Polynômes irréductibles sur

2.11 Polynômes irréductibles sur Fq

Référence : S. Francinou, H. Gianella, Exercices de mathématiques pour l’agrégation, Algèbre 1, Masson, 1997.

Leçons concernées : 123, 125, 141, 190.

Soit p un nombre premier et q une puissance de p.

Théorème 1. On note Pqpnq l’ensemble des polynômes irréductibles de degré n sur Fq et

I_{pq, nq son cardinal. Alors}

Ipq, nq “ 1 n ÿ d|n µ´n d ¯ qd et donc Ipq, nq „_nÑ8 qn n.

Démonstration. On commence par montrer que Xqn´ X “π

d|n

π

PPPqpdq

PpXq.

En effet, si d | n et si P P Pqpdq, on considère K “ FqrXs{pP q qui est un corps de cardinal

qd_{, et donc, pour x P K, x}qd

“ x. Or, on a,

xqn _{“loooooooooomoooooooooon}`<sub>¨ ¨ ¨</sub>`xqd˘qd_{¨ ¨ ¨}˘qd

n{dfois

et donc pour x P K, xqn

“ x, en particulier, Xqn “ X et donc Xqn´X “ 0 dans FqrXs{pP q,

c’est-à-dire que P | Xqn

´ X. Par le lemme de Gauss, on déduit que±d|n±PPPqpdqPpXq |

Xqn´ X.

Réciproquement, soit P un diviseur irréductible de Xqn

´ X de degré d. Puisque Fqn

est le corps de décomposition de Xqn

´ X sur Fq, P est scindé sur Fqn. Soit alors x P F_qn

une racine de P . On a d’après le théorème de la base télescopique n_{“ rF}qn :F_qs “ rF_qn :F_qpxqsrF_qpxq : F_qs.

Or P est irréductible sur Fq donc rFqpxq : Fqs “ d, ainsi, d | n.

Enfin, Xqn

´ X n’a pas de facteurs multiples, en effet si c’était le cas il serait à racines multiples dans Fqn son corps de décomposition sur F_q. Or pXqn´ Xq1 “ ´1 dans F_qn (car

carpFqnq “ p) et donc Xq n

´ X est à racines simples sur Fqn.

On montre maintenant la proposition suivante : 38

Proposition 2. Soit f : N˚ _{Ñ C et µ la fonction de Möbius. Si pour n P N}˚_{, gpnq “}

∞

d|nfpdq, alors pour n P N˚, fpnq “∞d|nµpdqgpndq.

Démonstration. On remarque d’abord que (d | n et d1 _| n

d) si et seulement si dd1 | n. Ainsi, on a _ÿ d|n µpdqg´n d ¯ “ÿ d|n µpdq ÿ d1|n d fpd1q “ ÿ dd1|n µpdqfpd1q “ ÿ d1|n fpd1qÿ d|n d1 µpdq. Or on sait que si m ‰ 1, ∞d|mµpdq “ 01, d’où le résultat.

On a, en prenant les degrés dans la factorisation de Xqn

´ X, qn_“ÿ

d|n

d_{¨ Ipq, dq.}

Ainsi, en appliquant la formule d’inversion de Möbius avec gpdq “ qd _{et fpdq “ d ¨ Ipq, dq,}

on obtient Ipq, nq “ 1 n ÿ d|n µ´n d ¯ qd. On note alors rn“∞_{d|n, d†n}µpn_dqqd. On a, |rn| § ÿ d|n, d†n qd§ tn 2u ÿ d“1 qd“ q tn 2u`1´ 1 q´ 1 et donc rn “ `8opq n_{q. Or Ipq, nq “} qn` rn n , et donc Ipq, nq „nÑ8 qn n. 1. Si m “ p↵1 1 ¨ ¨ ¨ p↵rr,∞<sub>d|m</sub>µpdq “∞ <sub>§↵</sub>µpp11¨ ¨ ¨ prrq “∞ <sub>Pt0,1u</sub>rp´1q| |“∞r<sub>k“0</sub> `r k ˘ p´1qk_{“ 0} 39