Exercice 1 :
Avec les paramètres de la population : Calculer la probabilité pour que la moyenne m d’un échantillon de taille 35 pris au hasard avec un tirage non exhaustif vérifie :
1. 2. 3. 4.
Exercice 2 :
• Avec les paramètres de la population (dont le caractère étudié suit une loi normale) : , calculer la probabilité pour que la proportion p d’un échantillon pris au hasard avec un tirage avec remise vérifie :
1. 2.
• Avec les paramètres de la population (dont le caractère étudié suit une loi normale) :
, calculer la probabilité pour que la proportion p d’un échantillon pris au hasard avec un tirage avec remise vérifie :
1. 2.
Exercice 3 :
L’âge des habitants d’une ville veut être étudié d’après une enquête dont les résultats suivent : Âge (en années)
Effectifs 50 60 35 30 25
Déterminer le maximum de l’âge moyen des habitants de cette ville au risque de 5%.
Parmi les 30 élèves d’une classe d’un lycée, 27 réussissent l’examen blanc. En choisissant ce résultat comme représentatif de la réussite à l’examen terminal, déterminer le nombre minimal d’élèves qui réussiront l’examen parmi les 140 qui le passent, au risque 1 %.
Exercice 5 :
Dans un lot de pots, dont 10 % a un défaut, on teste 300 pots, par un choix successif avec remise, pour découvrir ce défaut. Déterminer la valeur du pourcentage de ce test, au risque de 1 %.
Correction
Exercice 1 :(Echantillon – moyenne).
Soit M la variable aléatoire représentant la moyenne sur un échantillon de taille 35.
La loi suivie par M est une loi normale de paramètres E(M)=30 et 1. 2. 3. p(28<M <32)=0.8609 4. p(M >34)=0.5−p(30<M <34)=0.5−0.4985 =0.0015 Exercice 2 : (Estimation proportion)
• On appelle P la variable aléatoire représentant la proportion sur un échantillon de taille 25. La loi suivie par P est donc une loi normale E(P)=0.2 et
1. p(P<0.25)=0.5+ p(0.2<P<0.25)=0.5+0.23=0.73 2. p(0.19< P<0.22)=0.1456
• On appelle P la variable aléatoire représentant la proportion sur un échantillon de taille 25. La loi suivie par P est donc une loi normale E(P)=0.4 et .
1. p(P<0.45)=0.5+ p(0.4<P<0.45)=0.5+2381=0.7381 2. p(P>0.45)=1−p(P<0.45)=0.2619
Exercice 3 :
(Estimation moyenne – intervalle de confiance) On calcule la moyenne et l’eccart type : 42 et 26.83.
par M est donc une loi normale E(M)=42 et
[
]
975 . 0 2 95 . 0 1 ) 42 ( 95 . 0 ) 42 ( 2 2 1 95 . 0 ) 42 ( 1 2 1 95 . 0 ) 42 ( 2 1 95 . 0 ) 42 42 ( = + = + ≤ = + ≤ + − = + ≤ − − = + ≥ − = + ≤ ≤ − a P p a M p a M p a M p a M a pOn en déduit que 42+a=45.74donca=3.74etI =
[
38.26;45.74]
A 95% de fiabilité l’âge moyen dans la population sera entre 38.26 ans et 45.74 ans.
Exercice 4 :
(Estimation proportion int de confiance)
On appelle P la variable aléatoire représentant te taux d’élèves reçus observés sur un échantillon de taille
30. La loi suivie par P est donc une loi normale E(P)=0.9 et
[
]
995 . 0 2 99 . 0 1 ) 9 . 0 ( 99 . 0 ) 9 . 0 ( 2 2 1 99 . 0 ) 9 . 0 ( 1 2 1 99 . 0 ) 9 . 0 ( 2 1 99 . 0 ) 9 . 0 9 . 0 ( = + = + ≤ = + ≤ + − = + ≤ − − = + ≥ − = + ≤ ≤ − a P p a P p a P p a P p a P a pOn en déduit que 0.9+a=1.0435donca=0.1435etI =
[
0.7565;1.0435]
A 99% de fiabilité le taux de reçus dans la population sera entre 75.65% et 100%. Soit entre 106 et 140 reçus.
Exercice 5 : (Echantillon – proportion)
On appelle P la variable aléatoire représentant la proportion de pots présentant un défaut sur un échantillon de taille 300.
[
]
995 . 0 2 99 . 0 1 ) 1 . 0 ( 99 . 0 ) 1 . 0 ( 2 2 1 99 . 0 ) 1 . 0 ( 1 2 1 99 . 0 ) 1 . 0 ( 2 1 99 . 0 ) 1 . 0 1 . 0 ( = + = + ≤ = + ≤ + − = + ≤ − − = + ≥ − = + ≤ ≤ − a P p a P p a P p a P p a P a pOn en déduit que 0.1+a=0.1446donca=0.0446etI =
