Sommaire
Introduction . . . 45
2.1 Premier contexte décisionnel : des décisions robustes . . . 47 2.1.1 Programmes linéaires avec contraintes d’inégalité . . . 48 2.1.2 Programmes linéaires avec contraintes d’égalité : modèle de pénalités . 51
2.2 Second contexte décisionnel : pire et meilleur optimaux . . . 56 2.2.1 Programmes linéaires avec contraintes d’inégalité . . . 56 2.2.2 Programmes linéaires avec contraintes d’égalité . . . 58 2.2.3 Programmes linéaires quelconques . . . 64
2.3 Robustesse et dualité . . . 66 2.3.1 Critère du meilleur cas . . . 66 2.3.2 Dualité . . . 68
Conclusion . . . 71
D
ansce chapitre, il sera question de programmes linéaires dans lesquels l’incerti- tude porte exclusivement sur les coefficients du second membre des contraintes. Nous séparons notre étude selon le contexte décisionnel du problème. Dans le premier contexte, une décision doit être prise avant la réalisation de l’incertain. Nous cher- chons alors une solution dont la réalisabilité ne sera pas perturbée par la réalisation 43de l’incertain. Dans le second contexte, nous considérons que l’incertitude sera levée au moment de la prise de décision. Dans un cadre prévisionnel, notre intérêt est alors porté sur l’évaluation d’une solution optimale selon les différentes réalisations pos- sibles de l’incertitude. Par ailleurs, nous nous attachons à l’emploi de la dualité en robustesse pour ces mêmes problèmes, avec une approche pire cas.
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Introduction
Dans ce chapitre, nous nous intéressons à la prise en compte d’incertitudes affectant exclusivement les coefficients du second membre des contraintes d’un programme li- néaire. Se plaçant dans un contexte statique, il s’agit de définir des méthodologies spécifiques qui répondent à la préoccupation de la robustesse pour ces problèmes.
Pour ce faire, nous distinguerons deux contextes décisionnels différents.
– Dans le premier contexte, nous considérons qu’une décision doit être prise avant la réalisation de l’incertain. Pour illustrer cela, prenons l’exemple d’un problème de gestion de stockage de marchandises où le décideur doit approvisionner ses centres de stockage une seule fois dans une période donnée, dans le but de satisfaire toutes les demandes à venir tout au long de cette période. Au moment de la prise de décision des quantités à stocker, les demandes des clients ne sont pas connues. Le décideur souhaite alors adopter une politique (ou solution) qui permettrait de satisfaire toutes les demandes, quel que soit le scénario qui se réalisera.
– Nous définissons un second contexte où l’incertitude est levée avant la prise de décision. Ainsi, pour une réalisation donnée, le décideur sait calculer la solu- tion optimale du problème, qui serait alors déterministe. La préoccupation de la robustesse est alors différente. En effet, dans une phase de planification, le décideur peut s’intéresser au coût engendré par les différentes décisions qu’il pourrait prendre selon les scénarios qui se réalisent. Par exemple, considérons un centre de production de marchandises, où les produits sont manufacturés à la demande. Ici, tant que les clients n’effectuent pas de commande, aucune marchandise n’est produite. Dans ce cas, le décideur attend la réalisation de la demande pour prendre sa décision (achat de matières premières, transport, . . . ). En revanche, dans une phase de planification, pour des considérations budgé- taires par exemple, le décideur peut s’intéresser à la fourchette de variation de ses coûts en fonction des scénarios éventuels de la demande à venir, notamment le pire scénario, celui engendrant le coût le plus élevé, et le meilleur scénario, celui engendrant le coût le plus faible (correspondant respectivement à la plus forte demande et la plus faible demande).
Dans la première section de ce chapitre, nous traiterons du premier contexte de décision. Dans ce contexte, l’objectif est de décider avant la réalisation de l’incertain
tout en se prémunissant contre tout scénario pouvant se réaliser, et donc le pire d’entre eux. Nous nous attacherons alors au calcul de solutions robustes de pire cas. Selon la définition de Soyster (1973) (voir la section 1.2.1 du chapitre 1), ces solutions doivent être réalisables quel que soit le scénario qui se produit.
Nous montrerons dans la section 2.1.1 que le calcul de ces solutions, associé à un problème admettant des contraintes d’inégalité exclusivement, est un problème facile. En revanche, quand le problème incertain contient des contraintes d’égalité, ce calcul n’est plus pertinent. En effet, chaque scénario définissant un ensemble unique de solutions réalisables, il s’en suit que pour toute solution, il existe au moins un scénario pour lequel cette solution n’est pas réalisable, et il n’existe pas de solution réalisable sur tous les scénarios. Il n’y a donc pas de décision de pire cas, puisqu’il n’est pas possible de discriminer une solution d’une autre. Dans ce cas, le décideur est obligé de choisir une solution puis de constater la violation des contraintes.
Néanmoins, dans certains contextes décisionnels, il est possible de mesurer le coût engendré par la non réalisabilité d’une solution sur un scénario donné. C’est le cas dans l’exemple du problème de gestion de stock, où l’équilibrage entre offre et demande est souvent exprimé par des égalités. Lorsque la demande des clients est incertaine (affectant ainsi le second membre des contraintes du modèle), le décideur ne peut pas choisir, avant la réalisation de la demande, une solution de pire cas lui garantissant de satisfaire la demande quelle qu’elle soit. Il est alors courant pour ce type de problème, face à une situation de rupture de stocks, que le décideur ait recours à un marché extérieur pour se procurer des marchandises et ceci en payant des pénalités conséquentes. Le cas contraire peut aussi se dérouler, le décideur se retrouvant avec un surplus de marchandises à stocker au prix fort chez un concurrent. Ici, la non réalisation des contraintes d’égalité est aussi quantifiée par des pénalités.
Dans la section 2.1.2, nous faisons appel à ce type de modèle, nommé modèle de pénalités, qui permet de mesurer par des pénalités le coût de la non satisfaction d’une contrainte d’égalité. Il devient alors possible de discriminer chaque solution sur n’im- porte quel scénario. Dans ce cas, la détermination d’une solution robuste de pire cas est possible. Elle correspondra à la solution qui minimise le coût total plus les pénalités.