Travaux dirigés
PC
∗Espaces vectoriels normés
Exercice 1 Soit E un espace vectoriel réel, et N : E → R+une application vérifiant :
– pour tout λ ∈ R, pour tout x ∈ E, N(λx) = |λ|N(x) ; – pour tout x ∈ E, N(x) = 0 ⇐⇒ x = 0E.
Montrer que N est une norme si et seulement si l’ensemble B =nx ∈ E
N(x)61 o
est convexe.
Exercice 2 Soit E le C-espace vectoriel des suites complexes (un) telles que la série
X
|un|converge, et (αn) une suite de nombre complexes.
Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur (αn) pour que l’application N : u 7→
+∞
X
n=0
αn|un|définisse une
norme.
Exercice 3 Soit A ∈ Mp(R) une matrice quelconque. Montrer qu’il existe une suite de matrices inversibles (An) qui
converge vers A.
Exercice 4 Soit (xn) une suite réelle, et (α, β) ∈ R2tel que 0 < α < β. Pour tout n ∈ N on pose yn= αxn+ βxn+1.
a) Montrer que si (yn) converge vers 0, il en est de même de la suite (xn).
b) En déduire que si (yn) converge il en est de même de la suite (xn).
Exercice 5 Pour tout n ∈ N on pose un=
s 1 + r 1 + q 1 + · · · + √
1 (avec n radicaux emboîtés). Étudier la convergence de la suite (un).
Exercice 6 Donner la limite puis un équivalent de la suite définie par u0= 1 et un+1= un+ 1
un
, n ∈ N.
Exercice 7
a) Montrer que pour tout n ∈ N, l’équation
n
X
k=0
xk
k! = 2 n’admet qu’une solution sur [0, +∞[ ; on note uncelle-ci.
b) Montrer que la suite (un) converge, puis déterminer sa limite. On admettra la formule : pour tout x ∈ R,
+∞ X k=0 xk k! = e x.
