Sur la propagation des ondes laser avec couplage à l'hydrodynamique pour l'interaction laser plasma

(1)

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l’hydrodynamique pour l’interaction laser plasma

Sylvain Desroziers

To cite this version:

Sylvain Desroziers.

Sur la propagation des ondes laser avec couplage à l’hydrodynamique pour

l’interaction laser plasma. Modélisation et simulation. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI,

2006. Français. �tel-00087135�

(2)

Universit´

e Pierre et Marie Curie, Paris VI

´

Ecole doctorale des sciences de Paris Centre

UFR 921

Sur la propagation des ondes laser avec

couplage `

a l’hydrodynamique pour

l’interaction laser-plasma

TH`

ESE

pr´esent´ee et soutenue publiquement le 27/04/2006

pour l’obtention du

Doctorat de l’universit´

e Pierre et Marie Curie – Paris 6

(sp´

ecialit´

e Math´

ematiques Appliqu´

ees)

par

Sylvain DESROZIERS

Composition du jury

Rapporteurs :

L. GIRAUD

B. NKONGA

Examinateurs :

G. MEURANT

O. PIRONNEAU

Invit´

e :

S. H ¨

ULLER

Dire teurs deThèse :

F. NATAF

(3)

(4)

Je tiens, tout d'abord, à remer ier mes dire teurs de thèse, Rémi Sentis et Frédéri Nataf, sans qui rien n'aurait été possible. La qualité de leur en- adrement sans oublier leur gentillesse ont été pour moi sour e d'une grande motivation me permettant de m'a omplir pleinement dans le travail de ette thèse.Maissurtout,ilsm'ontfait onan edurant estroisannéesetontsume fairepartager leurpassion pour le al uls ientique. Pour ela,je les remer ie ànouveau.

Dans unse ond temps,j'adresse mes remer iements à l'ensembledes mem-bres du jury, en parti ulier les rapporteurs Lu Giraud et Bonifa e Nkonga pour leur le ture attentive permettant l'amélioration du manus rit par leurs remarquesavisées.

En outre, pendant es annéesde re her he,j'ai intégré l'équipe de dévelop-pementdu odeHERA.Iln'auraitpasétépensabledem'immergerdans e ode sansles onseilsetlapatien ede PhilippeBallereau etDavid Dureau.Je lesen remer ie grandement.

J'aimeraisaussiremer ierGérardMeurantpourl'intérêt qu'ilaportéàmon travail.Sespassagesdansmonbureauonttoujoursétédé len heurdere her hes fru teuses.

Durant ettethèse,j'aieuleprivilègedefaireungrandnombrederen ontres plusinstru tives etenri hissantes les unesque les autres. Je pensenotamment à mon an ien ollègue de bureau Gwénaël Salin, sans esse à l'é oute et d'un avis toujours pertinent. J'y joins également Stéphane Del Pino etPas al Havé quiontguidés mespremiers pasen programmation. Enn, jeremer ie Philippe Ho hpoursabonnehumeur onstanteetsajoiedevivre.Lesrepasetlespauses n'auraient pasétéaussidéjantés sanslui.

Je remer ieégalement lesan iensetnouveauxdu ouloirdesthésards, Ben-jamin, Paul-Edouard, les deux Julien, Constant, Céline, Lisl, Hugues, Mar -Antoine, Olivier,les sportifsdufoot etde laboxe ainsique eux quej'oublie.

Pour nir, je tiens à apporter une attention parti ulière aux personnes qui m'ont toujours soutenu, ma famille, ma an ée Sabrina pour son soutien au quotidienainsi quemesamis.

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(8)

Introdu tion xi

Partie I Présentation globale et dis rétisation 1

Chapitre 1

Présentation générale des équations et problématique

1.1 Notations générales . . . 3

1.1.1 Des équations deMaxwell à l'équationd'Helmholtz . 4 1.1.2 Conditions limites . . . 6

1.1.3 Problématique . . . 6

1.2 Approximation optiquegéométrique . . . 7

1.3 Modèleparaxial . . . 8

1.3.1 Dé omposition de ladensité . . . 8

1.3.2 Equation paraxiale. . . 9

1.3.3 Cas

N

0

onstant . . . 10

1.3.4 Cas général . . . 11

1.4 Couplage ave le modèleHydrodynamique . . . 11

1.5 Remarque préliminairesur lataillemémoire. . . 12

1.5.1 Zone paraxiale . . . 12

1.5.2 Zone Helmholtz . . . 12

1.6 Stratégie de résolution . . . 13

(9)

1.6.2 SolveurRapide . . . 14

1.7 Résumé . . . 15

Chapitre 2 Dis rétisation des équations 2.1 Maillages etinterpolation . . . 18

2.2 Modèlehydrodynamique . . . 19

2.3 Modèleparaxial . . . 19

2.4 ModèleHelmholtz . . . 21

2.4.1 Préliminaires algébriques . . . 22

2.4.2 Cas test:lafon tion d'Airy . . . 23

2.5 Condition limite absorbante. . . 25

2.6 Dis rétisation de la onditionlimite lassique . . . 27

2.6.1 Résultats numériques 1Dpréliminaires. . . 27

2.6.2 Dérivée normaleàl'ordre un . . . 29

2.6.3 Dérivée normaleàl'ordre deux . . . 29

2.7 Condition limitegrand angle (G.A.) . . . 30

2.7.1 Condition G.A.ave dérivée normale àl'ordre un . . 30

2.7.2 Condition G.A.ave dérivée normale àl'ordre deux . 31 2.8 Résultats numériques . . . 32

2.9 CouplageParaxial /Helmholtz . . . 34

2.10 Remarquesur une ondition d'interfa e pour lesPML . . . . 35

Partie II Résolution des systèmes 39 Chapitre 3 Algèbre linéaire 3.1 E riturematri ielle . . . 43

3.1.1 Cas sansre ouvrement . . . 43

3.1.2 Cas ave re ouvrement . . . 45

(10)

3.3.1 Méthode GMRES . . . 50

3.3.2 Méthode BiCG etvariantes . . . 51

3.4 Appli ation au systèmelinéaire matri iel . . . 54

Chapitre 4 Rédu tion Cy lique 4.1 Présentation de laRédu tion Cy lique . . . 58

4.2 Appro he par dé ompositionspe trale, laméthode standard 61 4.3 Appro he par te hnique de solution partielle, la méthode PSCR . . . 63

4.3.1 Etapesde rédu tion etredistribution . . . 63

4.3.2 Constru tion du se ondmembre . . . 63

4.3.3 Redistribution . . . 64

4.3.4 Séparabilité duproblème . . . 65

4.3.5 Te hnique desolution Partielle . . . 67

4.4 Choix de laméthode . . . 68

4.5 Performan e delaméthode . . . 69

Chapitre 5 Solveur spe tral 5.1 Cal ul desvaleurspropres . . . 73

5.1.1 E riture de l'algorithme . . . 73

5.1.2 Formetridiagonale onservée . . . 73

5.1.3 A éleration . . . 74

5.1.4 Remarques surl'implantation de laméthode LR . . . 75

5.2 Cal ul desve teurspropres . . . 75

5.2.1 Prin ipe de laméthode . . . 76

5.2.2 La twisted fa torisation . . . 77

5.2.3 Le oe ient

γ

k

. . . 77

5.2.4 Connexion ave les ve teurspropres . . . 78

5.2.5 Cal ul desve teurspropres etorthogonalité. . . 78

(11)

Partie III Parallélisme 81 Chapitre 6 Parallélisation de la méthode 6.1 Le super al ulateurTera-1 . . . 84 6.2 Le odeHERA . . . 85 6.3 Stratégie deparallélisation . . . 86

6.3.1 Première appro he,MPI . . . 87

6.3.2 Deuxièmeappro he,Multithreading . . . 87

6.3.3 Troisième appro he,Méthode mixtehybride . . . 89

6.4 Répartition desdonnées . . . 89

6.5 Analyse préliminairedu oûtde sto kage . . . 90

6.5.1 Ve teurs . . . 91

6.5.2 Matri es . . . 91

6.5.3 Bilande lagestionmémoire. . . 91

6.6 Du bon usagedu multithreading . . . 92

6.6.1 Combinaisonlinéaire de ve teurs . . . 92

6.6.2 Produitmatri e-matri e . . . 95

6.6.3 Con lusion . . . 96

6.7 Parallélisation de laméthode GMRES . . . 96

6.7.1 AlgorithmeGMRES . . . 98

6.8 Parallélisation de laRédu tion Cy lique . . . 99

6.8.1 Cal ul duspe tre . . . 99

6.8.2 Ré urren esurle spe tre . . . 99

6.8.3 Listedestâ hes delaRédu tion . . . 99

6.8.4 Cal ul danslabasedesve teurs propres. . . 101

6.8.5 Ré urren esurle se ondmembre . . . 102

6.8.6 Résolution duproblème réduit etredistribution. . . . 103

6.9 Performan es . . . 104

6.9.1 Appro he hybride . . . 104

6.9.2 S alabilité, problème xe . . . 105

(12)

Résultats numériques et performan es

7.1 Cas de validation;Paraxial vsHelmholtz . . . 109

7.2 CouplageParaxial/Helmholtz, ParaxialvsParaxial+ Helm-holtz. . . 116

7.3 Cas Helmholtzave absorption . . . 124

7.4 Condition de ra ord paraxial - Helmholtz. . . 125

7.5 Dis rétisation de lalongueur d'onde . . . 128

7.6 Méthodes deKrylov . . . 129

7.7 Cas monospe kle . . . 129

7.8 Cas multispe kle . . . 133

7.8.1 Cas 4 spe kles . . . 133

7.8.2 Validation du ouplage Paraxial /Helmholtz . . . 138

7.8.3 Cas 20 spe kles. . . 138

7.9 Cas physiqueréaliste;dée tiondu laser . . . 140

Con lusionet perspe tives 145 Annexes Annexe A Rappels de diéren es nies 147 Annexe B Cal ul analytique de valeurs et ve teurs propres 149 B.1 Valeurspropres . . . 149

B.2 Ve teurspropres . . . 151

Annexe CEn apsulation du multithreading en C++ 153

(13)

(14)

Le Laser Mégajoule (LMJ) en onstru tion au CEA-Cesta de Bordeaux onstitueunélément lédu programme simulation delaDire tiondes Appli a-tionsMilitaires.

LedispositifexpérimentaldeFusion ontrlée parConnementInertiel vise à omprimer fortement un mélange fusible de deutérium et tritium ontenu dans une petite apsule appelée mi ro-ballon. Expérimenté depuis les années 60, es hémadefusionestdevenuréalistedepuisledéveloppement delasersde puissan etel queleLMJ.

Fig.1 Lieux des prin ipauxphénomènes physiques delaFCI

Le CEA-DAM a hoisi la voie de l'attaque indire te. Dans e s héma, le mi ro-ballon estdisposéau milieu d'une avité ylindrique aux parois d'orque les fais eaux lasers é lairent. Sous l'impa t des fais eaux lasers, les parois de la avité explosent (D) et emmettent des rayons X (A). Ce i rée un plasma qui se détend fortement et vient impa ter le mi ro-ballon dégradant ainsi son implosion.Pour pallier esin onvénients, la avitéestremplie d'ungaz quisert à ontenir l'expansion des parois. Il faut don fermer les trous d'entrée (C) ave un matériau transparent au rayonnement laser. Ce gaz étant très rapide-ment hauéparlesfais eauxlasers,unplasmase réesurleurs traje toires.Le ontrledelapropagationdesfais eaux(E)lasersdansdesplasmasdeplusieurs entimètres esttrès di ile,etlesphénomènes misen jeu(auto-fo alisation,

(15)

-lamentation,déviation,instabilitésparamétriques,rétro-diusion,et .)sont très omplexes. Le DT est ainsi porté à des onditions de température et de pres-siontelles quela ombustion thermonu léaire (B)devient signi ativeetarrive à s'auto-entretenir : 'est l'ignition. Le temps de onnement est très bref, de l'ordre d'une entaine de pi ose onde, etle dégagement de l'énergie est impul-sionnel.

C'est dans le adre de la propagation des fais eaux laser que s'ins rit e travail. On s'intéresse i i à la simulation de la propagation de fais eaux lasers dans des plasmas. En parti ulier, la modélisation du fais eau laser grâ e aux équations de Maxwell estimpossible à réaliser numériquement surdes é helles ma ros opiquesraisonnablesenraisondesé helles ara téristiquesduproblème. Deplus,lesphénomènesdel'intera tionsedéveloppentsurdestempsbeau oup plus longsque laduréede traversée de la ible àlavitessede lalumière.

Danslalittérature, ilest d'usage d'appro herles équations de Maxwell par une équationdeS hrödingerparaxiale [1℄,[2℄,[3℄,[4℄,[5℄,[6℄,[7℄ou [8℄.Elle est obtenue par une méthode de dé omposition paraxiale (de type optique géomé-trique). Pourtant, on sait que la méthode paraxiale n'est valide que pour une propagation du fais eau laserdans une dire tion privilégiéeet à ondition que la densité éle tronique adimensionnée par la densité ritique ne soit pas trop grandeetnevariepastrop.Dèsque ettedensitédevient grande,ilpeutyavoir é latement et réfra tion à l'é helle ma ros opique, e qui peut onduire à un hangement omplet de la dire tion de propagation (dans la zone de la aus-tique)dufais eaulaser.Celanouspoussealorsà onsidérer un ouplage spatial entredeuxmodèles:d'unepartun modèle paraxial,valide loin dela austique etpeu oûteux;d'autre part,prèsdela austique,onutiliseunmodèlebasésur les équations de Maxwell fréquentielles pour un hamp éle trique s alaire (i.e. polarisationlinéaire). Onappellera également e derniermodèleHelmholtzpar abusdelangage.Notreobje tifestdemettreau pointunsolveurrapide pour les équations de Maxwell fréquentielles et d'opérer le ouplage ave la zone paraxiale.Par ailleurs, esdeuxmodèlessont aussi ouplés aux équations de l'hydrodynamique par l'introdu tion d'une for e supplémentaire dûe augradient de l'intensité laser(biensûrrésolue danstoutledomaine).

Pré isons qu'on ne peutpas omparernosrésultats ave eux de la littéra-ture. En eet,la plupart des résultatsdisponibles sont obtenus ave des odes basés sur le modèle paraxial don ne pouvant traiter des fais eaux ourbes. Il existetoutefoisdes odesde résolutiondumodèleHelmholtzé ritspardes phy-si iensutilisantunetransforméedeFourierdansunedesdire tions equipermet desvariations dedensitéjusqu'àladensité ritiquemaisquioblige àmettre de très larges zones d'absorption des ondes près des frontières perpendi ulaires à ette dire tion. Toutefois, es odes traitent généralement des fais eaux droits sur des domaines de petites tailles. Voir par exemple [9℄, [10℄ et [11 ℄. On peut aussinoterl'arti le[12℄ mentionnant uniquementdesrésultatsmaisqui renvoie pour lades riptionde laméthode numérique àun paragraphe de[13 ℄.

Cettethèse est omposée de7 hapitres. Elle eststru turée ommesuit :

•

Dans le premier hapitre, les diérents modèles des phénomènes phy-siquesdel'intera tionlaser-plasmautilisésserontprésentés.Enparti ulier,pour la modélisation du plasma, la densité éle tronique adimensionnée

N (x, y)

sera

(16)

alors ee tuer la dé omposition de la densitééle tronique

N

selon ses é helles devariation

N (x, y) = N

0 (x) + δN (x, y)

où

N

0

est ladensité homogénéisée dite moyenne, onstante ou variable, et

δN

une perturbation ou u tuation. Pour la modélisation de la propagation des ondes,ons'intéresseradansunpremier tempsàl'obtention dumodèleMaxwell fréquentiel (qui estune équationde S hrödinger) vérié par le hamp laser

ψ

2i

ǫ

c

∂

∂t

+ ǫ

2 ∆ + iν + (1 − N(x, y))

ψ(x, y, t) = 0

où

ǫ

estl'inverse dunombre d'ondedanslevide,

c

lavitessedelalumière,

ν

un oe ient d'absorption.

Dans unse ond temps, en notant l'enveloppe laser

u

vériant l'approxima-tion

ψ(x, y, t) ≃ u(x, y) e

i

K.~

~

ǫ

x

,

ondénira lemodèle paraxialsuivant

2i

c

∂u

∂t

+ ǫ∆

⊥

u + iu∇ · ~

K + 2i ~

K · ∇u + 2iν

0 u − ǫ

−1

_{(δN ) u = 0}

où

K

~

estleve teurdepropagationdel'ondeet

∆

⊥

leLapla iendansladire tion orthogonaleà

K

~

.

Notre but est d'ee tuer une résolution sur un domaine d'une taille réa-liste de plusieurs milliers de longueurs d'onde dans haque dire tion. C'est un véritable hallengenumériquené essitantunestratégieadaptée.Lesmodèles hy-drodynamiqueetparaxialétaientdéjàimplantésdansle odeHERA.Leseorts derésolution sontdon entréssurl'équationdeMaxwellfréquentiel.Celle- i se faitdefaçontotalement impli iteen temps;onestalors onduit àlarésolution d'uneéquationde type Helmholtz.Or, on sait qu'unedis rétisation pré ise né- essiteaumoinsdixpointsparlongueurd'ondeentraînant lapriseen omptede maillagesdel'ordrede plusieursdizainesà entainesdemillions d'in onnues. A titrede omparaison, lemaillagepourles modèles hydrodynamiqueetparaxial peut être dixfois plus grossier dans haquedire tion. On omptera don utili-ser un solveur rapide ave la forte ontrainte que l'équation d'Helmholtz est à oe ientvariable. Lesu tuationsde densitéfaisantperdrelaséparabilité du problème, il onviendra d'utiliser une méthode itérative. Enn, les onditions sortantes sont unaspe ttrèsimportant desproblèmes de propagationd'ondes. Laréféren eenlamatièresontles ou hesabsorbantesPML(Perfe tlyMat hed Layer) [21℄.Leurprise en ompte a entuera en oreles di ultésave laperte lo aledepropriétésalgébriquesné essairesàl'utilisation d'unsolveurrapidede typeRédu tion Cy lique. Tout e inous pousseraalors à utiliser une stratégie dedé ompositionde domainetypeS hwarzasso iéeàuneméthodeitérativede Krylovpourd'unepartisolerlesperturbationsliéesaux ou hesPMLetd'autre part traiter les u tuations de densité. La di ulté de ette thèse est de faire ohabitertoutes esméthodesperformantesetré entes.

(17)

•

Aprèsavoirintroduitlesdiérenteséquationsetmotivations duproblème, la dis rétisationde es équations sera présentée dansle se ond hapitre. Les é helles ara téristiquesdesgrandeurs sont trèsdiérentessuivant les modèles. Typiquement, un pas de maillage de l'ordre de la longueur d'onde sera su-sant pour les modèles hydrodynamique et paraxial tandis que pour le modèle Helmholtz, il faudra onsidérer une petite fra tion de lalongueur d'onde. Ce i amènera alors à onsidérer deux maillages distin tsse re ouvrant;un premier ditgrossier pourlesgrandeurs uideetdumodèleparaxialetunse ondditn pour lemodèleHelmholtz. Pour l'hydrodynamique, onutilise un s héma expli- ite de type Lagrange plus transport. Pour le modèle paraxial, on utilise une méthode àpasfra tionnaires proposée par R.Sentis [3 ℄ onsistant à onsidérer une étaped'adve tion puisuneétapede dira tion.Pour lemodèle Helmholtz, onutiliseraunedis rétisationdiéren esnies lassique.Enparti ulier,onverra qu'ave les ou hesPML, l'opérateur Lapla ien sedis rétise omme

ψ

n

i+1,j

− 2ψ

i,j

n

+ ψ

n

i−1,j

δx

2 + a

j

a

_j+1/2

(ψ

n

i,j+1

− ψ

n

i,j

) − a

j−1/2

(ψ

i,j

n

− ψ

n

i,j−1

)

δy

2

où

a

j+1/2

=

a

j+1

+a

j

2

ave

a

j

=

i

√

1−N

j

i

√

1−N

j

+σ

j

. L'impa t des PML se traduit par

la perte lo ale de la symétrie de l'opérateur. En posant

δN = 0,

lamatri e de dis rétisation asso ié aus hémas'é riraalors







B

b

−T

A

_−T

. . . . . . . . .

−T

A

_−T

−T

B

h







où les matri es

B

h

et

B

b

ontiennent les ou hesPML etne sont pas symétri-ques. Notons

n

x

et

n

y

le nombre de points en

x

et

y

N < 1

en sortie de boîte,àdroite),ilestintéressantd'améliorerlaqualitédela ondition lassiques

d'onde sortante

ǫ

∂

∂n

− i

√

1 − N

ψ = g.

On présentera tout d'abord omment es onditions s'obtiennent et omment être plus pré is au niveau ontinu en utilisant la théorie des onditions absor-bantes [18℄. Au niveau dis ret, on étudiera en parti ulier une montée en ordre de ladis rétisation de la dérivée normale. Une étude numérique sera ee tuée pour omparer les diérentes appro hes entreprises. Le gain de pré ision pos-sible estremarquable. Enn, on s'intéressera au traitement de la ondition sur le bord entrant du domaine permettant le ouplage entre les modèles paraxial etHelmholtz.

•

Letroisième hapitretraitedelastratégiededé ompositiondedomaine utiliséeetdesmanipulationsalgébriquesengendrées.L'idéedeladé omposition de domaine esti i d'isolerles ou hesPML.

(18)

Centre

Ω

PML

Ω

h

Γ

_P1

P1

~

PML

b

Ω

Γ

P

~

2 Γ

P 2

Dans ha un dessous-domaines

Ω

b

,

Ω

g

et

Ω

h

,on résout respe tivement











ǫ

2 _{∆ + (1 − N}

˜

0 ) + iν

ψ

P 1

= 0

dans

Ω

b

ǫ

2 _{∆ + (1 − N}

0 ) + iν

ψ

G

= δN ψ

G

dans

Ω

g

ǫ

2 _{∆ + (1 − N}

˜

0 ) + iν

ψ

P 2

= 0

dans

Ω

h

oùon anotél'opérateur

˜

∆ = µ(y)

∂

∂y

µ(y)

∂

∂y

+

∂

2 ∂x

2

ave

µ(y)

traduisant l'impa tdes ou hesPML.

Pour

ψ

P 1

,une onditionde ra ordsur

Γ

˜

P 1

doitêtreé rite, elleestdutype

µ(y)

∂ψ

P 1

∂y

+ α ψ

P 1

=

∂ψ

G

∂y

+ α ψ

G

sur

˜

Γ

P 1

où

α

estun oe ient omplexeàdétermineretdemêmepourlesautres ondi-tionssur

ψ

G

et

ψ

P 2

.

L'é riture matri ielle d'une telle dé omposition sans et ave re ouvrement ainsi que sa résolution par une stratégie de pré onditionnement sera la mo-tivation de e hapitre. Dans une première partie, on montrera formellement l'équivalen e entre la solution du problème initial et la solution du problème dé omposé au niveau algébrique. Après un rappel surles te hniques itératives de Krylov, on dé rira la méthode itérative asso iée à larésolution du système linéairede ladé omposition dedomaine. Enparti ulier, ilsera possible d'avoir une appro he de pré onditionnement parti ulièrement adaptée. Ainsi, on aura lastru turepar blo suivante

A

D

=





A

H

0

0 A

I

0

0 A

B





et

A

E

=





0 C

1

0 C

2

0 C

3

0 C

4

0 



où

A

D

est la matri e omposée des dis rétisations de haque domaine et

A

E

les onne tions entre sous-domaines.Notons

δ

N

lamatri e diagonaleasso iéeà

(19)

δN

.Onrésoudra alors lesystème linéaire

(A

D

− A

E

+ δ

N

)X = b.

Don en utilisant

A

−1

D

ommematri ede pré onditionnement, elarevient à

(I − A

−1

D

(A

E

− δ

N

))X = A

−1

D

b.

Le blo

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

2

4

6

8

10

12

14

4

8

12

8

4

2

1

3

5

6

7

8

10

11

9

12

13

14

15 r=2

r=0

r=1

r=0

r=1

r=2

Elimination

Redistribution

appro hes apriori adaptées;une première dite standard baséesur une analyse spe trale et une se onde appelée PSCR [22℄ basée sur une te hnique de solu-tions partielles[26 ℄.L'idée serade omparerlesméthodesetsurtout dejustier le hoixd'utiliser laméthode standard etnonlaméthodePSCR ré enteettrès utilisée pour les problèmes d'Helmholtz à oe ient onstant. En parti ulier, l'avantage indéniable de la méthode standard sur la méthode PSCR sera sa

(20)

plement etle noeud de laméthode sera uneséquen e deproduit d'unematri e dense par un ensemble de ve teur. Notons que d'un point de vue historique, la Rédu tion Cy lique fut éprouvée sur des problèmes elliptiques simples. Un point ru ial de ette méthode sera la apa ité à al uler très pré isément et rapidement le spe tre omplet de la matri e

A

tridiagonale symétrique (non hermitiennne).

•

Basésurdesséquen esd'opérationsalgébriquessurlesvaleursetve teurs propres,laperforman edu solveurrapidedépendradire tementde lapré ision de ladé omposition spe trale. Le inquième hapitreprésenteune méthode ultra rapide et performante pour obtenir les valeurset ve teurs propres d'une matri enotée

A

tridiagonale omplexe symétriquenon-hermitienne.Autrement dit,on her herales matri es

Λ

et

Q

vériant

A = QΛQ

T

.

Ilexistedenombreusesméthodespermettantd'obtenirlesvaleurspropresdont lefameux algorithmeQR.Par ontre, au une de es méthodes netient ompte du ara tère tridiagonal de la matri e. On s'intéressera à l'algorithme LR ré- emment revupar B. Parlett[14 ℄. D'unpointde vuehistorique, ette méthode pré èdel'algorithmeQR etestbaséesurlemêmepro édéitératifde multipli a-tiondematri esissuesi i dedé ompositionsLU.Deplus,lesmêmeste hniques d'a élération de la méthode par dé alage seront utilisées. Bien qu'appli able enthéoriedansle asde matri egénérale, etteméthodeestsans doutelaplus performante pour le as desmatri estridiagonales.Eneet,elle reposesur des dé ompositions LU,très bienadaptées pour e typede matri e.

A

1 = A,

pour

k = 1, 2, . . . :

A

k

k+1

= LU

= U L

n

Pour lesve teurspropres, on her hera à déterminer le noyau desappli ations

A − λ

i

I

où

λ

i

∈ C

.Celaexigera don de résoudrelessystèmes suivants :







a

1,1

− λ

i

a

1,2

a

1,2

a

2,2

− λ

i

. . . . . . . . .

a

n−1,n

a

_n−1,n

a

n,n

− λ

i













v

1 i

v

2 i

. . .

v

n

_i







= 0.

Une manière naturelle pour trouver

v

i

est de hoisir un indi e pivot

k

et de poser

v

k

i

= 1

.S.I.Dhillon[15 ℄ aré emmentdéveloppé uneméthode très perfor-mantedonnant desve teurs propres dire tement orthogonaux évitant ainsi les réorthogonalisationsdesve teurspropres.Elle estbaséesurun hoix astu ieux dupivot pour haque ve teur propre dépendant de lafa torisation parti ulière de la matri e du noyau. Une te hnique de ranage des valeurs propres sera également employée. Initialement prévue pour les as réels, on intéresserai i à

(21)

l'implémentation dansle as omplexe e quiestnouveau ànotre onnaissan e. La omparaison ave la méthode lassique QR dansla bibliothèque LAPACK montreradesgainsd'unfa teurauminimum40entemps al uletuneex ellente pré ision.

•

La parallélisation de toutes es te hniques sera alors abordée dans un sixième hapitre.Onintégreraunmoduledansle odeparallèle HERA al u-lant l'hydrodynamiqueetleparaxial.Notrebutseradeparalléliseret d'optimi-sernosméthodesand'ee tuerun al ulmassivementparallèlesurundomaine réalisteave ouplageentrelesmodèlesparaxial,Helmholtzethydrodynamique. Pourobtenirdebonnesperforman es,l'aspe tinformatiques ientiqueauraune pla e ru iale.Eneet,on her heraàexploiteraumieuxl'ar hite turedes ma- hinesdisponibles.Ladé ompositiondedomaine,larépartitiondes hargesainsi que les proto oles de ommuni ation seront les points fondamentaux de notre étude. La distribution des données sera di tée par elle ee tuée dans le ode HERA.Lemaillagegrossier uideseraainsidistribuéenbandeshorizontalesde manièreéquilibrée entre haquepro esseur.On hoisirad'utiliser une appro he

Domaine

Ω

b

Ω

h

PML

Processeur

1000

λ

0 Ω

g

2

4

3

1 p

n

λ

0 3000

basée sur MPI pour les ommuni ations internoeuds et sur le multithreading pour gérerau mieuxlesdonnées etéviterles redondan esdedonnées. Les opé-rations oûteusesdelarésolution sontlesproduitsmatri espleines

Q

et

Q

T

par la matri e issue du se ond membre dans le solveur rapide. Le se ond membre seradistribué naturellement suivant lemaillage.D'unpoint devuestratégique, il seraprimordial que haque pro essusdisposede lamatri e

Q

.Lesséquen es de produit matri e-matri en'auront alors pasbesoin de syn hronisation. C'est dans e ontextequelastratégie hybrideMPI-multithreading prendratouteson importan e.Danslamesureoù l'onsouhaiteplutt béné ierde lalo alitédes données, on se devra alors d'avoir une grande e a ité dans la parallélisation des opérations algébriques. Une bonne gestion du a he devient alors primor-diale mais di ilement ontrlable. En parti ulier, le ara tère trèsmobile des threadssurlespro esseursdunoeudnepermetsouventpasuneoptimisation de gestiondu a he.Pourpallier eseetset euxdestempsdegestiondesthreads par lesystème, il faudraavoir destâ hesparti ulièrment onséquentes à paral-léliser.Dèslors,lemultithreading nes'appliquerapasdanstouteslesopérations,

(22)

susamment oûteuse pour quelaprogrammationparmultithreading donnede trèsbonsrésultats. Au oursde laRédu tion Cy lique, lespro essus éliminent aufuretàmesurelesin onnuesqu'ils ontiennent jusqu'à equ'ilne resteplus qu'unseulpro essus ontenant leproblèmeréduit.Onvoiti ileparadoxede la parallélisationde méthodesde rédu tion.Dès lors,onjouerasurdeuxtableaux en parallélisant àla foisles étapes de laméthode deRédu tion Cy lique etles opérations ee tuées durant es étapes. La très grandetaille dudomaine asso- iée au fait d'utiliser une méthode itérative où l'on doit sto ker les dire tions de des ente seront des ontraintes très fortes à gérer simultanément. Du fait de la répartition en bande des données, augmenter le nombre de pro esseurs reviendra à diminuer le nombre de ve teurs à multiplier par basedes ve teurs propres.Il estdon naturel que letemps al ulsoit divisé par deuxsi on mul-tipliepar deuxlenombre depro esseurs.On onstateradestrès bonsrésultats des alabilté pour un problèmexebienqu'au ours delaRédu tion Cy lique, lenombre depro esseurs al ulantdiminuedufaitpré isementdelarédu tion.

•

Le dernier hapitre présenteles résultats obtenus ave le ode HERA (etlemodule Helmholtz)par des simulations parallèles de asréalistesde pro-pagation d'unfais eau laser.Le fais eaulaserva sepropager et réer de fortes perturbations en reusant au l du temps le plasma. L'intera tion du plasma sur le fais eau va induire des phénomènes tels que la fo alisation ou la la-mentation dulaser. Le omportement delaméthode itérative seradire tement lié aux u tuations de densité. On présentera tout d'abord un as de v alida-tion d'une propagation sans in iden e dans un plasma sous- ritique. L'idée i i serade omparerune simulationparlemodèle paraxialàune simulation parle modèle Helmholtz. On onstatera alors la ohéren e et laqualité desrésultats obtenus par lemodèle Helmholtz. Onprésenteraensuite pour lemême asune simulation ave ouplage entre les modèles paraxial etHelmholtz. Notons que e problème de ouplage entre deux modèles diérents dans le adre général d'un ouplage ave un modèle hydrodynamique semble nouveau. Nous avons exhibé une méthode robuste et pré ise pour larésolution du problème ouplé. Les simulations suivantes ee tuées permettront l'étude de la propagation de fais eaux omposés d'unàplusieurs points hauds(spe kle) dansunplasmaoù ladensitévarierajusqu'àladensité ritique.Onobserveraalors uneforte varia-tionde ladire tion de propagation du fais eau en plusdes autres phénomènes du assous- ritique.Onvaliderale ouplagedesmodèlesparaxial etHelmholtz en présentant une omparaison ave le modèle Helmholtz seul. Pré isons que lesproblèmes réalistes traités sont résolus typiquement surdesmaillages de 80 millionsetné essitent128pro esseurs.Onprésenteégalementun asd'étudede dee tiondulaserde 200 millions depointsrésolus sur256 et512pro esseurs.

(23)

(24)

1 Lieux des prin ipauxphénomènes physiques delaFCI . . . xi

∂n

àl'ordre2 . . . 33 2.23 Moyenneenfon tiondeladis rétisation . . . 35 2.24 S héma etinterfa e . . . 36 2.25 Dé omposition de domaine. . . 37

3.1 Proje tion orthogonaleetoblique . . . 49

4.1 Etapes delaRédu tion Cy lique pour 15lignes . . . 61

5.1 Spe tre delamatri e

A

. . . 80 6.1 Ma hineà mémoire partagée . . . 84

(25)

t = 5 ps

e

(x, y)

à

t = 5 ps

,Parxial vsHelmholtz . . . 114 7.11 Densité

N

e

(x, y)

à

t = 10 ps

N

e

(x, y)

à

t = 10 ps

,Parxial vs Paraxial +Helmholtz . 122 7.25 Densité

N

e

(x, y)

à

t = 15 ps

N

e

(x, y)

à

t = 15 ps

,Parxial vs Paraxial +Helmholtz . 123 7.27 Evolutiondes itérationsde Kryloven temps, Parxial +Helmholtz124 7.28 EvolutiondesitérationsdeKryloven temps,Helmholtzabsorption124 7.29 Cas Helmholtzave absorption, Intensité laser

|ψ|

2

. . . 125 7.30 Cas Helmholtzave absorption, Densité

N

e

(x, y)

. . . 126 7.31 Cas Helmholtzave absorption, oupede

|ψ|

2

. . . 127 7.32 Cas Helmholtzave absorption, oupede

N

e

(x, y)

. . . 127 7.33 Ra orddesmodèlesparse ondmembreanalytique . . . 128

(26)

7.35 Comparaison de dis rétisationde ,intensité laser

|ψ|

2

,

t = 2 ps

. 129 7.36 Comparaison desméthodesdeKrylov,intensitélaser

|ψ|

2

,

t = 1 ps

130 7.37 ComparaisondeBICGStab,CGS,GMRES au oursdutemps . . . 131 7.38 Cas monospe kle,intensité laser

,

t = 8 ps

. . . 137 7.47 Evolution des itérations de Krylov en temps, Parax vs Parax +

Helmh . . . 137 7.48 Comparaison de

|ψ|

2

par Parax+Helmh / Paraxial,

t = 2 ps

. . 138 7.49 Cas 20 spe kles,intensité laser

|ψ|

2

t = 5 ps

. . . 140 7.52 Cas 20 spe kles,Dépt d'énergie

|ψ|

2 _N

2 e

|ψ|

2

(27)

(28)

Présentation globale et

(29)

(30)

Présentation générale des

équations et problématique

Sommaire

1.1 Notationsgénérales. . . 3 1.1.1 DeséquationsdeMaxwellàl'équationd'Helmholtz 4 1.1.2 Conditionslimites . . . 6 1.1.3 Problématique . . . 6 1.2 Approximation optique géométrique . . . 7 1.3 Modèle paraxial . . . 8 1.3.1 Dé ompositiondeladensité . . . 8 1.3.2 Equationparaxiale . . . 9 1.3.3 Cas

N

0

onstant. . . 10 1.3.4 Casgénéral . . . 11 1.4 Couplageave lemodèleHydrodynamique. . . 11 1.5 Remarquepréliminaire sur la taille mémoire . 12 1.5.1 Zoneparaxiale . . . 12 1.5.2 ZoneHelmholtz . . . 12 1.6 Stratégiede résolution . . . 13 1.6.1 Cou hesabsorbantes . . . 13 1.6.2 SolveurRapide . . . 14 1.7 Résumé . . . 15 1.1 Notations générales

Pouruneprésentationphysiquedesphénomènes,voir[4℄.Pouruneappro he plusmathématique, voir[3 ℄ par exemple.

On s'intéresse à l'intera tion d'un laser de forte intensité et d'un plasma homogèneàl'é helle mésos opique (del'ordredumi ron). Onposeleproblème sur un domaine

D

de

R

2

, typiquement un re tangle d'une longueur et d'une largeur de plusieurs milliers de longueurs d'onde. On note

∂D

son bord. On introduitles notationssuivantes

(31)

• q

e

,

m

e

,la hargeetlamassedeséle trons;

• λ

0

,lalongueur d'ondedu laser;

• c

,lavitessede lalumière;

• k

0 =

2π

_λ

₀

,lenombre d'ondedulaser;

• ω

0 = k

0 c

,lapulsation du laser;

• ε

0

,laperméabilité du milieu;

• N

e

,ladensitééle tronique;

• N

i

,ladensitéionique;

• Z

,

m

e

,leniveau de ionisationetlamasseionique;

• N

c

,ladensité ritiquedéniepar

ω

2

0 = N

c

q

2 e

(ǫ

0 m

e

)

−1

;

• ν

ei

,lafréquen ede ollision éle tron-ion.

Remarque lafréquen e

ν

ei

estproportionnelle à ladensité ioniqueet dépend delatempérature deséle trons.Onla onsidèregénéralement égaleàladensité ionique multipliée par une onstante(ou une fon tionqui est onstantedansle domaine de simulationquenous onsidérons).

Nous nous limitons dans ette étude au as où le laser est mono hromatique, 'est-à-dire à

λ

0

xé.

1.1.1 Des équations de Maxwell à l'équation d'Helmholtz

Lefais eau laserest ara térisé par les hamps éle tromagnétiquesque l'on note

E

et

B

.Onnoteégalementle ourantéle trique

J

.Ces hampspeuventêtre dé omposés en un hamp éle trostatique et une omposante os illante rapide. Les hamps éle tromagnétiquesrapidement os illantssatisfont les équations de Maxwell

i)

∂

∂t

E − c

2

rot

B + ε

−1

0 J = 0, ii)

∂

∂t

B +

rot

E = 0,

iii)

div

E =

q

e

ε

0 (N

i

− N

e

),

iv)

div

B = 0.

Alors,enutilisantladérivéetemporelledesdeuxpremièreséquations,onobtient l'équation desondes lassique

∂

2 ∂t

2 E − c

2 _{∆E = −ε}

−1

0 ∂

∂t

J .

(1.1)

Ondoit oupler elaà une équationde relationde fermeture surle ourant

J

∂

∂t

J + ν

ei

J =

q

2 e

m

e

N

e

E.

(1.2)

Si

ν

ei

estnul, on aurait uneexpression simple pour lese ondmembre. Siil est non nul,ondoittrouverunerelation defermeturepourleterme

∂J

∂t

.Pour ela, on remarque que

ν

ei

<< ω

0

etquele hamp

E

estrapidement os illant pour la pulsation

ω

0

.Enutilisant (1.2), une approximationgrossièrede

J

est

J ≃ −

_ω

1

2

0 ∂

2 ∂t

2 J ≃ −

1 ω

2

0 q

_e

2 m

e

N

e

∂

∂t

E.

(32)

Don ,

∂

∂t

J ≃

q

2 e

m

e

N

e

E +

ν

ei

ω

₀

2 ∂

∂t

E

(1.3)

etl'equation desondes (1.1)devient

∂

2 ∂t

2 E − c

2 ∆E +

q

2 e

ε

0 m

e

N

e

E +

q

_e

2 ε

0 m

e

N

e

ν

ei

ω

2

0 ∂

∂t

E = 0

ouen ore

∂

2 ∂t

2 E − c

2 _{∆E + ω}

2

0 N

e

N

c

E + c ν

0 ∂

∂t

E = 0 avec ν

0 = ν

ei

N

e

cN

c

.

(1.4)

CetteéquationesthabituellementappeléeéquationdeKlein-Gordonamortie. On introduit maintenant l'enveloppe temporelle des quantités os illant ra-pidement. En notant

c.c.

le omplexe onjugué d'unequantité, onpeuté rire

E = iψe

−iω

0 t

_{+ c.c.}

(1.5)

où

ψ

estlentement variableen temps.

En utilisant lafermeture pré édente(1.3),on a

J = −

1 − i

ν

ei

ω

₀

2 q

2 _e

ω

0 m

e

N

e

ψe

−iω

0 t

+ c.c.

Del'expression(1.5),on déduit lesformulesde dérivation entemps suivantes:











∂

∂t

E(t, x, y) =

∂

∂t

− iω

0 ψ(t, x, y)e

−iω

0 t

_,

∂

2 ∂t

2 E(t, x, y) =

∂

2 ∂t

2 − ω

2

0 − 2iω

0 ∂

∂t

ψ(t, x, y)e

−iω

0 t

_.

Eninsérant es développementsdans(1.4),on obtient

1 c

2 ∂

2 ∂t

2 − k

2

0 − 2i

k

0 c

∂

∂t

ψ − ∆ψ + k

2

0 N

e

N

c

ψ + ν

0

1 c

∂

∂t

− ik

0 ψ = 0.

Maintenant, omme

ψ

est lentement variable en temps, on peut négliger

∂

2 ∂t

2 ψ

parrapportà

∂

∂t

ψ

.Deplus, leterme

1 c

∂t

∂

ψ

est égalementnégligeable omparé à

ik

0 ψ

.A partir de(1.4), onretrouve alors l'équationde S hrödinger linéaire

2i

k

0 c

∂

∂t

+ ∆ + ik

0 ν

0 + k

2

0 (1 − N)

ψ(x, y, t) = 0.

(1.6) oùon aposé

N =

N

e

N

c

.

Remarque Si

ψ

est indépendante dutemps, on retrouve l'équation desondes fréquentielle (ou Helmholtz) dont l'enveloppe

ψ

estsolution :

∆ + ik

0 ν

0 + k

2

0 (1 − N)

(33)

Remarque Dansle asoù

ψ

estlentementvariableentemps,ondoitgarderla dérivée temporelle

∂ψ

∂t

.D'unpoint devuenumérique, onestalors onduit après une dis rétisation impli iteen temps à résoudreà haque pasdetemps

δt

∆ + 2ik

0 ν

0 + k

2

0 (1 − N)

ψ +

2ik

0 cδt

ψ =

2ik

0 cδt

ψ

ini

(1.8) où

ψ

ini

estlasolutionaupasdetempspré édent.Parrapportà(1.7),unse ond membre estajouté àl'équation.

Danstoutelasuite,on feraréféren epour(1.8) aumodèle S hrödinger-Helmh-oltz (ou par abusd'é riture Helmholtz).

1.1.2 Conditions limites

Pour les équations (1.6) et (1.7), en notant

e

b

le ve teur unitaire ara té-risant la dire tion de propagation du fais eau laser, on doit dans un premier temps onsidérer lapartie é lairée du bord

Γ

in

déni par

Γ

in

_{= {x ∈ ∂D,}

telque

e

b

.n < 0}, n,

lanormalesortante

.

Onsupposel'ondein idente

ψ

in

delaforme

α

in

_e

ik

0 √

1−Ne

b

.x

,sa hant que

α

in

₌

α

e

b

.n ≥

0

), la onditionlimite surle bord

Γ

out

s'é rit

n.∇ − ik

0 √

1 − N

ψ = 0.

(1.10)

Remarque Dans la suite, on onsidère aussi sur

Γ

out

des ou hes PML (per-fe tlymat hed layers) dutype dé ritdans[21 ℄.Ces onditionss'ins riventdans le adre des ou hesabsorbantes.

1.1.3 Problématique

Pré isonsqueles é helles ara téristiquespour l'équation(1.4) sontde l'or-drede

ω

−1

0

'est-à-dired'environ

10 −16

se ondesetdequelques

10 −5

entimètres pour lalongueur d'ondedulaser.

En onsidérantlesé helles ara téristiques, on onstatequeladis rétisation de l'équation desondes (1.4) à l'é helle mésos opique est numériquement trop ontraignante pour envisager laprise en ompte de grands domaines telque

D

(ouunpassageentroisdimensions).Or,unedis rétisationdonnantdesrésultats pré is pour nos équations né essite au moins dix mailles par longueur d'onde. Typiquement, pour un domaine 2D réaliste de dimensions

[5000λ

0 × 3000λ

0 ]

, le maillage onsidéré est omposé d'environ 1,5 milliards d'in onnus. Il n'est

(34)

don pas raisonnable d'envisager un tel maillage. Pour s'aran hir (du moins partiellement) de esproblèmes, il est ourant dansles études d'intera tion la-serplasmad'utiliser une appro he paraxiale (ou type W.K.B.)où l'onsuppose onnueladire tionprin ipaledulaser.Par ontre,onmontreque etteappro xi-mationn'est valide que sous des hypothèses très restri tives, notamment pour desdensitésne dépassantpas25%de ladensité ritique. Notrebut estde faire ohabiterlemodèleparaxial làoù ilestvalide ave lemodèle dénipar l'équa-tion (1.8) ailleurs. La situation standard est la suivante : le modèle paraxial est valide sur environ 80% du domaine. Ailleurs, la densité éle tronique varie fortement induisant ainsi le hangement de dire tion de propagation du laser. Onnerésout l'équation d'Helmholtz (1.7)que dans ette zone.

Fig. 1.1 Domaineglobal

Rappelons quela densité ritiqueest la densitéà partir de laquelle au une ondeéle tromagnétique nepeutsepropager.Ilestintéressantdenoterquepour les équations (1.6) et (1.8) si on a

N

e

≥ N

c

(ou

N ≥ 1

), alors es équations ne traduisent plus un phénomène propagatif mais un phénomène d'absorption (l'équation desondes devient une équation elliptique). D'un point de vue phy-sique,au uneondenesepropage.D'unpoint devuenumérique,ondoitvérier que si la densité est supérieure à la densité ritique, l'intensité laser devient quasiment nulle.

Ons'intéresse maintenant àl'obtention dumodèleparaxial.

1.2 Approximation optique géométrique

On donne i i quelquesrésultats de l'optiquegéométrique an de bien om-prendrelaméthodeparaxialequ'onvamettreen÷uvre.Onsepla emaintenant danslazoneoùil n'ya pasde fortevariationde densitééle tronique.

L'approximationW.K.B. onsiste àé rire pour l'équation (1.7)

ψ(t, x, y) ≃ u(x, y) e

i k

0 φ(x,y)

(35)

et à identier, pour

k

0

tendant vers

+∞

, les fon tions

u

et

φ

supposées être lentement variables par rapport àl'espa e. Onvérie que:

(

∇ψ = [∇u + ik

0 u∇φ] e

ik

0 φ

∆ψ =

h

∆u + 2ik

0 ∇φ · ∇u + ik

0 u (∇ · ∇φ) − uk

2

0 |∇φ|

2 i

e

ik

0 φ

eten développant dans(1.7),on obtient alors :

∆u + ik

0 [ 2∇φ · ∇u + u (∇ · ∇φ) + 2ν

0 u ] − k

0

2 u

h

|∇φ|

2 − (1 − N)

i

= 0.

Cette expression est un polynme en

k

0

à identier ave le polynme nul. Ses diérents oe ientssont don né essairement nuls. Onvoit ainsiquelaphase

φ

est solution de l'eikonale

|∇φ|

2 = 1 − N

. On impose sur

Γ

in

la dire tion de propagation

∇φ

(quiest alors elledulaserin ident). D'autrepart,en é rivant

~

K = ∇φ

,

u

vérie l'équation d'adve tion

~

K∇u +

u

₂

∇ · ~

K + ν

0 u = 0

ave

u = u

in

omme ondition surlebord

Γ

in

représentant l'intensité du laser. Onremarque quel'énergie

|u|

2

satisfait

2ν

0 |u|

2 + ∇ ·

~

K |u|

2 = 0.

Par ette méthoded'optiquegéométrique,onmodélisedon lesphénomènes de réfra tion et d'absorption mais pas la dira tion. Dans toute la littérature traitant de l'intera tion laser plasma, les eets de dira tion étant prin ipa-lement transverses au laser ([1 ℄, [2℄, [3 ℄, [4℄, [5 ℄, [6℄, [7 ℄ ou [8℄), on utilise une modélisation de es phénomènes grâ e à un lapla ien transverse en supposant queladire tiondepropagationdufais eauestxée.C'est equ'onappelle l'ap-proximation paraxiale danslaquelle on dé ompose ladensité

N

en une densité moyenne etuneperturbation.

1.3 Modèle paraxial

1.3.1 Dé omposition de la densité

Onsuppose ladensité du plasma

N

onnue.Dans notre as, on a déni

N

ommeétantlerapportentreladensitééle tronique

N

e

etladensitéde oupure

N

c

duplasma. Enpratique,ladensité

N

e

estobtenue par larésolution de l'hy-drodynamique du plasma dans le domaine

D

. La densité de oupure, quant à elle,ne dépend quedelafréquen elaser

ω

0

.Lelasertraverse unegrandepartie du domaine de densité presque onstante puis entre dans la zone du plasma où ladensité varie fortement pour appro herladensité de oupure

N

c

.On ob-serve alors un hangement de dire tion du laser due à une austique de type pli.Dansun premiertemps, remarquonsque ette austique estinduitepar les variations de la densité

N

e

traduisant les hangements de pression et densité dansleplasmasurledomaine.Ilestensuiteutiledepré iserque

N

e

estpresque

(36)

onstante "loin" àl'entrée dudomaine maispeutvarier àl'intérieurd'unepart dufaitdeu tuationsduesàl'intera tionlaser-plasmaetd'autrepartàl'é helle ma ros opique (à ause de l'évolution du plasma à l'é helle hydrodynamique). En utilisant es remarques, on dé ompose alors

N

en fon tion de ses varia-tions par laprise en ompte d'undéveloppement asymptotique lassique.Pour l'instant, oné rit simplement :

N (x, y) = N

0 (x) + δN (x, y)

(1.12)

où

N

0

est la densité homogénéisée dite moyenne, onstante ou presque, et

δN

1.3.2 Equation paraxiale

√

1 − N

0 ~

α

in

. ~x

où

α

~

in

est le ve teur unitaire depropagation del'onde laser.

Ona alors

K =

~

√

1 − N

0 α

~

in

.

Onutilise alorsladé omposition(1.12) dansl'équationd'Helmholtz(1.6)et onobtient

2i

k

0 c

∂ψ

∂t

+ ∆ψ + 2ik

0 ν

0 ψ + k

2

0 (1 − N

0 − δN)ψ = 0.

Ondénitalors

ǫ = k

−1

0

quiestpetitparrapportauxdimensionsdevariation de la densité éle tronique et par rapport à la taille des spe kles (granularités lumineuses d'une taille de l'ordre de 8

λ

0

). En multipliant par

ǫ

, on obtient alorsl'équation

2i

c

∂ψ

∂t

+ ǫ∆ψ + 2iν

0 ψ + ǫ

−1

(1 − N

0 − δN) ψ = 0.

(1.13) àlaquelleon asso iela onditionlimite issuede(1.9) surle bord

Γ

in

:

(ǫ

∂

∂n

+ i ~

K · n)(ψ − ψ

in

_{) = 0.}

(1.14) Re onsidéronsl'approximation W.K.B.(1.11) :

ψ(t, x, y) ≃ u(x, y) e

i k

0 φ(x,y)

_.

(37)

Onrappelle lesformulesde dérivation :











∂ψ

∂x

=

∂u

∂x

+ ik

0 u

∂φ

∂x

e

ik

0 φ

_,

∂

2 ψ

∂x

2 =

"

∂

2 u

∂x

2 + 2ik

0 ∂φ

∂x

∂u

∂x

+ ik

0 u

∂

2 φ

∂x

2 − uk

2

0 ∂φ

∂x

2 #

e

ik

0 φ

_.

Onpeutainsié rire entenant ompte de l'équationeikonale :

∆ψ =

h

∆u + 2ik

0 K · ∇u + ik

~

0 u∇ · ~

K − uk

2

0 (1 − N

0 )

i

e

ik

0 φ

ou en ore

∆ψ =

"

∆u +

2i ~

K

ǫ

∇u +

iu

ǫ

∇ · ~

K −

u

ǫ

2 (1 − N

0 )

#

e

i

φ

ǫ .

Enreportant ette formuledansl'équation (1.7),on obtient :

2i

c

∂u

∂t

+ ǫ∆u + iu∇ · ~

K + 2i ~

K · ∇u + 2iν

0 u + ǫ

−1

_{δN u = 0.}

1.3.3 Cas

N

0

onstant Leve teur

~

K

est onstant ettelque

| ~

K|

2 _{= 1 − N}

0

.Onpeut don é rire:

2i

c

∂u

∂t

+ ǫ∆u + 2i ~

K · ∇u + 2iν

0 u − ǫ

−1

δN u = 0.

(1.15) On modélise les eets de dira tion par la prise en ompte d'un lapla ien transverse. Eneet,lelapla ien(terme dediusion) del'équation (1.15)est en fa teur du petit paramètre

ǫ

. Comme dans le as d'une équation de transport diusion- onve tion lassique, la onve tion est don dominante dans le sens de l'é oulement. I i, l'é oulement est lapropagation du laser dans ladire tion

~

K

. Ce qui signie que l'on peut négliger la diusion dans la dire tion

K

~

. En d'autres termes,

~

K · ∇u = 0

. Ené rivantle gradient transverse :

∇

⊥

= ∇ −

~

K( ~

_{K · ∇)}

| ~

K|

2

eten le omplétant par legradient lassique, onobtient l'équationsuivante:

2i

c

∂u

∂t

+ ǫ∆

⊥

u + 2i ~

K · ∇u + 2iνu

0 − ǫ

−1

_{δN u = 0.}

(1.16)

Pour la ompatibilité dumodèle, on hoisitl'onde in identede laforme

ψ

in

= u

in

e

i

~

K · ~x

ǫ

où

u

in

est l'intensitédu laserdénie surlebord.

Eninsérantledéveloppement(1.11) dansla ondition(1.9)etennégligeant

~

K( ~

K·∇)

| ~

K|

2

,onobtient la ondition limitepour l'équation (1.16) :

(38)

Remarque Dans les modèles paraxiaux (1.16) et(1.18), l'onde ne sepropage que dans la dire tion du ve teur

K

~

. Le ouplage ave le modèle plus général (1.13) ne se fait don que par la prise en ompte de la ondition limite (1.9) dans e dernierave

ψ

in

= u

in

e

i

K·~

~

ǫ

x

où

u

in

estlarestri tion de lasolution

u

surle bord entrant.

1.3.4 Cas général

On s'intéresse maintenant au as où la densité moyenne

N

0

est lentement variable. De même que pré édemment ,on peut négliger

~

K( ~

K·∇)

| ~

K|

2

devant

∇

⊥

et onpeutalors é rire:

2i

c

∂u

∂t

+ ǫ∆

⊥

u + iu∇ · ~

K + 2i ~

K · ∇u + 2iν

0 u − ǫ

−1

_{δN u = 0.}

(1.18)

On asso ie à l'équation (1.18) la ondition aux limites (1.17). On rappelle queladire tiondepropagationdulaserestsupposée onnue.Ainsi,l'appli ation de la méthode d'approximation paraxiale né essite la résolution de l'équation eikonale an d'obtenir l'expression du ve teur

K

~

. Si on ne faisait pas d'hy-pothèse, 'est un problème di ile. Dans notre as, on peut faire deux types d'hypothèses pour le omportement de la densité. Premièrement, on suppose que

α

dansladire tion transverse àlapropagation :

N

0 (z) =

Z

_N

e

(x, x

⊥

)

L

dz

⊥

où

L

estlalongueur du lasersurlaquelleon faitl'approximation. Dèslors, l'équation(1.18) seformalise omme suit:

2i

c

∂u

∂t

+ ǫ∆

⊥

u + iu

∂K

∂x

+ 2iK

∂u

∂x

+ 2iν

0 u − ǫ

−1

_{δN u = 0.}

C'estl'équation lassique(voirBerger(1998)).

Unautre asparti ulier onsisteà onsidérerseulement que

N

0

nevarieque suivant une dire tion, par exemple

x

.On montre que la solution de l'équation eikonale est:

K

1 (~x) = (1 − N

0 (~x) − |K

2 in

|

2 )

1/2

,

K

2 (~x) = K

2 in

.

oùona notéleve teur

K

~

in

_{= k}

0 √

1 − Ne

b

.Comme

∇φ = (1 − N

0 )~

α

in

sur

∂D

, ona don

K

in

2 = (1 − N

0 )~

α

in

2

.C'estl'équation diteparaxiale oblique [37 ℄.

1.4 Couplage ave le modèle Hydrodynamique

Dans tout e qui suit, onsuppose être dansun plasmaquasi-neutre, e qui setraduitpar l'approximationsuivante

Sur la propagation des ondes laser avec couplage à l'hydrodynamique pour l'interaction laser plasma

HAL Id: tel-00087135

https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00087135

Submitted on 21 Jul 2006

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l’hydrodynamique pour l’interaction laser plasma

Sylvain Desroziers

To cite this version:

Sylvain Desroziers.

Sur la propagation des ondes laser avec couplage à l’hydrodynamique pour

l’interaction laser plasma. Modélisation et simulation. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI,

2006. Français. �tel-00087135�

Universit´

e Pierre et Marie Curie, Paris VI

´

Ecole doctorale des sciences de Paris Centre

UFR 921

Sur la propagation des ondes laser avec

couplage `

a l’hydrodynamique pour

l’interaction laser-plasma

TH`

ESE

pr´esent´ee et soutenue publiquement le 27/04/2006

pour l’obtention du

Doctorat de l’universit´

e Pierre et Marie Curie – Paris 6

(sp´

ecialit´

e Math´

ematiques Appliqu´

ees)

par

Sylvain DESROZIERS

Composition du jury

Rapporteurs :

L. GIRAUD

B. NKONGA

Examinateurs :

G. MEURANT

O. PIRONNEAU

Invit´

e :

S. H ¨

ULLER

F. NATAF

N

0

γ

k

•

N (x, y)

N

N (x, y) = N

0

(x) + δN (x, y)

N

0

δN

ψ



2i

ǫ

c

∂

∂t

+ ǫ

2

∆ + iν + (1 − N(x, y))



ψ(x, y, t) = 0

_{(δN ) u = 0}

_j+1/2