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Partie entière, encadrements

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Un encadrement classique

Samuel Rochetin

Mercredi 28 novembre 2018

Exercice. Montrer que ∀(x, y) ∈ R2, bxc + byc ≤ bx + yc ≤ bxc + byc + 1.

Solution. Par définition de la partie entière, bxc ≤ x et byc ≤ y donc, par somme, bxc + byc ≤ x + y. Ainsi, bxc + byc est un entier inférieur ou égal à x + y. Or, par définition de la partie entière, bx + yc est le plus grand entier inférieur ou égal à x + y donc bxc + byc ≤ bx + yc.

Par définition de la partie entière, x < bxc+1 et y < byc+1 donc, par somme, x + y < bxc + byc + 2. Or, par définition de la partie entière, bx + yc ≤ x + y donc bx + yc < bxc + byc + 2. Or, bx + yc et bxc + byc + 2 sont des entiers donc bx + yc ≤ bxc + byc + 1.

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