COURS 13 ESPACES VECTORIELS NORMES 2020 2021

(1)

173

CHAPITRE 13

ESPACES VECTORIELS NORM´

ES

DE DIMENSION FINIE

⊙

La topologie générale est une branche des mathématiques qui fournit un vocabulaire et un cadre général pour traiter des notions de limite, de continuité, et de voisinage. Les espaces topologiques forment le socle conceptuel permettant de définir ces notions. Elles sont assez générales pour s’appliquer à un grand nombre de situations différentes : ensembles finis, ensembles discrets, espaces de la géométrie euclidienne, espaces numériques et matriciels, espaces fonctionnels plus complexes, mais aussi en géométrie algébrique.

La topologie générale définit le vocabulaire fondamental. Elle possède deux prolongements importants, permettant une analyse plus approfondie encore de la notion générale de forme : la topologie différentielle, généralisant les outils de l’analyse classique (dérivée, champs de vecteurs, etc.) et la topologie algébrique, introduisant des invariants calculables tels que les groupes d’homologie.

Un exemple fondamental est celui des espaces métriques, ensembles (de points) au sein desquels une notion de distance entre les éléments de l’ensemble est définie. Tout espace métrique est canoniquement muni d’une topologie. Les espaces métrisables sont les espaces topologiques obtenus de cette manière. L’exemple correspondant le plus à notre expérience intuitive de l’espace est l’espace affine euclidien à trois dimensions : la distance entre deux points comme la longueur du segment les reliant.

Quand il s’agit d’un espace vectoriel, les topologies sont souvent (et c’est le cadre ici) associées à des normes où la distance entre deux vecteurs est la norme du vecteur différence. Il y a pléthore d’exemples de ce type dans toutes les branches des mathématiques : espaces numériques, fonctionnels. Développée notamment par David Hilbert et Stefan Banach, cette notion d’espace vectoriel normé est fondamentale en analyse et plus particuli`_{erement en analyse fonctionnelle, avec l’utilisation d’espaces de Banach (toutes} suite de Cauchy converge) tels que les espacesLp.

TABLE DES MATI`

ERES

Partie 1 : normes

- 1 : d´efinitions et exemples. . . .page 174 - 2 : boules, parties born´ees et convexes. . . .page 176 Partie 2 : suites dans un espace vectoriel norm´e

- 1 : suites convergentes. . . .page 178 - 2 : en dimension finie. . . .page 179 Partie 3 : topologie dans un espace vectoriel norm´e

- 1 : ouverts et fermés. . . .page 182 - 2 : intérieur, adhérence et frontière. . . .page 183 Partie 4 : limite et continuit´e ponctuelle

- 1 : limite. . . .page 184 - 2 : continuit´e en un point. . . .page 185 Partie 5 : continuit´e sur une partie

- 1 : applications continues. . . .page 187 - 2 : applications lipschtziennes. . . .page 189 - 3 : applications lin´eaires, multilin´eaires et polynomiales. . . .page 189

(2)

PARTIE 13.1 : NORMES

⊙

La notation K d´esigne soit le corps des nombres r´eels, soit le corps des nombres complexes.

13.1.1 : D´

efinitions et exemples

REMARQUE 13.1 : Dans chaque espace vectoriel, on a besoin d’outils pour évaluer la “taille” d’un vecteur. En effet dans R nous avons la valeur absolue, dans C le module ou même la norme euclidienne habituelle dans le plan et dans l’espace usuels. Généralisons les propriétés de ces notions.

D ´EFINITION 13.1 :

SoitE un K-espace vectoriel. Une norme sur E est une application N d´efinie sur E et `a valeurs dans R+

v´erifiant les trois axiomes suivants :

(C1) ∀x∈E, N(x) =0=⇒x=0E(axiome de s´eparation),

(C₂) ∀x∈E, ∀λ∈ K, N(λx) =|λ| ×N(x) (homogénéité),

(C3) ∀(x, y)∈E2, N(x+y)6N(x) +N(y) (in´egalit´e triangulaire).

Un espace vectoriel norm´e est un espace vectorielE muni d’une norme.

REMARQUE 13.2 : •N(0E) =N(0.x) =0donc il y a ´equivalence dans l’axiome de s´eparation.

• L’inégalité triangulaire permet aussi de minorer : ∀(x, y)∈E2, |N(x)−N(y)| 6N(x−y)6N(x)+N(y). • En général : ∀n>1, ∀(λ₁,· · ·, λ_n)∈ Kn_, _∀(_x 1,· · ·, xn)∈En, N ( ∑n k=1 λ_kx_k ) 6 ∑n k=1 |λ_k|N(x_k). • Tout sous-espaceFd’un espace vectoriel norméEen est aussi un pour la norme induiteNF:F→ R+

qui est d´efinie comme toute application induite par NF(x) =N(x) seulement six∈F.

REMARQUE HP 13.3 : Soit (E, N) un espace vectoriel norm´e. L’applicationd: (x, y)∈E27→N(y−x) est une distance surE, c’est-`a-dire une application deE2dans R+ telle que :

(C₁) ∀(x, y)∈E2, d(x, y) =0=⇒x=y(s´eparation), (C2) ∀(x, y)∈E2, d(x, y) =d(y, x) (sym´etrie),

(C3) ∀(x, y, z)∈E3, d(x, y)6d(x, z) +d(z, y) (in´egalit´e triangulaire).

• Sidest une distance surE, alors siλ∈ R∗₊, on aλdqui en est aussi une.

• Comme pour les normes, on a l’autre in´egalit´e triangulaire : d(x, z)−d(y, z) 6d(x, y).

• Il y a des distances ne provenant pas de normes : d(x, y) =1six̸=yet0six=y(distance discr`ete).

Normes usuelles sur Kn _{: soit} _x_{= (}_x

1,· · ·, xn)∈ Kn ; on d´efinit trois normes sur Kn en posant :

• ||x||1= n ∑ k=1 |xk| • ||x||2= √ n ∑ k=1

|xk|2 (la norme euclidienne canonique) • ||x||∞= Max 16k6n|xk|.

REMARQUE 13.4 : Soit un espace euclidien E (ou même plus généralement d’un espace préhilbertien réel) avec un produit scalaire (.|.), l’application ||.|| : E → R+ définie par ∀x∈ E, ||x|| =

√

(x|x) est une norme qu’on appelle la norme euclidienne associ´ee `a ce produit scalaire.

EXEMPLE 13.1 : SiEest un K-espace vectoriel de dimension finie,B= (e₁,· · ·, e_n) une base de E, on peut définir (associées àB) trois normes en posant, pour tout vecteurx=x1e1+· · ·+xnen∈E:

N1(x) =||(x1,· · ·, xn)||1= n ∑ k=1 |xk|, N2(x) =||(x1, . . . , xn)||2= √ n ∑ k=1 |xk|2 etN∞(x) = Max 16k6n|xk|.

(3)

NORMES 175

Normes usuelles sur les espaces de fonctions : soitI un ”vrai” intervalle et f:I→ K : • ||f||₁=

∫

I|f(t)|dt(norme de la convergence en moyenne) sur L

1₍_I, _{K) ∩}_C0₍_I,_K).

• ||f||₂= √

_∫

I|f(t)|

2_dt_{(norme de la conv. en moyenne quadratique) sur}_L2₍_I,_{K) ∩}_C0₍_I, _K).

• ||f||_∞=Sup

x∈I|

f(x)| (norme de la convergence uniforme) surB(I, K) (fonctions born´ees).

REMARQUE 13.5 : Exemples de normes sur les polynˆomes : • SiP= n ∑ k=0 akXk ∈ Kn[X], on poseN1(P) = n ∑ k=0 |ak|,N2(P) = √ n ∑ k=0 |ak|2et N∞(P) = Max 06k6n|ak|. • SiP∈ K[X], on pose||P||1=

∫

1 0 |P(t)|dt, ||P||2= √

_∫

1 0 |P(t)| 2_dt_et _||_P_|| ∞= Sup t∈[0;1] |P(t)|.

EXEMPLE 13.2 : V´erifier que ||P|| = Max

t∈[0;1]|P(t)−P

′₍_t₎_{| d´efinit une norme sur R[}_X_].

REMARQUE 13.6 : Exemples de normes surMn(K) : pourA= (ai,j)16i,j6n, on a les trois normes :

N₁(A) = ∑ 16i,j6n| a_i,j|, N₂(A) =√ ∑ 16i,j6n| a_i,j|2= √ tr(t_AA)_et_N ∞(A) = Max 16i,j6n|ai,j|.

EXERCICE CLASSIQUE 13.3 : SiA= (ai,j)16i,j6n∈Mn(R), on pose ||A||s= Max 16i6n

n

∑

j=1

|ai,j|.

a. Montrer que||.||s est une norme d’alg`ebre : ∀(A, B)∈Mn(R)2, ||AB||s6 ||A||s||B||s.

b. Montrer que siλ∈ C est valeur propre deAalors|λ| 6 ||A||s.

c. Est-ce une norme euclidienne ?

REMARQUE 13.7 : Exemples de normes sur des espaces de suites : • surℓ∞(K), ensemble des suites born´ees : ||(un)||∞=Sup

n∈ N| un|. • surℓ1(K) ={(u_n)∈ KN +∑_∞ n=0 |u_n|<+∞}(suites sommables) : ||(u_n)||₁= +∑_∞ n=0 |u_n|. • surℓ2(K) ={(un)∈ KN +∑_∞ n=0 |un|2<+∞ }

(suites de carr´e sommable) : ||(un)||2=

√

+∑_∞ n=0

|un|2.

EN PRATIQUE : Si on a un espaceEet une applicationN:E→ R+, pour montrer queN est une norme :

• On revient à la définition en montrant la séparation, l’homogénéité et l’inégalité triangulaire. Pour la séparation, les mêmes arguments reviennent toujours :

- la somme (ou maximum) de r´eels positifs est nul si et seulement s’ils sont tous nuls. - un polynˆomeP∈ C_n[X] ayant au moinsn+1racines distinctes est nul.

- une fonctionfcontinue surInon r´eduit `a un point telle que

∫

I|f| =0est nulle.

• On reconnaˆıtNcomme la norme induite surEd’une norme connue.

(4)

13.1.2 : Boules, parties born´

ees et convexes

Soit(E,||.||)un espace vectoriel norm´e, a∈E etr∈ R+ ; on d´efinit :

• la boule ouverte de centrea et de rayon r > 0parB(a, r) ={x∈E | ||x−a||< r}, • la boule ferm´ee de centrea et de rayon r>0 parBf(a, r) =

{

x∈E| ||x−a|| 6r}, • la sph`ere de centrea et de rayon r>0par S(a, r) ={x∈E | ||x−a|| =r}.

B(0E, 1) etBf(0E, 1) sont appel´ees les boules unit´es ouverte et ferm´ee,S(0E, 1) la sph`ere unit´e.

On dit qu’un vecteura∈E est un vecteur unitaire (ou norm´e) si||a|| =1.

REMARQUE 13.8 : • Dans R les boules sont les intervalles born´es ouverts ou ferm´es.

• Dans R2_ou _R3_{, il faut visualiser les boules unit´}_{es pour les normes usuelles introduites pr´}_ec´_edemment.

• Six∈En’est pas le vecteur nul, alors 1

||x||.x(not´e x

||x||) est toujours unitaire. D ´EFINITION 13.5 :

Soit(E,||.||)un espace normé, Aune partie deE et (u_n)_n_{∈ N}∈EN une suite d’éléments deA: • Aest born´ee si∃M∈ R+, A⊂Bf(0E, M) ou encore∃M∈ R+, ∀a∈A, ||a|| 6M.

• (un)n∈ N est born´ee si∃M∈ R+, {un | n∈ N} ⊂Bf(0E, M) ou∃M∈ R+, ∀n∈ N, ||un|| 6M.

REMARQUE 13.9 : • Toutes les boules sont bornées. • Toute partie d’une partie bornée est elle-même bornée.

• Une partie est bornée si et seulement si elle est contenue dans une boule de centre quelconque. • Toute réunion de2parties bornées (ou d’un nombre fini de parties bornées) est bornée. • Toute suite extraite d’une suite bornée est elle-même bornée.

• On peut prendre les boules ouvertes dans les définitions précédentes (de rayonM > 0). EN PRATIQUE : SoitAune partie de Eet (u_n)_n_{∈ N}une suite d’élément deE, pour montrer que :

•Aest born´ee, on peut trouverM>0tel que∀x∈A, ||x|| 6M. •Ane l’est pas, il suﬃt de trouver (x_n)_n_{∈ N}∈ANtelle que lim

n→+∞||xn|| = +∞.

• (un)n∈ N est born´ee, on peut trouverM>0tel que∀n∈ N, ||un|| 6M.

• (un)n∈ N ne l’est pas, il suﬃt de trouver (u_φ(n))n∈ N telle que lim

n→+∞||uφ(n)|| = +∞.

EXEMPLE 13.4 : Justifier queH={(x, y)∈ R2_|_x2₋_y2₌₁}_{(hyperbole) n’est pas born´}_ee.

SoitEun espace vectoriel etCune partie deE, on dit queCest un convexe (ou que c’est une partie convexe deE) si : ∀(x, y)∈C2, ∀t∈ [0;1], tx+ (1−t)y∈C (autrement dit [x;y]⊂C).

(5)

NORMES 177 REMARQUE FONDAMENTALE 13.10 : Dans R, c’est un théorème classique que les convexes sont exactement les intervalles et il y en a10types (a,bréels eta < b) : [a;a] ={a} (singleton), [a;b] (”vrai” segment), ]a;b], [a;b[, ]a;b[, [a; +∞[, ]a; +∞[, ] − ∞;b], ]− ∞;b[ et R =] − ∞; +∞[.

PROPOSITION SUR LES PROPRI ´ET ´ES DES CONVEXES 13.1 :

Dans un espace quelconque, l’intersection de deux convexes est encore un convexe. Plus g´en´eralement, toute intersection d’un nombre fini de convexes en est encore un.

Dans un espace vectoriel norm´e, toute boule est convexe.

EN PRATIQUE : SoitCune partie deE, pour montrer que :

•Cest convexe, on peut ´etablir que si (x, y)∈C2et t∈ [0;1] : tx+ (1−t)yest dans C. •Cest convexe, on peut constater que c’est un sous-espace deE.

•Cest convexe, on peut le voir comme l’intersection de deux convexes. •Cest convexe siE= R, montrer queCest un intervalle.

•Cn’est pas convexe, trouverx̸=ydansCett∈]0;1[ tels quetx+ (1−t)y /∈C.

Soit(E,||.||) un espace vectoriel normé, X un ensemble quelconque etf:X→E ; on dit que f est bornée sur X sif(X) est une partie bornée deEc’est-à-dire si∃M∈ R+, ∀x∈X, ||f(x)|| 6M.

On note B(X, E) l’ensemble des applications born´ees surX et `a valeurs dansE.

PROPOSITION SUR LA NORME INFINIE 13.2 :

Soit(E,||.||)un espace vectoriel normé etXun ensemble quelconque non vide, alors B(X, E) est un espace vectoriel normé pour la norme infinie définie par : ∀f∈B(X, E), ||f||_∞=Sup

x∈X||f(x)||.

REMARQUE 13.11 : B(X,K) est une K-alg`ebre et, sifetgsont born´ees surX: ||f×g||_∞6 ||f||_∞||g||_∞.

EXEMPLE 13.6 : Calculer||sin||_∞,||cos||_∞,||sin+cos||_∞et ||sin×cos||_∞.

EN PRATIQUE : Soit une fonction f:X→E, pour montrer que : •fest born´ee, on peut trouverM>0tel que∀x∈X, ||f(x)|| 6M.

• f= (f₁,· · ·, f_n) (fonctions coordonnées dans une baseB= (e₁,· · ·, e_n) de E supposé de dimension finie) est bornée, établir que chaquefk est bornée pourk∈ [[1;n]].

•fn’est pas born´ee, il suﬃt de trouver (xn)n∈ N∈XNtelle que lim

n→+∞||f(xn)|| = +∞.

EXEMPLE 13.7 : Justifier que la fonction f : R∗ → R définie par f(x) = 1 xsin ( 1 x ) n’est pas bornée sur son ensemble de définition.

(6)

PARTIE 13.2 : SUITES DANS UN EVN

ORAL BLANC 13.8 : Centrale PSI 2014 Valentine. Calculer lim

n→+∞ 1 n ( 2n∏ k=n+1 k )1 n .

EN PRATIQUE : Soit (un)n∈ Nune suite r´eelle, pour montrer que (quand l’ordre est essentiel) :

• (un)n∈ N est croissante, on ´etablitun+1−un>0ou

u_n+1

u_n >1(si∀n∈ N, un > 0). • (u_n)_n_{∈ N} converge, on trouve (v_n)_n_{∈ N}, (w_n)_n_{∈ N}qui tendent versℓ avecv_n 6u_n6w_n. • (un)n∈ N converge, on prouve que (un)n∈ Nest croissante et major´ee.

• (un)n∈ N tend vers +∞, on trouve (vn)n∈ Nqui tend vers +∞ et telle quevn 6un.

REMARQUE 13.12 : Il faut aussi se souvenir de l’´etude des :

- suites r´ecurrentes d’ordre1d´efinies paru₀∈ R et ∀n∈ N, u_n+1=f(u_n).

- suites récurrentes linéaires d’ordre2définies par∀n∈ N, u_n+2+au_n+1+bu_n =0avec (a, b)∈ C2_.

EXERCICE CONCOURS 13.9 : Centrale PSI 2014 Servane.

Soit la suite (u_n)_n_{∈ N}d´efinie paru₀=0et u_n+1=cos(u_n). a. Montrer que (u_n)_n_{∈ N}converge. On noteℓsa limite. b. La s´erie ∑

n>0

(u_n−ℓ) est-elle absolument convergente ?

13.2.1 : Suites convergentes

Soit(E,||.||) un espace vectoriel norm´e, (un)n∈ N∈EN une suite de vecteurs deE et ℓ∈E. On dit que la

suite (u_n)_n_{∈ N} converge versℓ (ou tend versℓ) si lim

n→∞||un−ℓ|| =0(en tant que suite `a valeurs r´eelles) ;

c’est-`a-dire si∀ε > 0, ∃n0∈ N, ∀n>n0, ||un−ℓ|| 6ε.

Si (un)n∈ Nadmet une limite dans E, on dit que la suite (un)n∈ N est convergente.

Dans le cas contraire, on dit que la suite (un)n∈ N est divergente.

REMARQUE 13.13 : • On peut remplacer ||u_n−ℓ|| 6εpar||u_n−ℓ||< ε sans changer la notion. • Par contre, on ne peut pas prendreε=0sinon on ne garde que les suites stationnaires.

PROPOSITION SUR L’UNICIT ´E DE LA LIMITE DES SUITES 13.3 :

Soit (un)n∈ N une suite deEN convergente, le vecteur ℓ de la d´efinition est alors unique.

Si (u_n)_n_{∈ N}une suite convergente de EN, on note lim

n→∞un=ℓ∈E la limite de la suite (un)n∈ N. EXERCICE 13.10 : SoitA=  22 −−23 12 3 −6 4  . Calculer lim n→+∞ An n . Indication : calculer (A−I3) 2_.

REMARQUE 13.14 : La nature et la limite de la suite (un)n∈ N d´ependent de la norme.

EXEMPLE 13.11 : Dans R[X] muni des deux normesN₁(P) =

+∑∞ k=0 |a_k| et N_∞(P) =Max k∈ N|ak|, si on posePn= 2n ∑ k=n+1 Xk

(7)

SUITES DANS UN EVN 179

Soit(E,||.||)un espace vectoriel norm´e et (un)n∈ N et (vn)n∈ N dansEN, on dit que (vn)n∈ N est une suite

extraite de (u_n)_n_{∈ N} s’il existeφ: N → N strictement croissante telle que : ∀n∈ N, v_n =u_φ(n).

REMARQUE 13.15 : Une application φcomme ci-dessus v´erifie par r´ecurrence : ∀n∈ N, φ(n)>n.

PROPOSITION : TOUTE SUITE CONVERGENTE EST BORN ´EE ET CONVERGENCE

DES SUITES EXTRAITES D’UNE SUITE CONVERGENTE 13.4 : Soit (un)n∈ N une suite convergente deEN, alors (un)n∈ N est born´ee.

Toute suite extraite d’une suite convergente converge vers la mˆeme limite.

REMARQUE 13.16 : En pratique, on montre souvent qu’une suite est divergente en trouvant deux de ses suites extraites qui convergent vers des limites diﬀ´erentes.

La r´eciproque de la premi`ere proposition est fausse avec (un)n∈ N=

( (−1)n)

n∈ Nqui est divergente.

PROPOSITION OP ´ERATOIRE SUR LES LIMITES 13.5 : Soit(E,||.||) un espace vectoriel norm´e :

• Si (un)n∈ N et (vn)n∈ N sont deux suites de EN convergentes et (α, β)∈ K2, alors la suite

(αun+βvn)n∈ N converge et lim n→+∞ ( αun+βvn ) =α( lim n→+∞un ) +β( lim n→+∞vn ) .

• Si la suite de vecteurs (u_n)_n_{∈ N}∈EN et la suite de scalaires (λ_n)_n_{∈ N}∈ Kn _convergent,

alors (λ_nu_n)_n_{∈ N} aussi et lim

n→∞λnun= ( lim n→∞λn ) ×( lim n→∞un ) .

• L’ensemble des suites convergentes deENest un sous-espace vectoriel deENsur lequel l’application lim

n→+∞: (un)n∈ N7→n→+∞lim un est lin´eaire.

REMARQUE 13.17 : • Les limites infinies n’ont de sens que pour les suites à valeurs réelles. • Les produits et quotients de suites n’ont pas de sens pour deux suites à valeurs vectorielles. • Ne pas écrire lim

n→∞(un+vn) =nlim→∞un+nlim→∞vn sans v´erifier que (un)n∈ Net (vn)n∈ Nconvergent.

13.2.2 : En dimension finie (c’est le programme)

PROPOSITION SUR LA CONVERGENCE DES SUITES COORDONNE ´ES 13.6 :

Soit E un espace vectoriel norm´e de dimension finie p, B = (e1,· · ·, ep) une base de E, N∞ la

norme infinie associée à cette base, c’est-à-dire N_∞ ( ∑p k=1 xkek ) = Max 16k6p|xk| et (un)n∈ N une suite

de EN telle que, pour tout n∈ N, un= p

∑

k=1

uk(n)ek.

(un)n∈ N converge pourN∞ si et seulement si les psuites

( u1(n) ) n∈ N,· · ·, ( up(n) ) n∈ N convergent.

Dans le cas o`u la suite (un)n∈ N converge pour N_∞, on a lim

n→∞un = p ∑ k=1 ( lim n→∞uk(n) ) ek.

REMARQUE 13.18 : Le probl`eme est de savoir si cette convergence ne se fait que pour cette norme. • SoitN1etN2deux normes surEtelle qu’il existek > 0pour lequel∀x∈E, N2(x)6kN1(x) (on dit

queN1 domineN2). Soit (un)n∈ N∈ENqui tend versℓpourN1alors (un)n∈ Ntend versℓpourN2.

• Ainsi, s’il existe (α, β) ∈ ( R∗₊)2 tels que ∀x ∈ E, αN1(x)6 N2(x) 6βN1(x) et si (un)n∈ N ∈ EN

(8)

(HP) Soit E un espace vectoriel,N1etN2 deux normes surE.

On dit que N1 etN2sont ´equivalentes s’il existe (α, β)∈ ( R+∗)2 tel queαN16N26βN1.

REMARQUE 13.19 : Comme α > 0 et β > 0, on a (αN₁ 6N₂ 6βN₁) ⇐⇒ ( 1 βN2 6N1 6 1 αN1 ) ; l’équivalence entre les normes est symétrique, réflexive et transitive : c’est une relation d’équivalence !!!!!

EXERCICE CLASSIQUE 13.12 : Pourf∈E=C1([0;1],R), on pose N1(f) =||f||∞+||f′||∞ et

N2(f) =|f(0)| + ||f′||∞. Justifier queN1etN2sont deux normes surEet queN1et||.||∞ne sont pas

´equivalentes. Montrer par contre queN1 etN2 le sont.

EXEMPLE FONDAMENTAL 13.13 :

• Comparaison des normes sur Kn _{: on a} _||_x_||

∞ 6 ||x||₁6n||x||_∞, ||x||_∞ 6 ||x||₂ 6√n||x||_∞ et ||x||₂6 ||x||₁6√n||x||₂ (in´egalit´es optimales).

• Comparaison des normes sur C0([a;b],K) : on a ||f||₁ 6√b−a||f||₂, ||f||₁ 6 (b−a)||f||_∞ et ||f||26

√

b−a||f||_∞ mais deux de ces normes ne sont pas ´equivalentes. • Il existe des normes non comparables : sur K[X], les normesN_∞ et||.||1.

REMARQUE 13.20 : SoitEun espace vectoriel muni de deux normes N₁ etN₂ etk∈ R∗₊ : • (N₂6kN₁)⇐⇒(B₁(0_E, 1)⊂B₂(0_E, k))(B₁, B₂d´esignent les boules ouvertes pourN₁, N₂). • (N1domine N2

)

⇐⇒(toute partie born´ee pourN1 est born´ee pourN2

) . • (N1, N2´equivalentes

)

⇐⇒(les parties born´ees pour N1 sont les parties born´ees pourN2

) . On a bien sûr la même équivalence avec les boules fermées.

TH ÉOR ÈME D’ ÉQUIVALENCE DES NORMES EN DIMENSION FINIE 13.7 :

Si E est un espace vectoriel de dimension finie alors toutes les normes surE sont équivalentes. La notion de convergence et les limites des suites ne dépendent pas de la norme employée.

D´emonstration : Hors programme.

SoitEde dimension finiep. Sip=0alors la seule norme surEest l’application nulle.

Sip > 0, soit une baseB= (e1,· · ·, ep)deEetN∞la norme associ´ee. SoitNune autre norme surE. Pourx∈Etel quex=

p ∑ k=1 xkek, on aN(x)6 p ∑ k=1 |xk|N(ek)doncN(x)6βN∞(x)avecβ= p ∑ k=1 N(ek).

Supposons queNne domine pasN_∞:∀α > 0, ∃x∈E, N_∞(x)> αN(x).

Avecα=npourn∈ N, on peut ainsi d´efinir une suite(xn)n∈ N∈ENv´erifiant∀n∈ N, N∞(xn)> nN(xn).

Comme xn ̸= 0E, on peut diviser par N∞(xn)ce qui revient `a supposer ∀n ∈ N, N∞(xn) = 1. Ainsi :

N(xn))< 1

n donc(xn)n∈ Ntend vers0Epour la normeN.

Les suites composantes(x1,n)n∈ N,· · ·,(xp,n)n∈ Nde(xn)n∈ Nsont born´ees carN∞(xn) =1.

Puisque(x1,n)n∈ Nest bornée, d’après le théorème deBolzano-Weierstrass, il existe une suite extraite

(x1,φ1(n))n∈ Nconvergente. Puisque(x2,φ1(n))n∈ Nest born´ee, car extraite de la suite born´ee(x2,n)n∈ N, il

en existe une suite extraite(x2,φ1◦φ2(n))n∈ Nconvergente. De plus, la suite extraite(x1,φ1◦φ2(n))n∈ Nest-elle

aussi convergente car extraite de(x1,φ1(n))n∈ Nd´ej`a convergente.

Ainsi, on a construit une extraction commune aux suites (x_1,n)_n_{∈ N} et (x_2,n)_n_{∈ N} conduisant `a des suites convergentes. En poursuivant ce processus, on peut construire ψ : N → N strictement croissante telle que

(x_1,ψ(n))_n_{∈ N},· · ·,(x_p,ψ(n))_n_{∈ N}convergent.

La suite(x_ψ(n))_n_{∈ N}est alors convergente pour la normeN_∞: posonsℓ= (ℓ₁,· · ·, ℓ_p)sa limite.

Par passage à la limite : N_∞(ℓ) =1. OrN(x)6βN_∞(x)doncN(x_ψ(n)−ℓ)6βN_∞(x_ψ(n)−ℓ)d’où on déduit que la suite(x_ψ(n))n∈ Ntend versℓaussi pour la normeN. Mais on sait déjà que(x_ψ(n))n∈ Ntend vers

(9)

SUITES DANS UN EVN 181

EXEMPLE 13.14 : SoitNune norme surMn(R), montrer que : ∃k∈ R∗+, N(AB)6kN(A)N(B).

EN PRATIQUE : SoitEun espace vectoriel et N₁et N₂ deux normes deE, pour montrer que : •N1etN2sont ´equivalentes, on l’assure siEest de dimension finie.

•N1et N2sont ´equivalentes, on trouveα, β > 0tels que∀x∈E, αN1(x)6N2(x)6βN1(x) (on peut

se restreindre par homogénéité à des vecteurs vérifiantN₁(x) =1).

•N₁et N₂ ne sont pas ´equivalentes, on trouve (x_n)_n_{∈ N}∈EN telle que lim

n→+∞

N2(xn)

N1(xn)

= +∞ (N₁ne domine pasN₂) ou lim

n→+∞

N1(xn)

N₂(x_n) = +∞ (N2ne domine pasN1).

ORAL BLANC 13.15 : SoitE = {f ∈ C1([0;1],R) | f(0) = 0} et N1, N2 les deux applications

d´efinies surE parN1(f) =||f||∞+||f′||∞ et N2(f) =||f+f′||∞. Montrer que ce sont des normes sur

Eet qu’elles sont ´equivalentes. Trouver les constantes optimales.

TH ÉOR ÈME DE PASSAGE PAR LES SUITES COORDONN ÉES 13.8 :

SoitEun espace vectoriel norm´e de dimension finie etB= (e1,· · ·, ep) une base deE, et (un)n∈ N

une suite de EN telle que, pour tout n∈ N, un= p

∑

k=1

uk(n)ek.

Alors (un)n∈ N converge si et seulement si lesp suites (u1(n)

) n∈ N,· · ·, ( up(n) ) n∈ N convergent.

Dans le cas o`u la suite (u_n)_n_{∈ N} converge, on a lim

n→∞un= p ∑ k=1 ( lim n→∞uk(n) ) e_k.

REMARQUE 13.21 : • (zn)n∈ N∈ CNconverge si et seulement si

( Re (zn) ) n∈ Net ( Im(zn) ) n∈ Nle font.

• Une suite de polynˆomes de Kn[X] converge si et seulement si lesn+1suites de coeﬃcients le font.

• Une suite de matrices deMn(K) converge si et seulement si lesn2suites de ses coeﬃcients convergent.

EXERCICE CONCOURS 13.16 : Mines MP.

Calculer, siα∈ R, la limite de (An_n)_n_{∈ N}∗ o`u A_n =  1 − α n α n 1  .

EN PRATIQUE : Soit (un)n∈ Nune suite d’un espaceEnorm´e (on pr´ecise la norme en dimension infinie, on

choisit une norme bien adapt´ee en dimension finie), alors pour montrer que :

• (un)n∈ N converge versℓ, on ´etablit : ∀ε > 0, ∃n0∈ N, ∀n>n0, ||un−ℓ|| 6ε.

• (un)n∈ N converge vers ℓ, montrer que toutes les suites coordonn´ees (dans une certaine base en

dimension finie) convergent vers les coordonn´ees correspondantes deℓ.

• (un)n∈ Ndiverge, trouver une suite extraite qui diverge ou trouver deux suites extraites qui convergent

vers des limites diﬀ´erentes.

• (un)n∈ N converge, exprimerun en fonction d’autres suites vectorielles ou scalaires convergentes et

(10)

PARTIE 13.3 : TOPOLOGIE DANS UN EVN

Phrase magique du programme :

“L’étude topologique d’un espace vectoriel normé de dimensionpse ramène à celle deKp_{muni d’une norme”.}

13.3.1 : Ouverts et ferm´

es

SoitE un espace vectoriel norm´e, Uune partie deE eta∈E, on dit que : • aest un vecteur int´erieur `aUsi∃r > 0, B(a, r)⊂U.

• Uest un ouvert deE (ou queUune partie ouverte de E) si∀a∈U, ∃r > 0, B(a, r)⊂U.

EXEMPLE 13.17 : (R∗₊)2_{est un ouvert de} _R2_norm´_{e par}_||_._|| 2.

REMARQUE 13.22 : • La notion d’ouvert dépend de la norme utilisée dansE(pour définir les boules). • Deux normes équivalentes donnent la même définition d’ouverts (la même topologie).

• En dimension finie, chaque norme permet de définir ce qu’on appelle la topologie des normes. • Uest ouvert si et seulement si tous ses points sont intérieurs à elle-même.

• Les intervalles ouverts de R sont des parties ouvertes. • ∅ et Esont des ouverts deE.

• Sia est intérieur à Aalorsa∈Amais il existe des points deAqui ne sont pas intérieurs à A.

ORAL BLANC 13.18 : SoitE=C0([0;1],R) etU={f∈E |f > 0}.

Est-ce queUest ouvert si on munitE de la norme||.||_∞ ? Et si on choisit la norme||.||₁?

PROPOSITION SUR LES PROPRI ÉT ÉS DES OUVERTS 13.9 : SoitE un espace vectoriel normé.

• Toute boule ouverte est une partie ouverte.

• Toute r´eunion (quelconque) de parties ouvertes deE est une partie ouverte de E. • Toute intersection finie de parties ouvertes deE est une partie ouverte de E.

EXERCICE 13.19 : SoitEun espace vectoriel norm´e et A, Bdeux parties de E. On suppose que Inf

a∈A,b∈B||a−b||> 0. Prouver qu’il existe des ouvertsUetV deEtels queA⊂U,B⊂VetU∩V =∅.

REMARQUE 13.23 : Une intersection quelconque de parties ouvertes peut ne pas ˆetre ouverte.

EXEMPLE 13.20 : Soit ∩ n∈ N∗ B ( 0E, n+1 n )

=Bf(0E, 1) n’est pas un ouvert deE.

SoitE un espace vectoriel norm´e, Fune partie deE eta∈E, on dit que : • aest un vecteur adh´erent `aFsi∀r > 0, B(a, r)∩F̸= ∅.

• Fest un ferm´e deE (ou queFest une partie ferm´ee deE) si son compl´ementaire (dans E) est une partie ouverte deE.

(11)

TOPOLOGIE DANS UN EVN 183 REMARQUE 13.24 : • La notion de fermé dépend donc aussi de la norme employée.

• Mais en dimension finie, pas besoin de préciser la norme choisie. • ∅ et Esont des fermés de E. Toute partie finie est fermée. • Les intervalles fermés de R sont des fermés.

• Il existe des parties ouvertes et ferm´ees et des parties ni ouvertes ni ferm´ees.

• Sia∈Aalorsa est adhérent àAmais il existe des points adhérents àAqui ne sont pas dansA. • SiAest une partie de R non vide et majorée, alorsSup Aest adhérent à A.

PROPOSITION SUR LES PROPRI ÉT ÉS DES FERM ÉS 13.10 : SoitE un espace vectoriel normé.

• Toute boule fermée et toute sphère est une partie fermée.

• Toute réunion finie de parties fermées de E est une partie fermée de E.

• Toute intersection (quelconque) de parties ferm´ees deE est une partie ferm´ee deE.

REMARQUE 13.25 : Une réunion quelconque de parties fermées peut ne pas être fermée.

EXEMPLE 13.21 : Dans le R-espace des fonctionsf: R → R born´ees qu’on munit de la norme ||f||_∞=Sup

x∈ R|

f(x)|, soit l’ensembleCdes fonctionsftelles que∃A∈ R, ∀x>A, f(x) =f(A). Montrer que toute fonction admettant une limité finie en +∞ est adhérente à C.

TH ÉOR ÈME DE CARACT ÉRISATION S ÉQUENTIELLE DES POINTS ADH ÉRENTS ET DES PARTIES FERM ÉES 13.11 :

Soit AetF deux parties d’un espace vectoriel norm´eE et a∈E :

• a est adh´erent `a A si et seulement s’il existe (un)n∈ N∈AN telle que a= lim n→∞un.

• F est ferm´ee si et seulement si toute suite (un)n∈ N∈FN convergente v´erifie lim

n→∞un∈F.

REMARQUE 13.26 :

• Cela ne veut pas dire que toute suite de vecteurs appartenant `a une partie ferm´eeF converge mais que si une telle suite de vecteurs de Fconverge alors sa limite est aussi dansF.

• Ce qui précède signifie que “Fest fermée si et seulement si tout point adhérent àFappartient àF”.

EXEMPLE 13.22 : Montrer que tout ferm´eF d’un espace vectoriel norméE peut s’écrire comme intersection d’une suite décroissante d’ouverts.

13.3.2 : Int´

erieur, adh´

erence et fronti`

ere

SoitE un espace vectoriel norm´e, Aune partie deE, on d´efinit :

• L’intérieur de Acomme étant la partie deE contenant les points intérieurs àA; on la note A◦. • L’adhérence deAcomme étant la partie deE contenant les points adhérents àA; on la noteA. • La frontière deA, notéeFr(A) (ou∂A), par : Fr(A) =A\A◦.

REMARQUE 13.27 : D’après ce qui a été dit précédemment, pour toute partieAdeE: • On a les inclusionsA◦⊂A⊂Aet Fr(A)⊂Aet l’égalitéFr(A)∩A◦=∅.

(12)

PROPOSITION SUR LA TOPOLOGIE DE L’ADH ÉRENCE, DE LA FRONTI ÈRE ET DE L’INT ÉRIEUR 13.12 :

SoitE un espace norm´e, A⊂E : A◦ est ouvert (A◦=

◦ ◦

A), A est ferm´e (A=A), Fr(A) est ferm´e.

EXEMPLE 13.23 : SoitC⊂E un convexe, montrer queCl’est aussi. Le faire aussi pourC◦.

EN PRATIQUE : SoitEun espace vectoriel norm´e etAune partie deE,a∈E, pour montrer que : •Aest ouverte, on prouve que : ∀a∈A, ∃r > 0, ∀b∈E, ||b−a||< r=⇒b∈A.

•Aest ouverte, on l’exprime comme réunion d’ouverts ou intersection finie d’ouverts. •Aest ouverte, on établit (séquentiellement) que son complémentaire est fermé.

• A est ouverte, on trouvef : E → R continue et Uun ouvert de R (habituellement des intervalles ouverts R∗+, R∗₋, ]0;1[ ou ]−1;1[) tels que A=f−1(U).

•Aest fermée, on l’exprime comme intersection de fermés ou réunion finie de fermés. •Aest fermée, on établit que son complémentaire est ouvert.

•Aest fermée, on trouvef:E→ R continue etFun fermé de R (habituellement des intervalles fermés R+, R−, [0;1], [−1;1] ou{0}) tels queA=f−1(F).

•Aest ferm´ee, on prouve que si (u_n)_n_{∈ N}∈ANconverge, alors lim

n→+∞un ∈A.

•aest intérieur à A, on établit qu’il exister > 0tel queB(a, r)⊂A. •aest adhérent àA, on vérifie que∀r > 0, ∃x∈A, ||x−a||< r. •aest adhérent àA, on trouve (un)n∈ N∈ANtelle que lim

n→+∞un =a.

SoitEun espace norm´e, A⊂E, on dit queAest dense dansEsiA=E (la densit´e n’est pas au programme).

EXEMPLE 13.24 : Q et R \ Q sont denses dans R.

SoitEun espace vectoriel normé de dimension finie,Aune partie deE, on dit queAest un compact (ou que Aest une partie compacte), si elle est à la fois fermée et bornée (le mot compact n’est pas au programme).

PARTIE 13.4 : LIMITE ET CONTINUIT´

E PONCTUELLE

13.4.1 : Limite

D ´EFINITION 13.17 : Soit(E,||.||E ) ,(F,||.||F )

deux espaces vectoriels normés,A⊂E, f:A→F,a un point de E adhérent à A, ℓ∈F, on dit queftend versℓ en a si∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x∈A, ||x−a||_E6α=⇒ ||f(x)−ℓ||_F6ε.

REMARQUE 13.28 : • On peut remplacer les inégalités strictes par des larges sans changer la notion. • SiE etFsont de dimensions finies, la convergence defet la limite sont indépendantes des normes.

(13)

LIMITE ET CONTINUIT ´E PONCTUELLE 185

PROPOSITION SUR L’UNICIT ´E DE LA LIMITE DES FONCTIONS 13.13 : Si fadmet une limite en a alors elle est unique.

Avec les notations de la définition précédente, le vecteurℓ est notélim

a f ouxlim→af(x) : limite def en a.

EXEMPLE 13.25 : Soitf: R2_{\ {(}_{0, 0}₎_{} → R d´efinie par}_f₍_{x, y}_{) =} (x+y)(x2−y2)

x2+y2 . D´eterminer la limite de la fonctionfen (0, 0).

Soitf:A→ R, oùAest une partie d’un espace vectoriel norméE, eta un point de Eadhérent àA; (i) lim

a f= +∞ si ∀K∈ R, ∃α > 0, ∀x∈A, ||x−a||E< α=⇒f(x)> K.

(ii) lim

a f=−∞ si ∀K∈ R, ∃α > 0, ∀x∈A, ||x−a||E< α=⇒f(x)< K.

SoitI un intervalle de R, Fun espace vectoriel norm´e, f:I→Fetℓ∈F; (i) Si I n’est pas major´e, lim

+∞f=ℓ si∀ε > 0, ∃K∈ R, ∀x∈I, x > K=⇒ ||f(x)−ℓ||F< ε.

(ii) SiI n’est pas minor´e, lim

−∞f=ℓsi∀ε > 0, ∃K∈ R, ∀x∈I, x < K=⇒ ||f(x)−ℓ||F< ε.

Ce sont les limites infinies ou les limites en l’infini.

REMARQUE 13.29 : Dans la suite, si I est un intervalle non majoré, on dit (par abus) que +∞ est adhérent à I. De même, siI est non minoré, on dit que−∞ est adhérent àI.

13.4.2 : Continuit´

e en un point

SoitAest une partie deE,f:A→F,a∈A, on dit quefest continue en asilim

a f=f(a).

REMARQUE 13.30 : Soit A est une partie de E, f : A → F, a ∈A\A, on suppose que f admet une limite en a, on dit quefest prolongeable par continuit´e en a. La fonction ˜fd´efinie surA∪ {a} par ˜_f₍_x_{) =}_f₍_x_{) si}_x_∈_A_{et ˜}_f₍_a_{) =}_lim

a fest continue ena (prolongement par continuit´e defena).

TH ÉOR ÈME DE CARACT ÉRISATION S ÉQUENTIELLE DE LA LIMITE DES FONCTIONS ET DE LA CONTINUIT É 13.14 :

Soit f:A→F, a adhérent à A etb∈F, alors on a l’équivalence qui constitue la caractérisation séquentielle de la limite : (lim

a f=b ) ⇐⇒(∀(un)∈AN, lim n→+∞un=a=⇒nlim→∞f(un) =b ) .

Soit f : A → F et a ∈ A, alors on adapte pour obtenir la caractérisation séquentielle de la continuité : (f continue en a)⇐⇒(∀(un)∈AN, lim

n→+∞un=a=⇒nlim→∞f(un) =f(a)

) .

EXEMPLE 13.26 : f: R2_{→ R d´efinie par}_f₍_{x, y}_{) =}x2−y2

(14)

PROPOSITION DE CARACT ÉRISATION DE LIMITE PAR LES COORDONN ÉES 13.15 : SoitE etF des espaces vectoriels normés, A⊂E, B= (v1,· · ·, vp) une base deF de dimension p,

f:A→F et, pour k∈ [[1;p]], les applicationsfk:A→ K telles que : ∀x∈A, f(x) = p ∑ k=1 fk(x)vk. Si b∈F, on pose b= p ∑ k=1 bkvk. Alors on a : lim a f=b⇐⇒ ∀k∈ [[1;p]], lima fk=bk.

REMARQUE 13.31 : •dim F=p: l’étude de fsurAéquivaut à l’étude depapplications deAdans K. • Par contre, si E de dimension finie et si B = (e1,· · ·, en) une base de E, l’étude de f : E → F au

voisinage dea=

n

∑

k=1

akekn’est pas équivalente à l’étude desnapplications partiellesfk: K →F(pour

k∈ [[1;n]]) d´efinies parfk(xk) =f(a1e1+· · · +xkek+· · · +anen) au voisinage deak.

EXEMPLE 13.27 : Soitf: R2 _{→ R d´efinie par} _f₍_{x, y}_{) =} xy

x2+y2 si (x, y)̸= (0, 0) et f(0, 0) =0. Alorsfn’est pas continue en (0, 0) malgr´e l’´etude des applications partielles au voisinage de (0, 0).

PROPOSITION 13.16 :

Si f:A→F admet une limite ena adhérent à A alorsfest bornée au voisinage de A, ce qui se traduit par : ∃r > 0, ∃K∈ R+, ∀x∈A, ||x−a||E< r=⇒ ||f(x)||F6K.

Soitf:A→F,a adh´erent `a A,b∈F etφ:A→ R+ telle que||f(x)−b||F6φ(x) au voisinage de a.

On a alors l’implication : lim

a φ=0=⇒lima f=b.

REMARQUE 13.32 : • Cela permet de se ramener à des fonctions de référence grâce aux majorations. • On a même (et grâce à ce qui précède), si lim

a f=b, alorslima ||f||F=||b||F.

PROPOSITION OP ÉRATOIRE SUR LES LIMITES ET LA CONTINUIT É 13.17 : Soitf etg définies deA dans Fet a adhérent à A:

• si f et g admettent des limites (finies) en a alors : ∀(α, β)∈ K2_{, l’application} _αf₊_βg

admet aussi une limite (finie) en a et on a : lim

a (αf+βg) =α lima f+β lima g;

• sif etg sont continues ena alors : ∀(α, β)∈ K2_{, αf}₊_βg_{est aussi continue en} _a_.

Soit E, F et G des espaces vectoriels norm´es, Aune partie de E et B une partie de F, f:A→F etg:B→Gtelles que f(A)⊂B :

• si a est adh´erent `a A,b=lim

a f existe (finie ou non), b est adh´erent `a B et limb g existe

(finie ou non), alors g◦fadmet une limite en a etlim

a g◦f=limb g ;

• sif est continue en a et si gcontinue en f(a) alors g◦f est continue en a. Soitλ:A→ K, f:A→Fet a adh´erent `a A:

• siλet fadmettent des limites (finies) en a alorsλf aussi etlim

a (λf) =lima λ×lima f;

• siλet fsont continues en a alorsλf est continue en a. Soitf:A→ K et a adh´erent `a A :

• si f admet une limite (finie) non nulle en a alors f ne s’annule pas au voisinage de a, 1

f admet une limite ena et lima

1 f = ( lim a f )−1 . • sif est continue en a et si f(a)̸=0 alors 1

f est continue en a.

(15)

CONTINUIT ´E SUR UNE PARTIE 187 REMARQUE 13.33 : Sif:A→F,a∈A, si fest continue ena alors||f||Fest continue ena.

EN PRATIQUE : SoitAune partie de E,f:A→Fet aadh´erent `a Aet b∈F, pour montrer que : •lim

a f=b, on v´erifie que∀ε > 0, ∃α > 0, ∀x∈A,||x−a||< α=⇒ ||f(x)−b||< ε.

•lim

a f=b, on ´etablit que si (un)n∈ N∈A

N_{tend vers}_a_{, alors} _lim

n→+∞f(un) =b.

•lim

a f=b, sidim(F)<+∞,f= (f1,· · ·, fp),ℓ= (ℓ1,· · ·, ℓp), on prouve∀k∈ [[1;p]], lima fk=ℓk.

• lim

a f = b, on utilise les propriétés algébriques des limites en exprimant f différemment ou f est

carrément continue en a∈Apar opérations algébriques etb=f(a).

• f ne tend pas vers b en a, on trouve une suite (u_n)_n_{∈ N} ∈AN qui tend vers a alors que pourtant (

f(un)

)

n∈ N ne tend pas versb.

PARTIE 13.5 : CONTINUIT´

E SUR UNE PARTIE

13.5.1 : Applications continues

SoitE etFdeux espaces vectoriels norm´es,Aune partie deE etf:A→F.

On dit que fest continue sur Asifest continue en tout point (ou vecteur)a deA. On note C0(A, F) l’ensemble des fonctions continues sur Aet `a valeurs dansF.

REMARQUE 13.34 : Le caractère continu ou non des applications dépend des normes employées, mais ne change pas si on prend des normes équivalentes. En dimension finie, cela ne dépend pas des normes.

TH ÉOR ÈME DE CARACT ÉRISATION S ÉQUENTIELLE DE LA CONTINUIT É 13.18 : Soit f:A→F, la fonctionfest continue sur Asi et seulement si pour toute suite (un)∈AN qui

converge vers un vecteur a∈A, on a lim

n→∞f(un) =f(a).

REMARQUE 13.35 : Soit E un espace vectoriel norm´e, f : E → E, et (un)n∈ N d´efinie par u0 ∈ E,

∀n∈ N, un+1=f(un). Si (un)n∈ N converge versℓo`ufest continue alorsf(ℓ) =ℓ (vecteur fixe def).

PROPOSITION OP ´ERATOIRE SUR LA CONTINUIT ´E 1 13.19 :

Si (f, g)∈C0(A, F)2 et (α, β)∈ K2 alors αf+βg∈C0(A, F) (combinaison lin´eaire). AinsiC0(A, F) est un sous-espace vectoriel de F(A, F).

Si f∈C0(A, F), sig∈C0(B, G) et si f(A)⊂B alorsg◦f∈C0(A, G) (composition). Si f∈C0(A, F) et B⊂Aalorsf|B ∈C0(B, F) (restriction).

Si f∈C0(A, F) alors ||f|| ∈C0(A,R) (norme).

(16)

PROPOSITION DE CONTINUIT ´E PAR LES FONCTIONS COORDONN ´EES 13.20 :

SoitAune partie d’un espace vectoriel normé,Fun espace vectoriel normé de dimension finie p et B= (e₁,· · ·, e_p) une base de F. Si f:A→F, on note f₁,· · ·, f_p les applications deA dans K définies par ∀x∈A, f(x) =

p

∑

k=1

fk(x)ek. Alors on dispose de l’´equivalence suivante :

(

f est continue sur A)⇐⇒(f₁,· · ·, f_p sont continues sur A).

PROPOSITION OP ´ERATOIRE SUR LA CONTINUIT ´E 2 13.21 :

Si λ∈C0(A,K) et f∈C0(A, F) alorsλf∈C0(A, F) (multiplication par un scalaire). Si λ∈C0(A,K) et µ∈C0(A,K) alorsλµ∈C0(A,K) (produit de fonctions scalaires). Par cons´equent : C0(A,K) est une sous-alg`ebre deF(A,K).

Si f∈C0(A,K) v´erifie ∀x∈A, f(x)̸=0alors 1 f ∈C

0₍_A,_{K) (inverse d’une fonction scalaire).}

EXEMPLE 13.28 : f: R3_{→ R d´efinie par}_f₍_{x, y, z}_{) =}ln(1+y2x2)

√

z2_y4₊₁

cos(xy2) +ez+1 est continue. REMARQUE HP 13.36 : Soit Eun espace vectoriel norm´e etf:E→Fune application continue surE:

• SiUest un ouvert deFalorsf−1(U) est un ouvert deE. • SiV est un ferm´e deFalorsf−1(V) est un ferm´e deE.

Ce théorème est hors programme, on utilisera seulement sa conséquence essentielle au programme. TH ÉOR ÈME SUR LES IMAGES R ÉCIPROQUES PAR UNE APPLICATION R ÉELLE CONTINUE D’OUVERTS OU DE FERM ÉS 13.22 :

Soit E un espace vectoriel norm´e,f:E→ R une application continue surE eta∈ R : • f−1( ]a; +∞[) et f−1( ]− ∞;a[) sont des ouverts deE.

• f−1({a}), f−1([a; +∞[) et f−1( ]− ∞;a]) sont des ferm´es de E.

REMARQUE 13.37 : Cette propriété est fausse pour les images directes : • cosest continue sur R etcos(]−π;π[)=]−1;1] n’est pas ouvert. • La fonctionth est continue sur R etth(R) =] −1;1[ n’est pas fermé.

EXERCICE 13.29 : L’ensembleSdes matrices stochastiques de Mn(R) (tous ses coeﬃcients

sont entre0et 1et la somme de toutes les colonnes vaut1) est un compact. REMARQUE HP 13.38 :

SoitEet Fdeux espaces vectoriels norm´es de dimensions finies,A⊂Eet f:A→Fcontinue. Si Kest une partie compacte deEtelle que K⊂Aalorsf(K) est une partie compacte deF.

Ce gros théorème est hors programme, on se concentrera sur sa conséquence essentielle au programme. TH ÉOR ÈME DES BORNES ATTEINTES POUR UNE FONCTION R ÉELLE SUR UN COMPACT ( ÉNORME) 13.23 :

Si E est un espace vectoriel de dimension finie,A⊂E et f:A→ R continue sur AetK⊂Aune partie compacte de E (K̸= ∅) : Min

K f etMaxK fexistent (“fest born´ee et atteint ses bornes”).

(17)

CONTINUIT ´E SUR UNE PARTIE 189 REMARQUE 13.39 :

• Un corollaire : si E est un espace vectoriel de dimension finie, A ⊂ E et f : A → F (o`u F est de dimension quelconque) etK⊂Aune partie compacte deE(K̸= ∅) : Min

K ||f||Fet MaxK ||f||Fexistent.

• Une autre application classique : si K est une partie compacte de E (espace vectoriel de dimension finie) etf:K→ R∗+ est continue surKalors il existeα > 0tel que ∀x∈K, f(x)>α.

13.5.2 : Applications lipschitziennes

Soitf:A→F, oùAest une partie d’un espace vectoriel normé E,Fun espace normé et k∈ R+.

On dit que festk-lipschitzienne si∀(x, y)∈A2, ||f(x)−f(y)||F6k||x−y||E.

On dit que fest lipschitzienne s’il existek>0tel quefsoit k-lipschitzienne.

REMARQUE 13.40 : • Bien sûr, la constante de Lipschitz dépend des normes employées. • Par contre, le caractère lipschitzien ne dépend pas des normes équivalentes choisies.

EXEMPLE 13.30 : • L’applicationx7→ ||x|| deE dans R est1-lipschitzienne. • Les applicationsck: (x1,· · ·, xn)∈ Kn7→xksont 1-lipschitziennes pour||.||∞.

EXERCICE CLASSIQUE 13.31 : SoitEun espace vectoriel norm´e de dimension finie,Aest une partie non vide deEetx∈E, on posed(x, A) =Inf({||x−a|| | a∈A}).

a. Montrer l’applicationd:x∈E7→d(x, A) est 1-lipschitzienne. b. ´Etablir que : x∈A⇐⇒d(x, A) =0.

c. Justifier que siAest ferm´ee, il existe un vecteura0∈Atel qued(x, A) =||x−a0||.

PROPOSITION SUR LES APPLICATIONS LIPSCHITZIENNES 13.24 : Si f,g sont lipschitziennes sur A: ∀(α, β)∈ K2_, ₍_αf₊_βg_{) est lipschitzienne sur} _A_.

Si fest lipschitzienne sur A, glipschitzienne sur B,f(A)⊂B : g◦f est lipschitzienne sur A.

REMARQUE 13.41 : Le produit d’applications lipschitziennes n’est pas toujours lipschitzienne.

EXEMPLE 13.32 : id_R est1-lipschitzienne maisx7→x2ne l’est pas (mais pourtant continue). TH ÉOR ÈME DE CONTINUIT É D’UNE APPLICATION LIPSCHITZIENNE 13.25 : Si f est lipschitzienne sur A alorsfest continue sur A.

EXEMPLE 13.33 : La fonctionf:x→ex est continue mais pas lipschitzienne de R dans R.

13.5.3 : Applications lin´

eaires, multilin´

eaires et polynomiales

REMARQUE HP 13.42 : Seule la continuité en dimension finie est au programme, mais pour information soit(E,||.||_E),(F,||.||_F)deux espaces vectoriels normés avecE̸= {0_E},f∈L(E, F), il y a équivalence de :

(i) fest continue surE. (ii) fest continue en0E.

(iii) Il existek∈ R+ tel que ∀x∈E, ||f(x)||F6k||x||E.

(iv) fest lipschitzienne surE.

Si fest continue, on d´efinit sa norme subordonn´ee `a ||.||_E et||.||_Fpar|||f||| = Sup

x∈E\{0E}

||f(x)||F

(18)

ORAL BLANC 13.34 : On pose iciE=C0([0;1],R)qu’on munit de la norme||.||1:

• Montrer queF:E→ R d´efinie par ∀f∈E, F(f) =

1

∫

0

f(t)φ(t)dtavecφ∈E est continue. • Justifier queG∈L(E) n’est pas continue si G(f) =gavecg(x) =f(x)−f(0).

TH ÉOR ÈME DE CONTINUIT É DES APPLICATIONS LIN ÉAIRES EN DIMENSION FINIE ( ÉNORME) 13.26 :

Soit (E,||.||E

)

un espace norm´e de dimension finie, (F,||.||F

)

un espace norm´e de dimension quelconque. Toute application lin´eaire deE vers Fest lipschitzienne donc continue.

REMARQUE FONDAMENTALE 13.43 : En dimension finie, tout sous-espace vectoriel est fermé. REMARQUE HP 13.44 : Avec les hypothèses du théorème ci-dessus, sif∈L(E, F), on a même mieux : |||f||| = Max

||x||E=1

||f(x)||F. C’est-`a-dire : ∃x̸=0E∈E, ||f(x)||F=|||f||| × ||x||E.

EXEMPLE 13.35 : P∈GL_n(K) alors f∈L(M_n(K))d´efinie parf(M) =P−1MP est continue.

EXERCICE 13.36 : Soitf∈ ( Rn)∗ et A= (ai)16i6n∈M1,n(R) sa matrice dans la base

canon-ique, ce qui signifie quef(x1,· · ·, xn) =a1x1+· · · +anxn, alorsfest continue sur Rn et :

• si Rn _{est muni de}_||_._|| ∞, alors|||f|||_∞= n ∑ i=1 |ai| = ||a||1. • si Rn _{est muni de}_||_._|| 1, alors|||f|||1= Max 16i6n|ai| = ||a||∞. • si Rn _{est muni de}_||_._|| 2, alors|||f|||2= √ n ∑ i=1 |ai|2=||a||2. REMARQUE HP 13.45 :

• Soit E un espace vectoriel norm´e de dimension finie et F un espace vectoriel quelconque, alors l’applicationf∈L(E, F)7→ |||f||| est une norme surL(E, F).

• Soit Eet Fdeux espaces vectoriels de dimensions finies, Gun espace vectoriel norm´e (de dimension quelconque),f∈L(E, F) etg∈L(F, G) alors on a : |||g◦f||| 6 |||g||| × |||f|||.

• Si E est un espace vectoriel normé de dimension finie alors, d’après ce qui précède, l’application f7→ |||f||| est une norme d’algèbre surL(E).

PROPOSITION 13.27 :

SoitE,F etGtrois espaces vectoriels norm´es de dimensions finies et B:E×F→Gbilin´eaire : • Il existe k∈ R+ tel que ∀(x, y)∈E×F, ||B(x, y)||G6k× ||x||E× ||y||F.

• Best continue sur E×F.

REMARQUE 13.46 : • L’applicationφ:Mn(K)2→Mn(K) d´efinie parφ(A, B) =ABest continue.

• L’applicationθ:L(E)2_→_L₍_E_{) d´}_{efinie par}_θ₍_{u, v}_{) =}_u_◦_v_{est continue si}_E _{de dimension finie.}

• L’applicationψ:K×E→E telle queψ(λ, x) =λxest continue siEest de dimension finie. • Tout produit scalaire sur un espace euclidien est continu.

Soit p>1, F,E₁,· · ·, E_p des espaces vectoriels norm´es. Alors f: E₁× · · · ×E_p→ Fest dite p-lin´eaire si pour tout k ∈ [[1;p]] et tout p−1-uplets (x1,· · ·, xk−1, xk+1, . . . , xp) ∈ E1× · · · ×Ek−1×Ek+1× · · · ×Ep,