Exercices sur les quations diffrentielles

Université de Rennes 1 2010-2011

Licence de mathématiques L2-ED1

Exercices sur les équations différentielles :

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Une mise en jambes

Exercice 1. Parmi les espaces suivants, lesquels sont des espaces vectoriels sur R : – F (I, R) : ensemble des fonctions de I dans R,

– {f (x)2+ g(x)(x + 1), f, g ∈ F (I, R)}, – F (I, R+),

– Ck_{(I, R),}

– {ex_{+ a sin x, a ∈ R}.}

Exercice 2. Les applications suivantes sont-elles linéaires ? – D : C1 → C0 _{: f 7→ f}0_{− f ,}

– Pour g ∈ F , soit Mg : F → F , f 7→ gf ,

– P : F × F → F : (f, g) 7→ f g.

Exercice 3. Calculer les primitives suivantes :

Z ₁ (x − 1)(x − 2)dx, Z ₁ 2 + cos(x)dx, Z x2sin(x)dx, Z 1 2 + cosh(x)dx, Z p x2_{+ 9dx,} Z xr 1 − x 1 + xdx. Exercice 4. Montrer que, pour tout x > 1 :

ln(x) ≤ x − 1.

Exercice 5. Montrer que, pour tous x, y ∈ R :

| sin(x) − sin(y)| ≤ |x − y|.

Exercice 6. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer une équation pour la tangente et la position du graphe par rapport à cette tangente :

– sin2x −_1+xx22 en x = 0,

– sin x + arcsin(x) + 2 en x = 0, – √3x −√2 + x en x = 1.

Exercice 7. On rappelle qu’une fonction f : R → R est convexe si et seulement si : f (tx + (1 − t)y) ≤ tf (x) + (1 − t)f (y), ∀x, y ∈ R, ∀t ∈ [0, 1]. Montrer que si f est dérivable et que f0 est croissante, alors f est convexe.

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Équations différentielles linéaires

Exercice 8. Résoudre : x2y0− y = 3 + 1 x. Exercice 9. Soit α ∈ Z et :

(Eα) : x(x − 1)y0− ((2 + α)x − 2)y = x4((2 − α)x − 2).

Résoudre (Eα). Quelles sont les solutions définies sur ] − ∞, 1] ? Pour quelles valeurs de α y a-t-il

des solutions sur R ? Étudier le problème de Cauchy en x = 0 et x = 1. Exercice 10. Résoudre : y0− y = xe−x_{+ cos(2x) + (x − 1) sin x + ln x.}

Exercice 11. Résoudre le système : 

x0 = tx + (1 − t2)y + (1 − t2)2 y0 = x − ty + t(1 + t2)

Exercice 12. Résoudre (x + 1)y00− y0− xy = e−x. On cherchera une solution de (H) sous la forme eαx.

Exercice 13. Soit (E) : t2_x00_{− 4tx}0_{+ 6x = t}4_et_{. Montrer que (H) admet des solutions sous la}

forme tnet résoudre (E).

Exercice 14. Résoudre : y00+ 2y0+ y = 0. Exercice 15. Résoudre : y00+ 3y0− 4y = 0. Exercice 16. Résoudre : y00− 4y0+ 5y = 0. Exercice 17. Résoudre : y00+ y = _sin13_x.

Exercice 18. Résoudre : y00− 3y0_{+ 1 = (2x − 1)e}−x_.

Exercice 19. Résoudre : y00− 2y0_{+ y = x cosh(x) + x sin(2x).}

Exercice 20. Soit (E) : x2y00+ xy0 − 4y = 5x3_{ln(x) + 6x}3_{. Résoudre (E) sachant que (H)}

possède une solution de la forme |x|α_{. Existe-t-il des solutions définies sur R ?}

Exercice 21. Résoudre : (x + 1)y00− y0− xy = (x + 1)2_{. On pourra remarquer que y}

1(x) = ex

et y2(x) = (2x + 3)e−x sont solutions de l’équation homogène.

Exercice 22. Résoudre : x2y00+ 4xy0+ 2y = 0.

Exercice 23. Résoudre : (1 − x2)y00− xy0_{+ y = 0. On posera x = cos t avec t ∈]0, π[.}

Exercice 24. Résoudre : x2(1 − x)y00− x(1 + x)y0_{+ y = 0. On pourra chercher une solution}

sous forme d’une série formelleP+∞

n=0anxn+λ. Que dire des solutions définies sur R ?

Exercice 25. Étudier les solutions de −ψ00+ x2ψ = ψ. Montrer que l’ensemble des solutions de carré intégrable est de dimension 1 et en donner une base.

Exercice 26. Trouver une solution particulière de :

x00+ ω2₀x = cos(ωt).

Résoudre ensuite cette équation. Que se passe-t-il quand ω = ω₀? Exercice 27. Résoudre :

 y0₁ = y1+ 4y2 y0₂ = 2y1+ 3y2 Exercice 28. Résoudre :  y0₁ = y1+ 4y2+ cos x y0₂ = 2y1+ 3y2+ x Exercice 29. Résoudre :    y0₁ = y2+ y3 y0₂ = y1+ y3 y0₃ = y1+ y2 Exercice 30. Résoudre :    y₁0 = y2+ y3+ et y₂0 = y1+ y3+ t y₃0 = y1+ y2 Exercice 31. Résoudre :    x0 = 8x + 12y + 10z y0 = −9x − 22y − 22z z0 = 9x + 18y + 17z Exercice 32. Résoudre :  y0 = y + z + 1 z0 = −y + 3z − x On calculera exA. Exercice 33. Résoudre :    x0 = −4x + y + z y0 = x − y − 2z z0 = −2x + y − z

On remarquera que la matrice associée A n’a qu’une seule valeur propre. Expliquer pourquoi (A + λId)3_{= 0.}

Exercice 34. Résoudre : y(3)+ 2y(2)− y0− 2y = 0.

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Équations différentielles non linéaires

Exercice 35. On considère l’équation :

x00(t) = − sin x(t), x(0) = a, x0(0) = 0.

Montrer que les solutions maximales sont définies sur R et qu’elles vérifient : x0(t)2 = 2(cos x(t) − cos a), ∀t.

En déduire que : |x(t)| ≤ a. Soit le problème linéarisé :

On pose Z = (x − y, x0− y0_{). Montrer que Z vérifie une équation du type :} Z0 = AZ + B(t). En déduire que : |x(t) − y(t)| ≤ a 3 6 ∀t. Exercice 36. Résoudre l’équation de Bernoulli :

x2y0+ y + y2 = 0, x > 0,

en cherchant la solution maximale satisfaisant : y(x₀) = y0 avec x0 > 0 et y06= 0.

Exercice 37. Résoudre l’équation de Bernoulli : x0+ tx = t3x3. Exercice 38. Résoudre l’équation de Ricatti :

y0+ y + y2+ 1 = 0.

On cherchera une solution particulière constante. Que dire des solutions maximales ? Exercice 39. Résoudre les équations à variables séparées suivantes :

– x0 = tx, – x0 = ax + b, – x0 = 1+x_1+t22,

– x − α + t2x0 = 0, – x0 = kxα.

Exercice 40. Résoudre les équations "homogènes" suivantes : – x0 = 1 +x_t + x_t
2,

– (x + t)x0+ (x − t) = 0, – tx0− x =√x2_{+ t}2_.

Exercice 41. En utilisant un changement de variable, résoudre : (1 + t2)x0 = 2t(1 + x2) arctan(x).

Exercice 42. On considère x0 = sin(x). Quelles sont les solutions constantes ? Sans résoudre explicitement, étudier la monotonie des solutions. Résoudre cette équation comme équation à variables séparées.

Exercice 43. On considère x0 = x2− t. Si u(t) est une solution avec u(t0) = x0 avec t0> 5₄ et

x0 < − √ t0− 1, montrer que : lim t→+∞u(t) + √ t = 0.

Exercice 44. Déterminer les solutions de x0= x2 et x0= t2.

Exercice 45. Soit u une solution de x0 = x2+ t2 avec u(0) = 0. Montrer qu’il existe c > 0 tel que u est bien définie sur [0, c) et que :

lim

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Aspects numériques

Exercice 46. Montrer que si g(t) = at2+ bt + c, alors, pour t1 < t2 :

Z t2 t1 g(t)dt = (t2− t1)( 1 6g(t1) + 4 6g( t1+ t2 2 ) + 1 6g(t2)).

Exercice 47. On considère la solution de x0 = x avec x(0) = 1. Faisons comme si nous ignorions la vraie solution et utilisons la méthode d’Euler sur [0, 1]. On prend une subdivision régulière en _n1 : tk= k_n, pour k = 0 · · · n. Calculer x1, x2, · · · Donner une formule pour xn.

Exercice 48. Soit f suffisamment régulière sur [α, β]. On cherche à estimer R_αβf (x)dx par les méthodes du point milieu, des trapèzes et de Simpson. Montrer que les restes pour ces méthodes sont respectivement de l’ordre de h2, h2 et h4.

Exercice 49. On considère l’équation

(E) : y0= f (t, y), y(t0) = y0,

avec f : I × U → R suffisamment régulière.

Montrer que, pour tout r0 > 0, il existe T > 0 tel que y(t) ∈ Bf(y0, r0) pour tout t ∈ [t0− T, t0+

T ]. Montrer que la solution approchée donnée par la méthode d’Euler vérifie la même propriété. Exercice 50. On considère l’équation

(E) : y0 = f (t, y), y(t0) = y0

avec f : [t0, t0+ T ] × U → R suffisamment régulière. On réalise une subdivision

t0 < t1< · · · < tN = t0+ T.

On pose h_n= tn+1− tn pour 0 ≤ n ≤ N − 1 et hmax = max(hn). On rappelle que la méthode

d’Euler consiste en l’algorithme suivant :

yn+1 = yn+ hnf (tn, yn).

Soit z la solution exacte de (E). On note e_n= z(tn+1) − (z(tn) + hnf (tn, z(tn)). Montrer que en