Un encadrement classique
Samuel Rochetin
Mercredi 28 novembre 2018
Exercice. Montrer que ∀(x, y) ∈ R2, bxc + byc ≤ bx + yc ≤ bxc + byc + 1.
Solution. Par définition de la partie entière, bxc ≤ x et byc ≤ y donc, par somme, bxc + byc ≤ x + y. Ainsi, bxc + byc est un entier inférieur ou égal à x + y. Or, par définition de la partie entière, bx + yc est le plus grand entier inférieur ou égal à x + y donc bxc + byc ≤ bx + yc.
Par définition de la partie entière, x < bxc+1 et y < byc+1 donc, par somme, x + y < bxc + byc + 2. Or, par définition de la partie entière, bx + yc ≤ x + y donc bx + yc < bxc + byc + 2. Or, bx + yc et bxc + byc + 2 sont des entiers donc bx + yc ≤ bxc + byc + 1.