Le processus d'évaluation des probabilités subjectives

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Le processus d’évaluation des probabilités

subjectives

Mémoire

Marc-Antoine Brouillette

Maîtrise en Économique

Maître ès arts (M.A.)

Québec, Canada

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Résumé

Ellsberg (1961) a été l’un des premier à démontrer que les prises de décision en ambi-guïté sont mal comprises. Le manque d’informations sur les probabilités des résultats possibles affecte le comportement des individus. Dans ce genre d’environnement, cer-tains individus ont recourt à des heuristiques afin d’évaluer les probabilités de manière subjective. Nous proposons donc un modèle empirique exprimant le processus d’éva-luation et de mises à jours des croyances basé sur le théorème de Bayes. À l’aide de données expérimentales, nous avons pu estimer le modèle et ainsi dégager certains types de comportement. Nous avons, entre autre, découvert que le niveau d’ambiguïté liées aux probabilités avait un effet sur le processus d’évaluation des probabilités subjectives. Enfin, selon nos résultats, seulement 10 % des participants se sont comportés comme le prédirait la règle de Bayes, dont plusieurs autres études prennent pour acquis.

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Table des matières

Résumé iii

Table des matières v

Liste des tableaux vii

Liste des figures ix

Remerciements xi

Introduction 1

1 Revue de la littérature 5

1.1 Environnement de l’incertitude . . . 5

1.2 Théorie de la décision en ambiguïté . . . 7

2 Protocole expérimental 13

2.1 Détails administratifs . . . 13

2.2 L’expérience . . . 13

3 Le modèle et les données 17

3.1 Les données . . . 17

3.2 Le théorème de Bayes et le modèle empirique . . . 19

4 Résultats 21

4.1 Interprétation des paramètres et des comportements . . . 21

4.2 Estimation agrégée . . . 23

4.3 Résultats individuels . . . 24

Conclusion 33

Bibliographie 35

A Résultats de l’estimation individuelle 37

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C Simulation par type de comportement 45

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Liste des tableaux

1.1 L’expérience de Daniel Ellsberg à trois couleurs . . . 6

4.1 Résultats de l’estimation agrégée . . . 23

4.2 Résumé des périodes de convergence par catégorie de comportement . . . 27

A.1 Les résultats de l’estimation des paramètres individuels pour tous les

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Liste des figures

2.1 Interface de l’expérience . . . 14

2.2 À gauche, les croyances du participant et à droite l’histogramme pour chaque intervalle de profits . . . 15

2.3 Niveau d’ambiguïté différent . . . 16

4.1 Histogramme et dispersion des paramètres individuels . . . 25

4.2 Dispersion et classement des participants . . . 26

4.3 Période de convergence en fonction des paramètres . . . 28

4.4 Comparaison des périodes de convergence entre les résultats de la simu-lation et ceux de l’expérience par type de comportement. . . 29

4.5 La différences entres les périodes de convergence et ceux prédit par le modèle pour chacun des participants. . . 30

4.6 Distribution des périodes de convergence . . . 30

B.1 Évolution des probabilités subjectives du participant ID = 20319 . . . . 41

C.1 Bayesiens (βµ= βπ = 1) . . . 45

C.2 Sur-Bayesiens (βµ= βπ = 1.5) . . . 46

C.3 Sous-Bayesiens (βµ= βπ = 0.85) . . . 46

C.4 Un participant ayant les paramètres βµ= 1 et βπ = 0.5 . . . 47

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Remerciements

J’aimerai sincèrement remercier mes directeurs de recherche Charles Bellemare et Sa-bine Kröger. Les divers échanges que nous avons eu sur le sujet entourant ce mémoire m’ont aidé à progresser dans ma réflexion et ma compréhension. Leurs précieux conseils et le respect que j’avais envers eux ont fait de moi un meilleur étudiant. Je suis gran-dement reconnaissant pour la patience et la confiance qu’ils ont eu envers moi.

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Introduction

Plusieurs de nos décisions sont prises dans un environnement où l’on ne connaît pas initialement le résultat final. La compréhension de ces choix est essentielle en science économique. La théorie de la décision actuelle distingue deux environnements où les résultats de nos actions sont incertains. Le risque est caractérisé par la connaissance des probabilités de chaque résultat possible tandis que ces probabilités sont inconnues en incertitude. Von Neumann et Morgenstern (1947) ont développé le modèle d’utilité espérée pour représenter les décisions prises en environnement risqué. Les choix en in-certitude ont quant à eux été modélisés dans un premier temps par la théorie de l’utilité subjective développée par Savage (1954). Ce type d’utilité modélise le comportement des individus en incorporant leurs préférences ainsi que leurs croyances subjectives concernant les résultats possibles. Pour ce faire, les croyances des individus doivent respecter certaines hypothèses afin de pouvoir être exprimées par des probabilités sub-jectives. À l’aide de pari sur les tirages dont les probabilités des résultats possibles sont inconnues, Ellsberg (1961) a démontré que les choix de certains individus ne concor-daient pas avec les prédictions du modèle de l’utilité espérée subjective. Selon Ellsberg, cette incapacité serait causée par une aversion envers le manque d’information à propos des probabilités des résultats. Ce manque d’information ne permettrait donc pas aux individus de pouvoir estimer subjectivement les probabilités de chaque résultat pos-sible. Il définit donc l’ambiguïté comme un environnement incertain où les croyances de certains individus ne peuvent pas être exprimées de manière cohérente à l’aide de probabilités. Plusieurs études ont d’ailleurs montré que ce manque d’informations avait des effets importants sur le comportement des individus. Par exemple, Becker (1964) ont montré qu’une majorité de participants étaient averses à l’ambiguïté et que certains participants étaient prêts à payer jusqu’à 72 % de la valeur espérée d’une loterie afin de connaître les probabilités des résultats possibles.

Depuis, plusieurs recherches se sont penchées sur le sujet afin de mieux comprendre le fonctionnement des prises de décisions dans ce type d’environnement. Pour ce faire,

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plusieurs chercheurs ont développé des modèles de décision afin de représenter les choix des individus en ambiguïté. Halevy (2007) a testé les principaux modèles de décisions existants en laboratoire. Bien que plus de 80% des participants ont démontré des signes d’aversion à l’ambiguïté, aucun modèle développé jusqu’alors n’a pu expliquer l’en-semble des comportements de son étude. Celui développé par Klibanoff (2009) amène une dimension supplémentaire aux modèles de décisions existants. En intégrant la règle de Bayes afin de prédire les croyances des participants, ce modèle permet de modéli-ser l’estimation des probabilités subjectives par l’individu. Ce modèle permet aussi de représenter les situations où les croyances des individus peuvent évoluées à travers le temps.

La grande majorité des modèles de décision en incertitude prédisent que les choix sont pris en fonction des préférences de l’individu et des croyances de celui-ci sur les différents résultats possibles. Afin de comprendre et de modéliser les décisions prises en environ-nement d’ambiguïté, il est primordial de comprendre le processus derrière l’évaluation subjective des probabilités de la part des individus. Ce mémoire s’intéresse donc au processus de détermination des probabilités subjectives de la part des individus. Plus précisément, nous tenterons de comprendre comment se forment les probabilités sub-jectives ainsi que les facteurs qui les font évoluées à l’aide d’une expérience conduite au Laboratoire d’économie expérimentale de l’Université Laval. Pour ce faire, nous pro-posons une expérience en contexte dynamique où les participants observent les profits d’une compagnie fictive et doivent prédire, parmi un ensemble de trois distributions, laquelle génère les profits.

Plusieurs études tiennent pour acquis que les individus estiment les probabilités des résultats comme le ferait le théorème de Bayes. Cependant, nous pensons que comme les préférences, la manière dont les probabilités subjectives sont déterminées peut diffé-rer d’un individu à un autre. En s’inspirant de la règle de Bayes, notre modèle permet de prédire que les probabilités subjectives sont formées à la suite d’une pondération entre les croyances initiales (probabilité a priori ) et l’information qu’ils reçoivent. Nous pensons d’ailleurs que cette pondération est spécifique à chaque individu. En analy-sant la pondération spécifique à chaque participant, nous avons pu dégager plusieurs conclusions.

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La suite de ce mémoire est séparée en quatre chapitres. Le premier chapitre fait une revue de la littérature nécessaire à la compréhension du sujet. Le chapitre 2 porte sur le protocole expérimental et présente l’expérience en détail. Le chapitre suivant fait un survol des données recueillies lors de l’expérience et présente dans les détails notre modèle. Enfin, le dernier chapitre expose les résultats et les conclusions de notre étude.

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Chapitre 1

Revue de la littérature

Ce chapitre fait une revue de la littérature pertinente pour la suite de ce mémoire. La première section distingue formellement les différents environnements de la prise de décisions. Nous présentons ensuite les principales recherches développées en ambiguïté à la suite des travaux d’Ellsberg (1961).

1.1 Environnement de l’incertitude

La théorie actuelle distingue deux dimensions à la prise de décision en incertitude. Le risque, lorsque les probabilités des résultats sont connues et l’incertitude lorsqu’elles sont inconnues.

1.1.1 Risque et Incetitude

Une décision est prise en environnement risqué lorsque les probabilités de chaque ré-sultat possible d’un choix sont connues. Nous devons cette distinction à Knight qui a été le premier à discerner formellement le risque de l’incertitude. Von Neumann et Morgenstern (1947) ont développé le modèle de l’utilité espérée afin de modéliser les choix faits en environnement risqué. Ils avancent que l’utilité d’un individu pour un évènement risqué peut être représentée par une pondération probabiliste objective des utilités de chacun des résultats possibles. Savage (1954) apporta une extension au modèle de l’utilité espérée pour les choix dont les probabilités des résultats sont in-connues. Il axiomatise l’utilité de l’agent, où les probabilités, contrairement au modèle de l’utilité espérée, peuvent être exprimées de manière subjective. Pour ce faire, plu-sieurs hypothèses sur le comportement de l’individu doivent être respectées afin que ses croyances puissent être représentées par des probabilités. L’une d’entre elles est

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l’hypo-thèse du "sure-thing principle". Cette hypol’hypo-thèse stipule qu’en comparant deux choix, par exemple, des conséquences communes à ces choix ne doivent pas influencer les pré-férences de l’individu. En se faisant, cette hypothèse permet à l’individu d’exprimer ses croyances à l’aide de probabilités dans le cadre du modèle d’utilité espérée subjective.

1.1.2 Ambiguïté

Ellsberg (1961) a critiqué la théorie existante qui, jusqu’alors, reposait presque entière-ment sur la rationalité du décideur. Il prétend que certains individus ne se comportent pas comme la théorie de Savage le prédirait. Dans une étude notoire, Ellsberg avance que l’hypothèse du "sure-thing principle" n’est pas respectée dans certains environ-nements. Afin d’illustrer ses propos, il conçoit différents ensembles de loteries parmi lesquelles chacun des répondants devait choisir celles qu’ils préféraient. Le tableau 1.1 présente un exemple de choix provenant de l’étude d’Ellsberg.

Table 1.1 – L’expérience de Daniel Ellsberg à trois couleurs

Choix Résultat du tirage

Rouge Bleue Jaune

30 60

A 100 $ 0 0

B 0 100 $ 0

C 100 $ 0 100 $

D 0 100 $ 100 $

Le sujet devait choisir le pari qu’il préférait entre le A et le B et entre le pari C et D. Chaque pari était basé sur le résultat d’un tirage provenant d’une urne contenant 90 boules dont 30 sont rouges et les 60 restantes sont distribuées entre des bleues et des jaunes sans toutefois connaître la composition exacte. Selon l’hypothèse du "sure-thing principle", un individu préférant le pari A au B devrait préférer le C au D puisque

son choix doit être indépendant des conséquences communes.1 _{Cependant, Ellsberg a}

découvert que la majorité des répondants préfèrent le pari A au B et le D au C. Ces choix impliquent que les croyances des répondants à propos de la composition de l’urne ne sont pas cohérentes. En appliquant la théorie de l’utilité espérée subjective, préférer le pari A au B révèle que la probabilité qu’une boule rouge soit tirée est plus élevée que

1. Nous entendons par les conséquences communes le 0 $ si une boule jaune est tirée pour les paris A et B et le 100$ si une boule jaune est tirée pour les paris C et D.

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celle d’une boule bleue tandis que préféré le D au C exprime le contraire.2 Ce type de choix viole donc les axiomes de Savage. Dans un contexte où les probabilités associées aux résultats sont ambiguës, Ellsberg avance que certains individus ne sont pas en mesure d’exprimer leurs croyances de manière cohérente par des probabilités. Ainsi, le modèle de l’utilité espérée subjective ne peut pas être appliqué dans ces situations. Toujours selon Ellsberg, l’origine de ce problème réside dans le fait que les agents ont une préférence pour les résultats ayant des probabilités connues plutôt qu’ambiguës. Ellsberg a donc démontré qu’un manque d’information à propos des probabilités peut mener à des divergences importantes entre le comportement de l’individu et ce que prédisait la théorie d’utilité espérée subjective de Savage.

1.2 Théorie de la décision en ambiguïté

Plusieurs autres études sont venues corroborer les résultats et l’intuition d’Ellsberg. Des études ont tenté d’expliquer les comportements dans ce type d’environnement en modélisant les choix de l’individu à l’aide de différentes représentations.

Dans une série d’études, Tversky et Kahneman ont démontré que certains individus tendent à utiliser des heuristiques afin de prendre leurs décisions en situation d’ambi-guïté. Par exemple, un individu ayant recourt à une heuristique de représentativité a tendance à surévaluer la possibilité qu’un résultat surviennent par rapport à la probabi-lité a priori de cet évènement. Ils ont montré que ce type d’évaluation des probabiprobabi-lités peut mener à des biais lors de la prise de décision. Tversky et Kahneman (1974) ont mené une expérience où les répondants devaient estimer la probabilité qu’un individu soit un ingénieur ou un avocat en fonction de ses caractéristiques personnelles. Les participants étaient informés des probabilités a priori que l’individu observé soit un ingénieur ou un avocat. Ils ont découvert que dans la plupart des cas, les participants ignoraient la probabilité a priori que l’individu qu’il observait appartienne à une des deux professions. Les participants prédisaient la profession de l’individu en surévaluant

2. Plus formellement, pour le premier choix ; A B ⇒ SEUA > SEUB

p(R)u(100$) > p(B)u(100$) ⇒ p(R) > p(B) Et pour le deuxième choix ;

D C ⇒ SEUD > SEUC

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les caractéristiques des individus d’où l’heuristique de représentativité. La modélisation de l’utilité devient donc cruciale à la compréhension des comportements des individus faisant face à ce genre d’environnement.

Un ensemble de modèles a été développé à la suite de l’apparition de l’utilité espérée à la Choquet par Schmeidler (1989). Deux caractéristiques propres à ce type de modèle le distinguent de celui de l’utilité espétrée subjective. Premièrement, l’utilité perçue d’un des résultats dépend de son rang, du meilleur au pire, parmi l’ensemble des ré-sultats possible. Deuxièmement, l’utilité de chaque rang est pondérée par une fonction de pondération de probabilité et, non pas par les probabilités subjectives. En se fai-sant, des aspects de la personnalité de l’individu comme l’optimisme et le pessimisme, par exemple, peuvent être incorporés dans ce type de modèle d’utilité. La théorie des perspectives développée par Tversky et Kahneman (1992) amena une dimension sup-plémentaire aux modèles d’utilité à dépendance de rang. En incorporant un aspect de référence à la situation initiale, ce modèle permet de modéliser des préférences diffé-rentes face aux pertes qu’aux gains. Bien qu’utiles pour modéliser plusieurs dimensions supplémentaires des préférences propres à l’individu, ces modèles exigent de l’individu une distribution unique représentant ses croyances sur les probabilités des résultats. Un ensemble de modèles ont été développés à l’aide du concept de probabilités de second ordre afin de modéliser les croyances de l’individu. L’idée derrière les probabilités de second ordre illustre un individu ayant plusieurs distributions de probabilités possibles en tête π ∈ Π et attribuant une probabilité à chacune de ses distributions µ(Π). En reprenant l’exemple d’Ellsberg, un individu pourrait avoir en tête deux compositions

possibles pour l’urne, soit 60 boules bleues, 0 jaune (Π1) et 0 boule bleue et 60 jaunes

(Π2) et, attribué une probabilité subjective µ(Π1) de 1/3 et µ(Π2) de 2/3 pour chacune

des compositions.

Klibanoff et al. (2005) propose un modèle de décision en incorporant des probabilités de second ordre afin de représenter les croyances de l’individu en environnement ambigu. Ils affirment que l’utilité en environnement ambigu peut être représentée par une fonction du type :

Eµ [ φ ( u(g|π) ) ]

Où u(g|π) est la fonction d’utilité espérée de la forme Von Neumann et Morgenstern

pondérée par les probabilités subjectives π, Eµ[·] est l’opérateur de l’espérance des

probabilités subjectives de l’ensemble des distributions π ∈ Π et φ(·) est une fonction de transformation permettant de représenter l’attitude de l’individu face à l’ambiguïté.

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Ce modèle permet d’incorporer l’attitude envers le risque par l’entremise de la forme de la fonction d’utilité u(·) ainsi que l’attitude envers l’ambiguïté par la forme de la fonction φ(·). Par exemple, une fonction φ(·) concave et u(·) convexe illustre une situation où l’individu serait averse à l’ambiguïté et amant du risque.

Plusieurs décisions en environnement d’ambiguïté sont prises dans un contexte dyna-mique permettant aux croyances d’évoluer. Une décision d’investissement en bourse, par exemple, est prise dans un environnement où les rendements passés et actuels d’un titre influencent la perception que nous avons sur la qualité de celui-ci. Cette perception aura conséquemment un effet sur nos décisions présentes et futures. Nous pouvons donc facilement nous imaginer que nos croyances sur les rendements futures sont influencées par l’historique des rendements passés. Klibanoff (2009) ont apporté une extension à

leur modèle afin de modéliser ce type de décision en incluant la règle de Bayes3_{. Ce}

modèle permet l’évolution des probabilités subjectives et ainsi mieux représenter les décisions prises dans un environnement dynamique. En supposant que l’individu res-pecte la règle de Bayes pour l’évaluation de ses croyances, elle permet d’exprimer les croyances de l’individu à l’aide de probabilités subjectives en n des différentes infor-mations reçues et de ses croyances initiales. Ainsi, les choix seront affectés par des caractéristiques propres à la période t soit l’ensemble des croyances et des résultats précédents nécessaire à l’évaluation par la règle de Bayes des probabilités subjectives, et les préférences de l’individu.

3. La règle de Bayes permet d’estimer et de mettre à jour des probabilités conditionnelles en fonction des probabilités a priori et d’observations. Formellement, la probabilité de l’évènement A condition-nellement à l’observation de B est défini par :

P (A|B) =P (B|A)P (A) P (B) Où P (B|A) est la probabilité que B soit observé si A est vrai.

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1.2.1 La détermination des probabilités subjectives

En situation d’incertitude et d’ambiguïté, la possibilité qu’un certain résultat survienne est exprimée de manière subjective de la part de l’individu. De manière générale, cette possibilité est exprimée à l’aide de probabilités subjectives. Klibanoff (2009) utilise la règle de Bayes afin de modéliser le processus d’évaluation des probabilités subjectives de la part des individus. Cependant, il existe différentes théories sur le sujet et un certain nombre d’études s’y sont intéressées.

La littérature distingue généralement deux règles de détermination des probabilités subjectives, le maximum de vraisemblance et la règle de Bayes. Un individu respecte la règle du maximum de vraisemblance s’il considère seulement la distribution de probabi-lités qui lui semble la plus probable parmi l’ensemble possible. Ainsi, à chaque période, l’individu considère qu’une seule distribution de probabilités afin de prendre ses déci-sions. Des croyances subjectives étant dictées par la règle de Bayes doivent quant à eux considérer l’ensemble des distributions possibles. À titre d’exemple, considérons le cas où l’individu croit qu’il existe seulement deux compositions possibles concernant

l’urne d’Ellsberg, soit 60 boules bleues, 0 jaune (Π1) et 0 boule bleue et 60 jaunes (Π2)

et attribue une probabilité µ(Π1) de 1/3 et µ(Π2) de 2/3 pour chaque composition.

Dans cette situation, la règle de mise à jour du maximum de vraisemblance prédit que

l’individu prendra seulement en compte la distribution Π2 afin de prendre une décision

tandis que la règle de Bayes prédit qu’il pondérera les deux distributions en fonction de µ.

En contexte expérimental, Cohen et al. (2000) ont tenté de déterminer laquelle de ces deux règles utilisait les participants. En répliquant les paramètres de l’expérience d’Ellsberg (1961), ils ont demandé aux participants de choisir un des deux paris et de refaire le choix à la suite d’informations supplémentaires sur la composition de l’urne. Ils ont trouvé que 55 % des participants mettaient à jour leurs probabilités subjectives de la même manière que la règle de Bayes le prédirait tandis que les croyances de 29 % des participants suivaient la règle du maximum de vraisemblance.

En se basant sur la règle de Bayes, Grether (1980) a estimé un modèle de détermination de probabilités subjectives afin de modéliser et de comprendre comment ceux-ci sont déterminés par les individus à l’aide de données expérimentales. Son expérience consis-tait à demander aux participants, pour les deux urnes, la probabilité que chaque urne soit celle qui a été choisie. L’urne A était composée de deux boules "G" et quatre boules "N" tandis que l’urne B contenait trois "G" et trois "N". Ainsi, le participant devait

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déclarer la probabilité pour l’urne A et l’urne B soit celles qui ont été choisies avant et après un échantillon de 6 tirages provenant de l’urne. En se faisant, Grether (1980) a estimé une version log-linéarisé de la règle de Bayes. Où la probabilité subjective que l’urne A soit la bonne est une fonction linéaire de la vraisemblance que les tirages proviennent de l’urne A et la croyance initiale que l’urne A ait été choisi. Les résultats ont démontré qu’en moyenne les participants ont surpondéré la probabilité que les ti-rages proviennent de l’urne A par rapport à la probabilité a priori que l’urne A soit choisie. Cette conclusion est conséquente avec les hypothèses de Tversky et Kahneman (1974), c’est-à-dire qu’en situation d’ambiguïté les individus ont tendance à utiliser une heuristique de représentativité.

Ainsi, ce mémoire propose une estimation d’un modèle présenté au chapitre 3 et basé sur le théorème de Bayes afin de pouvoir comprendre le processus d’évaluation des pro-babilités subjectives de la part des individus. Le chapitre suivant présente le protocole expérimental qui a été nécessaire afin de réaliser notre étude.

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Chapitre 2

Protocole expérimental

Ce chapitre présente, dans un premier temps, les détails administratifs entourant l’ex-périence. Il présente ensuite l’expérience et expose les différentes tâches que doivent accomplir les participants.

2.1 Détails administratifs

L’expérience s’est déroulée au Laboratoire d’Économie expérimentale de l’Université Laval entre octobre 2012 et février 2013. Durant cette période, sept séances ont attiré 81 participants par l’entremise d’inscription volontaire à partir du site internet du laboratoire. Chaque participant a été assigné aléatoirement à un poste informatique à partir duquel il recevait les explications et accomplissait les différentes tâches présentées à la section suivante. L’expérience durait un maximum de deux heures et les participants recevaient 30 $ pour leur participation, 5 $ pour leur ponctualité et 5 $ s’ils acceptaient de répondre à un questionnaire évaluant leurs connaissances en probabilité à la fin de l’expérience.

2.2 L’expérience

À leur arrivé, les participants ont visionné un vidéo d’information leur expliquant le contexte de l’expérience ainsi que les tâches qu’ils devaient accomplir. La figure 2.1 illustre l’interface à partir duquel l’expérience se déroulera.

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Figure 2.1 – Interface de l’expérience

2.2.1 Contexte expérimental

Les participants observeront les réalisations de profits d’une compagnie pendant 100 périodes (un profit par période). Ces profits seront générés aléatoirement à partir de l’une des trois distributions affichées à la gauche de l’écran à la figure 2.1. La distribu-tion qui génère les profits a préalablement été choisie aléatoirement par le programme expérimental. Les distributions sont construites de manière à exprimer la probabilité que chaque réalisation de profit se trouve dans un intervalle. Les intervalles ont été séparés en six niveaux de profits, de -30 à -20, de -20 à 10 et ainsi de suite jusqu’à l’intervalle 20 à 30. Ces informations sont connues du participant.

2.2.2 Tâches à accomplir

L’expérience se déroule sur un horizon de temps de 100 périodes. À chaque période, une réalisation de profit est tirée aléatoirement de la distribution choisie. Le participant a essentiellement deux tâches à accomplir aux périodes 0, 10, 20... 100. À l’exception

de la première "période de déclaration"4, le participant aura observé 10 réalisions de

profits avant de remplir ses tâches.

4. Nous entendons, par le terme période déclaration, la période où le participant doit accomplir ses tâches soit la période t = 0, 10,20...100

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Figure 2.2 – À gauche, les croyances du participant et à droite l’histogramme pour chaque intervalle de profits

Déclaration de croyances de la distribution génératrice des profits

Dans un premier temps, nous avons demandé aux participants, pour chaque distribution de profit, la probabilité qu’elle soit celle qui génère réellement les profits de la compagnie. Ainsi, pour chaque période de déclaration, le participant a donc à donner une probabilité entre 0 et 100 pour chaque distribution. Une déclaration de 0 exprime le fait qu’il n’y a aucune chance que cette distribution soit celle qui génère les profits tandis qu’une déclaration de 100 exprime que le participant est certain que cette distribution est celle qui génère les profits. La déclaration des croyances du participant de la période t sera

notée µq_t où q représente la distribution du haut q = 1, la distribution du milieu q = 2

et celle du bas q = 3.

Construction de l’histogramme

Dans un deuxième temps, nous avons demandé aux participants de construire

l’his-togramme de droite présenté à la figure 2.2. Ainsi, pour chaque tranche de profits5,

le participant devait déclaré la probabilité que la prochaine réalisation de profit fasse partie de cet intervalle. L’analyse de cette tâche ne sera cependant pas étudiée dans ce mémoire. Paradis (2014) a étudié l’effet de l’ambiguïté sur le lien entre la construction de cette histogramme et la déclaration des croyances subjectives des participants.

5. Les tranches de profits ont été séparées de la même manière que les distributions génératrices de profit, soit -30 à -20, de -20 à 10 et ainsi de suite jusqu’à l’intervalle 20 à 30.

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2.2.3 Niveau d’ambiguïté

Les participants ont aussi été informés qu’ils auront à répéter l’expérience à deux re-prises. Une fois en situation où l’ambiguïté est élevée et une autre en ambiguïté faible. La figure 2.3 illustre la différence entre ces deux situations. La partie de gauche donne un exemple de distributions en ambiguïté faible et la partie de droite, en ambiguïté forte. Les distributions en ambiguïté faible sont plus différentes et donc plus facilement identifiables comparativement aux distributions de droites qui sont plus semblables. Ce-pendant, le participant ne sait pas qu’il fera l’expérience avec deux différents niveaux d’ambiguïté.

Figure 2.3 – Niveau d’ambiguïté différent

Le but de ce mémoire est de comprendre le processus de détermination des probabi-lités subjectives quant aux distributions qui génèrent les profits. À l’aide du modèle présenté au chapitre suivant, nous avons pu déterminer les facteurs et la manière dont les participants déterminent leurs probabilités subjectives.

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Chapitre 3

Le modèle et les données

En premier lieu, ce chapitre présente le type de données recueillies durant l’expérience ainsi que la modification de certaines observations de l’échantillon. Ensuite, une sec-tion porte sur la présentasec-tion du modèle d’évaluasec-tion des croyances et de la méthode d’estimation de celui-ci.

3.1 Les données

L’expérience décrite au chapitre précédent a permis de recueillir un éventail de données pertinentes dans le but d’analyser les comportements en situation d’ambiguïté. Parmi ceux-ci, nous avons pu recueillir :

— Les probabilités subjectives estimées par les participants. Les participants décla-raient leurs probabilités subjectives pour les trois distributions à 11 reprises. Ils effectuaient de plus l’expérience à deux reprises, une fois ambiguïté faible et une autre fois en ambiguïté élevée. Nous avons donc recueilli 5346 déclarations de probabilités subjectives.

— Les 22 constructions de l’histogramme par chacun des 81 participants.

— Pour chaque participant, le temps utilisé pour accomplir leurs tâches à chacune des périodes.

— 162 séquences de 100 tirages aléatoires de réalisation de profits dont 81 en ambi-guïté élevée et 81 en ambiambi-guïté faible.

En plus de ces données, certains participants ont accepté de répondre à un questionnaire sur leurs connaissances en probabilité contre une compensation de 5$.

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3.1.1 Suppression d’observations

Certains participants ont été supprimés de la base de données puisqu’aucun raisonne-ment logique ne permettait d’expliquer leurs réponses. Pour ce faire, deux critères de sélections devaient être respectés pour que le participant soit retiré de notre analyse. Le premier critère est un examen visuel de l’évolution des probabilités subjectives

dé-clarées quant aux distributions, soit µ1

t, µ2t et µ3t. Par exemple, des réponses du type

µ1

t = 100, µ2t = 0 et µ3t = 0 pour une période et µ1t+1= 0, µ2t+1 = 100 et µ3t+1= 0 pour

la période suivante ne représente pas, à notre sens, avoir été déterminé à la suite d’un raisonnement logique. Nous avons identifié neuf participants dont les réponses nous semblaient anormales.

Le deuxième critère d’évaluation est basé sur un critère plus objectif. Nous avons analysé la différence entre les probabilités subjectives des participants et la probabilité objective que chaque distribution soit celle qui génère les profits. En se faisant, nous nous assurons entre autres que des réponses qui nous semblaient anormales ne soient pas en réalité cohérente dues à l’information que le participant a reçue. Ainsi, à l’aide de la statistique suivante : 1 3 3 X q=1 (µq_t − πq_t(zt−1))2

Un participant respectait le deuxième critère si la moyenne de ses probabilités

subjec-tives s’éloignait à plus d’environ 35%6 _{des probabilités objectives et ce, pour le tiers de}

ses déclarations. Ce critère peut sembler à première vue relativement restrictif. Cepen-dant, seulement neuf des 81 participants respectaient ce critère. De plus, parmi ces neuf participants, huit respectaient aussi le premier critère. Ainsi, ces huit participants ont été supprimés de notre base de données. L’évolution de leurs probabilités subjectives est présentée en annexe B.

Nous pensons qu’il est important de noter que nous ne remettons pas en doute les intentions de ces participants. Cependant, nous pensons que ce type de réponses ne découle pas d’un raisonnement logique et ainsi, pour le cas qui nous intéresse, ne peut pas être modélisé.

6. Ce seuil équivaut à la moyenne d’éloignant de notre échantillon, soit 10 % plus deux écarts-types égale à 25 %

(31)

3.2 Le théorème de Bayes et le modèle empirique

L’objectif principal de ce mémoire est de mieux comprendre de quelle manière les croyances des participants sont générées. Pour y parvenir, nous proposons un modèle inspiré de la règle de Bayes. La loi de Bayes permet d’estimer une probabilité condition-nelle d’un évènement en fonction de la vraisemblance relative de cet évènement parmi l’ensemble des évènements possibles. On peut appliquer le théorème de Bayes dans le cadre de notre expérience. Par exemple, la probabilité que la distribution q = 1 soit celle qui génère les profits sachant la réalisation de profits z est égale à

P (q = 1|z) = P (q = 1)P (z|q = 1)

P3

i=1P (q = i)P (z|q = i)

Où P (z|q = i) est la probabilité que le profit z soit tiré de la distribution i et P (q = i) est la probabilité initiale que la distribution i ait été choisie afin générer les profits de l’entreprise. La règle Bayes peut donc être utilisée afin de modéliser le processus de calcul et de la mise à jour de probabilités subjectives. Notre modèle empirique est constitué de trois équations, une pour chaque distribution q ∈ {1,2,3}.

µq_t = (µ q t−1)βµ(π q t(zt−1))βπ P3 q=1(µ q t−1)βµ(π q t(zt−1))βπ + t (3.1)

Où µq_t est la probabilité subjective que la distribution q ∈ {1,2,3} soit celle qui génère

les profits. Le terme µq_t−1 est la probabilité subjective déclarée à la période t − 1 et

conséquemment, représente la croyance initiale de la déclaration t. Le terme π_tq(zt−1)

est la probabilité objective que la distribution q soit celle qui génère les profits en fonction des réalisations de profit des 10 périodes qui précèdent la déclaration t. Ce modèle permet d’analyser le processus d’estimation de probabilités subjectives ainsi que comprendre la mise à jour des croyances de participant. Dans le cas présent, comme pour le théorème de Bayes, ce processus est influencé par deux aspects. Premièrement, la croyance initiale du participant sur la possibilité que chaque distribution soit réellement celle qui génère les profits de l’entreprise. Cette croyance initiale joue donc le rôle de la probabilité a priori pour chaque distribution. Deuxièmement, la probabilité que la séquence des réalisations de profits des dix dernières périodes observées soit générée par chacune des distributions. Ainsi, à chaque période de déclaration, le participant pondèrera entre sa croyance initiale et la similitude entre l’historique des profits réalisés et les distributions possibles afin d’estimer leurs probabilités subjectives pour chaque distribution .

(32)

Nous pensons cependant que ces deux variables n’ont pas le même effet pour tous les

individus. En intégrant des exposants aux variables µq_t−1 et πq_t(zt−1), le modèle permet

plus de latitude et ultimement, mieux représenter le processus de détermination et le

calcul de probabilités subjectives de la part des individus. Ainsi, les paramètres βµ

et βπ peuvent être interprétés respectivement comme le poids du prior (µqt−1) et de

l’information reçue (π_tq(zt−1)) dans le calcul des probabilités subjectives de l’individu.

Dans le cas spécial où βµ = βπ = 1 le modèle revient à la règle de Bayes présenté

plutôt. Une section du chapitre 4 est consacrée sur l’analyse des différentes valeurs de paramètres possibles ainsi que leurs implications.

3.2.1 Méthode d’estimation

Des études similaires comme celles de Grether (1980) et Grether (1992) ont estimé une version log-linéarisé d’un modèle aussi basé sur la règle de Bayes. Selon nous, l’estimation de la version log-linéarisé du modèle constitue une faiblesse puisqu’elle nécessite une re-paramétrisation pour les valeurs de zéro. Par exemple, l’individu étant certain d’avoir identifié la bonne distribution déclarerait une probabilité de 1 pour cette distribution. Ainsi, ce type de réponse nécessiterait une re-paramétrisation causé par l’opérateur du logarithme. De plus, l’estimation de notre modèle restreint les prédictions

des probabilités subjectives déclarées ˆµq_t entre 0 et 1 contrairement à un modèle

log-linéarisé.

Notre modèle est estimé à l’aide de la Méthode généralisée des moments développée par Hansen (1982). Cette méthode se base sur l’estimation de moments spécifiés dans la population. Nous avons spécifié nos moments afin de minimiser le résidu entre la

prédiction et l’observation de µq_t conditionnellement aux variables µq_t−1 et π_tq(zt−1) que

la distribution q est celle qui génère les profits. Ainsi, les moments sont

E " µq_t−1 πq_t(zt−1) # µq_t − (µ q t−1)βµ(π q t(zt−1))βπ P3 p=1(µ p t−1)βµ(π p t(zt−1))βπ ! = 0

pour les distributions q = 1,27_{. Finalement, l’estimation des paramètres a été restreinte}

à des valeurs positives seulement puisqu’ils expriment chacun un poids dans le processus de mises à jour.

7. Puisque µ1

t+ µ2t+ µ3t = 1, il suffit d’estimer que deux équations du modèle.

(33)

Chapitre 4

Résultats

Ce chapitre présente les résultats et les conclusions de notre étude. Premièrement, une section portera sur l’interprétation des paramètres ainsi qu’une présentation des différents types de comportements en fonction de la valeur des paramètres. Une section suivra avec l’interprétation des résultats et l’estimation du modèle de manière agrégée. Enfin, ce chapitre se terminera avec une section sur l’estimation et l’interprétation des paramètres de manière individuelle.

4.1 Interprétation des paramètres et des

comportements

Chaque paramètre du modèle de l’équation 3.1 exprime l’effet de chacune des variables pouvant influencer l’estimation des probabilités subjectives des participants. La valeur

du paramètre βµrévèle le rôle des croyances initiales dans le processus de mise à jour et

de détermination des probabilités subjectives du participant. Le paramètre βπ, quant à

lui, représente la partie des probabilités subjectives qui peut être expliquée par l’infor-mation reçue par le participant. Ainsi, la valeur des paramètres estimés nous permet de dégager différents types de processus pour la détermination des probabilités subjectives.

• βµ = βπ : Les individus de cette catégorie actualisent leurs croyances en

pon-dérant également leurs croyances initiales et l’information qu’ils reçoivent. Nous pouvons toutefois dégager trois types de comportements parmi ceux-ci, soit ceux pour qui leurs paramètres sont plus grands, égaux ou plus petits que 1.

- "Parfait bayésien" : Ce type d’individu met à jour et génère ses croyances exactement de la même manière que la règle de Bayes. Ses réponses

(34)

se-raient donc alors déterminées par un processus objectif d’un point de vue probabiliste. La règle de Bayes est donc un cas spécial de notre modèle où

βµ= βπ = 1.

- "Sur bayésien" : Ce type de comportement correspond aux participants avec

des paramètres βµ = βπ > 1. Comparativement aux "parfaits bayésien",

l’individu "sur bayésien" convergera plus rapidement vers une distribution. Il a donc besoin de moins d’informations afin d’identifier la distribution qui lui semble être la bonne. Cependant, ce type de comportement est beaucoup plus sensible aux variations. Une suite d’informations pourrait le faire converger

trop rapidement vers la mauvaise distribution.8

- "Sous bayésien" : Ce type de comportement est caractérisé par des

para-mètres βµ = βπ < 1. Ce type de participants est plus conservateur que les

"parfaits bayésien". Ils ont besoin d’un plus grand nombre de périodes afin de se commettre sur l’une des distributions. En général, les participants ap-partenant à cette catégorie de comportement ne convergent pas vers une des distributions.

• βµ > βπ : Cette catégorie reflète l’individu mettant plus de poids sur sa croyance

initiale dans la mise à jour de ses probabilités que l’information qu’il reçoit. On peut décrire de type de comportements comme un participant qui est réticent à l’information reçue et que ses croyances initiales sont très présentes dans son processus d’évaluation. Ce participant aura besoin d’un plus grand nombre de réalisations de profits afin d’actualiser ses croyances et puis de converger vers une distribution. À l’extrême, un participant pourrait conserver ses croyances initiales et ignorer l’information qu’il reçoit tout au long de l’expérience. À des fins de simplifications, nous appellerons ce type de personne comme étant des "conservateurs".

• βµ < βπ : Cette catégorie de paramètres exprime les individus dont les tirages de

profits ont plus de poids que leurs croyances initiales dans leurs déterminations des probabilités subjectives. Ce résultat peut également révéler l’utilisation d’une heuristique de représentativité dans l’évaluation des probabilités subjectives. À l’extrême, ce participant pourrait seulement tenir compte de l’information qu’il reçoit et ignorer ses croyances initiales ainsi que ses déclarations des périodes précédentes. Encore une fois, nous pouvons nommer ce type d’individu comme étant des "représentatifs".

8. En effet, à la figure C.2, nous pouvons remarquer qu’un individu ayant des paramètres βµ =

βπ= 1.5 pour cette séquence de réalisation de profit aurait convergé vers une mauvaise distribution.

(35)

Pour chaque type de comportement, l’annexe C présente l’évolution des probabilités subjectives à partir de paramètres fictifs faisant face à la même séquence de réalisation de profits.

4.2 Estimation agrégée

La colonne (1) du tableau 4.1 présente les résultats de l’estimation du modèle en incluant tous les participants. Les deux paramètres estimés sont significatifs à un seuil de 5%. Nous remarquons qu’ils sont relativement semblables. En effet, un simple test de Wald

nous ne permet pas de rejeter l’hypothèse nulle βµ = βπ. En moyenne, les participants

semblent donc mettre à jour leurs probabilités subjectives en pondérant également leurs croyances initiales et l’information qu’ils reçoivent. Cependant, les deux paramètres sont significativement inférieurs à 1. Les participants agissent donc, en moyenne, comme

des "Sous bayésiens". C’est-à-dire qu’ils pondèrent également les variables µt−1 et πq

mais qu’ils ont besoin d’un plus grand nombre de périodes que la règle de Bayes afin d’identifier la bonne distribution.

Table 4.1 – Résultats de l’estimation agrégée

Niveau d’ambiguïté

Variables Tous Élevé Faible

(1) (2) (3) βµ 0.725*** 0.715*** 0.724*** (0.025) (0.038) (0.034) βπ 0.776*** 1.074*** 0.656*** (0.06) (0.110) (0.071) Ratio : βµ/βπ 0.935 0.665 1.105 (0.092) (.090) (.150) Int. de confiance 95 % [0.755 - 1.115] [0.488 - 0.842] [0.811 - 1.399] Nombres d’observations 1460 730 730 Nombres de séquences 162 81 81

*** : Significatif à 5 %, Écart-type entre parenthèses.

Les résultats de l’estimation du modèle en contrôlant pour le niveau d’ambiguïté sont présentés dans la colonne (2) et (3) du tableau 4.1. En ce faisant, nous pouvons

(36)

com-prendre comment le niveau d’ambiguïté peut affecter le processus d’estimation des probabilités subjectives de la part des participants. Chaque participant avait à effec-tuer l’expérience à deux reprises, une première fois en ambiguïté faible et une deuxième en ambiguïté forte (voir figure 2.3). Nous avons donc estimé le modèle avec les obser-vations dans le contexte de l’ambiguïté élevée (2) et d’ambiguïté faible (3). Dans le cas où l’ambiguïté est faible, nous ne pouvons pas rejeté l’hypothèse que les paramètres

βµ et βπ sont égaux. Cependant, cette hypothèse est rejetée dans le cas où l’ambiguïté

est élevée. De manière agrégée, les participants mettent plus de poids sur l’information qu’ils reçoivent que sur leurs croyances initiales dans leurs processus des mises à jour des croyances. Ces résultats suggèrent donc que les participants ont tendance à utiliser une heuristique de représentativité afin de prendre leurs décisions lorsque l’ambiguïté serait plus élevée. C’est-à-dire qu’ils se baseraient plus sur les réalisations de profits afin d’estimer les probabilités subjectives.

L’estimation de manière agrégée nous a permis de constater qu’en moyenne les parti-cipants pondéraient également leurs croyances initiales et l’information. De plus, nous avons aussi observé que le niveau d’ambiguïté avait un effet non négligeable dans le processus des mises à jour des probabilités subjectives des participants.

4.3 Résultats individuels

Cette section présente dans un premier temps les résultats de l’estimation des para-mètres propres à chaque participant. Ces résultats seront ensuite utilisés afin de simu-ler les effets des différents paramètres de notre échantillon sur le comportement des participants.

4.3.1 Estimation individuelle

Nous avons estimé le modèle 4.1 de manière individuelle. Ainsi, pour chaque participant, les paramètres individuels expriment la manière dont ils ont estimé leurs probabilités subjectives. µq_t,i = (µ q t−1,i)βµ,i(π q t(zt−1))βπ,i P3 p=1(µ p t−1,i)βµ,i(π p t(zt−1))βπ,i + t (4.1)

Chaque participant effectuait à deux reprises l’expérience. Nous avons donc deux

sé-quences de 11 déclarations de probabilités subjectives {µq_t,i} pour chaque participant.

En raison du nombre relativement faibles d’observations, l’algorithme utilisé n’a pas permis d’estimer les paramètres individuels pour 17 des 73 participants.

(37)

Le graphique de gauche de la figure 4.1 présente l’histogramme des paramètres in-dividuels des 56 participants ayant pu être estimés. La moyenne de l’estimation des

paramètres βµ est de 0,913 et de 1,216 pour βπ. L’écart-type des paramètres βπ est

cependant plus de deux fois plus élevé que celui des paramètres βµ. Ce résultat suggère

une plus grande hétérogénéité de l’effet que peut jouer l’information reçue dans la dé-termination des probabilités subjectives parmi les participants. Le graphique de droite présente la dispersion de l’estimation des paramètres individuels. Chaque point

repré-sente un participant ainsi que l’estimation de ses paramètres βµ et βπ. Les résultats de

l’estimation de chaque paramètre pour tous les participants sont exposé à l’annexe A. Figure 4.1 – Histogramme et dispersion des paramètres individuels

0 .05 .1 .15 F ra ct io n 0 1 2 3 4 5

Distribution des β_µ Distribution des β_π

0 1 2 3 4 β _µ 0 1 2 3 4 5 β_π

4.3.2 Classement des participants

Cette section présente les résultats du classement des participants en fonction des dif-férents types de comportements présentés à la section 4.1.

Le graphique de gauche de la figure 4.2 présente la dispersion des participants par catégories de comportement. Nous avons d’abord regroupé les participants en trois

groupes, soit ceux qui pondèrent également les deux variables (βµ = βπ), les

conserva-teurs (βµ > βπ) et les représentatif (βµ < βπ). Parmi les 56 participants ayant pu être

estimés, 13 d’entre eux ont des paramètres relativement égaux et sont présentés par les points bleus dans le graphique. Ce nombre équivaut à 23,2 % de notre échantillon. Ces participants ont donc pondéré également l’information qu’ils recevaient et leurs croyances initiales dans leurs processus de détermination de leurs probabilités subjec-tives. Les 20 participants conservateurs, présentés par les losanges verts, ont quant à eux mis plus de poids sur leurs croyances initiales dans leurs décisions. Pour les 23

(38)

par-ticipants présentés en rouge, les séquences des tirages de profits avaient plus de poids dans l’évaluation des leurs probabilités subjectives que leurs croyances initiales. C’est donc dire que 41 % de notre échantillon semblent avoir eu recourt à une heuristique de représentativité dans l’évaluation de leurs probabilités subjectives.

Dispersion et classement des participants Dispersion pour les participants βµ= βπ

0 1 2 3 4 β _µ 0 1 2 3 4 5 β_π β_µ = β_π β_µ > β_π β_µ < β_π .5 1 1.5 2 β _µ .6 .8 1 1.2 1.4 1.6 β_π

Sous Bayesian Bayesian Sur Bayesian

Figure 4.2 – Dispersion et classement des participants

Le graphique de droite de la figure 4.2 quant à lui, présente les 13 participants dont les paramètres sont relativement égaux. Parmi les 13 participants, trois sont des "sur bayésiens" et quatre des "sous bayésiens". Les bayésiens, dont les deux paramètres sont égaux à un, représentent seulement 10,7 % de notre échantillon. Ainsi, les probabilités subjectives de seulement six participants découleraient d’un processus objectif d’un point de vue probabiliste. Selon ces résultats, l’hypothèse que les individus estiment des probabilités subjectives selon la règle de Bayes semble donc pouvoir être rejetée. La section 4.3.3 expose les principales différences et conséquences entre un individu parfait bayésien et le comportement de nos participants.

Le tableau 4.2 présente les périodes moyennes de convergence par catégorie de compor-tement. La période de convergence est le nombre de périodes qui a été nécessaire afin que le participant identifie la distribution qui lui semble être celle qui génère les profits de la compagnie. Nous considérons qu’un participant a convergé lorsqu’il a déclaré une

probabilité de 99 % pour l’une des trois distributions.9 Le tableau 4.2 présente

éga-9. Certains participants ont convergé vers plusieurs distributions pendant la durée de l’expérience, c’est-à-dire qu’ils ont identifié une distribution pour une période et ont ensuite changé pour une autre distribution. Pour ces participants seulement la dernière convergence a été utilisée pour calculer le nombre de périodes nécessaires.

(39)

lement le pourcentage des participants qui à la fin de l’expérience, la distribution qui leurs semblait la plus probable était celle qui générait les profits de la compagnie. Le type de comportement qui converge le plus rapidement est sans surprise le "sur bayésien". Le deuxième groupe de participants qui semble identifier la distribution le

plus rapidement est celui qui a recours à une heuristique de représentativité (βµ < βπ).

Cependant, 18 % des participants appartenant à ce groupe n’ont pas identifié la bonne distribution. En excluant les sous bayésiens puisqu’aucun d’entre eux n’a convergé, les deux seuls types de comportements qui comptent des participants ayant identifié une mauvaise distribution sont ceux n’ayant pas pondéré également leurs croyances initiales et l’information qu’ils reçoivent par l’entremise des profits de la compagnie. Ainsi, avoir recourt à une heuristique de représentativité ou surpondérer nos croyances initiales peuvent mener à des biais importants sur les décisions des individus.

Table 4.2 – Résumé des périodes de convergence par catégorie de comportement

Type de comportement Nombre Pourcentage Périodes Bonne distribution

βµ = βπ 13 23,2 % 75 92,3 % Bayésiens 6 10,7 % 75 100 % Sur Bayésiens 3 5,4 % 33 100 % Sous Bayésiens 4 7,1 % 100 75 % Conservateurs 20 35,7 % 92 80 % Représentatifs 23 41,0 % 69 82,6 % Totaux 56 100% 84 %

4.3.3 Simulation

Cette section présente différents résultats de simulations utiles à la compréhension des différents effets des paramètres sur le comportement des participants

À l’aide du modèle de l’équation 4.1, nous avons prédit les probabilités subjectives des participants s’ils avaient observé chacune des 168 séquences de réalisation de profits recueillis durant le cadre de l’expérience. Ainsi, en utilisant l’estimation des paramètres de chaque participant, nous avons pu prédire les probabilités subjectives des trois dis-tributions pour les 100 périodes. Le graphique 4.3 présente la moyenne du nombre de périodes nécessaires pour chaque participant afin qu’il converge vers l’une des distri-butions. Chaque point représente un participant et est composé de trois coordonnées :

la valeur du paramètre βµ et du paramètre βπ ainsi que la moyenne de la période de

(40)

Figure 4.3 – Période de convergence en fonction des paramètres

Le paramètre βµ semble avoir un effet plus important dans la détermination de la

pé-riode de convergence. Le graphique de gauche de la figure 4.4 démontre la dispersion des paramètres en fonction de la période de convergence de la simulation. Nous

consta-tons une corrélation importante entre le fait que le paramètre βµ soit supérieur à un

et le nombre moyen de la période de convergence. Selon ces résultats provenant de la simulation, un individu dont les croyances initiales ont plus d’importance dans son processus de mises à jour aurait tendance à converger plus rapidement que les autres. À première vue, ceci peut sembler contradictoire. Les deux graphiques de la figure 4.4 comparent les périodes de convergence de la simulation et ceux de l’expérience. L’effet

du paramètre µt−1 semble moins important sur les résultats de l’expérience que ceux

obtenus à l’aide de la simulation. Cette différence peut cependant provenir du fait que

les croyances initiales µt−1 sont déterminées par le modèle à la période précédente et

donc endogène au modèle.

À l’aide des paramètres estimés pour chaque participant, le modèle a simulé l’évolution des probabilités subjectives faisant face à la même séquence de réalisation de profit que

(41)

0 1 2 3 4 β _µ 0 1 2 3 4 5 β_π

10 périodes et moins Entre 11 et 50 périodes Entre 51 et 90 périodes 91 périodes et plus

0 1 2 3 4 β _µ 0 1 2 3 4 5 β_π

10 périodes et moins Entre 11 et 50 périodes Entre 51 et 90 périodes 91 périodes et plus

Périodes de convergence de la simulation Périodes de convergence de l’expérience

Figure 4.4 – Comparaison des périodes de convergence entre les résultats de la simu-lation et ceux de l’expérience par type de comportement.

le participant durant l’expérience. Nous avons ensuite comparé la période de conver-gence prédite par le modèle et celle des participants durant l’expérience afin d’évaluer la justesse du modèle. L’histogramme de la figure 4.5 présente donc la différence entre la période de convergence de l’expérience et celle prédite par le modèle pour les par-ticipants ayant convergé vers l’une des distributions seulement. Nous remarquons que le modèle prédit relativement bien la période de convergence. En effet, pour 24 des 67

prédictions, le modèle a convergé à la même période que le participant.10 Cependant,

lorsque ce n’était pas le cas, le modèle a tendance à converger plus rapidement vers une distribution que les participants. Parmi les 45 séquences n’ayant pas convergé lors de l’expérience, le modèle a prédit la non-convergence pour 39 d’entre elles. Au total, le modèle a donc prédit correctement la période de convergence pour 63 des 112 séquences.

10. Au total, nous avions 112 séquences de déclarations de probabilités subjectives : deux répétitions des 56 participants dont les paramètres individuels ont pu être estimés. Sur ces 122 séquences, 67 ont convergé vers une des distributions.

(42)

0 5 10 15 20 25 F ré qu en ce -100 -50 0 50 100

Différence entre les périodes de convergence

Figure 4.5 – La différences entres les périodes de convergence et ceux prédit par le modèle pour chacun des participants.

Pour finir, nous avons prédit la période de convergence pour chacune des 168 séquences

d’un individu bayésien (βµ= βπ = 1). Le graphique 4.6 compare les périodes de

conver-gence de la simulation d’un individu bayésien et ceux recueillis lors de l’expérience. Parmi les participants non supprimés (voir section 3.1.1 ), 54% des séquences n’ont pas

permis au participant de pouvoir converger vers une distribution.11_{Ce nombre chute à}

seulement une des 168 séquences qui n’a pas convergé pour la simulation d’un individu parfaitement bayésien. 0 .02 .04 .06 D e n si té 0 50 100 Bayes Parfait Réél

Figure 4.6 – Distribution des périodes de convergence

11. Ce groupe est représenté sur le graphique 4.6 comme ceux ayant convergé à la 110e _période

(43)

Les participants ayant convergé, ont pris en moyenne 66 périodes avant d’identifier la distribution qui leur semble générer les profits tandis qu’un individu bayésien en aurait besoin de seulement 22. En plus d’avoir identifié la bonne distribution pour chaque séquence, un individu parfaitement bayésien aurait donc besoin de trois fois moins de périodes que notre échantillon afin de pouvoir identifier la bonne distribution. Cette différence permet donc de démontrer les divergences de comportement entre un individu parfait bayesian et tout autres types d’individus.

(44)

(45)

Conclusion

Les données expérimentales recueillies dans le carde de l’expérience décrite au chapitre 2 ont permis l’étude du processus d’évaluation des probabilités subjectives. L’analyse de l’estimation du modèle empirique et de simulations a permis de dégager plusieurs conclusions.

L’estimation de notre modèle de façon agrégé a permis de comprendre qu’en moyenne, les participants ont généré leurs probabilités subjectives pour chaque distribution en pondérant également leurs croyances initiales et la probabilité pour chaque distribution. Cependant en contrôlant pour le niveau d’ambiguïté, nous avons découvert que les participants ne se sont pas comportés de la même manière lorsque l’ambiguïté était élevée ou faible. En effet, la probabilité que les profits soient tirés de chaque distribution avait plus de poids dans leur processus de détermination de leurs probabilités subjectives que leurs croyances initiales lorsque l’ambiguïté était élevée. Les participants ont, en moyenne, eu recours à une heuristique de représentativité lorsque les distributions sont plus difficilement différentiables.

Par la suite, l’estimation des paramètres individuels nous a permis de dresser un por-tait plus précis des types de comportements. Selon nos résultats, tenir pour acquis que la règle de Bayes détermine les croyances subjectives des individus est une erreur. En effet, seulement six des 56 participants ayant été estimés se sont comportés comme le théorème de Bayes le prédirait. Ces résultats ont un effet substantiel dans le nombre de périodes nécessaires pour que le participant converge vers la distribution qui lui semble être celle qui génère les profits de la compagnie. Une simulation a permis de comprendre qu’en moyenne un parfait bayésien aurait besoin de 22 périodes tandis que les partici-pants en ont eu besoin de 66. Enfin, en excluant les sous bayésiens puisqu’aucun d’entre eux n’a convergé, les deux seuls types de comportements qui comptent des participants ayant convergé vers une mauvaise distribution sont ceux n’ayant pas pondéré

(46)

égale-ment leurs croyances initiales et l’information reçue dans leurs processus d’estimation des probabilités subjectives.

Ce mémoire s’inscrit dans une série d’étude sur le comportement d’individus en envi-ronnement d’ambiguïté. Selon ces résultats, non seulement affirmer que les individus se comportent comme des bayésiens ainsi que prétendre qu’il existe un type de comporte-ment dominant est faux. Nous pensons que ce processus est unique à chaque individu. L’effet des différentes variables pouvant influencer l’évaluation subjective des probabili-tés pourrait donc dépendre des caractéristiques propres à chacun. De la même manière que les préférences nous permettent de prédire les décisions des individus, nous pensons que certaines caractéristiques de la personnalité dicteraient le processus d’évaluation subjective des probabilités. À notre avis, exprimer ce processus de manière plus réaliste permettrait de mieux comprendre ou expliquer certains choix pris en environnement d’ambiguïté. Ces choix qui semblent parfois ne pas être rationnels en raison du manque d’informations sur les probabilités.

(47)

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(49)

Annexe A

Résultats de l’estimation individuelle

Table A.1 – Les résultats de l’estimation des paramètres individuels pour tous les participants ID βµ p-value(βµ) βπ p-value(βπ) 20301 0,9212168 0,000 0,4928475 0,00 20302 1,157214 0,000 0,328683 0,00 20303 1,093477 0,000 0,7233329 0,00 20305 1,087411 0,000 0,5849451 0,00 20306 1,293661 0,000 1,003756 0,00 20312 1,127953 0,000 2,023305 0,00 20318 0,9782078 0,000 0,0170347 0,47 20320 0,9928045 0,000 1,24644 0,00 20321 0,8222126 0,000 0,9763345 0,00 20322 1,052799 0,000 0,0727536 0,74 20407 1,188403 0,000 0,4666406 0,11 20408 0,941366 0,000 0,2994433 0,05 20409 0,7496244 0,000 0,3543449 0,21 20412 0,6787799 0,000 0,7867079 0,00 20413 1,097967 0,000 1,975151 0,00 20513 1,542842 0,000 1,307554 0,00 20514 1,121165 0,000 0,662006 0,00 20515 0,7076207 0,000 3,589425 0,00 20516 0,9364205 0,000 0,0976984 0,48 20517 0,8806861 0,000 0,8265288 0,00

(50)

Table A.1 – Suite... ID βµ p-value(βµ) βπ p-value(βπ) 20519 0,8284239 0,000 1,004457 0,00 20523 1,25973 0,000 1,393818 0,00 20601 0,8158428 0,000 1,751195 0,00 20602 1,031546 0,000 1,800497 0,00 20603 0,9415769 0,000 0,4728186 0,00 20605 1,069429 0,000 1,258467 0,00 20606 0,853046 0,000 0,5928179 0,02 20609 0,9535975 0,000 1,339521 0,01 20610 0,9027807 0,000 1,915721 0,00 20611 1,027377 0,000 0,511497 0,19 30502 1,373995 0,000 0,388315 0,00 30503 0,7517839 0,000 0,4562147 0,07 30505 1,526431 0,000 4,075838 0,00 30506 0,9620458 0,000 3,359625 0,00 30507 0,9286659 0,000 0,1827782 0,04 30508 0,4735959 0,002 0,9243596 0,01 30509 2,258366 0,000 1,531779 0,00 30510 0,3231354 0,210 28,58216 0,01 30511 0,8569902 0,000 2,719122 0,00 30512 0,9254509 0,000 0,5526051 0,00 30613 0,4832166 0,000 1,998671 0,00 30614 0,5555043 0,026 1,823011 0,02 30615 5,344082 0,000 0,2687169 0,23 30616 0,1435145 0,051 3,322276 0,00 30617 0,1344058 0,215 0,9808716 0,00 30618 0,9886857 0,000 0,2638215 0,43 30619 0,4790802 0,000 4,392829 0,02 30622 0,3038574 0,029 0,6864088 0,00 30623 0,2040728 0,016 0,7298425 0,00 30624 0,9304738 0,000 0,620473 0,00 30702 0,015171 0,906 0,4424648 0,23 30703 0,9241928 0,000 0,3997683 0,01 30707 0,5569921 0,000 0,5536241 0,02

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(51)

Table A.1 – Suite...

ID βµ p-value(βµ) βπ p-value(βπ)

30709 0,8171916 0,000 2,364763 0,00

30712 0,5930393 0,005 1,210937 0,01

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(53)

Annexe B

Participants supprimés

Cette annexe présente l’évolution des probabilités subjectives des participants ayant

été supprimés (voir section 3.1.1). La variable µ1 sont les probabilités subjectives de la

première distribution du participant, µ2 de la deuxième et µ3 de la troisième. Chaque

graphiques présentent donc les réponses des participants à chaque période et ce, pour les deux fois où ils ont effectué l’expérience.

0 .5 1 0 50 100 0 50 100 1 2 µ^1 µ^2 µ^3 Po rb ab ili té su bj ect ive Périodes Graphs by group(id)

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Figure B.2 – Évolution des probabilités subjectives du participant ID = 20415

0 .2 .4 .6 .8 0 50 100 0 50 100 5 6 µ^1 µ^2 µ^3 Po rb ab ili té su bj ect ive Périodes Graphs by group(id)

(55)

0 .2 .4 .6 .8 0 50 100 0 50 100 9 10 µ^1 µ^2 µ^3 Po rb ab ili té su bj ect ive Périodes Graphs by group(id)

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(57)

Annexe C

Simulation par type de comportement

Cette annexe présente les résultats de la simulation des différents type de comportement. Ainsi, pour la même séquence de réalisations de profits, nous avons prédit les réponses de participants fictif ayant les caractéristiques de chaque type de comportement.

0 .5 1 0 50 100 4 µ^1 µ^2 µ^3 Po rb a b ili té su b je ct ive Périodes Graphs by group(idd) Figure C.1 – Bayesiens (βµ= βπ = 1)

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0 .5 1 0 50 100 4 µ^1 µ^2 µ^3 Po rb a b ili té su b je ct ive Périodes Graphs by group(idd) Figure C.2 – Sur-Bayesiens (βµ = βπ = 1.5) 0 .5 1 0 50 100 4 µ^1 µ^2 µ^3 Po rb a b ili té su b je ct ive Périodes Graphs by group(idd) Figure C.3 – Sous-Bayesiens (βµ = βπ = 0.85) 46