtenue sur la masse du Higgsest alors devenue (voir [Barateetal.,2003 ℄) :

M

H

> 114, 4 GeV/c

2

(1.24)

toujoursave un niveau de onan ede 95%.

Lamêmeréféren esignaleque,lorsdesprisesdedonnées,unex ès d'évé-nements au voisinage de

M

H

= 116 GeV/c

2

ALEPH.Cetex ès,qui orrespondrait àuneu tuation dubruit defondde

1, 7σ

par rapportà savaleur moyenne, n'est passusant pour armer que lebosondeHiggsaitétédé ouvert.Eneet, eté artne orrespondraitqu'à un niveau de onan e de 91%, alors que le seuil minimum de dé ouverte usuellement adopté est xé à

5σ

, e qui assure un niveau de onan e très pro hede l'unité.

Compte tenu del'ensembledes ontraintespasséesen revue i-dessus,le Higgs semble devoir être re her hé dans une zone de masse omprise entre 100et

200 GeV/c

2

.Cependant,enraisondesin ertitudesinhérentesàtoutes es déterminations, des hypothèses qu'elles impliquent et de la possibilité d'existen eduHiggsaudelàdumodèlestandard,ilserare her hé danstout ledomaine de massea essible.

1.5 Modes de produ tion et de désintégration du

boson de Higgs au LHC

1.5.1 Produ tion du boson de Higgs

Quatre modesprin ipauxdeprodu tionduHiggssont prévusàl'énergie duLHC (

√

s = 14 TeV

) :

1. La fusionde gluons[Georgi et al.,1978 ℄

•

H

Q

g

g

Sile bosonpossède une masse inférieure à

1 TeV/c

2

,le mode de pro-du tiondominantauLHCseralafusiondegluons.Le diagramme pré-senté i-dessus montre que ette produ tion se fera au premier ordre par l'intermédiaire d'une bou le triangulaire de quarks lourds (quark

t

et quark

b

), notés

Q

. Toutefois, pour obtenir un ordre de grandeur réaliste de la se tion e a e de produ tion par e pro essus, il faut prendreen ompte les diagrammesd'ordre supérieur.