Université Paris-Dauphine
Lamsade
N˚ attribué par la bibliothèque
Thèse
présentée en première version en vue d’obtenir le grade de Docteur en Informatique
spécialité Programmation mathématique par
Nabila REMLI
Robustesse en programmation linéaire
Date de soutenance le 17 Mars 2011 devant le jury composé de :
Mr. P. Michelon Professeur Université d´Avignon (Rapporteur) Mme A. Thiele Associate Professor Lehigh University (Rapporteur) Mme V. Gabrel Maître de conférences Université Paris-Dauphine (Directrice) Mme C. Murat Maître de conférences Université Paris-Dauphine (Co-directrice) Mr. M. Minoux Professeur Université Paris 6
Mr. A.R. Mahjoub Professeur Université Paris-Dauphine Mr. J. Figueira Professeur École des mines de Nancy
L’université n’entend donner aucune approbation ni improbation aux opinions émises dans les thèses : ces opinions doivent être considérées comme propres à leurs auteurs.
Table des matières
Table des matières v
Liste des figures ix
Liste des tableaux xi
Introduction générale 1
1 État de l’art et problématique 7
Introduction . . . 9
1.1 Incertitudes sur les coefficients de la fonction objectif . . . 9
1.1.1 Critère du pire cas . . . 10
1.1.2 Critère de regret maximum . . . 13
1.2 Incertitudes portant sur la matrice des contraintes . . . 17
1.2.1 Approche de Soyster . . . 19
1.2.2 Approche de Ben-Tal et Nimerovski . . . 23
1.2.3 Approche de Bertsimas et Sim . . . 26
1.2.4 Approches multi-étapes . . . 29
1.3 Incertitudes sur le second membre des contraintes . . . 34
Conclusion et problématique . . . 39
2 Programmes linéaires avec seconds membres incertains 43 Introduction . . . 45
2.1 Premier contexte décisionnel : des décisions robustes . . . 47
2.1.1 Programmes linéaires avec contraintes d’inégalité . . . 48
2.1.2 Programmes linéaires avec contraintes d’égalité : modèle de pénalités. . 51
2.2 Second contexte décisionnel : pire et meilleur optimaux . . . 56
2.2.1 Programmes linéaires avec contraintes d’inégalité . . . 56
2.2.2 Programmes linéaires avec contraintes d’égalité . . . 58
2.3.1 Critère du meilleur cas . . . 66
2.3.2 Dualité . . . 68
Conclusion . . . 71
3 Calcul du pire optimum paramétrique 73 Introduction . . . 75
3.1 Programmes linéaires avec contraintes d’inégalité . . . 76
3.1.1 Définition du pire optimum paramétrique . . . 76
3.1.2 Reformulation en programme linéaire mixte . . . 79
3.2 Programmes linéaires avec contraintes d’égalité . . . 83
3.2.1 Identification du pire optimum paramétrique . . . 83
3.2.2 Reformulation en programme linéaire mixte . . . 85
Conclusion . . . 86
4 Problème de localisation et de transport robuste 89 Introduction . . . 91
4.1 Problème de localisation et de transport déterministe . . . 92
4.2 Problème de localisation et de transport robuste . . . 93
4.2.1 Formulation de la version robuste . . . 93
4.2.2 Résolution du problème de localisation et de transport robuste . . . 97
4.2.3 Reformulation du problème de recours . . . 100
4.3 Expérimentations numériques . . . 105
4.3.1 Problème de recours . . . 106
4.3.2 Problème de localisation et de transport robuste . . . 109
4.3.3 Autre contexte . . . 111
Conclusion . . . 114
5 Problème de gestion des stocks robuste 117 Introduction . . . 119
5.1 Définition du problème de gestion des stocks déterministe . . . 120
5.2 Formulation robuste 1 : solution robuste de pire cas . . . 124
5.2.1 Modèle de pénalités . . . 124
5.2.2 Solution de pire cas paramétrique : approche de Bertsimas et Thiele . . 129
5.3 Formulation robuste 2 : pire optimum . . . 135
5.4 Formulation robuste 3 : approche robuste bi-étapes . . . 139 Conclusion . . . 141
Conclusion générale 143
Bibliographie 147
Liste des figures
1.1 Domaine des solutions réalisables du problème (P1c) . . . 13 1.2 Domaine des solutions réalisables du problème (P2A) . . . 22 1.3 Domaine des solutions réalisables du problème P2A(Γ)BS . . . 29 2.1 Solution optimale suivant le critère du pire cas pour(P4b
≥) . . . 50
2.2 Solution optimale suivant le critère du pire cas pour(P5b
p) . . . 55
2.3 Solution optimale suivant le critère du meilleur cas pour(P4b) . . . 67 4.1 Résolution du problème de recours pour un exemple m=100 et n=250 :
a- Temps de résolution en fonction de Γ. b- Valeur de l’optimum en fonction de Γ. . . 107 4.2 Résolution du problème de recours pour des tests n=500 : a- Temps
d’exécution en fonction deΓ. b- Saut d’intégrité en fonction de Γ. . . 108 4.3 Résolution du problème de recours pour des tests n=1000 : a- Temps
d’exécution en fonction deΓ. b- Saut d’intégrité en fonction de Γ. . . 109 4.4 Résolution du problème T
rob(Γ)pour un test n= m= 50 : a- Valeur de
l’optimum en fonction deΓ. b- MaxOpt∆Opt en fonction deΓ . . . 110 4.5 Variation relative des coûts en fonction de Γ pour un test n =
m = 35 : la courbe A représente la différence en pourcentage de
v∗(Trob(Γ))−v∗(T2rob(Γ))
v∗(T2
rob(Γ)) ×100 . La courbe B exprime la différence en
pour-centage de v∗(T2rob(n))−v∗(T2rob(Γ))
v∗(T2
rob(Γ)) ×100 . . . 114
Liste des tableaux
4.1 Résultats des temps d’exécution du problème de recours . . . 107
4.2 Temps d’exécution de la résolution du problème robuste T rob(Γ) . . . 111
4.3 Temps de résolution et nombre d’itérations pour la résolution de T2rob(n/2) . . . 112
4.4 Test n=m=35 : résolution de T2rob(Γ)vs Trob(Γ). . . 113
5.1 Les coûts du problème(G1) . . . 125
5.2 Les demandes du problème(G1) . . . 125
5.3 La solution nominale du problème(G1). . . 126
5.4 Les valeurs des pénalités pt et qt relatives au problème(G1) . . . 126
5.5 La solution de pire cas (upen t , s pen t , x pen t )du problème(G1Rob1). . . 127
5.6 Les valeurs des pénalités p0 t et q0t relatives au problème(G1) . . . 127
5.7 La solution de pire cas (upen 0 t , s pen0 t , x pen0 t , y pen0 t )du problème(G1Rob1). . 128
5.8 La valeur du pire optimum de GS1Rob(Γ) et le scénario de demande en fonction de Γ. . . 135
5.9 La valeur du pire optimum de G1Rob2(Γ)et le scénario de demande en fonction de Γ. . . 138
Introduction générale
L’optimisation mathématique se heurte dans de nombreux cas au caractère incertain des données du problème qu’elle se propose de résoudre. En effet, les incertitudes liées aux problèmes vont impliquer des difficultés à établir un modèle exact. Ceci est le cas, par exemple dans les problèmes d’optimisation de chaînes d’approvisionnement, où la demande effective de produits et le rendement financier ne sont pas connus avec précision. Dans cette situation, les valeurs exactes des paramètres du modèle ne sont pas accessibles, et seules des estimations sont fournies. Plus généralement, un grand nombre de problèmes d’optimisation, tels que les problèmes de gestion de production, d’ordonnancement, de transport, d’allocation de ressources, et de gestion des risques financiers exigent que les décisions soient prises en présence d’incerti-tudes. L’incertitude dans ces problèmes peut toucher les prix des matières premières, leur disponibilité et le niveau de la demande des clients. En ingénierie, les données sont soumises à des erreurs de mesure ou d’arrondi qui constituent aussi des sources d’incertitude dans les modèles d’optimisation.
Les difficultés à établir des modèles exacts rendent nécessaire l’établissement de méthodologies qui tiennent compte de ces imprécisions dans le processus d’optimisa-tion et offrent des solud’optimisa-tions acceptables au problème posé. L’optimisad’optimisa-tion stochastique s’est intéressée, dès les années 1950, à ce type de problématiques en se basant sur des modèles probabilistes pour la représentation des imprécisions (une littérature étendue y est consacrée, dont voici quelques références Birge et Louveaux (1997), Prékopa (1995), Kall et Wallace (1994)). Cependant, dans de nombreux cas, l’optimi-sation stochastique n’est pas applicable en raison de l’insuffisance d’information pour l’élaboration des lois de probabilité. De plus, elle présente un inconvénient majeur, celui de la taille très importante des problèmes qu’elle génère. On se trouve dès lors confronté à des problèmes d’espace mémoire et de temps de calcul.
L’optimisation robuste est une approche différente qui vise à apporter des solutions aux problématiques liées à l’incertain, sans avoir recours à l’analyse probabiliste. Le premier à avoir proposé des méthodes non probabilistes est Dantzig (1955). Depuis, cette thématique a connu un regain d’intérêt et un développement rapide durant les deux dernières décennies.
La mise en application des approches robustes nécessite d’identifier trois prin-cipales composantes. La première est la représentation du modèle d’incertitude ; la deuxième consiste à identifier les objectifs ainsi que le contexte décisionnel du pro-blème et la troisième composante vise à déterminer le moyen ou la démarche à suivre permettant d’atteindre les objectifs fixés.
Parmi les modèles d’incertitude non probabilistes relevés dans la littérature, citons la modélisation par scénarios discrets, où les paramètres incertains sont représentés par un ensemble fini de valeurs discrètes (voir par exemple les domaines d’applica-tions de Yu et Yang (1998) et Deineko et Woeginger (2006)) ; la modélisation par des intervalles continus, ou plus généralement par des ensembles convexes est, elle aussi, très utilisée en optimisation robuste (à titre d’exemples, voir les travaux de Kouvelis et Yu (1997), Bertsimas et Sim (2003) et Averbakh et Lebedev (2005)). La modélisation de l’incertitude par des intervalles est celle que nous avons retenue tout au long de cette thèse.
Après avoir établi le modèle d’incertitude, le décideur doit définir quel est l’objectif visé, en terme de robustesse, compte tenu du contexte décisionnel du problème et des incertitudes sur les données. Dans la littérature, la notion de solution robuste est souvent emplyée. Nous observons, toutefois, qu’il n’y a pas de définition unique d’une solution robuste et que celle-ci diffère selon les auteurs et les contextes de décision. En effet, selon Roy (2002) la robustesse est une aptitude à résister à des “à peu près” ou à des “zones d’ignorance” afin de se protéger d’impacts jugés regrettables. Daniel et Salazar (2006) quant à eux qualifient une solution de robuste si sa valeur ne change pas de façon “significative” lorsque le vecteur de décision est légèrement perturbé. Par ailleurs, une solution robuste est définie par Gabrel et Murat (2007) comme étant une solution qui doit être “acceptable” dans un grand nombre de scénarios et qui ne soit jamais “trop mauvai-se”. Ces définitions nécessitent d’être adaptées au contexte décisionnel du problème incertain. Par exemple, une solution robuste peut refléter une notion de stabilité dans
Introduction générale 3
un système (voir Rosenblatt et L. (1987)), ou bien de flexibilité dans un contexte sé-quentiel (voir Gupta et Rosenhead (1968), Rosenhead (1989) et Rosenhead et al. (1972)).
En dernier lieu, il faut définir les outils et les méthodologies pour répondre à la préoccupation de la robustesse ainsi que leur mise en œuvre. Les critères issus de la théorie de la décision ont été les premiers outils utilisés en robustesse, notamment le critère du pire cas et le critère du regret maximum (voir Averbakh et Lebedev (2005)).
Il est important de noter la différence entre robustesse et analyse de sensibilité. En effet, dans ce dernier contexte, une solution est déterminée pour un jeu de données fixe (un scénario unique) et une étude a posteriori est réalisée dans le voisinage de cette solution. Par contre, l’optimisation robuste conduit à considérer, a priori, plu-sieurs scénarios et de rechercher des solutions, qui soient bonnes dans la totalité ou la plupart des scénarios. Dans la construction de modèles robustes, les incertitudes doivent être intégrées au processus de la décision et ne sont pas le résultat d’une analyse a posteriori (voir Roy et al. (1982)).
Dans le cadre de ce travail de thèse, nous nous intéressons aux problèmes de programmation linéaire dans lesquels certains coefficients sont incertains. Plus préci-sément, notre intérêt se porte sur la prise en compte d’incertitudes affectant exclusi-vement les coefficients du second membre. Cette problématique n’avait pas, à notre connaissance, fait l’objet d’étude spécifique antérieure au commencement de cette thèse. En effet, les problèmes incertains de programmation linéaire étudiés dans la littérature se concentraient essentiellement autour des problèmes admettant : soient des coûts incertains, soient des coefficients incertains dans la matrice des contraintes (ou parfois conjointement avec le second membre).
Les problèmes que nous proposons de traiter se rencontrent dans de nombreuses applications réelles. Citons, par exemple, les problèmes de transport avec demande incertaine, des problèmes de flots avec des capacités incertaines, ou encore des pro-blèmes de gestion de stock avec des demandes incertaines. Dans cette étude, nous proposons de développer des outils permettant la prise en compte des incertitudes afin de répondre à la préoccupation de la robustesse selon trois contextes différents.
Dans le premier contexte, une décision doit être prise avant la réalisation de l’in-certain. Un grand nombre d’applications s’inscrivent dans ce contexte de décision. Le critère le plus adapté et le plus répandu dans ce contexte est le critère du pire cas. Ce critère étant largement étudié dans la théorie de la décision, nous nous attacherons ici à identifier les cas où son application est possible et à étudier la complexité des problèmes engendrés. Par ailleurs, s’il apparaît des situations où son application est peu pertinente, nous proposerons des alternatives.
Le deuxième contexte décisionnel développé dans notre étude est celui où le dé-cideur est en phase de planification. Dans ce cas, l’objectif est l’évaluation des coûts des solutions optimales selon les réalisations possibles des incertitudes. La prise de décision se fait, quant à elle, en milieu déterministe, une fois les incertitudes levées. Nous proposons ici de fournir au décideur des évaluations pertinentes suivant les scé-narios envisagés et nous étudierons les problèmes engendrés (leur formulation et leur complexité). Les évaluations recherchées par le décideur peuvent être très différentes d’une application à l’autre. Nous nous intéresserons entre autre à l’évaluation la plus favorable et la plus défavorable et proposerons d’autres évaluations plus flexibles.
Le dernier contexte décisionnel abordé dans ce manuscrit a été étudié récemment dans la littérature et concerne la prise de décisions robustes en plusieurs étapes ; il s’agit du contexte multi-étapes. Ce contexte a été introduit par Ben-Tal et al. (2004) pour les programmes linéaires où l’incertitude est située dans la matrice des contraintes et a été récemment étudié par Thiele et al. (2009) qui l’adoptent sur des problèmes avec second membre incertain dans une approche robuste bi-étapes. Dans cette dernière, nous considérons que l’espace de décision est séparé en deux parties : les variables de la première partie doivent être décidées avant la réalisation des incertitudes, alors que celles de la seconde partie sont décidées au moment de la divulgation des incertitudes. Le travail réalisé selon ce contexte consiste à appliquer une approche bi-étapes sur deux applications réelles : une première application traite d’un problème de localisa-tion et de transport ; la seconde, concerne un problème de geslocalisa-tion de stock.
Le plan de la thèse est le suivant : au chapitre 1, un état de l’art sera abordé dé-crivant les principales approches robustes existant dans la littérature et cela en fonc-tion de l’emplacement de l’incertitude dans le programme linéaire. Tout d’abord, nous traiterons les problèmes possédant des coûts incertains. Ensuite, nous aborderons les
Introduction générale 5
versions robustes de programmes linéaires admettant une matrice des contraintes in-certaine. Enfin, nous introduirons notre problématique qui concerne les programmes linéaires comportant un second membre incertain. Dans le chapitre 2, nous considérons deux contextes décisionnels distincts pour lesquels nous répondrons à la préoccupa-tion de la robustesse différemment : dans le premier contexte, il s’agira de calculer une solution robuste de pire cas, et dans le second contexte nous calculerons l’évaluation des valeurs du pire et du meilleur optima. En outre, nous montrerons que la nature des contraintes du problème (que celles-ci soient des inégalités ou des égalités) influe sur la complexité des versions robustes engendrées. Dans le chapitre 3, nous propose-rons une généralisation du calcul du pire optimum et cela en étudiant une extension pertinente de l’approche de Bertsimas et Sim (2004) sur le calcul de pire optimum. Les problèmes contenant des contraintes d’inégalité ou d’égalité seront abordés sépa-rément. Dans le chapitre 4, nous nous intéresserons à une approche robuste bi-étapes pour traiter une première application d’un problème de localisation et de transport avec demande incertaine. Ce problème est modélisé par un programme linéaire où les incertitudes affectent certains coefficients du second membre de contraintes d’inégalité du problème et nous ferons appel au résultats du chapitre 3. Enfin, dans le chapitre 5, nous étudierons une seconde application d’un problème de gestion de stock avec de-mande incertaine, que nous traiterons suivant plusieurs contextes de décision. Pour ce faire, les versions robustes associées à ce problème doivent tenir compte du caractère dynamique du problème ainsi que des incertitudes présentes dans le second membre de contraintes d’égalité.
1
État de l’art et problématique
Sommaire
Introduction . . . 9
1.1 Incertitudes sur les coefficients de la fonction objectif . . . . 9
1.1.1 Critère du pire cas . . . 10
1.1.2 Critère de regret maximum . . . 13
1.2 Incertitudes portant sur la matrice des contraintes . . . 17
1.2.1 Approche de Soyster . . . 19
1.2.2 Approche de Ben-Tal et Nimerovski . . . 23
1.2.3 Approche de Bertsimas et Sim . . . 26
1.2.4 Approches multi-étapes . . . 29
1.3 Incertitudes sur le second membre des contraintes. . . . 34
Conclusion et problématique . . . 39
D
ans ce chapitre est présenté un état de l’art des principales approches, dites ro-bustes, traitant de programmes linéaires contenant des données incertaines ou imprécises. Ce chapitre est divisé en trois parties : dans la première partie, sont abor-dés les problèmes dont les coefficients de la fonction objectif sont incertains. Les ré-sultats concernant l’application de critères issus de la théorie de la décision y seront détaillés. La deuxième partie est consacrée aux problèmes affectés par des coefficients incertains situés dans la matrice des contraintes. Nous aborderons quelques approches robustes utilisées dans la littérature. Les avantages et inconvénients de chacune seront discutés. Enfin, la dernière partie traite des programmes linéaires contenant un second membre des contraintes incertain. Nous montrerons que les approches existantes dans la littérature sont peu pertinentes, ce qui introduira la problématique de notre travail.1.1. Incertitudes sur les coefficients de la fonction objectif 9
Introduction
Ce chapitre fait un état de l’art des principales approches robustes traitant de pro-grammes linéaires en présence d’incertitude. Nous rappelons qu’il ne sera abordé ici que le modèle d’incertitude décrit par des intervalles continus. Nous avons choisi de séparer les résultats bibliographiques en fonction de l’emplacement des incerti-tudes dans le programme linéaire. Tout d’abord, seront traités dans la section 1.1 les programmes linéaires admettant des coefficients de la fonction objectif incertains. Les critères classiques du pire cas et du regret maximum y seront appliqués pour trouver des solutions robustes. Dans la seconde partie de chapitre (section 1.2), notre intérêt sera porté sur les approches robustes traitant de programmes linéaires où les coefficients de la matrice des contraintes sont incertains. Nous verrons que pour être robustes, les solutions recherchées doivent répondre à la préoccupation de réalisabilité du problème. Enfin, le cas des incertitudes présentes dans le second membre des contraintes, faisant l’objet de la problématique de cette thèse, sera discuté à la fin du chapitre.
1
.1
Incertitudes sur les coefficients de la fonction objectif
Considérons un programme linéaire avec des coefficients de coûts incertains, écrit sous la forme générale suivante :(Pc) (
min cx s.c. Ax≤b
où x est une matrice colonne de taille n qui représente les variables du problème. La matrice des contraintes A est de taille m×n et le second membre des contraintes b est une matrice colonne de taille m. Notons X = {x ∈ Rn|Ax ≤ b} le domaine
des solutions réalisables du problème (Pc) que nous supposons non vide et borné.
Le coût c est une matrice ligne de taille n. Elle constitue la part incertaine du problème.
Nous supposons que chaque coefficient incertain de c prend ses valeurs dans un intervalle fermé, indépendamment des valeurs prises par les autres paramètres. Formellement, notons Λ l’ensemble d’incertitude représenté par le produit cartésien
des intervalles[cj, cj], j=1 . . . n, où cj ≤cj.
Nous définissons un scénario comme étant une réalisation de l’incertitude dans le domaineΛ et notons v∗(Pc)la valeur de l’optimum pour le scénario c fixé.
Dans la plupart des études, l’objectif est de déterminer une solution, qualifiée de robuste, avant de connaître les vraies valeurs des paramètres incertains, avec la seule indication que ces derniers varient dans un domaine d’incertitude préalablement défini. Une solution robuste doit alors présenter une certaine “garantie” sur tous ou la plupart des scénarios pouvant se réaliser.
Les critères issus de la théorie de la décision sont des mesures couramment em-ployées pour la détermination de solutions robustes. Les deux principaux critères rencontrés dans la littérature sont le critère du pire cas (appelé aussi robustesse ab-solue) et le critère du regret maximum (ou déviation abab-solue). La définition et l’emploi de ces deux critères sur le problème incertain (Pc) seront détaillés ci-après dans ce chapitre. Moins étudié, le critère du regret relatif maximum (ou déviation relative) peut être appliqué. Ce critère ne sera pas abordé dans ce manuscrit mais nous invitons le lecteur à se rapporter aux travaux de Mausser et Laguna (1999b) qui l’emploient sur les programmes linéaires incertains, et Averbakh (2000), Averbakh (2005), Zielinski (2004) et Assavapokee et al. (2008) sur divers problèmes d’optimisation combinatoire. D’autres mesures de robustesse ont vu le jour plus récemment, avec la particularité de faire intervenir des seuils (à fixer par le décideur) et de déterminer un groupe de solutions robustes (voir Kouvelis et al. (1992), Kalai (2006), Kalai et Lamboray (2007) et Roy (2010)).
Nous allons, dans ce qui suit, donner le résultat de l’application des critères classiques du pire cas et du critère du regret maximum sur le problème (Pc). Il en découlera différents problèmes robustes dont nous donnerons la complexité et la résolution.
1.1.1 Critère du pire cas
Le critère du pire cas peut être considéré comme étant le critère de référence en op-timisation robuste, quand il s’agit de déterminer des solution avant la réalisation des
1.1. Incertitudes sur les coefficients de la fonction objectif 11
incertitudes. De manière générale, son application sur un problème incertain permet de déterminer la solution optimale suivant le scénario le plus défavorable. La solution ainsi obtenue est robuste car elle offre une garantie absolue à toutes les éventualités pouvant se réaliser.
Parmi les auteurs qui se sont intéressés aux programmes linéaires incertains s’écrivant sous la forme du problème (Pc) où c ∈ Λ, nous retrouvons les travaux de
Averbakh et Lebedev (2005), où les auteurs présentent -entres autres- le résultat de l’application du critère du pire cas sur (Pc), qui se décrit comme suit.
Soit ˆx une solution réalisable de (Pc), sa valeur selon le critère du pire cas, notée vpir(ˆx), se définit comme :
vpir(ˆx) =max
c∈Λ cˆx (1.1)
Suivant le critère du pire cas, il s’agit de déterminer, parmi toutes les solutions réali-sables x ∈ X, celle qui minimise la valeur de vpir(x). Le problème de pire cas, noté (Pc)pirCas, s’écrit :
(Pc)pirCas
min
x∈X maxc∈Λ cx
Proposition 1.1 [Averbakh et Lebedev (2005)] L’application du critère du pire cas sur un programme linéaire, dont les coefficients coûts sont incertains et appartiennent à des intervalles, est un problème polynomial.
Démonstration. Par hypothèse, le polyèdre des solutions réalisables X est non vide et borné ; il est donc possible, selon le théorème fort de dualité, de remplacer le pro-blème de maximisation dans l’écriture de (Pc)pirCas par son dual. Nous obtenons la formulation en programme linéaire suivante :
(Pc)pirCas min cu−cv s.c. u−v−x=0 Ax≤b u≥0, v≥0 qui est un problème polynomial.
Remarque 1.1 Dans le cas particulier où les variables x sont de signe constant, par exemple supposons qu’elles soient positives, le problème(Pc)pirCasest équivalent à(Pc):
(Pc)pirCas min cx s.c. Ax≤ b x≥0
En effet, si les variables x sont non-négatives, nous remarquons que les pires valeurs des coef-ficients de la fonction objectif pour le problème de minimisation (Pc)se déduisent directement en affectant aux coûts les valeurs des bornes supérieures des intervalles auxquels elles appar-tiennent.
Exemple 1.1 Soit le programme linéaire(P1c)suivant :
(P1c) min c1x1+c2x2 s.c. −x1+3x2≤4 3x1+2x2≥ −4 −5x1+2x2≥ −6 (1.2) (1.3) (1.4) Les coefficients(c1, c2)de la fonction objectif sont incertains et peuvent prendre n’importe
quelle valeur dans les intervalles suivants : c1 ∈ [−3, 3]et c2 ∈ [1, 3].
Selon la proposition 1.1, la solution robuste selon le critère du pire cas pour le problème(P1c) s’obtient par la résolution du programme linéaire(P1c)pirCass’écrivant :
(P1c)pirCas min 3u1+3u2+3v1−v2 s.c. u1−v1−x1=0 u2−v2−x2=0 −x1+3x2≤4 3x1+2x2 ≥ −4 −5x1+2x2≥ −6 u1, u2, v1, v2≥0
La solution robuste selon le critère du pire cas est x∗pirCas = (0,−2)de valeur égale à−2. Elle se réalise pour tous les scénarios (c1, 1) où c1 ∈ [−3, 3]. En adoptant la solution x∗pirCas, le
1.1. Incertitudes sur les coefficients de la fonction objectif 13
des solutions réalisables du problème (P1c). Nous remarquons que x∗pirCas ne se situe pas sur un point extrême du domaine des solutions réalisables du problème(P1c).
- 3 - 2 - 1 1 2 3 - 2 - 1 1 2 ( 1 . 3 ) ( 1 . 4 ) ( 1 . 2 ) x *p i r C a s= ( 0 , - 2 )
Fig. 1.1 – Domaine des solutions réalisables du problème(P1c)
En optimisation combinatoire, le critère du pire cas est utilisé dans de nombreuses applications. Nous donnons quelques références de certains problèmes qui ont retenu notre attention : citons d’abord les travaux de Yaman et al. (2001) qui s’intéressent au problème de l’arbre couvrant. Citons également le problème de plus court chemin robuste qui est traité par Yu et Yang (1998) et Gabrel et Murat (2007). Mentionnons enfin les travaux de Yu (1996) et Taniguchi et al. (2008) sur le problème de sac à dos robuste.
Le second critère est celui du regrêt maximum, dont nous présentons l’application dans ce qui suit.
1.1.2 Critère de regret maximum
Le critère de regret maximum a été introduit par Savage (1954) et Luce et Raiffa (1957). C’est le critère le plus étudié et le plus utilisé en théorie de la décision, lorsque la fonction objectif d’un programme linéaire est incertaine et la décision doit être prise avant la réalisation de l’incertain. Par définition, le regret est le sentiment de perte ressenti par un décideur après avoir appris qu’une autre solution (ou décision) aurait été préférable à celle sélectionnée. En programmation mathématique, le regret est
souvent associé à la notion de robustesse. En effet, la solution robuste obtenue par l’application de ce critère est celle dont le plus grand écart par rapport aux valeurs optimales sur tous les scénarios est le plus faible.
Plusieurs auteurs se sont intéressés à l’application du critère du regret maximum sur un programme linéaire, dont les coefficients de la fonction objectif sont incertains. Les premiers travaux sont ceux de Shimizu et Aiyoshi (1980) qui, comme nous le verrons dans ce qui suit, proposent un algorithme pour résoudre ce problème robuste.
Tout d’abord, formalisons le problème : soit ˆx une solution réalisable du problème (Pc)pour un scénario fixé c, appartenant à l’ensemble d’incertitudeΛ. Le regret, noté r(ˆx, c), associé à la solution ˆx représente la différence entre la valeur de l’optimum pour le scénario c et la constante c ˆx, sa valeur est donc :
r(ˆx, c) = (cˆx−cx∗)
où x∗ représente la solution optimale du problème (Pc)pour le scénario c. Le regret
maximum, noté R(ˆx), associé à la solution ˆx est celui qui réalise le maximum sur tous les scénarios :
R(ˆx) =max
c∈Λ r(ˆx, c)
La solution robuste suivant le critère du regret maximum est alors une solution dans X qui minimise le regret maximum :
min
x∈X R(x)
Le problème du regret maximum, noté(Pc)reg, s’écrit donc :
(Pc)reg
min
x∈X maxc∈Λ (cx−cx
∗)
La solution optimale x∗reg de (Pc)
reg est robuste car elle fournit au décideur une
ga-rantie relative dans le sens où, quand celui-ci la choisit, il sait que quel que soit le scénario incertain qui se réalisera, l’écart maximum sur tous les scénarios par rapport à la solution optimale sera le plus faible.
Théorème 1.1 [Averbakh et Lebedev (2005)] Le problème du regret maximum, lorsque les coefficients de la fonction objectif varient dans des intervalles, est NP-difficile au sens fort. De
1.1. Incertitudes sur les coefficients de la fonction objectif 15
plus, les auteurs montrent que le calcul du regret maximum R(ˆx), pour une solution réalisable ˆx, est NP-difficile au sens fort.
Résolution exacte
Shimizu et Aiyoshi (1980) proposent un algorithme de résolution exacte du problème (Pc)reg. Les auteurs se basent sur le fait que le problème(Pc)regpeut s’écrire de manière
équivalente sous la forme d’un programme linéaire comme suit :
(Pc)reg min r s.c. r≥ cx−cx∗ pour tout c∈ Λ x ∈X (1.5)
qui inclut une infinité de contraintes (1.5). Afin de résoudre (Pc)
reg de manière optimale, les auteurs considèrent initialement
un sous-ensemble de contraintes (1.5), qui sera augmenté à chaque itération, jusqu’à l’obtention de la solution optimale. Soit donc C = {c1, c2, ..., cl}un sous-ensemble de vecteurs coûts appartenant à Λ, et(Pc)0reg le problème relaxé engendré par C :
(Pc)reg0 min r s.c. r≥ckx−ckxck, k=1 . . . l x∈ X (1.6)
où xck est la solution optimale pour le scénario ck, avec k =1 . . . l.
Les contraintes (1.6) sont appelées des coupes de regret. Soit ˆx la solution optimale de (Pc)0reg et ˆr le regret correspondant. La valeur de ˆr représente une borne inférieure à la valeur optimale du regret maximum. En effet,(Pc)0reg est le problème relaxé de(Pc)reg, qui admet un nombre restreint de contraintes. Pour la même raison, notons que la valeur du regret ˆr est non décroissante au fur et à mesure que les coupes de regret s’ajoutent au programme (Pc)0
reg.
Il est clair que si la solution de regret ˆr satisfait toutes les contraintes (1.5) alors elle est optimale pour le problème (Pc)reg. Afin de tester cette condition, il suffit de calculer
esclave, noté (CMR)(candidate maximum regret), suivant : (CMR) Rmax(ˆx) =max cx−cˆx s.c. x∈X c∈Λ (1.7)
Par conséquent, si Rmax(ˆx) = ˆr alors ˆx est la solution optimale du problème (Pc)reg,
sinon la solution (ˆc, xˆc) obtenue par la résolution du problème (CMR)ne vérifie pas
toutes les contraintes (1.5). Dans ce cas, la nouvelle contrainte : r≥ ˆcx− ˆcxˆc
est ajoutée au problème (Pc)0reg. Ainsi, la taille de l’ensemble C croît itérativement jusqu’à ce que le critère d’arrêt soit vérifié.
En utilisant (Pc)0reg et (CMR)pour générer des solutions candidates et des coupes de regret, on obtient l’algorithme suivant qui minimise le regret maximum :
Algorithme 1: Algorithme pour le calcul du regret maximum Étape 0 : Initialiser : poser ˆr :=0 et choisir un ˆx∈ X
Étape 1 : Résoudre (CMR)et trouver ˆc et Rmax(ˆx). Si Rmax(ˆx) ≤ˆr alors fin, ˆx
minimise le regret maximum ; sinon aller à l’étape 2 Étape 2 : Ajouter la coupe r≥ ˆcx− ˆcxˆcau problème(Pc)reg0
Étape 3 : Résoudre (Pc)0reg et trouver ˆr et ˆx. Actualiser la valeur de ˆr et aller à l’étape 1
Convergence de l’algorithme : [Shimizu et Aiyoshi (1980)] L’algorithme 1 converge vers la solution qui minimise le regret maximum en un nombre fini d’itérations.
La résolution du problème(CMR)à l’étape 1 est la partie la plus coûteuse en temps de calcul. En effet, rappelons que ce problème est NP-difficile au sens fort (Averbakh et Lebedev (2005)). Plusieurs travaux ont été menés pour résoudre le problème(CMR) de manière efficace (afin d’en réduire les temps de calcul). Dans une première étude, Inuiguchi et Sakawa (1995) caractérisent les solutions optimales du problème (CMR) ainsi que des scénarios de pire cas. Puis, en exploitant ces propriétés, ces mêmes auteurs reformulent et résolvent le problème en utilisant un algorithme de branch and bound (voir Inuiguchi et Sakawa (1996)). D’autres améliorations sont apportées par
1.2. Incertitudes portant sur la matrice des contraintes 17
Mausser et Laguna (1998; 1999a) qui suggèrent, respectivement, une formulation en programme linéaire mixte et une heuristique pour la résolution du problème(CRM), réduisant ainsi les temps de calcul.
En optimisation combinatoire, le critère du regret maximum a largement été utilisé pour répondre à la préoccupation de la robustesse. Tout d’abord, nous citons le pro-blème de l’arbre couvrant qui a été traité par Yaman et al. (2001), Averbakh et Lebedev (2004), Montemanni et Gambardella (2005) et Montemanni (2006). La complexité de ce problème est donnée par Aron et Van Hentenryck (2004), et une formulation en nombres entiers est proposée par Yaman et al. (2001). Ensuite, concernant le problème de plus court chemin robuste suivant le même critère, nous pouvons noter les travaux d’Averbakh et Lebedev (2004), Karasan et al. (2001), Kasperski et Zielinski (2006), Mon-temanni et Gambardella (2004) et MonMon-temanni et al. (2004). Dans Averbakh (2004), il est question du problème d’allocation de ressources robuste, et dans Deineko et Woeginger (2006) est traité le problème d’affectation robuste. De plus, Montemanni et al. (2005) s’intéressent au problème de voyageur de commerce robuste. D’autres versions robustes selon le critère du regret maximum de divers problèmes d’optimisa-tion combinatoire ont été étudiés, comme par exemple : Aissi (2005), Aissi et al. (2007), Assavapokee et al. (2008), Averbakh (2000), Averbakh (2001) et Escoffier et al. (2008).
Dans la première partie de cet état de l’art, nous avons traité des programmes li-néaires dont les coefficients de la fonction objectif sont incertains. Nous avons présenté les résultats de complexité et approches de résolution des versions robustes obtenues par l’application des critères classiques de la théorie de la décision. Dans la partie sui-vante seront exposées les principales approches utilisées pour déterminer des solutions robustes lorsque les coefficients de la matrice des contraintes sont incertains.
1
.2
Incertitudes portant sur la matrice des contraintes
Dans un programme linéaire, considérer que les incertitudes portent sur les coeffi-cients de la matrice des contraintes revient à considérer que le domaine des solutions réalisables est incertain. La préoccupation de la réalisabilité est donc une considération centrale lors de la recherche de solutions robustes pour ce problème incertain. Nous verrons dans ce qui suit, comment chacune des approches présentées définit une
solution robuste et de quelle manière la réalisabilité du problème est prise en compte.
Commençons, tout d’abord, par formaliser le problème. Soit le programme linéaire (PA)s’écrivant sous la forme suivante :
(PA) min cx s.c. Ax≤b x≥0
où x est une matrice colonne de taille n qui représente les variables du problème. Le coût c est une matrice ligne de taille n, la matrice A des contraintes de taille m×n et le second membre b est une matrice colonne de taille m. Supposons que l’incertitude porte uniquement sur les coefficients de la matrice des contraintes A et que le domaine réalisable est non vide, quelle que soit la réalisation de l’incertitude.
L’ensemble d’incertitude adopté pour modéliser les coefficients de la matrice A est un modèle par intervalles, que nous définissons de la manière suivante : pour tout i=1 . . . m et j=1 . . . n, le paramètre aijappartient à[aij−ˆaij, aij+ˆaij], où aijreprésente
la valeur nominale du coefficient aij et ˆaij (avec ˆaij ≥ 0) sa déviation maximale. En
d’autres termes,
aij = aij+ˆaijξij (1.8)
avec
ξij ∈ [−1, 1] (1.9)
Dans la littérature, il est possible de séparer les approches robustes en deux familles selon le contexte décisionnel auquel appartient le problème (PA):
1. Contexte statique : il s’agit de prendre une décision (une solution robuste) avant toute réalisation de l’incertitude de façon irrémédiable. Dans ce contexte, nous présenterons trois approches robustes : l’approche de Soyster (1973), l’approche de Ben-Tal et Nimerovski (1999) et l’approche de Bertsimas et Sim (2004) ; 2. Contexte multi-étapes : ici l’espace de décision est divisé en plusieurs groupes,
1.2. Incertitudes portant sur la matrice des contraintes 19
et à mesure que l’incertitude est levée. Nous présenterons l’approche bi-étapes introduite par Ben-Tal et Nimerovski (1999).
Commençons donc par formaliser les trois approches utilisables dans le contexte sta-tique.
1.2.1 Approche de Soyster
L’approche de Soyster (1973) (voir aussi les développements de Soyster (1979), Falk (1976) et Singh (1982)) est l’une des premières approches référencées dans la littérature pour la détermination de solutions robustes au problème (PA). Son principe rejoint celui du critère du pire cas décrit précédemment, où la solution doit, pour être quali-fiée de robuste, être acceptable (réalisable) quel que soit le scénario qui se réalise.
La version robuste, notée (PA)Soyster, associée au problème (PA) selon cette approche où les incertitudes sont définis par (1.8) et (1.9) s’écrit alors :
(PA)Soyster min ∑n j=1 cjxj s.c. ∑n j=1 (aij+ ˆaijξij)xj≤ bi ∀ξij ∈ [−1, 1] i=1 . . . m xj ≥0 j=1 . . . n
qui revient à résoudre :
(PA)Soyster min ∑n j=1 cjxj s.c. ∑n j=1 aijxj+ max ξij∈[−1,1] {ˆaijξijxj} ≤bi i=1 . . . m xj ≥0 j=1 . . . n
Dans notre cas, puisque les variables xj, j = 1 . . . n sont non négatives, et que les
coefficients sont indépendants, la version robuste de (PA)selon l’approche de Soyster correspond au programme linéaire suivant :
(PA)Soyster min ∑n j=1 cjxj s.c. ∑n j=1 (aij+ˆaij)xj ≤bi i=1 . . . m xj ≥0 j=1 . . . n
Remarque 1.2 Notons que nous n’avons présenté ici qu’une adaptation des travaux de Soyster à la modélisation des incertitudes par des intervalles. En effet, dans la version d’origine présentée par Soyster (1973), les incertitudes sont modélisées par des ensembles convexes définis sur les colonnes de la matrice A. C’est à dire que chaque colonne Ajappartient à un ensemble convexe Kj, le but étant de calculer des solutions robustes de pire cas.
Remarque 1.3 La complexité des versions robustes associées au problème (PA) selon
l’ap-proche de Soyster (1973), dépend de la difficulté de calculer un maximum sur le domaine d’in-certitude. Dans le cas d’incertitudes modélisées par des intervalles continus ou des polyèdres le problème est polynomial (voir Ben-Tal et Nimerovski (2002)).
Exemple 1.2 Considérons le programme linéaire incertain(P2A)suivant :
(P2A) max −2x1+3x2 s.c. a11x1+a12x2 ≤120 (a) a21x1+a22x2 ≥30 (b) x1 ≤8 (c) x1, x2 ≥0
où les coefficients de la matrice des contraintes sont décrits par les intervalles continus suivants : a11 ∈ [−15,−3], a12 ∈ [15, 25], a21 ∈ [1, 3]et a22 ∈ [5, 6]. Les valeurs nominales de ces
coef-ficients ainsi que les déviations sont respectivement : a11= −9, a12 =20, a21 =2, a22 =5.5
et ˆa11=6, ˆa12=5, ˆa21=1, ˆa22 =0.5.
La version robuste selon l’approche de Soyster, notée(P2A)Soyster, associée au problème(P2A) s’écrit : (P2A)Soyster max −2x1+3x2 s.c. −3x1+25x2≤120 (a)pir x1+5x2≥30 (b)pir x1 ≤8 (c) x1, x2 ≥0
La solution optimale de (P2A)Soysterest égale à x∗pir = (3.75, 5.25). Sa valeur est égale à 8.25. Elle correspond à la solution robuste de pire cas pour le problème incertain(PA).
Sur la figure 1.2 est illustrée la variation du domaine des solutions réalisables du problème (P2A)en fonction des valeurs prises par les coefficients de la matrice A. Il y est notamment
1.2. Incertitudes portant sur la matrice des contraintes 21
illustré les domaines des solutions réalisables de trois valeurs de scénarios différents, définis comme suit :
– le scénario de pire cas : relatif aux contraintes du problème (P2A)Soyster. Le domaine réalisable suivant ce scénario est délimité par les droites(a)pir et(b)piret(c)de la figure
1.2.
– le scénario nominal : correspondant au programme linéaire où tous les coefficients sont égaux aux valeurs nominales. Le domaine réalisable suivant ce scénario est donné par les droites(a)nomet(b)nom,(c)et x1 ≥0 de la figure 1.2.
– un troisième scénario, qu’on appellera scénario de meilleur cas : (par opposition au scénario de pire cas), celui où les coefficients prennent les valeurs des intervalles qui forment le plus grand domaine de solutions réalisables possible. Le domaine réalisable suivant ce scénario est donné par les droites (a)mei et (b)mei, (c)et x1 ≥ 0 de la figure
1.2. Ce scénario est peu pertinent en robustesse mais il est considéré ici afin de comparer
les différentes solutions.
Les solutions optimales suivant ces trois scénarios sont très différentes (puisqu’elles résultent de domaines réalisables différents) et sont -pris dans cet ordre- de valeurs croissantes. En effet, x∗pir = (3.75, 5.25) est de valeur 8.25, x∗nom = (0, 6) est de valeur 18 et x∗mei = (8, 16) de valeur 32.
L’approche robuste de Soyster (1973) est une approche de pire cas destinée à la détermination d’une solution robuste avant la réalisation de l’incertain. Cette solution est une garantie absolue contre tout scénario pouvant se réaliser, et va être décidée sur la base du scénario le plus défavorable, celui définissant le plus petit domaine réalisable.
Cependant, ces solutions robustes peuvent être jugées trop pessimistes et sont sou-vent qualifiées de solutions “conservatives” dans la littérature. En effet, ne disposant d’aucune information sur la probabilité d’occurrence des scénarios (nous supposons seulement qu’ils sont tous équiprobables), il est clair pour certains décideurs que la décision basée sur le cas le plus défavorable ne sera pas toujours satisfaisante. Son coût peut être inutilement élevée alors qu’il n’y a que peu de chance qu’elle se réalise.
- 3 3 6 9 3 6 9 1 2 1 5 ( c ) ( b ) m e i ( b ) n o m ( b ) p i r ( a ) p i r ( a ) n o m x*n o m x*p i r x * m e i ( a ) m e i
Fig. 1.2 – Domaine des solutions réalisables du problème(P2A)
émergé au cours de la dernière décennie. Elles ont permis des avancées importantes en optimisation robuste tant sur le plan théorique que sur le plan pratique. Les versions robustes selon ces approches font intervenir un paramètre qui permet de contrôler le degré de “conservatisme” de la solution robuste tout en garantissant une forte probabilité de satisfaction des contraintes. La solution robuste recherchée n’est plus réalisable quel que soit le scénario qui se produit, mais le degré de non satisfaction des contraintes est fixé par ce paramètre. S’autorisant cette faible violation des contraintes on s’éloigne des scénarios extrêmes de pire cas, et on fournit au décideur des solutions robustes de meilleure qualité.
Parmi les approches paramétriques existant dans la littérature, deux principales approches peuvent être distinguées : l’approche de Ben-Tal et Nimerovski (que nous présenterons dans la section 1.2.2) et l’approche de Bertismas et Sim (présentée à la section 1.2.3).
1.2. Incertitudes portant sur la matrice des contraintes 23
1.2.2 Approche de Ben-Tal et Nimerovski
L’approche de Ben-Tal et Nimerovski (1999; 2000) (parallèlement introduite par El Ghaoui et Lebret (1997) et El Ghaoui et al. (1998)) consiste à chercher des solutions robustes moins conservatives que les solutions de pire cas, et cela en utilisant un domaine d’incertitude qui exclut les valeurs extrêmes des intervalles en autorisant une faible violation des contraintess.
En effet, la modélisation proposée ne situe plus les scénarios sur les extrémités des intervalles, mais sur les bords d’ellipsoïdes inscrits dans les intervalles de variation. Pour ce faire, les auteurs imposent, pour toute contrainte i, i =1 . . . m du programme linéaire incertain(PA), que les déviations maximales sur une même contrainte i appar-tiennent à un ellipsoïde défini par :
Ξi(Ωi) = {ξij ∈Rn| v u u t n
∑
j=1 ξij2 ≤ Ωi; ξij ∈ [−1, 1]} (1.10)avec Ωi ≥0, pour tout i=1 . . . m.
Ce modèle d’incertitude est souvent nommé dans littérature par modèle en ligne, du fait qu’un paramètre Ωi soit défini pour chaque contrainte i.
Selon l’approche de Ben-Tal et Nimerovski (1999), la version robuste du problème(PA) consiste à se placer dans le pire cas dans le domaine s’écritΞi(Ωi)et s’écrit :
PA(Ω)BenTal min ∑n j=1 cjxj s.c. ∑n j=1 aijxj+ max ξ∈Ξi(Ωi) {∑n j=1 ˆaijξijxj} ≤bi i=1 . . . m xj ≥0 j=1 . . . n
oùΩ représente le vecteur des paramètres(Ω1, . . . ,Ωm). Il est possible de simplifier le
problème en employant le lemme suivant.
Pour tout vecteur d∈Rnet un réel positif k, nous avons :
max
||ξ||p≤k
{dTξ} =k||d||q
Il découle du Lemme 1.1 que le problème PA(Ω)BenTal est équivalent à :
PA(Ω)BenTal min ∑n j=1 cjxj s.c. ∑n j=1 aijxj+Ωi s n ∑ j=1 ˆa2 ijx2j ≤ bi i=1 . . . m xj ≥0 j=1 . . . n
qui revient au problème quadratique suivant :
PA(Ω)BenTal min ∑n j=1 cjxj s.c. ∑n j=1 aijxj+Ωizi ≤bi i=1 . . . m n ∑ j=1 ˆa2ijx2j ≤ z2i i=1 . . . m zi ≥0 i=1 . . . m xj ≥0 j=1 . . . n Le problème robuste PA(Ω)
BenTal est non linéaire mais de type conique quadratique.
Il existe diverses méthodes pour le résoudre que nous ne développerons pas dans ce manuscrit (le lecteur peut se rapporter aux travaux de Ben-Tal et Zibulevsky (1995) par exemple).
La solution du problème PA(Ω)BenTal est robuste tout en étant moins conservative que la solution de pire cas de Soyster. En effet, il est possible de contrôler le risque de non satisfaction des contraintes en modifiant la valeur des paramètres Ωi qui
condi-tionnent le degré de conservatisme des contraintes i. Plus sa valeur est grande, plus la solution est robuste (proche du pire cas). En supposant que les variables aléatoires
ξij sont uniformément distribuées dans [−1, 1], Ben-Tal et al. (2009) montrent que
la probabilité de violation de la contrainte i ne dépasse pas exp(−Ω2i
2 ). Les auteurs
fournissent ainsi un outil fort (qui ne dépend pas de la taille du problème) pour fixer la valeur du paramètre de robustesse Ωi avec peu d’hypothèses sur les incertitudes.
1.2. Incertitudes portant sur la matrice des contraintes 25
connaissance des incertitudes, et le risque que celle-ci n’appartienne pas au domaine réalisable prévu par le modèle.
Exemple 1.3 Reprenons l’exemple précédent du problème(P2A). En posantΩ1=Ω2 =0.8,
la version robuste selon le modèle de BenTal s’écrit sous la forme du programme quadratique :
P2A(Ω)BenTal max −2x1+3x2 s.c. −9x1+20x2+0.8z1 ≤120 2x1+5.5x2−0.8z2 ≥30 36x21+25x22−z21 ≤0 x2 1+0.25x22−z22 ≤0 x1 ≤8 x1, x2, z1, z2≥0
La solution robuste est x∗BenTal = (1.25, 5.43)et est de valeur égale à 13.80, qui est meilleure que la valeur de la solution de pire cas de Soyster (qui vaut 8.25).
Il est à noter que, pour les valeurs deΩ1 =Ω2=0.8 choisies dans cet exemple, la probabilité de
violation des contraintes est très élevée (autour de 0,77). Dans cet exemple, la taille de l’instance permet une représentation du domaine des solutions réalisables dans le plan mais est trop faible pour être pertinente en robustesse.
Dans la littérature, plusieurs applications de problèmes réels empruntent la for-mulation robuste de Ben-Tal et Nimerovski. Citons, à titre d’exemple, Ben-Tal et Nimerovski (2002) qui traitent du problème robuste de conception d’antennes, Gold-farb et Iyengar (2003) qui s’intéressent à la selection de portefeuilles robuste, et Babonneau et al. (2010) à la planification énergétique et environnementale.
En parallèle, des études théoriques ont été menées pour améliorer le calcul de la probabilité de non satisfaction des contraintes en fonction des paramètres Ω. Ainsi, Babonneau et al. (2010) réduisent cette probabilité à exp(−Ω2i
1.5). Par ailleurs, ces mêmes
auteurs proposent un autre modèle paramétrique, qui a l’avantage de rester linéaire dans sa version robuste en approximant l’éllipsoïde par l’intersection d’une boule de norme infinie et d’une autre boule de norme 1 (modèle non détaillé ici). Enfin, Bertsi-mas et al. (2004) généralisent l’approche de Ben-Tal et Nimerovski à une modélisation
paramétrique suivant une norme quelconque.
1.2.3 Approche de Bertsimas et Sim
La troisième approche présentée dans ce manuscrit pour le calcul des solutions ro-bustes au problème (PA) est l’approche paramétrique de Bertsimas et Sim (2004). Cette approche permet aussi de chercher des solutions robustes en évitant le scéna-rio extrêmes de pire cas. Son principe est le suivant : les auteurs stipulent que dans la réalité les paramètres incertains n’atteignent jamais -ou très exceptionnellement- leurs pires valeurs simultanément, et que seule une partie d’entre eux dévie des valeurs nominales. Les auteurs traduisent cette idée par l’introduction de paramètres Γi pour
chacune des contraintes i, i = 1 . . . m, qui représentent la somme des déviations to-tales par rapport aux valeurs nominales de tous les coefficients incertains de la même contrainte i. L’ensemble d’incertitude notéΦi(Γi)est alors :
Φi(Γi) = {ξij ∈Rn| n
∑
j=1
|ξij| ≤Γi ; −1≤ξij ≤1} (1.11)
Tout comme dans l’approche de Ben-Tal et Nimerovski, le modèle d’incertitude utilisé dans cette approche est aussi un modèle en ligne.
La version robuste associée à (PA)selon cette approche s’écrit :
PA(Γ)BS min ∑n j=1 cjxj s.c. ∑n j=1 aijxj+ max ξ∈Φi(Γi) {∑n j=1 ˆaijξijxj} ≤bi i=1 . . . m xj ≥0 j=1 . . . n
Ainsi, pour une contrainte i, la valeur de Γi permet de contrôler la déviation totale
des paramètres incertains de leur valeur nominale. Notons que Γi n’est pas
nécessai-rement un entier mais prend des valeurs dans l’intervalle[0, n]. Par exemple, siΓi =0
aucune déviation n’est autorisée sur les coefficients de la ieme contrainte et celle-ci est équivalente à la contrainte nominale. Par contre, si Γi = n tous les paramètres sont
susceptibles de dévier, et l’on revient à la formulation pire cas de Soyster 1.2.1.
1.2. Incertitudes portant sur la matrice des contraintes 27
en le linéarisant. Il suffit pour cela de remarquer que les variables xj, ainsi que les
va-leurs de ˆaij sont non négatives. Ceci nous permet dans un premier temps de remarquer
que la valeur du max ξ∈Φi(Γi) n
∑
j=1 ˆaijξijxj (1.12)pour un vecteur x fixé est atteinte pour des valeurs non négatives des variables ξij.
Ceci a pour conséquence la suppression des valeurs absolues dans la formulation du domaine d’incertitude, qui devient alors :
Φi(Γi) = {ξij ∈Rn| n
∑
j=1
ξij ≤Γi ; 0≤ξij ≤1} (1.13)
Dans un second temps, en rappelant que le problème incertain admet une solution optimale finie quelles que soient les valeurs des incertitudes sur A, nous pouvons remplacer le sous-problème de maximisation (1.12) par son dual dans l’écriture de PA(Γ)BS, selon le théorème fort de dualité. Le problème robuste est alors équivalent au programme linéaire suivant :
PA(Γ)BS min ∑n j=1 cjxj s.c. ∑n j=1 aijxj+πiΓi+ n ∑ j=1 λij ≤bi i=1 . . . m πi+λij ≥ ˆaijxj i=1 . . . m, j=1 . . . n xj≥0 j=1 . . . n πi ≥0 i=1 . . . m λij ≥0 i=1 . . . m, j=1 . . . n
où πi, λij correspondent aux variables du problème dual de (1.12).
Les auteurs évaluent le degré de non satisfaction des contraintes à exp(−Γ2i
2n) (en
supposant que les variables aléatoires ξ sont uniformément distribuées dans [−1, 1]). Nous remarquons qu’étant donné que cette probabilité dépend de la taille du problème (plus précisément, du nombre de coefficients incertains dans une même contrainte), cette approche devient pertinente (apporte un gain significatif par rapport à l’approche de Soyster) quand la valeur de n est élevée. Par exemple, pour garantir une satisfaction des contraintes avec une probabilité égale à 99%, si n=100 alorsΓ doit être supérieur
ou égal à 30. Enfin, l’approche de Bertsimas et Sim (2004) a l’avantage de garder la linéarité du problème dans sa version robuste.
En optimisation combinatoire, Bertsimas et Sim (2003) donnent, selon la même ap-proche, les versions robustes de plusieurs problèmes d’optimisation dans les réseaux. Ces versions étant de même complexité que les problèmes associés.
Exemple 1.4 Revenons à l’exemple précédent. Suivant le modèle de Bertsimas et Sim la ver-sion robuste associée au problème(P2A), notée P2A(Γ)BS, est la suivante :
P2A(Γ)BS max −2x1+3x2 s.c. −9x1+20x2+π1+λ11+λ12 ≤120 2x1+5.5x2−π2−λ21−λ22≥30 π1+λ11−6x1≥0 π1+λ12−5x2≥0 π2+λ21−x1 ≥0 π2+λ22−0.5x2≥0 x1 ≤8 x1, x2, π1, π2, λ11, λ12, λ21, λ22≥0
En choisissant les valeurs de Γ1 = Γ2 = 1, la solution robuste est x∗BS = (1.58, 5.37) et
est de valeur égale à 12.95, avec π1∗ = 1.59, π2∗ = 9.47, λ11∗ = 0, λ12∗ = 1.10, λ∗21 = 0,
λ∗22 = 17.37. Il est possible de retrouver le scénario qui correspond à cette solution. En effet,
en remarquant que λ∗12 > 0 et λ∗22 > 0, nous déduisons que les contraintes correspondantes dans le problème dual sont saturées (d’après le théorème des écarts complémentaires). Ceci nous permet d’identifier le scénario comme étant égal à a11 = −9, a12= 25, a21 =2 et a22 = 5. Le
domaine de solutions réalisables lui correspondant est représenté sur la figure 1.3.
Tout comme l’approche (1.2.2) de Ben-Tal et Nimerovski, la solution robuste x∗BS possède une meilleure évaluation que celle obtenue par l’approche pire cas de Soyster 1.2.1. Elle est aussi, pour cet exemple, moins bonne que la solution robuste x∗BenTal.
Notons enfin que la probabilité de violation des contraintes pour les valeurs de Γ1 = Γ2 = 1
1.2. Incertitudes portant sur la matrice des contraintes 29 - 3 3 6 9 3 6 9 1 2 1 5 ( a ) B S ( c ) ( b ) m e i ( b ) B S ( b ) p i r ( a ) p i r x *B S ( a ) m e i
Fig. 1.3 – Domaine des solutions réalisables du problème P2A(Γ)BS
petite pour qu’une étude de robustesse soit pertinente.
Après avoir présenté trois approches définies sur un contexte statique, intéressons nous dans ce qui suit au contexte multi-étapes.
1.2.4 Approches multi-étapes
Dans le contexte multi-étapes, les décisions du problème sont fractionnées en plusieurs groupes, chacun étant déterminé à une étape donnée. Citons, à titre d’exemple, des problèmes de gestion d’une chaîne de production, des problèmes de flots dans un réseau, ou encore des problèmes de gestion de stock où dans chacun de ces problèmes les quantités produites, achetées, acheminées ou stockées doivent être calculées sur plusieurs périodes d’un horizon temporel de manière dynamique.
Dans la réalité, ces problèmes sont souvent touchés par des aléas ; cela peut concerner par exemple, les prix des produits ou bien la demande à satisfaire. Ainsi, des approches robustes prenant en compte ces incertitudes ont été développées très
récemment ; elles proposent des solutions robustes adaptées au contexte multi-étapes de ces problématiques.
En optimisation robuste, les approches multi-étapes ont été introduites de manière générales par Ben-Tal et al. (2004) et Minoux (2009b). Les auteurs s’intéressent à la prise de décision en deux étapes sur des programmes linéaires admettant des domaines réalisables incertains. Il s’agit dans cette approche de distinguer deux groupes disjoints de variables, tels que les valeurs des variables du premier groupe sont déterminées avant que l’incertitude ne soit levée, alors que les valeurs des variables du second groupe, nommées variables de recours ou d’ajustement, sont calculées après connaissance des incertitudes.
Les approches robustes bi-étapes sont fortement inspirées de l’optimisation sto-chastique. En effet, en optimisation stochastique les incertitudes sont décrites par des lois de probabilités, et l’objectif est de décider des variables “here and now” (ou de première étape) en utilisant l’espérance mathématique de toutes les décisions de recours. Les variables “wait and see” (ou de seconde étape) sont, quant à elles, déterminées après la réalisation des incertitudes. Ce raisonnement est étendu à l’opti-misation robuste où, bien qu’aucune probabilité ne soit disponible sur les coefficients incertains, les décisions de la première étape sont définies telles qu’il existe toujours un recours à la seconde étape. Le problème de recours est dans ce cas basé sur la pire évaluation du problème compte tenu des incertitudes.
Intéressons nous à la formulation mathématique d’un modèle robuste à deux étapes. Considérons un programme linéaire (PR)dont les variables sont séparées en deux groupes distincts x et y. Les variables du premier groupe x sont décidées en pré-sence d’incertitude, et celles du second groupe y le sont, une fois l’incetitude levée (il s’agit des variables de recours). Appliquons dans ce qui suit l’approche bi-étapes au programme linéaire (PR)qui s’écrit :
(PR) min cx s.c. Ax+Ry≤ b x, y≥0
où x est une matrice colonne de dimension n1 et y est une matrice colonne de dimen-sion n2. La matrice A est de taille m×n1, et la matrice R, nommée matrice de recours,
1.2. Incertitudes portant sur la matrice des contraintes 31
est de taille m×n2. Les coûts c et le second membre des contraintes b sont respecti-vement une matrice ligne de taille n1 et une matrice colonne de taille m. Ces derniers sont supposés certains, l’incertitude ne portant que sur les coefficients des matrices A et R. Afin de simplifier l’écriture du problème robuste, la notation matricielle est employée.
L’incertitude sur les matrices A et R est décrite comme suit :
A= A+Aξˆ (1.14)
et
R=R+Rξˆ (1.15)
où A, ˆA et R, ˆR sont des matrices de taille respectivement m×n1 et m×n2. Elles contiennent les valeurs nominales et les déviations associées aux coefficients des matrices A et R respectivement. Les incertitudes ξ appartiennent à un ensemble d’incertitude Ψ quelconque (fixe ou paramétrique). Le problème (PR) est supposé réalisable pour tout(A, R)incertain dansΨ.
La version robuste bi-étapes associée à (PR), notée (PR)BiE, consiste à déterminer la
solution de première étape x telle que pour toute réalisation du couple(A, R), il existe un recours y ≥ 0 (à la seconde étape) gardant le problème réalisable. Le problème robuste est alors le suivant :
(PR)BiE min cx s.c. ∀(A, R) ∈Ψ , ∃y ≥0 : Ax+Ry≤ b x≥0
D’un point de vue de complexité, Guslitser (2002) démontre que le problème (PR)BiE est NP-difficile dans le cas d’incertitudes décrites par un polytope. Il devient
facile (polynomial) dans deux cas :
– quand dans leur modélisation, les incertitudes dans chaque contrainte sont in-dépendantes (modèle d’incertitude en lignes). Dans ce cas, Ben-Tal et al. (2004) montrent que le problème(PR)BiEest équivalent à la version robuste mono-étape
de Soyster.
est décrite par l’enveloppe convexe de scénarios discrets (résultat prouvé par Guslitser (2002) pour des problèmes linéaires, et Takeda et al. (2004) généralisent ce résultat pour des problèmes non linéaires).
Revenons à la formulation du problème(PR)BiE. Afin de simplifier et résoudre ce
problème, Ben-Tal et al. (2004) proposent la relaxation suivante.
Règle de décision linéaire
Dans l’écriture du problème (PR)BiE, on remarque que les variables de recours y
dé-pendent non seulement des variables de décision x mais aussi des incertitudes. Ben-Tal et al. (2004) choisissent de se restreindre à une relation linéaire entre la réalisation des incertitudes et les variables de recours. En imposant cette règle de décision linéaire, les auteurs s’assurent de l’existence d’un recours quelle que soit l’incertitude, et donc de résoudre une relaxation du problème robuste.
Formellement, suivant cette règle de décision, les variables y s’écrivent :
y =y+Dξ (1.16)
où ξ appartiennent au domaine d’incertitude Ψ. La matrice colonne y et la matrice D, de taille respectivement n2 et n2×n1, représentent les nouvelles variables du problème de recours.
De plus, les auteurs considèrent un recours fixe, c’est-à-dire un recours qui ne dépend pas des incertitudes. Dans ce cas, la matrice R =R et ˆR≡0 dans l’expression 1.15.
Suivant les hypothèses décrites ci-avant, le problème robuste bi-étapes suivant la règle de décision linéaire , noté(PR)BiEA, se formule comme suit :
(PR)BiEA min cx s.c. Ax+Aξxˆ +RDξ+Ry≤b ∀ξ ∈ Ψ x, y, D≥0
Dans ce cas, toutes les variables du problème sont à déterminer en même temps et le problème(PR)BiEA est équivalent à une formulation de pire cas de Soyster (voir 1.2.1)
1.2. Incertitudes portant sur la matrice des contraintes 33 qui s’écrit : (PR)BiEA min cx s.c. max ξ∈Ψ {Aξxˆ +RDξ} +Ry+Ax≤b x, y, D≥0
Il est possible de modéliser les incertitudes dans Ψ par n’importe quel ensemble d’in-certitude (fixe ou paramétrique). On rappelle néanmoins que cette approche est plus pertinente que l’approche de Soyster si cet ensemble permet une dépendance en co-lonnes des incertitudes (Ben-Tal et al. (2004)).
Remarque 1.4 Dans le cas où le recours est variable, la règle de décision linéaire ne garantit pas la polynomialité du problème robuste. En effet, il a été montré que le problème est dans le cas général NP-difficile (voir Ben-Tal et al. (2004)).
Se plaçant dans un contexte bi-étapes, l’approche robuste présentée dans cette section a été utilisée dans de nombreuses applications de problèmes réels. La règle de décision linéaire est souvent utilisée dans les formulations robustes de ces problèmes. Citons par exemple, Ben-Tal et al. (2000; 2003) qui l’appliquent respectivement à un problème de gestion de portefeuilles multi-étapes et un problème de gestion de pro-duction multi-étapes. Par ailleurs, Babonneau et al. (2010) s’intéressent au problème de la planification énergétique et environnementale dans un contexte bi-étapes et Erera et al. (2009) suivent cette approche pour un problème de disponibilité de véhicules partagés robuste. Chen et al. (2008) tentent de leur côté d’étendre la règle de décision linéaire, en définissant d’autres règles de décision (comme la règle de décision linéaire déviée). D’autres références d’applications sont regroupées dans les résumés de Bert-simas et Thiele et BertBert-simas et al. (2007).
Dans la dernière partie de ce chapitre, nous nous intéressons aux problèmes se modélisant sous forme de programmes linéaires dans lesquels l’incertitudes portent exclusivement sur le second membre des contraintes. Nous présenterons quelques résultats de la littérature et exposerons la problématique étudiée dans cette thèse.
