Exercice 1
Résoudre dans ℝ les équations différentielles suivantes :
1) − 2 = 0 2) 4 + 3 = 0 3) 2 + + 3 = 0 4) 2 + 3 + 1 = 0 5) + + 2 = 0 6) 4 + 9 = 0.
Exercice 2
Soit l’équation différentielle : − = − + 3 1) Résoudre l’équation différentielle ′ ∶ − = 0.
2) Soit = + + , déterminer les réels , et tel que soit solution de . 3) Montrer que est solution de si et seulement si − est solution de ′ . 4) En déduire les solutions de .
Exercice 3
On considère l’équation différentielle : − = − − 1 .
1) Soit la fonction définie sur ℝ par : = + + . Déterminer les réels , et pour que soit une solution de l’équation .
2) Déterminer les solutions de l’équation différentielle : − = 0.
3) Montrer que est une solution de si et seulement si − est une solution de . 4) Déterminer alors les solutions de .
Exercice 4
Soit l’équation différentielle : + 2 = 5 cos 1) Résoudre l’équation différentielle ’ : + 2 = 0.
2) Soit = cos + sin . Déterminer les réels et pour que soit une solution de l’équation . 3) Montrer que est une solution de si et seulement si − est une solution de ’ .
4) En déduire les solutions de . Exercice 5
Soit l’équation différentielle : + = .
1) Résoudre l’équation différentielle : + = 0.
2) Soit la fonction = + où et sont deux réels. Déterminer et pour que g soit une solution de .
3) a) Montrer que est une solution de si et seulement si − est une solution de . b) Expliciter sachant que $% courbe représentative de dans un repère orthonormé & , '( , )( . passe &.
* Calculer 1 2
Exercice 6
1) Résoudre les équations différentielles
2) On donne ci-dessous les représentations graphiques de deux fonctions des équations et .
a) Reconnaitre la courbe de et celle de b) Expliciter et .
3) Calculer l’aire 3 de la partie du plan colorée sur la figure 2.
fig 1
Exercice 7
1) Résoudre l’équation différentielle
2) Soit l’ensemble des fonctions définies et deux fois dérivables sur 45 6 0 où ′ désigne la fonction dérivée de
a) Soit la fonction définie sur 78
b) Soit un élément de . Vérifier que, pour tout réel c) En déduire que si est un élément de
0.
d) Déterminer alors l’ensemble Exercice 8
1) Résoudre dans ℝ l’équation différentielle 2) On désigne par la solution particulière de orthonormé & , '( , )( .
Déterminer sachant que le point 9 des abscisses.
3) Montrer que pour tout réel , 4) Calculer la valeur moyenne de Exercice 9
Soit la fonction définie sur ℝ par : repère orthonormé & , '( , )( .
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Résoudre les équations différentielles : ln 2 ln 2 et : :
dessous les représentations graphiques de deux fonctions et solutions
et celle de .
de la partie du plan colorée sur la figure 2.
fig
1) Résoudre l’équation différentielle 0
l’ensemble des fonctions définies et deux fois dérivables sur ℝ telles que pour tout désigne la fonction dérivée de .
78 par cos . Vérifier que est un élément de . Vérifier que, pour tout réel , ′ 45 6
est un élément de alors est une solution de l’équation différentielle
.
l’équation différentielle : 9 : 0.
la solution particulière de et soit $% sa représentation graphique dans un repère
9;1 , √2= ∈ $% et que $% admet au point 9 une tangente parallèle à l’axe
√2 cos ?5@ 2 A. sur l’intervalle B 2 , 1C.
: 2 DEF et soit $% sa représentation graphique dans un
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: 0solutions respectivement
fig 2
telles que pour tout ∈ 78 ;
est un élément de . 6
est une solution de l’équation différentielle :
sa représentation graphique dans un repère
une tangente parallèle à l’axe
sa représentation graphique dans un
On pose = ℎ − DEF. a) Calculer 0 .
b) Vérifier que est une solution sur ℝ de l’équation + = 0.
c) Expliciter alors pour tout ∈ ℝ et en déduire que ∀ ∈ ℝ ; ℎ = . 2) soit I la fonction définie sur ℝ par I = −J4 + 5 +J@6 DE F.
a) Montrer que I est dérivable sur ℝ et calculer I′ .
b) En déduire le volume K en unité de volume du solide de révolution engendré par la rotation autour de l’axe des abscisses de la partie de $% pour −2 ≤ ≤ 0
Exercice 10
Soit l’équation différentielle : − − DF+ 1 = 0. On pose M = − DF− 1. 1) a) Montrer que M vérifie l’équation différentielle : M = M.
b) Déterminer alors M en fonction de .
2) Déduire que la fonction définie sur ℝ par : = − 1 DF+ 1 est la solution de qui vérifie 0 = 0.
3) Soit $ la courbe représentative de dans en repère orthonormé & , '( , )( . a) Calculer lim
F→EP et déduire une asymptote ∆ à $ .
b) Etudier la position relative de la courbe $ par rapport à son asymptote ∆ . c) Calculer lim
F→RP et étudier la branche infinie de $ au voisinage de +∞.
4) a) Vérifier, en utilisant la question 2, que pour tout réel on a : − 1 = − DF.
b) Calculer l’aire 3 de la partie du plan limitée par la courbe $ , la droite ∆ et les droites d’équations = 0 et = 1.
Exercice 11
Soit l’équation différentielle : − 2 = 2 D F− 1 . 1) Résoudre dans ℝ l’équation différentielle ′ : − 2 = 0
2) Montrer que la fonction ℎ définie sur ℝ par ℎ = 2 D F+ 1 est une solution de . 3) Soit une fonction dérivable sur ℝ.
a Montrer que est une solution de si et seulement si − ℎ est une solution de ′ . b) En déduire les solutions de .
4) Soit la solution de qui s’annule en 0 et soit $U sa représentation graphique dans un repère orthonormé & , '( , )( .
a) Expliciter .
b) Calculer 4J6 et montrer que pour tout ≤J on a : ≤ 1.
Exercice 12
Soit l’équation différentielle : 1) Résoudre l’équation différentielle 2) Vérifier que la fonction définie sur 3) Montrer que est une solution de
4) Déterminer alors la solution de l’équation 5) Déduire une solution de l’équation Exercice 13
On se propose de résoudre l’équation différentielle 1) Déterminer la solution de l’équation
2) Soit et deux fonctions dérivables sur a) Calculer 0 .
b) Calculer ′ en fonction de 3) a) Montrer que est une solution de
b) En déduire l’expression de puis celle de Exercice 14
Soit la fonction définie sur ℝ par : repère orthonormé & , '( , )( .
On considère les équations différentielles 1) a) Résoudre l’équation différentielle b) En déduire que la fonction G définie sur c) Vérifier que la fonction définie sur 2) a) En remarquant que
b) Montrer que ∀ ∈ ℝ ;
c) Dresser le tableau de variation de 3) a) Déterminer l’intersection de $%
b) Calculer 1 et tracer l’allure de la courbe 4) Calculer l’aire 3 de la partie du plan limité par Exercice 15
On considère les équations différentielles : 3 0 et ∶ 3 et la courbe C ci-contre d’une solution
1) Résoudre l’équation .
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3 10 cos 1) Résoudre l’équation différentielle : 3 0.définie sur ℝ par 3 cos sin est une solution de est une solution de si et seulement si est une solution de 4) Déterminer alors la solution de l’équation tel que 0 4.
5) Déduire une solution de l’équation J ∶ 3 10 cos .
On se propose de résoudre l’équation différentielle : JRVVWXX
1) Déterminer la solution de l’équation : 0 qui prend la valeur 1 en 0. deux fonctions dérivables sur ℝ tel que 0 ln 2 et D
en fonction de ′ et de .
est une solution de si et seulement si ′ VX
JRVX
puis celle de de telle sorte que soit une solution de
: YDE F 3DE@F et soit $% sa représentation graphique dans un
On considère les équations différentielles : : 2 3DE@F et ′ ∶ 1) a) Résoudre l’équation différentielle ′ .
définie sur ℝ par : G YDE F est solution de définie sur ℝ par : 3DE@F est solution de
G , montrer que est solution de 3DE F4@ DEF6.
c) Dresser le tableau de variation de .
$% avec les axes du repère. et tracer l’allure de la courbe $%.
de la partie du plan limité par $%, les axes du repère et la droite d’équation
On considère les équations différentielles D FRJ
’une solution de définie sur 78.
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est une solution de est une solution de .
DF .
soit une solution de .
sa représentation graphique dans un
2 0. est solution de ′ . est solution de .
.
, les axes du repère et la droite d’équation 1.
C
3) Montrer que est une solution de 4) En déduire les solutions de . 5) a) Expliciter alors .
b) Calculer l’aire 3 de la partie du plan colorée sur la figure. Exercice 16
Soit l’équation différentielle : et la courbe C ci-contre d’une solution
définie sur C0 , ∞B 1) a) Résoudre l’équation différentielle
b) On donne ∀ ∈ C0 , ∞B Montrer que est une solution de 2) Montrer que est solution de si est une solution de ’ . 3) En déduire les solutions de 4) Expliciter alors .
Exercice 17
On se propose de déterminer toutes les fonctions f définies et dérivables sur l'intervalle l'équation différentielle ∶ ′
1) a) Démontrer que si est solution de
% F
F est solution de l'équation différentielle
b) Montrer que si G est solution de
2) Résoudre ′ et en déduire toutes les solutions de
3) Existe-t-il une fonction solution de l'équation différentielle un repère donné & , '( , )( passe par le point
Exercice 18
On considère les équations différentielles : 1 DF 0 et : 1
1) Soit la fonction définie sur 78 2) Soit une fonction dérivable sur est une solution de .
3) On pose M 1 DF
a) Montrer que si est une solution de que l’on précisera.
est une solution de si et seulement si est une solution de
de la partie du plan colorée sur la figure.
VX
FW ∀ ∈ C0 , ∞B
contre d’une solution de
1) a) Résoudre l’équation différentielle ′ : 0 C
FRJ F DF.
si et seulement
sur C0 , ∞B
déterminer toutes les fonctions f définies et dérivables sur l'intervalle
2 1 8 .
est solution de alors la fonction définie sur l'intervalle est solution de l'équation différentielle ′ : 2 8.
est solution de ′ alors la fonction définie par et en déduire toutes les solutions de
solution de l'équation différentielle dont la représentation graphique dans passe par le point 9 ln 2 , 0 ? Si oui la préciser.
On considère les équations différentielles :
1 DF D F
par : VWX
JRVX Montrer que est une solution de
une fonction dérivable sur 78. Montrer que est une solution de si est seulement si
est une solution de sur 78 alors M est une solution d’une équation différentielle est une solution de .
C
déterminer toutes les fonctions f définies et dérivables sur l'intervalle C0 , ∞B vérifiant
définie sur l'intervalle C0 , ∞B par :
G est solution de (E). dont la représentation graphique dans
est une solution de sur 78. si est seulement si
b) En déduire que les solutions de sur 78 sont les fonctions définies par : [VXRVWX
JRVX ; \ ∈ 78.
4) Soit la fonction définie par : = VWXE@VX
JRVX Etudier les variations de .
5) Soit ℎ la restriction de à l’intervalle B0 , +∞B .
a) Montrer que ℎ réalise une bijection de B0 , +∞B sur un intervalle ] que l’on précisera. b) Soit ℎEJ la fonction réciproque de ℎ, expliciter ℎEJ pour tout ∈ ].
6) a) Tracer dans le même repère orthonormé & , '( , )( les courbes de et de ℎEJ. b Calculer 1 ln 43 + + _ + 10 + 96 2
EJ
Exercice 19
On considère les fonctions dérivables sur ℝ, admettant une dérivée seconde et vérifiant : 0 = 0 ; ′ 0 = 1 et ∀ ∈ ℝ : + 3 + 2 = 0
1) On pose ∀ ∈ ℝ : = DF . a) Calculer 0 et ′ 0
b) Montrer que admet sur ℝ une dérivée seconde et que ∀ ∈ ℝ : ′′ = − ′ . c) En déduire que est solution de l’équation différentielle : = 1 −
d) Exprimer alors en fonction de .
2) Montrer qu’il existe une et une seule fonction vérifiant les hypothèses de l’exercice et expliciter .
