Sur un problème de minimisation: localisation optimal d'une source

..

Sur un Problème de Minimisation

"

-..

" r 1

1

..

•

•

\

•

..

--Claudie SOLAR-BE~AK \.

,

, ,

•

'1 " ,

SUR UN PROBLEME DE MINIMISATION: LOCALISATION OPTIMALE D'UNE SOURCE

Thése d'e mattrtse

'Département de Mathématiques

MeGil1 Univers! ty

©

Claudie Solar-Behelak 1974 1

.

.

\

,<

.

,

•

•

r 0

RESUME

Le problémè étudié dans ce mémoire consiste

A

localiser

-1

le point dans l'espace qui minimise la somme des distances

pondé-rées de ce point

A

n points donnés.

/ p

Aprés un résumé historique de ce problème d'alloca~ion,

les propriétés 'de la "fonction économique"

A

minimiser sont

étu-,

diées et les conditions pour lesquelles le probleme admet une solution unique sont démontrées.

Des mét~s de résolution géomètriques et physiques

sont présentées pour des cas particuliers simples (quand n~3 ou

)

--

4). Une solution au probl~e est fournie quand les puits sont

coHinéaires et également quand les dist-ences considérées sont rectilinéaires.

Dans le cas o~ 1e minimum est unique et les distances

(> sont euclidiennes, trois méthodes de résolution sont présentées:

l'une d'elleq consiste en un algorithme découvert lndépendamment par différents mathém.a,ticiens, algorithme _dont la convergence

~ ~

•

/

vers la solution opttœa~e sauf pour une quantité dénombrable de

d, ) , ,

CAS est e.ontree; une autre approche consiste a résoud~e le

"dual" du problème; et enfin, on trouvera une lIlèthode de

r~solu-tion par programmar~solu-tion dynaaique.

, ,

..

, ".)

_.

" " \

•

, " 1

-.,.

•

,

.

li

If

, ABSTRACr .}

The follow1ng problem 18 consldered: given n weighted

(

points iD space,' to locate the point which minimises the sum of the weighted distances from this point to the given n points.

1

After an htstoridtl survey, the "objective function" is analysed and the conditions under which it has a unique

solu-tion ar. de~iVed.

Then follaws a study of particular cases: when tbe

.

vertices are collinear, when the distances. are rectilinear, and wben the number of vertlces Is 3 or 4 ( wbere geometrlcal and

1

,'pbysical solutions are, ~iven ).

When the conditions for uniquene •• are fulfilled, three

•

<-metbods are analysed. First an algoritba di.covered independantly

by several mathematicians is ~nalysed and proved to converge

ex~ept at a finite number of points. Then ~he "dual" of the

pro-blem is solved, a~ finally a solution by dynamic programming is

presented.

•

•

1

---Table de. matière.

Préface •...••..•••.••.••••.•••.•.••.•••••••.• _ ...•...•. 1

Chapitre 1: Introduction

A: Introduction... l

B: Définitions et théor~e& de base •••••••••••••••• 7

1- Ensembles et graphes •••••••••• ~ •••••••••••••• 8

2- Minimum de fonctions ••••••••••••••••••••••••• 11

Chapitre 2: Le probl~e généralisé de Fermat: fo~ulation

mathé-matique et existence d'une solution

A: Fo~u1ation mathématiquer •••••••••••••••••••••• , 16 B: Propriétés de la fonction économique •• ' •••••••••• 17 Chapitre 3: Localisation d'une source: ca. particuliers

A: Co11inéarité des puits •••••••••••••••••••••••••• 31

B: Distances rectilinéaires ••••••••••••••••• ~ •••••• 35

C: Solution mécan~que ••••••••••••••••••••••••••• ~ •• 37

D: Conftruction géomètrlque: le triangle pondéré ••• 43

Chapitre 4: Solution génèrale

() .

A: L·algorithme.~ •••••••••••••••••••••••••••••••••• 49

B: Le dual du problème généralisé de Fermat •••••••• 71 C: Résolution par programmation dynamique •••••••••• 83

Chapitre S: Conclusion ..••••••••••••••••••••••.•••••••••••••• • ~. 91

Références •••••.••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 94

(

1

•

Le sujet de ce mémoire est un problème d'allocation.

!

L'énoncé en est le suivant:

Etant donné n points pondérés dans l'espace, localiser

le point qui minimise, la somme de~ distances pondérées de ce point

aux points donnés.

,

Ce sujet m'a passionné et- je voudrais remercier tout

spécialement lé prof. Brian Massam du département de géographie de l'université McGill pour me l'avoir présenté.

Le problème relève de bien des qiscip1ines: recherche

opération~elle, économie spatiale, optimisation, théorie de la

convexi~é ••• et, aussi, a-t-il été difficile de trouver une docu-mentation valable et mathématique traitant de ce problème qui a

de nombreuses appli~tions dans des domaines autre que les

mathé-,,!

t

matiques.

Le but de ce mémoire est de présenter les Tésultats. de

)(

la recherche qui a été faite SUT ce problèm!.tJ>ii' y trouvera un

(\

Il

" \

exposé historique, ~e ~~jlalyse de la "fon tion économique" ~

minimiser, une étude des cas t,} enfin des méthodes

de résolution dans le cas où il existe une solution unique. On

trouvera, s'il y a lieu, avant chaque théorème ou démonstration

la référence

à

l'articleou au livre d'où l'énoncé ou la

démons-tration est tiré. Les références apparaissent ~ la fin de ce

mémoire.

Avant de clore cette préface, je tiens

à

exprimer ma

reconnaissance au prof. Willimn Brown, directeur de ce mémoire, sans qui présenter une thèse de mattrise eût été impossible; je voudrais également remercier le prof. S.Zlobec pour une

assis-tance

A

la fois humaine et académique; Hélène Massam, amie et

collig~

.. pour 80n aide et ses encouragements; Madame

Nico~'è

Clément pour sa coopération ; enfin, tous mes amis~ collègues et

parents qui n'ont cessé de m'encourager •

\

'-. _;1 .' 1 •

•

r"

•

_{Il INTRODUCTION} - . / As Introduction

De plus en plus de n~s jours, économistes, géographes,

1 -.

urbanistes, architectes, ingénieurs en é1e~ronique ••• se

trou-.

' .

vent

à

faire face

à

des problèm~s d'optimisation liés à la

théo-rie des graphes. Le problème peut être celui de trouver le ré-seau routier de longueur totale minimale reliant plusieurs vil-les; ou bien déterminer l'emplacement d'un hôpital de façon que

les patients aient la plus petite distance à parcourir pour s'y

rendre; ou trouver le trajet le plus court'pour se rendre d'un

endroit

à

un autre ou encore une compagnie désire localiser x

nouveaux dépôt's de façon à. minimiser le coût de la livraison des dépôts aux distributeurs ••• etc.

Dêjà au temps de la Grèce antique, certains problèmes

--, ~

de minimisation avaien~ été résolus. Par exemple, le plus court

chemin

à

parcourir entre deux points donnés en passant par un

\

2 •

•

₁

__ / ruisseau pour y puiser de 11 eau est identique au parcours d lun ,

, ~

rayon lumineux réfléchi dans un miroir (Ca, M2) • Notons égaw

lament que la forme des'théâtres grecs même au 4ème siècle ~v

Je.

était 'un demiwcercle. Or cette forme a la propriété de

m1nim~-ser la distance max1male du spectateur

à

la scène pour un

théâ-tre de capacité donnée (B8).

il '

Le problème sur lequel nous nouS arrêterons dans cet-te thèse est un problème de localisation et dlaffectatioq, dans

llespace

à

n- dimensions. Etant donné m points fixes, appelés

/

puits,

localis~r

un ou plusieurs

po~s,

appelés sources, de

telle sorte que la somme des distances entre puits et.sources

1

multipliées par certaines constantes, dites de pondération, soit 1

minimale et que chaque puits ne soit desservi que par une sourw

ce. Les constantes de pondération peuvent correspondre

à

un

çoût dQ, transport, au nOmbre dlhabitants dans une ville •••

"

••

..

•

.

_l

•

\ \

\

•

l

,

3 •

'"

Quoique facile

à

foraul~r, ce probleme_n'a pa8 de 80-

_,

~

lution directe et des

~thodes d'it~ration

doivent être employées

pour tâcher de la résoudre. L'importance du problème ne peut

ê-tr~ée.

Il suffit pour cela de regàrder le nombre grandissant

de pUDlications y ayant trait que ce soit en optimisation,

re-cherche opération~elle, urbanisme ou économie spatiale.

/

En fait, ce problème a été formulé-il y a déjà bien

longtemps. Il semblerait que le probleme ait été mentionné pre-~

miè;:em~nt

par Fermat

à

la fin de son essai sur les minima et les

\

'1 0

maxima, (IV Metbodus de maxima et minima) au début du XVlle

siè-1

cIe. ~e prob1è-e était alors posé de la façon suivante: étant

donné trois points dans le plan, trouver un quatrième-4e telle

sorte qu~ la somme des distances des trois points

à

celui-ci soit

minimale <Z 1). Même avant 1640 Torricelli a~r~lt résolu le

pro-1

.'

1. Dl, p. 153

-

.

o

/

4 .

•

_,-"

bl_,", (!n d6montrant quo h point r@ch(!rch'\ Il' trouVé

é

l'tl\ter-'{letion d". troll cot'clo. CU'colllcrit. AUX tr1anal~.

c\quUat6-..

l'aux con.truite lur chacun dg. cl)tt\. du triangl" forniâ par h .

trot. point. donn~ .. (K5). , , C,,·polnl Qat ftPP~J~ l~ ~olnt da

.

,

'rorr1c~lU. En 1647. CAvdliCH'l (T 1) dan" "Ex"rc1Latlo"" •

.

~

IClomJ,lricaQ" dl\montL'aH qU(I 1". ,,"gl". lO~A en/ c" pulnt

14-, ',t,t ')

\ _-.

CJ,'IUnl~rnux ù~(:ll)h .,lu .. haut nu 8~t OI)llO"~ du lrinnMlé

"don-""

n~.n cOllpnhnt AU pQint d" TOrl'icl'!lll." CC"I troll droitOi lIont

XiX", l1~cl a.

ct

CIIIt Ginai qu 1 ~n 1834 (C 6) F. lIolnen démon ..

trait qua ai lai troll point. donnl\. !ur\lUli"nt un trlAngl" dont

.

,

, 1

•

,P

•

j

(

•

l'un des angles était de .. 1200 ou pfus le sœnet. de cet angle é ..

tait le point reche~ché.· Il pro~a également que les droites

d~ Simpson étaient de ~e longueur et que cette longueur était

..

égale

à

la somme minimale des dlst~nèe. du point de Torricelli

.

aux trois points donnés.

Quand le nombre de points dGnnés est égal

à

quatre et

,

'

que la figure fot"llMi! en joignant "les points est un quadrllatere cpnvexe, le point m1nim~ recherché se troùve alors

à

l'inter-section des diagonalesl• Ce

résult~'tut

démontré par Fagnano

-'\ en' 1775 (T 1).

.5 •

Enfin pour le c~s général, ce fut tout d'abord Tedenat qui trouva en 1810 que la somme des cosinus des angles formés

,.

..

•

6.

par route droite et les droites passant par chaque point donné

et le point minimum devait être égal

à

zéro. Puis Steiner

dé-montra en 1837 que le somme des sinus de ces angles devait

éga-lement être égale

à

zéro (C 6) •

La première généralisation du problème posé par Fermat

semblerait avoir été formulée par Simpson dans son livre sur les

"Fluxions". Le problème consistait alors

à

déterminer le point

~

qul' minimiserait les distances

pondéré~s

de trois pOint's donnés

à

ce point. Ceci est la raison pour laquelle nous nous

refere-rons au problème en tant que problème généralisé de Fermat.

Il faut noter,cependant que dans la -littérature, le

,

problème étudié dans cette thèse est souvent appelé le problème

1

de Steiner ou encore de Steiner-Weber. Cette confusion est dûe su fait que le problème s été popularisé en tant que 'problème

"

7.

•

_"

•

de Steiner par l'oeuvre très connue"What ls Mathematics1" de

Courant et Rabbins (C 8) • Steiner fut un géomètre du XIXe

.. é ' •

siec1e qui effectivement slint ressa au probleme de Fermat. _s J;"

D'autre part, i l ne faut pas oublier de mentionner" Alfred

Weber 1 S Theory of the Location of Industries" de C.J •. Friedrich

(F 10) , & livre maintenant devenu un classique dans 'le domaine

de l'économie spatiale. Ce livre est surto~t intéressant du

point de vue mathématiques par l'appendice écrit par George

"

Pick, qui réitère les résultats géométriques obtenus par Stei-

,

ner et autres géomètres qui s'étaient intéressés au problème initialement formulé par Fermat.

Br Définitions et théorèmes de base

Avant d'aborder l'étude du problème ~ui nous

intércs-se, nous allons commencer par définir les,termes utilisés et

rappor.ter les

CO~8

de base.

\

•

l

8.

L'auteur aimerait s'excuser auprès des lecteurs qui BOnt familiers avec la calcul fonctionnel, Ibpttm!aation et la convexité. Cette section a pour but de rendre la lecture

de cette thèse possible

,à

ceux dont le bagage mathématiques est

1

moins approfondi.

...

A travers toute cette thèse R représente le système

aes nombres réels et

a"

l'espace vectoriel réel de dimension n.

1- Ensembles et grap,hes.

Nous dirons qu\un ensemble X est une collection

d'objets Xi' i=lJ2~ •• , de nature quelconque appelés points ou

éléments. Uunion de deux ensembles X et Y, XUY, est définie

co~e étant l'ensemble formé par tous les éléments Xi

appar-tenant

à

X et tous les éléments Yi appartenant a Y

,

•

•

9 •

1 ..

L'intersection de deux ensembles X et Y est l'ensemble des

éléments qu'ils possèdent en commun

~

X(\Y ...

l

x

1

xEX et

L'ensemble vide.

~

, est l'ensemble de cardinalité zéro,

c'est-à-dire ne contenant aucun élément. Deux ens~bles sont disjoints

8i leur intersection est l'ensemble vide.

\

X est en sous ensemble de Y si tout élément de X

est un éléœent de Y en notation x~Y.

Une collection de sous ensembles

titue une partition de X si

Xi

n

X_j III ;

et

Ü

Xi .. X

1 .. 1

pour tout 1

l'

j

oons-10 •

•

Un ensemble X, xc.a D est convexe si pour tout xEX

et y~ X et pour tout scalaire h. 0 $ h ~ 1

"

rut + U-b)y EX

L'enveloppe convexe E d'un ensemble quelconque X est définie çomme étant l'intersection de tous les ensembles

'.

_{convexes contenant} ~, ou encore comme le plus petit ensemble

convexe contenant X. L' enveloppe convexe d'un nombre fini de

points est appelé polyèdre convexe ("6 p. 13).

Un préordre

~ ~flnl

sur un ensemble X

''1

est une re-. letion telle que

1) x " x pour tout x EX (reflexivité)

2) x ~ y et y , z ---. x 4 z pour tout

x, y , z ~ X (transitivité)

•

"

•

•

" _. . '

,

li

Un ensemble X est ordonné si

un

préordre est défini sur cet

...,- ,

"ensemble et de plus

(SI p. 5)

3) x -' y et y ~ x

=-c.e>

x - y pour tout

x et y E. X (antisymmétrle)

x € X et

~ pour tout

soit x ) y.

y € X _soit x tï; y

Nous appèlerons arête toute courbe continue joignant 11 •

deux points. Un graphe est alors un ensemble de points,

dénom-més ~ets et dlarêtes joignant certaines paires de ces

som-)

metl. Un ~ elt une arêfe munie d lune d~rect1on. Un chemin

est une séquence.dlarcs tel que le sommet terminal dlun arc elt le sommet initial de llarc suivant (B 7).

2- Minimum de fonctions

Une fonction f définie sur un ensemble convexe X

\'

\

"

•

J (

,

(

,

'"'

~

es t dite conve-t.e fli pour tout scalaire

t h, 0

~ h ~ 1 et tout x EX, Y € X l'inégalité suivante est satisfaite

f(hx + (l-h)y) ~ h f(x)

+

(l...q) f(y)

Elle sera strictement convexe si pour ₁ h ~ 0.1

f{lu: + (l-h)y)

<

h f(x} + (l-h) f(y)

, _,

. 12.

.\

Nous dirons\que. la "fonction

_.

f définie sur

l'enseDl-\

,

ble X a un minimum ab8'çlu

,

a x'·E X si pour 0

\

'"

1-"

,

f(x ) ~ f(x). Le mini..mum a dit rè1.atif a

0 (

pour

~t

un E) 0 tel que f( x ) ~ f( )

0

tance de x

é

x est plus petit que é .

o

tout x s'il

0

x dont

'Nous énonçons quelques

,

'''~

théoremes üq>ortants:

x E. X, existe la

dis-Théorème 1.1 Une fonction convexe définie sur un ensemble

convexe est continue sur cet ensemble (R 1,

pp. ~83).

•

•

•• ~1 < . , \, !\ 1 1 1 , , " ' Tbéor~e 1.2 13 • (Weierstrass)

Une fonction définie et continue 8ur un ensem-ble fermé et borné atteint 80n mintmum ou son

maximum absolu sur cet ensemble (C 8, p. 314).

Théotème 1.3

:t

Si f(x) est une fonction convexe définie

sur un ensemble convexe borné et fermé, tout

1

minimum relntif est un minimum absolu (8 6,

p. 14).

Théorème 1.4 Le minimun absolu d'une fonction strictement

convexe ~8t unique.

Démonstration: Supposons que le théorème 80it faux et qulil

existe deux pointl x et x't,

i

p x't, tels que ffi) - f(X*)

et que cette valeur soit le minimua absolu de f. Etant donné

qu~ f est strictement conVexe ,nous avons pour 0 <: h

<

1

14 •

•

f(luL* + U-h)i)

<

h f(](A') of' U-h) f(x)

,<

h f(](A') + (l-h) f(X*)

Ceci contredit le fait que f( x*) est un minimum absolu. Il

s'ensuit que x -](A' et le minimum ,est unique.

0\ J

C.Q.F .D. "

'-~

'\

Théorème

1.5

s

Si f est dérivable sur un ensemble ouvert D

lors les dérivées partielles sont telles que _,

i a_{l,2, ••• n,}

(B 5. p. 311>.

Théorème 1.6 : La sOUIlle de fonctions convexes est convexe. Si l'une des fonctions est strictement

con-1

vexe, alor~ 1~ somme est strictement convexe •

, \

..

~.

1 •

15.

, ,<

Démonstration, Soit f et g deux fonctions ·convexes. Nous avons pour 0 " h ~ l

-(f~) (hx + (l-h)y)

=

f(hx + (l-h)y) + g(hx +(l~h},r) ~ h f(x) + Cl-h) f(y) + h g(x) + (l-h) g (y)

~ h (f+g) (x) + (l-~) (f+g) (y)

avec inégalité stricte 81~Ulement ,Si

tepaent convexe.

..

.-" f ou g est

stric-C.Q.F.D •

.

,

..

"

•

•

'-Il: LE PROBLEME GENERALISE DE FERMAT: _, FORMULATION

MATHEMATI-QUE ET EXISTENCE D'UNE SOLUTION

A: Formulation mathématique

Nous allons maintenant abGrd-er- -1-' étude m-at.-hémntiquq

<1;;>0'

d~l problème généralisé <:Je Fermat 0 Le problème sc pose .'llol"s de,

la [nçon suivante: soit n ~ 3 puits Xi ER, de 2 cool:données (Xi,Y

i ), i=1,2,o ••

,n,

pond~rés par des constantes de ponJ6ra-'1

tion w 1

i 6 R positives, ., 1=1,2, ••• ~ ,n • ....,.. X Wl '- point quelconque de

coordonnées (x,~). Laissons d.(X) représenter la distance

cu-l. clidienne de Xi'

à

X, solt:

2 2 1,

di(X)= «Xi-X) +(Yi-Y) )~ i = 1,2, •••

,n.

Posons;

n.

F(X)

=

L

w1di(X)

.

"'-,

.. .. 2 2

I.e problemc con.siste alors II localiser une source X* E. R de #

telle sorte que F(X*) soit un mtnimum.

En recherche opérationnelle ct en optimisation, ln

1. Cf. p • 2 2. Cf. p. 2

, '

16 •

•

/

..

•

fonction F(X) est appelée fonçtion économique.'

B: Propriétés de la fonctio~ économique

I.e fonction économique F(X) est définie et continue

SLlr R2• F(X) est dérivable et a pour dérivée:

----D(X)

"

•

q.li n'est pas définie pour X = Xi' i

=

1,2, ••• ,n.

---S;:>it E-1.1_{-emrcroppe convexe des p"uits Xi. N0:.15 avons:} , _,

, J"

,

-ThéorÙnc 2.1 Si X minimise la fonction F, alors X appartient

,

n l' ~nYcloppc convC}~c E des puits Xi •

~2mon~tra~i6n (v4) :

~e théorc,me est évident.

Si X f X., i

=

1,2,oee,n, Wle condition nécessaire 1.

pour que X soit Wl l'xtrf'mum est qu~ D(X)

=

0, ou encore:

"

"

•

17 •

---•••

\

'r

)

•

..

!il'

'"

w i (Xi-X)

L

t

=

0

" a'

di~X) & ~' \ _,

q~i \ eprés calcul direct:

Ce nous donne

1-Î:.

Le point X peut donc s'écrire comme une combinaison

linueire des puits \ dont les cocfficients sont positifs et

totalisent 1. Il s' cnsuit que X' apparticnt à l'enveloppe

,

convexe E des puits Xi ( S3) p.32 ).

C.Q.F.D.

.l.-

,

.

Remarquons que 1:es coefficients dans 1 t'expression de X e.n fonction des Xi sont strict(~hlcnt epositifs. D'où:

\

.'

Corollair~ 2.1 : Si X minimise F(X) et que X n~ coïncide pas

•

. l ' X d

avec • un ~~s doœucts i e

Vèxe, X n' appartie.nt pas

à

la frontiè-re de E.

t,

.

.

Théorème 2.2 11 exist<, Wl point , X* é R tel que F(X*) soit 2

t '

..

18 •

,.

19.

•

un IlinimlDll.

)

Démonstration: L'enveloppe convexe E, étant un polyèdre, est COIIpacte ( RI p.U, R3 p.32 ). La fQnction éconœdque F étant dét\fnie et continue sur E, 11 s' ensuit par le théor~e 1.2. que F a son minimlDl sur E.

C.Q.F.D.

"

Nous allons maintenant établi'r le8 conditions pour

lesquelles la fonction économique F a un ainimum unique. Pour cela, nous devons tout d'alxfrd étab,Ur le résultat suivant:

Théorème 2.3 : . Si 1e8 n puits distincts Xi ne sont pas 0011i-néaires, alora ~a (onction économique F(X) est

J

strictement convexe.

Démonstration ( Tl, K2 ) 1

Lemme 2.1 f Les f~nctiona di(X), i • 1,2, ••• ,n sont

stricte-••

•

•

ment convexes sauf sur les demi-droites se terminant

A

Xi où elles sont linéaires.

h Pour prouver le lemme, considérons les nombres

complexes définis comme suita

z • x

+

iy

où x

j ' Yj sont les coordonnées j et x, y celles du

point X.

Nous obtenons alors l'égali é suivantez

':\

Soit X' un nouveau point de coordonnées <X',yl), distinct de X et

z'

le nombre complexe c~r~spondant, Zl • X· + 1y'. S1 h est un scalaire tel que 0 ~ h ~ l • nous avons:

1

hz

+

(l-h)Z' - Zj' _

=

'hz

+ (l-h)z8 - Zj

+

hzj - hz 1 j

.

~

lhz

-hz_{j '}

+

IO-b)z' 20 • •

•

i

•

ou

pour 0 ( h .. 1 •. Nous pouvons donc conclure que la fonction d j (X)

1

eat une fonction convexe •

Notons que l'égalité n'est p0881ble~ quand h ~ 0,1.

, que lorsque les pointa X

j • X et X', sont' collinéaires. Dans un

tel cas, dj(X) est une fonction linéaire. D'o~ le lemme.

Le lemme s'applique également a~ fonctions w~di(X),

1. • 1.2, •••• n; étant donné que les w

1 sont des constantes de

pondération positives.

Le théorème 2.3 découle directement du lemme 2.1 et

du fait que la somme de fonctions ( strict~ent ) convexes

est ( strictement) convexe (théorème 1.6 ).

1

Théorème 2.4

1. Cf. p. 12

C.Q.F.D.

•

•

. 22 •

.

point ~ Qui minLmise la fonction économique _, F(X) est unique.

Ce théorème est une conséquence directe du théorème précédent. étant donné que tout mintmum d'une fonction stric-tement convexe elt un minimum absolu et que ce mintmum'est u-nique (théorèmes 1.3 et 1.4).

dient'

de la fonction

F

n'est pas défini pour tout puits Xi-

Ce-2

pendant par analogie physique • posona!

1. Cf. p! 17

2. Cf. p_ 37

, ,

•

, .

•

k • l, 2 ••• n

Ain.i no~s pouvons définir une fonction R

A

tous 18s points de l'enveloppe convexe E des n puits, en posant:

R(X)

_•

max

f'

~I

oJ

Rac·

,~

1

23 •

1 • 1, 2, ••• n

Théorèae 2.S:

X*

.in~se la fonction F<X) li et

seule-aent ai R(X") • O •

.

,

1

24 •

•

, ,

\

DéIIonstration (K 3) 1 11 Y a deux ca.

à

dhtlnguer.

1. Sl ~ ~ Xl~ i - 1.2 ••••• n.

Le fait que F(X) soit cbnvexe et dérivable tmpli-que tmpli-que R(~) - 0 est une condition nécessaire et s~-fisante pour que F(Xl") aolt un alnlaum (théorèmes 1.3 et 1.5).

2. x* co!nclde avec l'Un des puits. soit Xl".~.

1

Dans ,ce cas. considérons le points 0 ~ + tD où t

est .un scalaire et

1

D

1 -

1. Nous avons alora:

n

.<Xat

+ tD) -

'f-i.

w₁d i ( \ + tD) n

.,

~

•

.

\ (

,

•

•

étant donné que

1

DI· 1. Et la dérivée de F par rapport

à

t e s t : dt · V k

+t;

w (X - lt - tD). (-D) i i l t

(notons que t et D peuvent toujours être choisis de telle aorte que di (~

+

tD) ~ 0 quelque soit 1) • Nous pouvons

réécrire cette expression de la façon suivante,

""-

quand _{t - O.}

dt

(lei A.B est le produit intérieur des vecteurs A et B; ég8-lament A2 • A.A) •

•

Donc la direction du plus grand décroi.sement est

'k

25 •

obtenue quand D - - - - (T 2, p. 480). Et sera un

a1n1-'~I

•

Il.

•

2 Btant donné que Il k

~ 0

- 'R

1

2, nous obtenonsl

k

=>

0

26 •

Donc ~ sera un minimum relatif 8i e,t seulement Bi Il(~) - O. F étant convexe tout minimum relatif est un ain1Jllum absolu (théorème 1.3). D'où l~ théorèœe.

C.Q.F.D.

\

~

En fait il existe des conditions suffisante. pour ( qu'un puits ~ minimise la fonction éconoa1que Fa

Théorème 2.6: Si un dei puits, \ . a une constante de pon~

, n

dération telle que w

k ~ ~ ~

_1-ï

vi' alors

.,

_{\ ainilûse} "f,."

F. '1

27 •

•

DPlonatration Supposons que le théorème soit faux et que

un point X*. distinct de ~. minimise F. Nous avons'

Utilisons l'inégalité du triangle pour obtenir:

ou

Ceci contredit le fait que X* min~ise F et que ce minlmum est unique. Il s'ensuit que X*. ~.

C.Q.F.D.

•

J

•

\,

•

Théprème

2.7

~.

: SOit xi et Yl le8 coordonnées des puits Xi' 1 - 1,2, ••• ,n~ Le'puits ~ min~ise la fonction économique si et seulement si :

,

ou

et

Démonstration ( K2 ) : Par le thêorème 2.5, nous savons que

Xk

minimise

r

sl et seulement si

R(Xk)

a O. ntautre part

o~

R(~) • 0 sl et seulement si w_k ~

1 \'

avec S1 et nous avonSl D'où le théorème.

C.Q.F.D •

28 •

•

{

•

1

l '"

11 oest intéressant Je noter que ai v

k

~

%

L V i ' .(.1

l'inégalité du théorème

2.7

est satisfaite. -En effet, nous

"-avons vu auparav.3ntlque V_k

~

-\:

fu

w₁ implique w_k

~ ~

vi-D'autre part, nous avons l'inégalité suivante:

L

vi

~

«

L.

wicos 9

i)2+ (

L

wilin

e

)2)%

lI' '" 'fA k .1- " i .

avec égalité s1 et seulement- s1 tous les ait 1 ~ kt sont

égaux ( K3 p.26 ).

Nous avons établi dans ce chapitr& qulil existe une solution au problè.e généralisé de Fermat, que cette

aolution est un1que si les puits ne sont p8~ collinéaires,

que la source min~iaant la fonction économique sera soit

•

l'un des sommets de llenveloppe convexe des puits soit un

point intérieur de ce polyèdre. _,

En tenant compte de toutes les données du problème,

}

~

.

il semble au prime abord que le problème soit simple

à

résou-dre. Malheureusement, étant donné que la dérivée nlest pas

1. Cf. p. 27

r

'30.

~.

.t)p

d'finie aux points donnés Xl' i • 1.2 •••• ,~. et que la

fanc-tion contient des racines carrées. tout calcul direct est

tmpossible et même les mèthodes d'optimisation les plus connues

sont inapplicables. Des mèthodes d'itération devront être

,

! 1:1

utilisées pour localiser la source minimisant la fonction 'conomique.

Avant d'aborder l'étude de ces mèthodes, l'auteur aimerait

•

présenter les résultats et m~tbodes de résolution dans les

cas simples où n • 3 ou 4 et quand les puits soqt èollinéaires.

J

/

•

..

','

•

, . ) 1 '-/ " , :

.

III,: LOCALISATION D'UNE sonCE: CAS PARTl.CULlEIlS

..,

/

Nous avons obt.imu dans le chapitre précèdent ( théo-rèœe 2.4 ) que la fonction économique

~

l ( Xl '"..

4=.

_{widi ( X)}

4,.1

a un Id.nimwa unique si les puit,a Xi ne sont pas collinéaires.

Nous abordons ce chapitre par i'étude dd cas où cette condi-tion n'est pas satisfaite.

A: Collinéarité des puits

Supposons que les n puits distincts Xi soient oollinéaires. Nous pouvons prendre égaleœent pour hypothèse

ceci peut ê~re obtepu par translation et rotation des axes

'\ de coordonnées.

De plus nous supposons que les puits sont ordonnés,

,

c'est a dire que Xl

<

~

< ".

<

X •

n

Soit X un point quelconque de la droite passant

32 •

•

,par lei pu1~1 et d. ~oordQnnéi. (,,0). Danl ce caa partflx:u-Uer, la fonction d1ltance d

100 de Xi

,à

X devient:

~i (X) •

1

x' -x

1

1 ,

-Nou.· avon' donc

à

mini.i aer la fonction écon0lll1que lu1vante:

'"

" r<X) -

,.b

"1 \ X(X

1

.~

,

ou, comme auparav~at. lea w~ Bont dei conatante. de pondéra-tion positive ••

'1

Notons que, quand le. puite sont col~inéaire.,

l'enveloppe convexe 1 88 réduit au 8egment de droi~e (Xl .Xn' •

" A De plUl, la fonction économique F e8t définie, continue et

Un~aire,

dono cpnvexe , sur h aegmont

d~

droite (Xl ,Xn1 • L~ fonction F aura',on .inimum su~ cet intervalle. C8S ré.ul-tata ont été. démontrés au chapitre ~1.1 théorèm~8 :2.~, 2.2 'et

1

lemme

2.1.

Cepehdant la fonction F n létant pas strictement eonv.~ •• pluaieun poht)latinctl peuvent la ainlalaer.

,

..

Théorème~3.l 1 a' S1 X* .10-1II1s8 F et ~ ~ X{' 1 -l,2" •••

,n,

, ' \ alors )CI\' e8t tel que:

\ ~

33 •

•

..

-L.

w -

L

w l a \

Lw

, ~ ~ X; i 'lit <. 'X. , 1 t.1 1

1>-. Si XIt minimise F et que X't -~. pour Wl

certain k, alors XIt est tel que: /

Démonstrationz Notons que

•

a. ~ minimise F et ~ ~ Xl' i - 1.2 ••••• n.

Considérons les points Xl' +

A

X et Xfr -

A

X où

A

x,

de coordonnées (ilx.O). est tel que

4

x

>

0 et que le8

condi-tions suivantes sont satisfaites:

ou

,

"

,

C'est a dire qu'aucun puits D'appartient a l'intervalle

(XIt -

6

x,X"

+ Il X) • Nous avons alor8:

FOC*

+

Ax) •

.L.

w (x -xIt - 6x) -

E..

w (x -JCIc - A xl

~"c1C'

_..

i i 1t.~t: i 1

•

....

•

,-•

F(X* + AX)

~

F(X*) -

6

x(

z..

vi -

L..

vi)

","~

.. :

~.~

'1.:

Pour que F(X*) Boit un minimWll, i l nous faut d~nè avoir:

6x(

L

w

-'Mo" 4: ')C.. i

• ₍

d'où

(1)

étant donné que

6

x

>

o.

Utili'sons le même raisonnement sur F(Xl' - AX) et nous obtiendrons: F(X* -

Il

X) - F(XA')

+

il

x(

~

w -"," < '1t : i

L

w i

L.

wi

~

0 (2) X"Cl(: ","~'JC:

Les équations (1) et (2) impliquent que

ou

..

8 L V i -

L

w - \

.;:-L-

w lt,.<

11..

1ttt~ 'Je; i

...

..

,

i

b. Xi' lIliniDfise F et X* - ~ pour un certain k.

La preuve est essentiéllement la même que celle de

la partie a. sauf que, ici, nous avons un puits ~ qui

appar-..

)

\

.

34 •

--35 •

•

f

tient

é

l'intervalle [xtr -

6

x,X*

+

6

xl.

Nous obtenons

<,

alora les inégalités suivantes:

L..

,W~

~

L

w i ~ wit ~ 0 _ ... .c. X; _{'ll ... ">~~} et

ï:

w

-

L w - w ~O ~ ~-c.'

_"

i d It -

,

'X Il'> 'Il; d'où 11 inégalité

1

L.

w

-,

1

~ i

L

wi

..

wlt 'Il ... <. ... ; 'J( ,,')

'1(,

C.Q.F .. D.

,

B: Distances rectilinéaires

Nous désirons maintenant présenter une br~ve étude

du problème généralisé de Fermat en considérant les distances rectilinéaires (voir ci-dessous) car la solution du problème,

dans ce cas, est étroitement liée

à

la section préc~dente.

De plus. la localisation d'une source avec dlstanees

rectl1i-" ,

néaires est so~ent nécessaire. Tel est le caa sl nous voulons

localiser un bureau de po.t~. un hôpital, un dépôt dans UJ)e

..

..

•

\

..

_-.'

•

•

bU

ville où le ~ystème de voirie impoee des lIOuvementa rectUi-néaires; ou encore pour déterminer l'emplacement d'un relai sur une grille électrique.

/ '

Si~es coordonnées des n puits Xi sont (x

i

'Y1)'

le

problème consiste alors

à

minimiser la fonction économique suivantes

,

ou Posons: P(X) • d (X) -

1

x -x

1

+

1

y -y , i i i f(x) • g(y)

-'"

L.

v 1 x .. x 1 4_1 i i ft.

LVi 1

i_.

y _i

-,1

Nous avons alorSI

r(x) • f{x) ~ g(y)

Et le minimum de F est égal

à

la somme des minimums des fonctions f et g. Il découle de la section précèdente (théorè.e 3.1) quel

)

.

.

36 •

•

•

TWor~e 3.2: .Si X!t de coordoMées (xA',yIr> min1m1.se la fonc-tion F. alors x* (yIr) satisfait les conditions

; du théorème 3.1 quand les coordonnées sont ordonnées pAr rapport

à

l'axe des x (y).

Notons que ~ et y* ne sont pas nécessairement uni-quel. Ceci est une conséquence du fait que le8 fonctlo~8 f(x)

et g(y) ne 80nt pas striG'tement convexes. L' enselllbie des

points qui IIlinilrlsent F peut être un point, un segment de droite ou encore une région rectangulaire.

Pour une étude plus détaillée du probl~e généra-Usé de Fermat avec distance rectlliné'aire. le lecteur est

\

référé

à

F1, F2, W2., W3, VI.

C: Solution mécanique

Minimiser la fonction éconœdque F équivaut

à

37 •

,

•

•

l '

•

localiser le point dans l'espace où l'énergie potentielle eat

~

son a1n1aua. Aussi a-t-on pensé

à

résoudre le problèae physiquement.

L'appareil utilisé s'inspire de celui inventé par Varignon pour dé.ontrer que, pour trois puits, les forces agissant sur fi!" point a1.n1DLa1 foxwent un paral1élogr8llllle

(Friedrich, F6).

L'expérience consiste

à

prendre une planche de bois

••

oo.œe plan sur laquelle sont fixées des poulies àux positions respectives des puits. Une ficelle est pJacée sur chacune des poulies, une extrWté---nouée ave~ une des' extrémités

.

,

de toutes les autres ficelles; 1'autre extrémité s~pportant. un poids proportionnel

à

1& constante d~ pondération Vi du

"

L'appareil, ainsi .onté, est ensuite ais en

posi-'-(:

tion verticale ~t le noeud reliant les ficelles les unes aux

•

é b " é

ira prendre sa position d' qui.l-i re la ou l' nergie

38 •

• t

39 •

•

•

a

•

40.

/

potentielle sera

A

son lIlinimua (Flg.l).

Si n a ) et que X est la position -du noeud quant le système est en équilibre, i l découle du théorème de Lau

(E 1) que X nous sera donné par la relation suivante

sin II{ 1

•

sin e( 2

.

--:---

dnllC )

\

..

v_{2 '} w₃ sont lei poids et _{«1".(2' "3} sont 'les

ou w_{l '}

_,

, ,

angles formés par les trois forces s "exerçant sur X tel qulil-lustré par la Fig. 2. ( ,

I l

Notons que si v

l - v2 - w). le8 tro~s angles auront

o

pour valeur 120. I l ' suit que si llun des angles du triangle formé par les trois puits et supérieur ou égal

à

1200• le point

llinimal se situera au sœaet loutenant cet angle. Ce résultat

~

)

1

41.

-r,---J

t

0: _ _ _ _ _ _

.-..:....J

"

•

•

•

I:?

42 •

•

,

est la solution très c~nue du problème de Steiner pour n " 3 (8 4).

L'~rience montre également que si, n .. 4 et que X sera

à

l'intersection des dia-gonales du quadrilatère si toutefois celui-ci est convexe.

La preuve de ce résult~t est simple. Soit Xi' 1 • l, 2, 3, 4, quatre puits qui sont également les sommets

\

du quadrilatère de leur enveloppe convexe, de telle sorte que , .

XI

et Xl soient diagonalement opposés. Soit w

i les cons-tances de pondération telles que w

1 .. w3 Il nous ~aut donc minimiser

l '

•

•

Il est évident que F(X) aura son minimum ,quand dl(X) + d

3(X) et d

2(X) + d4(X) seront miniDdser. Pour cela i l faut que

XI'

X

3 et X soient collinéaires, ainsi que X2, X4 et X.

D'où le point X qui minimise F se trouve

à

l'intersection

des diagonales du quadrilatère ~. _X2 X3~ ~4.

Pour conclure, remarquons simplement que si la métho-de mécanique donne métho-des résultats satisfaisants pour n petit,

l'expérience est difficile

à

réaliser quand le nombre des

puits augmente et ceci d'autant plus qulil est presque tmpos-sible d'éliminer les frictions.

D: Construction géométrique: le triangle pondéré (Friedrich, p. 229, F 6)

Nous avons vu dans la sectio~récédente

n • 3, il Y aura équilibre quand la lOi)dea sinus

..

44 •

•

•

,

_,

•

•

.' .

4.5 •

sin .( 1

sera vérifiée. Il nous est donc possible de construirë le "triangle pondéré", c'est-À-dire le triangle dont les côtés

.ont proportionnels sux forces V

l , 92, wJ (Fig. ,3). Les

an-A 1\

gles 1# de ce triangle sont tels quel i-l, 2, 3.

Pour que l'snfle Pl X P₂ soit égal

è

0( J 11

,

faut que X appartiennent a Parc de cercle, cercle de centre

°

₂, passant par P'l et P 2 et tel que l' angle saillant Pl 02P 2 soit égal

à

2.,(3- Pour trouver 02 il nous suffit de

construi-t'-,

re un triangle isocèle de baie P

1P2 tel que les angles OPlP2 et OP ;P 1 soient égaux

à

Pour construire X, il est donc suffi.ant de

.'

•

r

•

rtaur.

4

,

4& •

;.-r

•

{ / o

•

47 •

•

r~ deux de ces cercles. X sera alors le point d'interaection des deux cercle~ qui se trouvent

à

l'intérieur'~~ triangle

'Ilemarquesl

1) Une autre construction consiste

à

construire de.

triangles similaires au triangle pondéré sur chacun des 06tés

circonscrits

à

ces trois triangles.

2) Si

VI -

w_{2 - w3}, pour trouver' X il suffit d. construire un triangle équilatéral P P v sur l'un des côte' s

i

J'"

~it

à

ce triangle. X sera alors a l'intersection de ce cer-, cle et du segment de droite Ale •

rjJ

éI,

1 \

48 •

•

1

)

..

...

3) Si la co~struct1on géomAtrique est s1mple pour

n • 3. il est impossible de donner des règles de construction

o

aussi simples quand n est plus grand que 3 .

"

•

l,

•

•

49_

IV 1 SOLtrrlON GENERALE

Dan. ce chapitre, noua allons pr'senter plusieurs .éthode. de résolution du problème g'n'raliaé de Fermat dont,

en particulier, un algorithme qui a ' t ' d'couvert lnd~pendam-j

.ent par différents mathAaticiens ( E. Weiaûeld. 1937 (WU; \

H.

W.

Kuhn

et

R.

1.

Kuenne, 1962 (K3);

L.

Cooper, 1963 (C6».

Dan. tout~e qui luit, les puits sont diatincts et

~

non-coll inéaires e

At Lia Igor! tiUlle

•• .i

Rappelons que si le8 ~. puits Xi de coordonnée.

(Xi,Y

i) e~ pondérés par des constantes,de pondération Vi

po-sitives, ne 80nt pas collinéalres, la fonction économique

n

F(X) -'(

ou di(X) représen~e la distance euclidienne entre Xi et X,

eat une ,fonction positive.et

atrlct~ent conve~~

(tbéorèœe 2.3) •

•

•

,..

., aura un JRiniDlum unique

à

un point Xl' (théorème 2.4). Le point mini.:awm X* aera soit l'un des puits Xi' aoit un point intérieur de l'enveloppe convexe E des n puits donnés (corol-1aire 2.U.

Le négatif du gradient de la fonction économique F

1

nous était donné par

ai X ~ Xl' i - 1,2, ••• ,n.

c~

En posant

nous avions prolongé la définition du négatif du gradient aux sommets Xi par

Et nous avions obtenu (théorème 2.5) que X*

et seulement si R(X*) I:I().

k • 1,2 ••••• n.

minilllise F

r

\

Si ~ n'est pas l'un des puits Xi' la condition

R(X*) • 0 implique quez

;,

•

~ ~ ~

Cette équatlon suggere une methode d'approximations

\

successives en appliquant la transformation suivante:

T:X

--+

TOC) •

1

lei. nous prolongeons la définttion de T pour les lOIIIIIleta Xi en posant

pour 1 • 1.2, •••• n.

11

découle du théorème 2.1 et de la définition de TI

Tbéorè.e 4.11 Si X • ~. _{alors T(X) • X. Et sl} X n'est pas

:.. > , un 8OI8et et que 'l'(X) • X. alors X. X*. 1

\

"

Noua allons maintenant démontrer que cet algorithme . converge vera la solution optimale X*. Pour cela nous

commen-çona par reécrire T(X), quand X n'eat pas un ~et,1 de la façon suivantez

....

•

)

~

""

T(X) -

L

v

1X

i /

L-vi 4 .. ' d₁(X) ~

..

d 1(X)

Prenons le dénoainateur

~

des

~..

ajoutons et

retran-o chons X pour obtenir J

T(X) - X +

-X+

, v (X -X) ft, •

~

i i

(Tf

d i( X» ~.. d 00 , •• '" i

-x+

Posons

'1c(X»

nous obtenons TOt> - X + h<-X). R( X) _et

et ceci' pour tou~ point X puisque, si X eat l'un des sœaet.

définition de.T(X).

Il Thus the algorit" follows the direction of the ,

.

..

•

.

' .

re8ultant vith precalculated length of step h(X) , R-(X)I" ( ~6 p.l0l ).

Reaarquons que l'algorithme laisse les puits Xi

,

-.

fixes.' Par contre, il faut nous ass~~ que les approximations 8uccessives quand X ne colncide pal avec l'un des puit. nous rapprOC:h' de la 8Olution optimale X*.

Le théorèae qui suit est dû

A

E. Wei8zfeld (Vl) mai. la démonstration présentée ici est c~lle de B. W. Kuhn (K6).

ThéorÈae 4.2 Si 7(X) ; X, alors F(TOO)

<

FqO.

Dél8Onstrat:l.on (K6h 'Etant donné que T(X) ~ X, X ne colnclde pa. avec l'~ des puits Xi- Done, nous avons:

Consid~rons la fonction sutvantez

g(Y) -

t

pl

\,

1

•

Cette fonction e8t deux fois continûment différentiable et les dérivées nous sont données par:

g(Y) e8t une fonction strictement

convexe

étant donné que la

,

.atrice he8sienne

2

o

e8t positive définie (Rl p.27 ; S3 p.168). J

Lea résultat8 obtenus ~u chapitre 2 (tbéoré.es 2.3

et 2.4) nous aS8urent alors d'un adn1.mwD unique quand ,'(Y)-o

soit , wi(Xi-Y) • 0 di (JC) ,

54.

'y

-C'est ~ dire que Y • I(X) est l'unique minimum de la fonction

g(Y).

Etant donné que T(X) ~ X et que Y • T(X) est la

solu-tion optimale de g(Y) nous avonSI g(T(X» <. g(X)

ou encore

Boit

(1) 8(T(X»

<

F(X)

n'autre part, remarquons que

n vi g(T(X»

~~

(dl (X) + (di(T(X» - d i(X»)2 di(X)

·'L

w i

_(d~(X)

+

2(d i(T(X» - di(X». di(X) , di(X) 1-1 0

₊

(dt(T(X» - d i(X»2)

\.

/

•

•

,(T(l» - FOO + 2F~T(X» - 21'(X) + 1-1 dt(X) (dt(T(X» - d t(X»2

"

ln co.binant le. équations (1) et (2) noua obtenonsl

21(T(X» l i _ _ i_e(di(T(X» - d i'X»2

<.

2F(X) d 1(X) .56 •

leaarquon8 que dans cette inégalité, la 8c.ae est non-né8at~ve.

('

Hous po~ns alors conclure que F(T(X»

<

F(X)

C.Q.F .D •

.

.,.

Il nous faut aaintenant nous assurer que si X est , dans le voisinaae d'un puit' ~. qui n'est pas la solution opttaale l'. il Y ait possibilité de s'en éloianer. C~

l'a1aoritbae ,'arrête aux puit. Xi étant donné qu'il les

•

•

/

lai ••• fixe ••

.

,

Etant donné _,

X.

noua définisaon.

X •

_r Tr(X) pour

r • 1,2, •••

Nor._

4.3 Soit

x.c.

l'un des ~_ts et suppoaon. que

"k ".

Xl'. Alor. 11 existe

i)

0 et un entier

a)otef·

o

<.

~(X) ~ ~

et .

'1t

(Ta.I(X»

~

S'

dk(Tr\X»

>

~

pour tout r ~ ' . r EN.

D&.onatratlon (K6) , Nous avons.

T(X) •

X

+

h(X).R(X)

d'o~

T(X) - ~ •

X + h(X).R(X) -

~

En

uti11annt la définition de R<X) et.en réarrangeant

'8 •

•

o

li

l·~quation. nou~ obtenon.

<\, -

X) <

-Etant donné que ~;~. nous avons

R<Xk).O

et

par conséquent,

, \ ' >

vit .oit

--

4

L:

"'i

ex

i

- \>

)W k i"k di(l\> Etant donné que

4

'1t

est continu dans le voisinage

de

_'k-

11 existe

a'

_'>

0 et

E:

:> 0 tels que:

<.3)

pour d

k (X).:l.

~

'.

h(X)w k

Considérons maintenant • Ceci peut se

ré-dk(X)

écrire de la façon suivante:

,

59 •

•

/1 .'

-Vit

•

, ~ ~~X)

L

"

J j dj(x) -.' ,

-; , ~ ; .r vit

-vit

'+~

dk~)Wl

"

- d 1(X) ~

Prenons la limite de cette expression quand X approche ~.

Nous obtenQns

u.

,h(X)wk , .. ,

1

.

-X ... ~ ~(X)

Par conséquent, 11 existe

d">

0 tel que '

-'<"

'-t. ... ~. t .

•

'-' " , \ ---- -- '. .'-~ _~

...

•

c r-(4)

,II

pour

0 <. dk(X) , ~ •

I

~

-'"-

2(1 +E.)

S1

~.

ain (

~'.

Il.

noua AVon. pour 80

L dt (X)

~

l'

1

~(T(X».

1

T(X) ..

\1

60 •

•

[_h<_X>_W_

t ..

1

J.

(~

-

X) d,,(X) . ) h(X) h<X)"t _ _ _ .. 1 d,,(X)

Subltituonl

le.

rélu1tatl'obtenu. aux équationl

(3)

61 •

•

dlt (T(X»

>

h(X) (1 + 2

E.

)w

lt _ _2(1+~)

~

\ . (X)

r.-L'inégalité (4) nous donne égalemen~

h(X)W lt - 1

>

-

E:..

dk(~) 2(1+E.) .: h(X)w_lt

> [ 1

~ ]~<X)

" _{2( 1}

₊

_{t.) .} "

D'où

" , ..1 ,r ~(T(X»

>[

_(1-

E.

J<

1

+ 2

E. ) -

€.

~d

<X)

2( 1 +

~)

\" 2(1+) k 1 \ ;.

>[1+

I, ~

S

1

]

2'

e.

":' +E) \~X) C) .: ( 1 _, + E. ) 'fi ~(T(X»

>

( 1,+ ~) ~(X).

•

_'\.

--

' 1 ., . )

---

... ...

.

'

.'

•

Etànt donné que \(X)

>

0 • il existe un entier a tel que

( 1

+

IE.)I ~(X)

_>

6.

et 111 Or nous 0 avons , ",

..

_'.

D'où,

il existe 1

E

N _{tel que}

~ 1 «1t(Ts-l (X» te.

l"

'~ "-et

..

<1t(T r (X»

>

i

t '1 , t \

,

pour tout s

€

N tel que r ~ 1.

C.Q.F.D •

•

, t

•

Avant de prouver la convergence de l'algorithme,

vol-J

ci un théorème. également découvert par E. Wei.zfeld (W 1), qui décrit la tenue de la transformation T au vol.lnage des .ommet. Xia qu'ils soient opttmaux ou non.

Théorème 4.4

Hm

X--+~

pour k - l, 2. • •• n •

•

Démonstration (K 6): Si X ne co!ncide pas avec l'un des

puits nous avons .!II

n

1

n T(X)

L-w{

_~

W i

•

_i-1 di(X) 1-1 di (X)

.[~

w i Xi

~/±

w_i

+

i;k _d 1(X) dk (X) . {-1 d1(X)

"

cr ~

•

•

i

f

T(X) • _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

\

'-D'où <T(X) -

"Jt •

ou encore l (T(X) -

Xk>

-~ ' \ (X)

L..

v i(X1 -Xk) 1"" _d 1(X) \

/tr

v 1

- ,

di (X),

/

,

.

1

64 •

••

..

•

..

T(X) - ~ ~(X)

.L:

• 1t1lt

L.

vi (Xi -

~)/

[ • _1~ ~ v • 1 d (X) k 1

65 •

Prenons la lla1te des longueurs des deux côtés de l'équation. , Nous obtenons lia X-+~ ~(T(X» ~(X) f~

,

-C.Q.F.D •

...

Hous pouvons maintenant donner la preuve de la conver-. g~ce de l'algorithme.

Théorè.e 4.5 Etant donné

/

r

X • soit X os T (X

>.

pour o r o

••

•

ci quelque aoit r. alors lial X • X*

r - H r

•

66 •

Dé.onatration (K 6): Sauf peut-être pour le point

_{x •}

_la

s'-o

quence X ae trouve

A

l'intérieur de l'enveloppe convexe E

r

dea puits Xi. Ceci est une conséquence du théorème 2.1 et du corollaire 2.1. L'envèloppe convexe & des puits étant

"

un poly~dre. est un ensemble compact (C 1. pp.

145-147).

Cet

enae.ble a alore la propriété 48 Bolzano~Weie~atrass (R 2, p. 160), c'est-à-dire qu'il existe au moins un point X et une aous- séquence X

ri trer le tbéorè.e. tous les cas.

telle que lJa ~

1-+ .. 1

f •.

-X. Pour

démon-i l suffit donc de v'rifiér que X - X* dana

"

,

- T(X) • X pour un certain

. r r' r.

do;;'.

. é · '

la sequence ae r pete 8 partir de ce point et

X. X •

Etant

o

•

"

•

f

donn6 que X nlest pas l'un des puit., il découle du théor~­

r

Ile 4.1 que X. XIr.

Autresaent, le théorème 4.2 1IDp lique que

67 •

l(X )

_>

-F(~)

_:>

_F(~)

_>

_•••

_>

l(X )

_>

_{• ••}

>

F(Xfr)

0 r

d'où nous avons

\.0

liJD [F(X,. ) l(T(X

»]

r~oO rI

Or, étant donné que

T

est continu, nous avons

,

Um

T(X )

-

T(X)

1---+ e6 rI

F(X) F(T(X». 0

Par conséquent. le théorème 4.2. 1.IIplique que TOO • X.

Et,' ici encore, si X n'est pas lIun des puits, 11 d~coule

•

•

\

Le aeul ca. qu'il relta

1°

axa.lner •• t celul quand

x •

~ pour un certain k. Suppo.on. que ~ ne .oit pa. la lolution opttmale

X-.

Dan. c. ca •• noua pouvon. trouver un voillnage de diamétre

~

qui .ati.fa.a. le

tbéor~

4.3.

0. plue. la Boul-8équence X_r --. ~

1

t,Ue lorte quo:1 dk(T<l\.»

>

1"

1

peut être choi.l. da

pour tout

_•

Etant donn' que lim d

k( X ) 1~,. ri - 0 et que dk(T(X'» ri

>

~ pour-tout _rapport d k (T(

Xr

>/dk ( \ ) 1 1 1 • 11 ,'enluit que le

n'ait pa'

borné. Ceci

contredit le thèor~.e 4.4~

D'où

~ • X* et 10 th'or~me Olt démontré.

C.Q.F.D.

Nou. citons la critique quo fait Il.W. KUM (k 6) dea

rthultata de Wol.zteld: "The error of Weia,zfeld ~W 1. p. 3.56)'

consista in 19norlng the pO.libillty that aven

if

X l, cho.

o

aon distinct from a11 verticol • • OIH Xr. Tr (X

o) lIIay be

•

•

-

69.

-a vertex. Tbi-a m-ay invalida~e bis arguaenta (V 1. pp. 362-363) where several quotienta are then undefined."

Le ~mbre de fois où la séquence Xi ne converae

p~. vers la lolution opttmale

X*

noua eat donné par le r~

aultat suivant:

Théorème 4.6 X

r • {(Xo) converge vers Xl' sauf pour un nombre dénombrable de po~nt X

o•

Démonstration Nous savons par le théorème précédent que li aucun X_r n'est un des puits, alors la séquence X_r converge ver.

1*.

D'autre pert nous avons un nombre fini de point X

o elt l'un de. puits. Donc, pour,

pour un certain i-l.2 ••

~n!