BILAN : OSCILLATIONS FORCEES Rémy Duperray PTSI Voiron
On considère un système physique décrit par le paramètre x t
( )
qui oscille faiblement autour d'une position d'équilibre stable comme: un pendule simple dans la limite des petits angles, une masse attachée à un ressort dans la limite des petites amplitudes, la charge d'uncondensateur dans un circuit RLC dans la limite des faibles courantes et des faibles tensions. 1 - Oscillations harmoniques: pas de termes
dissipatifs, conservation de l’énergie 2 - Oscillations amorties: présence d’un terme dissipatif, perte d’énergie 3 - Oscillations forcées: présence d’un terme d’excitation, compense les pertes d’énergie Modélisation, lois physiques
Résolution mathématiques Equation différentielle: d2x dt2 + ω0 Q dx dt terme dissipatif!"# + ω02x = 0 x t
( )
= xg( )
t solution générale sans second membre (équation homogène) = réponse naturelle! + xp
( )
tsolution particulière avec second membre (équation non homogène) = réponse forcée
"#$
xg
( )
t idem cas précédent suivant les valeurs de Q⎧ ⎨ ⎪ ⎩⎪ ⎫ ⎬ ⎪ ⎭⎪t →∞→0
Modélisation, lois physiques
Résolution mathématiques Equation différentielle: d2x dt2 + ω0 Q dx dt Terme dissipatif!"# + ω02x = a cos ωt
( )
Terme d'excitation! "$ $#ω = pulsation de la source d'énergie extérieure
(l'excitation)
Modélisation, lois physiques
Résolution mathématiques
(ne dépend pas des conditions initiales) Exemples importants → pendule simple: ω0= g ℓ → masse-ressort: ω0= k m → circuit LC : ω0= 1 LC ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ Equation différentielle: d 2x dt2 + ω0 2x = 0
à déterminer avec les conditions initiales x 0
( )
=x0 et x•( )
0 =v0ω0= pulsation propre, caractéristique
physique du système ω
(
0> 0)
Solution: x t
( )
= A cos ω(
0t + ϕ)
*
• Si Δ > 0 soit 0<Q <1 2 : régime apériodique xtr
( )
t =e −βt(
B e−Ωt+ C eΩt)
avec 2β = ω0 Q et Ω2=β2−ω 0 2 Ω >0 car β grand• Si Δ = 0 soit Q =1 2 : régime critique β = ω0 ( retour le plus rapide à l'équilibre )
xtr
( )
t =(
D + E t)
e −βt• Si Δ < 0 soit Q >1 2 : régime pseudopériodique x t
( )
= A e−βtcos Ωt + ϕ(
)
=e−βt(
F cosΩt + G sinΩt)
avec 2β = ω(
0 Q)
>0 et Ω2=ω 0 2−β2(pseudo-pulsation) Ω >0 car β faible, Ω ≤ ω0 T pseudo-période(
)
≡ 2π Ω =T0 1− 12Q ⎛ ⎝⎜ ⎞ ⎠⎟ 2 et T ≥T0 Exemples importants → pendule simple: Q = m h gℓ → masse-ressort: Q = m h mk → circuit RLC: Q =Lω0 R = 1R CL ⎧ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪Q = facteur de qualité du circuit , sans unité
( )
Q > 0xper
( )
t = Xm cos ωt + ϕ(
)
• Xm
( )
ω et ϕ ω( )
(fonction de ω ) sont à déterminer en utilisantles amplitudes complexes: xper =Xmcos ωt +ϕ
(
)
↔X = Xmejϕ etc...• Phénomène de résonance possible suivant
les valeurs de ω v x v x v x
