MODÉLISATION DES CHANGEMENTS DE PHASE
SOLIDE-LIQUIDE : EFFET DE LA VARIATION DE LA
DENSITÉ AVEC LA PHASE ET DU COUPLAGE
THERMOMÉCANIQUE
Thèse
Jonathan Dallaire
Doctorat en génie mécanique Philosophiæ doctor (Ph. D.)
Québec, Canada
iii
RÉSUMÉ
Les matériaux à changement de phase (MCP) sont utilisés dans une vaste gamme d’applications dans lesquels ils peuvent servir, entre autres, au stockage d’énergie thermique sous forme latente. Les changements de phase liquide-solide ont été le sujet de plusieurs études dans les dernières décennies autant au niveau expérimental que numérique. Puisque la matière est organisée différemment à l’échelle moléculaire, les propriétés physiques des phases solides et liquides sont différentes. En particulier, les variations de densité lors du changement de phase entraînent des variations de volume, i.e., le MCP peut se dilater ou se contracter selon de la densité relative de chaque phase. Cependant, les variations de volume sont négligées dans la plupart des études sur le changement de phase solide-liquide. La complexité additionnelle et les défis associés à la modélisation mathématique et numérique du changement de phase solide-liquide avec les variations de densité sont tels que seulement un petit nombre d’études sur ce sujet sont disponibles dans la littérature, spécialement lorsque le MCP interagit avec ses frontières physiques (couplage thermomécanique). L’objectif de cette thèse est donc de contribuer à l’avancement des connaissances en ce qui a trait à la modélisation mathématique et numérique des changements de phase solide-liquide lorsque les variations de densité et le couplage thermomécanique entre le MCP et son contenant sont pris en considération.
Dans un premier temps, un nouvel ensemble d’équations de conservation est établi pour le changement de phase solide-liquide avec différentes propriétés pour chaque phase, particulièrement la densité. En représentant la zone pâteuse comme un milieu poreux (de façon similaire au modèle enthalpique), des équations de conservation macroscopiques moyennées sont développées en appliquant une méthode de moyenne volumique (« volume averaging ») aux équations de conservation exactes pour les phases solides et liquides à l’échelle des pores. Le choix de l’hypothèse pour la vitesse de la phase solide dans la zone pâteuse (stationnaire ou mobile) se fait grâce à un seul paramètre numérique. Des simulations ont été effectuées avec un code de volumes finis dans Matlab pour un problème de solidification unidimensionnel afin de mettre en évidence les différences entre le nouveau modèle et le modèle enthalpique existant.
iv
Dans un deuxième temps, le modèle mathématique développé dans la première partie de cette thèse a été modifié pour prendre en compte les interactions entre le MCP et ses frontières physiques. Deux nouveaux modèles de couplage thermomécanique ont été introduits. Dans le premier, il a été supposé que la dilatation du MCP est contrainte par un mur élastique et que l’augmentation de pression dans le MCP suit une loi de Hooke modifiée. Dans le second modèle, une cavité d’air a été introduite au-dessus du MCP pour faciliter l’expansion de ce dernier. Des corrélations analytiques ont été développées afin de prédire certaines quantités physiques d'intérêt à l’équilibre, comme l’augmentation de pression dans le MCP, la température de fusion, la hauteur du MCP, etc. Le code de volumes finis implémenté sur Matlab dans la première partie de ce travail a été modifié par l’ajout d’une technique de maillage mobile (« moving mesh ») pour accommoder les variations de volume du MCP. Le problème étudié était la solidification d’une couche unidimensionnelle de MCP d’une hauteur finie. Les résultats numériques ont été comparés aux prédictions analytiques à l’équilibre et ils s’avèrent être en accord.
Dans un dernier temps, le modèle comprenant le mur élastique a été appliqué au problème de solidification de l’eau près de son extremum de densité dans une cavité bidimensionnelle avec convection naturelle. Le modèle complet a été implémenté dans un logiciel de CFD commercial (Fluent). Une nouvelle méthodologie a été développée afin d’améliorer les capacités du logiciel. Le couplage thermomécanique a été accompli grâce à plusieurs « User-Defined Functions » (UDF). L’effet du confinement de l’eau lors de la solidification dans la cavité a été étudié en faisant varier la rigidité du mur élastique. Il a été démontré que l’augmentation de pression résultante du couplage thermomécanique influence de façon significative l’écoulement et le taux de solidification de MCP.
v
ABSTRACT
Phase change materials (PCM) are commonly used in a vast range of engineering applications in which they can serve, for example, as a way of storing thermal energy in the form of latent energy. Solid-liquid phase change has been the subject of many studies in the past decades both experimentally and numerically. Due to the different ways in which matter is organized at the molecular level, the physical properties of the solid and liquid phases are different. In particular, the density variations during phase change leads to volume variations, i.e., the PCM will either expand or shrink, depending on the relative density of each phase. In most studies, however, volume variations during solid-liquid phase change were deemed negligible and were not taken into account. The additional complexity and the challenges associated with the mathematical and numerical modeling of solid-liquid phase change with variable density are such that only a handful of studies on the topic may be found in literature, especially in the case where the PCM interacts with its physical boundaries (thermo-mechanical coupling). The goal of this thesis is therefore to contribute to the state of the art in terms of mathematical and numerical modeling of solid-liquid phase change when both density variations and thermo-mechanical coupling between the PCM and its container are taken into account.
First, a new set of conservation equations is derived for solid-liquid phase change with different properties for each phase, especially the density. By representing the mushy region of the PCM as a porous medium (similarly to the well-known enthalpy-porosity model), macroscopic average conservation equations are developed by applying a method of volume averaging to the exact conservation equations for the solid and liquid phases at the pore level. The choice of the assumption regarding the velocity of the solid phase within the mushy region (stationary or moving) is achieved by the use of a single numerical parameter. Numerical simulations of a 1D solidification problem were performed with a finite volume code on Matlab to outline the differences between the new model and the existing enthalpy-porosity model.
vi
Then, the mathematical model developed in the first part of this thesis was extended in order to account for the interaction of the PCM with its physical boundaries. Two new models for the thermo-mechanical coupling were introduced. In the first model, it was assumed that the PCM expansion was constrained by an elastic wall and that the pressure rise within the PCM followed a modified Hooke’s law. In the second model, an air gap was introduced on top of the PCM in order to allow the latter to expand more easily. Analytical correlations were derived to predict relevant physical quantities at equilibrium, such as the pressure rise within the system, the melting temperature, the height of the PCM slab, etc. The finite volume code developed during the first part of this work was extended with a moving mesh technique to accommodate the volume variations of the PCM. The problem studied was the solidification of a 1D PCM slab of finite height. The numerical results were compared against the analytical predictions at equilibrium and showed good agreement.
Finally, the elastic wall model introduced in the previous part of the thesis was applied to the problem of solidification of water near its density extremum in a 2D cavity with natural convection. The complete model was implemented in commercial software package (Fluent). A new methodology was developed in order to improve the capabilities of the software and the thermo-mechanical coupling was achieved with the help of a set of User-Defined Functions (UDF). The effect of the confinement of water as it solidifies inside the cavity was studied by varying the stiffness of the elastic wall. It was shown that the pressure rise resulting from the thermo-mechanical coupling significantly influences the flow pattern and the solidification rate of the PCM.
vii
CONTENTS
RÉSUMÉ ... iii ABSTRACT ... v CONTENTS ... vii TABLE CAPTIONS ... xiFIGURE CAPTIONS ... xiii
NOMENCLATURE ... xv REMERCIEMENTS ... xxi AVANT-PROPOS ... xxiii CHAPITRE 1 INTRODUCTION ... 1 1.1PROBLÉMATIQUE ... 2 1.2RECHERCHE BIBLIOGRAPHIQUE ... 4 1.3OBJECTIFS ... 9 CHAPTER 2 METHODOLOGY ... 11
2.1THE METHOD OF VOLUME AVERAGING ... 12
2.2THE FINITE VOLUME METHOD... 15
2.3THE FINITE VOLUME MOVING MESH METHOD ... 17
CHAPTER 3 SOLID LIQUID PHASE CHANGE WITH VARIABLE DENSITY: FORMULATION OF CONSERVATION EQUATIONS WITH ENTHALPY METHODS ... 21 ABSTRACT ... 22 RÉSUMÉ ... 23 3.1INTRODUCTION ... 24 3.2PROBLEM STATEMENT ... 28 3.3VOLUME AVERAGING ... 30 3.4MASS CONSERVATION ... 32 3.5ENERGY CONSERVATION ... 33 3.6MIXTURE MODELS ... 36
3.6.1 Stationary solid phase in the mushy region ... 37
3.6.2 Moving solid phase in the mushy region ... 41
3.7MOMENTUM CONSERVATION ... 43
3.8DISCUSSION ON THE CLASSIC ENTHALPY-POROSITY METHOD ... 44
3.9NUMERICAL SIMULATIONS ... 47
3.10CONCLUSIONS ... 58
CHAPTER 4 FINITE VOLUME DISCRETIZATION OF THE CONSERVATION EQUATIONS ... 61
4.1CONSERVATION OF MASS ... 62
4.2CONSERVATION OF ENERGY ... 67
4.3EQUATION FOR THE MESH MOTION ... 72
viii
CHAPTER 5 VARIOUS WAYS TO TAKE INTO ACCOUNT DENSITY
CHANGE IN SOLID-LIQUID PHASE CHANGE MODELS: FORMULATION AND
CONSEQUENCES ... 79
ABSTRACT ... 80
RÉSUMÉ ... 81
5.1INTRODUCTION ... 82
5.2DESCRIPTION OF THE PROBLEM ... 86
5.2.1 Governing equations ... 88
5.2.2 Stefan problem ... 89
5.3MASS ACCOMMODATION METHODS ... 90
5.3.1 No induced liquid velocity at the phase change interface ... 90
5.3.2 Open boundary (top surface) ... 92
5.3.3 Free boundary (top surface) ... 93
5.3.4 Elastic wall model ... 95
5.3.5 Air gap model ... 100
5.4NUMERICAL MODEL ... 103
5.5RESULTS OF NUMERICAL SIMULATIONS ... 105
5.6CONCLUSIONS ... 116
CHAPTER 6 NUMERICAL MODELING OF SOLID-LIQUID PHASE CHANGE IN A CLOSED 2D CAVITY WITH DENSITY CHANGE, ELASTIC WALL AND NATURAL CONVECTION ... 117 ABSTRACT ... 118 RÉSUMÉ ... 119 6.1INTRODUCTION ... 120 6.2MATHEMATICAL FORMULATION ... 122 6.3NUMERICAL IMPLEMENTATION ... 127 6.4VALIDATIONS ... 130
6.5RESULTS AND DISCUSSION ... 137
6.5.1 Effect of the PCM confinement on the flow inside the cavity ... 137
6.5.2 Pressure build-up and melting temperature ... 141
6.5.3 Thermal behavior of the system ... 143
6.6CONCLUSIONS ... 148
CHAPITRE 7 CONCLUSIONS ... 151
7.1MODÉLISATION MATHÉMATIQUE AVANCÉE DU CHANGEMENT DE PHASE SOLIDE-LIQUIDE ... 152
7.2ÉTUDE 1D DES DIVERSES MÉTHODES POUR ACCOMMODER LE CHANGEMENT DE DENSITÉ LORS DU CHANGEMENT DE PHASE SOLIDE-LIQUIDE ... 153
7.3 ÉTUDE 2D DE LA SOLIDIFICATION DE L’EAU DANS UNE CAVITÉ AVEC CONVECTION NATURELLE ET COUPLAGE THERMOMÉCANIQUE ... 154
7.4PERSPECTIVES FUTURES ... 155
REFERENCES ... 157
APPENDICES ... 163
ix
APPENDIX B: INSTABILITY IN A CAVITY SUBJECT TO HIGH PRESSURE WHEN NEGLECTING THE PRESSURE DEPENDENCE OF THE BUOYANCY FORCE IN THE MOMENTUM CONSERVATION
EQUATION ... 165
APPENDIX C:USER-DEFINED FUNCTIONS ... 171
C.1 Thermal conductivity ... 171
C.2 Density ... 172
C.3 Modified specific heat ... 173
C.4 Viscosity ... 175
C.5 Buoyancy forces ... 176
C.6 Conservation of momentum source terms for the solid phase velocity ... 177
xi
TABLE CAPTIONS
Table 3.1: Physical properties of selected phase change materials. ... 48 Table 6.1: Physical properties of water and ice ... 122
xiii
FIGURE CAPTIONS
Figure 2.1: Schematic representation of a porous medium, a) macroscopic view and b) microscopic view ... 13 Figure 2.2: Control volume discretization of a one dimensional domain ... 15 Figure 3.1: Averaging volume in the mushy region ... 31 Figure 3.2: Conceptual representations of two mixture models; a) stationary solid phase in the mushy region and b) moving solid phase in the mushy region ... 38 Figure 3.3: Conceptual representation of the mushy region for the classic enthalpy-porosity method: latent energy contribution added to the stationary solid phase and the liquid phase ... 47 Figure 3.4: Validation of the numerical models with an analytical solution, a) position of the solid-liquid interface as a function of time, and b) temperature profile at the end of the simulation ... 51 Figure 3.5: Position of the solid-liquid interface for each model when considering density variations; a) Ste s 0.1 and b) Ste s 0.5 ... 53 Figure 3.6: Velocity profile at the end of the simulation for each model when considering density variations; a) Ste s 0.1 and b) Ste s 0.5 ... 54 Figure 3.7: Schematic representation of the difference in local latent energy content; a) Local latent energy content comparison between models 1 and 3, and b) Difference in local latent energy content between models 1 and 3 ... 56 Figure 3.8: Maximum difference in local latent energy; Comparison between models 1 and 3 for a) Water and b) Slag bath ... 57 Figure 4.1: Finite volume discretization of a one dimensional domain in a transient simulation with a deforming mesh ... 63 Figure 4.2: Flow chart of the iterative procedure ... 75 Figure 4.3: Impact of the convergence tolerance on the position of the solidification front compared to the case with a tolerance equal to 106 ... 76 Figure 4.4: Impact of the relaxation factors on the position of the solidification front compared to the case with relaxation factors equal to 102 ... 77 Figure 4.5: Impact of the relaxation factors on the number of iterations required for the solution to reach convergence as a function of the solidification time ... 78 Figure 4.6: Impact of the relaxation factors on the simulation time ... 78 Figure 5.1: Schematic representation of the solidification process in a slab of finite thickness ... 86 Figure 5.2: Schematic representations of the advanced methods for accommodating density variations during solid-liquid phase change; a) Elastic wall model and b) Air gap model . 97 Figure 5.3: Simulation results for the elastic wall model with Stes 0 01. and for different values of w; a) Position of the solid-liquid interface, b) Melting temperature, and c) Pressure rise within the system ... 108
xiv
Figure 5.4: Simulation results for the air gap model with Stes 0 01. and for different values of Lgi; a) Position of the solid-liquid interface, b) Melting temperature, and c)
Pressure rise within the system ... 112
Figure 5.5: Compafrison between predicted and simulated equilibrium positions of the solid-liquid interface; a) Elastic wall model and b) Air gap model ... 114
Figure 5.6: Comparison between predicted and simulated equilibrium pressure rise within the system; a) Elastic wall model and b) Air gap model ... 115
Figure 6.1: Schematic representation of the domain under study ... 122
Figure 6.2: Equivalent specific heat as a function of temperature to account for latent heat ... 126
Figure 6.3: Comparison of the solid-liquid interface position as a function of time with the present model and the analytical solution to the Stefan problem [4] ... 131
Figure 6.4: Comparison of the phase change interface over time in a cavity with gallium in the presence of buoyancy forces from the present model and that of [89] ... 132
Figure 6.5: Comparison of the phase change interface over time in a cavity filled with water near its density extremum from the present model and that of [65] ... 134
Figure 6.6: Validation of the thermo-mechanical coupling in the present model with the model described in Chapter 5.4, a) Position of the solid-liquid interface and b) Melting temperature ... 136
Figure 6.7: Contours of the stream function at t=300 min for w =0.3 GPa/m ... 139
Figure 6.8: Contours of the stream function at t=300 min for w =3 GPa/m ... 140
Figure 6.9: Contours of the stream function at t=300 min for w =30 GPa/m ... 141
Figure 6.10: Pressure rise as a function of time for different values of w ... 142
Figure 6.11: Melting temperature as a function of time for different values of w ... 143
Figure 6.12: Position of the solid-liquid interface at different times; a) t=15 min, b) t=60 min, c) t=120 min, and d) t=300 min ... 144
Figure 6.13: Temperature profile at t=15 min and yHi 10 for different values of w ... 145
Figure 6.14: Average heat flux on each side of the cavity as a function of time ... 147
Figure 6.15: Solidified mass fraction as a function of time ... 148
Figure B.1: Density of water as a function of temperature and pressure ... 165
Figure B.2: Contours of the stream function at =300min for =0.3GPa/m when neglecting the pressure dependence of the buoyancy forces ... 166
Figure B.3: Contours of the stream function at different times for =30 GPa/m when neglecting the pressure dependence of the buoyancy forces; a) =30 min, b) =120 min, and c) =240 min ... 169 t w w t t t
xv
NOMENCLATURE
Some variables listed in this section may have various meanings, depending on the chapter considered. This choice was made in order to use symbols that are consistent with those found in literature.
a coefficient in a discretized conservation equation i
a pressure dependent coefficient [-] A area [m2]
mush
A mushy zone constant [N s m-4]
b source term in a discretized conservation equation p
c specific heat at constant pressure [J kg-1 K-1] E Young’s modulus [N m-2]
F external body force vector [N m-3]
f liquid fraction [-]
g gravitational acceleration vector [m s-2] h sensible enthalpy [J kg-1]
sl
h latent heat of fusion [J kg-1] H total enthalpy [J kg-1]
H height of the one-dimensional slab [m] H height of the cavity [m]
k thermal conductivity [W m-1 K-1] L length of the simulation domain [m] L length [m]
L length of the cavity [m]
m total mass of the system per unit area [kg m-2]
m liquid mass flux at the solid-liquid interface [kg m-2 s-1] n outward unit normal vector [-]
. .
c v
N total number of control volumes [-] p pressure [N m-2]
xvi
Pe Peclet number [-]
q water density correlation parameter [-]
q conduction heat flux [W m-2]
q conduction heat flux vector [W m-2]
q volumetric heat source [W m-3]
Q latent heat flux [W m-2]
Ste Stefan number [-]
t time [s] f
t time at the end of the numerical simulation [s] T temperature [K] C T cold-side temperature [K] H T hot-side temperature [K] i T initial temperature [K] L T liquidus temperature [K] m T melting temperature [K] S T solidus temperature [K] max
T temperature at which density of water is maximum [K]
u velocity vector [m s-1]
D
u Darcy velocity vector [m s-1]
v vertical component of the velocity in the liquid phase [m s-1]
v y-component of the velocity [m s-1] l
v liquid velocity normal to the solid-liquid interface [m s-1] b
v velocity vector of the bounding surface of a control volume [m s-1] b
v y-component of the velocity of the bounding surface of a control volume [m s-1]
V volume [m3]
w water density correlation parameter [K-q]
, ,
xvii
Greek Symbols
thermal diffusivity [m2 s-1]
thermal expansion coefficient [K-1]
weighting factor of the temporal discretization scheme [-]
position of the solid-liquid interface [m]
,
w e
x
distance between a control volume and its western/eastern neighbor [m]
,
n s
y
distance between a control volume and its northern/southern neighbor [m] m
T
melting temperature interval [K] ,
x y
control volume size in the x y direction [m] , t
time step [s]
typical variation of between two recent time steps volume fraction [-]
small number [-] interpolation factor [-]
effective compressibility of the PCM [m2 N-1]
effective spring constant [Pa m-1]
analytical solution parameter [-] dynamic viscosity [N s m-2] Poisson coefficient [-] small number [-]
density [kg m-3]
max
maximum density of water [kg m-3]
τ viscous stress tensor [N m-2] diff
diffusion time scale [s]m
solidification/melting time scale [s]
variable used to verify the convergence of the solution k
a quantity of phase k T
xviii f
under-relaxation factor for the liquid fraction
Subscripts
f final value g gas property i initial value
k property of phase k l liquid phase property
mush mushy region property
new variable calculated at the new iteration , , ,
n s w e quantity evaluated at the northern/southern/western/eastern face of a control volume
, , , ,
N S W E P quantitiy evaluated at the grid points N S W E P, , , ,
old variable calculated at a previous iteration
relaxed variable after under-relaxation
s solid phase property
sl solid-liquid interface property
w elastic wall property
Superscripts
t quantity at evaluated at time t t t quantity evaluated at time t t
Acronyms
PCM Phase-Change Material
MCP Matériau à Changement de Phase CFD Computational Fluid Dynamics HHP High Hydrostatic Pressure UDF User Defined Fonction GCL Geometric Conservation Law
xix ALE Arbitrary Lagrangian-Eulerian
l.h.s. Left Hand Side r.h.s. Right Hand Side
xxi
REMERCIEMENTS
Cette thèse de doctorat a été réalisée grâce au soutien financier des organismes subventionnaires suivants : le Conseil de recherches en sciences naturelles et en génie du Canada (CRSNG) et le Fonds de recherche du Québec – Nature et technologies (FRQNT).
Je tiens à souligner la chance exceptionnelle que j’ai eu de cheminer sous la supervision du professeur Louis Gosselin qui m’a accueilli au sein de son équipe au Laboratoire de Transfert Thermique et d’Énergétique à l’Université Laval en 2008. Ses innombrables conseils ont su me guider tout au long de mes études graduées. Il a été et restera pour moi un modèle de réussite en tant que personne et en tant que chercheur accompli. Son support et ses suggestions ont été déterminants dans le succès de ce doctorat. Je remercie également le professeur François Mathieu-Potvin qui a été un collègue pendant de nombreuses années aux études graduées, un partenaire de bureau, un patron, mais surtout un ami. Il a su être présent pour moi à certains moments-clés de mon parcours pour me donner la motivation de continuer.
J’ai aussi eu la chance de côtoyer de nombreux collègues d’une grande qualité au cours de mes années au laboratoire. Notamment, Jean-Michel Dussault qui a toujours eu du temps à m’accorder pour discuter de divers sujets en lien avec nos projets de recherche respectifs malgré le fait que son horaire de travail comportait en moyenne 30h par jour, Christian Chabot pour nos nombreuses discussions sur les matériaux à changement de phase et Simon Tanguay qui a été d’une aide incomparable pour la mise en page de cette thèse.
Je termine en remerciant mes proches. Mes parents, Christine et Robin, m’ont toujours encouragé à poursuivre mes études et à réaliser mes rêves. Ils ont su cultiver ma curiosité dès mon plus jeune âge et m’ont toujours poussé à me surpasser. Enfin, je remercie ma femme, Virginie, qui m’a supporté et encouragé tout au long de mes études universitaires. Elle a fait preuve d’une grande compréhension lors des périodes plus difficiles et a toujours été présente pour moi.
xxiii
AVANT-PROPOS
Les articles formant le corps de cette thèse (Chapitres 3, 5 et 6) ont été coécrits par l’auteur de la thèse, Jonathan Dallaire, et son directeur de recherche, Louis Gosselin. La programmation, les simulations numériques, le traitement des résultats, les recherches, l’écriture de cette thèse et l’essentiel des articles ont été effectués par Jonathan Dallaire. La collaboration de Louis Gosselin a été indispensable quant à la supervision des travaux de recherche, à l’analyse des résultats, à l’aide à la rédaction et à la correction des articles. Par rapport à la version originale, des modifications de forme ont été apportées aux articles afin d’en faciliter la lecture et pour être conforme aux exigences de la Faculté des études supérieures et postdoctorales. La pagination, les numéros de tableaux et de figures, l’inclusion des figures dans le texte et la numérotation des références bibliographiques ont été adaptées suivant le corps de la thèse. Les articles scientifiques insérés dans cette thèse sont énumérés ci-après :
Chapitre 3 : J. Dallaire and L. Gosselin, “Solid-liquid phase change with variable density: formulation of conservation equations with enthalpy methods”, Int. J. Therm. Sci., Soumis en 2016
Chapitre 5 : J. Dallaire and L. Gosselin, “Various ways to take into account density change in solid–liquid phase change models: Formulation and consequences,” Int. J. Heat Mass Transf., vol. 103, pp. 672–683, Dec. 2016.
Chapitre 6 : J. Dallaire and L. Gosselin, “Numerical modeling of solid-liquid phase change in a closed 2D cavity with density change, elastic wall and natural convection”, Int. J. Heat Mass Transf., Soumis en 2017
1
2 1.1 Problématique
La diminution des réserves d’énergies fossiles et la quantité croissante d’émissions de gaz à effet de serre au cours des dernières décennies engendrent un besoin de plus en plus pressant de trouver de nouvelles sources d’énergie renouvelable et de développer des technologies permettant d’accroître l’efficacité énergétique des nouveaux systèmes et d’améliorer celle des systèmes existants. Le stockage d’énergie est une méthode fréquemment utilisée afin d’améliorer l’efficacité énergétique des systèmes. Il permet entre autre d’emmagasiner l’énergie au cours des périodes de demande plus faible (durant lesquelles un surplus d’énergie est produit) pour l’utiliser au cours des périodes de demande plus élevée. Il est possible de stocker l’énergie sous forme mécanique (e.g., volant d’inertie), électrique (e.g., batterie) et thermique. Dans le cadre de cette thèse, on s’intéresse particulièrement au stockage d’énergie thermique sous forme latente, réalisé par l’intermédiaire de matériaux à changement de phase.
Il est possible d’emmagasiner de l’énergie sous forme latente dans un matériau lorsque celui-ci change de phase (phase solide à liquide ou liquide à gazeuse) en le chauffant. Cette énergie peut être restituée en partie dans le système en permettant au matériau de refroidir et changer de phase à nouveau (gazeuse à liquide ou liquide à solide). Le changement de phase permet d’emmagasiner de l’énergie de manière très efficace. À titre d’exemple, il faut environ 80 fois plus d’énergie pour faire passer une certaine masse d’eau de l’état solide à liquide qu’il en faut pour faire augmenter cette même masse d’eau liquide d’un seul degré. Le changement de phase permet également d’emmagasiner de l’énergie à température constante ou sur une plage restreinte de température, correspondant à la température de changement de phase du matériau utilisé. La vaste gamme de matériaux à changement de phase disponible permet d’utiliser cette technique de stockage dans un très grand nombre d’applications en ingénierie.
La nature non linéaire des équations décrivant les problèmes de changement de phase rendent l’étude analytique de tels problèmes difficile, sauf pour quelques rares cas simples. Pour cette raison, la vaste majorité des études portant sur des problèmes de changement de
3
phase se font de manière expérimentale et/ou numérique. La modélisation numérique du changement de phase présente un défi considérable et la plupart des modèles présentés dans la littérature utilisent de nombreuses simplifications à la physique du problème. Ces simplifications peuvent engendrer des différences significatives entre le modèle numérique et la réalité. Les aspects de modélisation suivants sont la majeure partie du temps négligés et pourraient expliquer certaines différences obtenues lors de la comparaison entre les résultats numériques et expérimentaux : (1) la différence de densité pour les phases liquides et solides, (2) la vitesse normale de la phase liquide à l’interface de changement de phase résultant de la différence de densité entre les deux phases, (3) les propriétés de changement de phase (e.g., température de fusion, chaleur latente) variables en fonction de la pression, (4) la dilatation thermique des matériaux à changement de phase et (5) le mouvement des parties solides isolées dans le fluide sous l’effet de la force de gravité. La plupart des études numériques récentes utilisent cependant pour la validation de leurs modèles les résultats eux aussi numériques obtenus par d’autres auteurs, plutôt que d’effectuer une validation avec des résultats expérimentaux. De ce fait, les comparaisons qualitatives entre figures de différents articles numériques mènent rarement à des différences significatives nécessitant le raffinement des modèles numériques existants [1]. C’est pourquoi il est important de considérer l’impact des différents aspects mentionnés précédemment sur la modélisation numérique du changement de phase et de comparer les résultats numériques avec des résultats expérimentaux et analytiques (lorsque possible) afin de déterminer si la précision supplémentaire apportée aux résultats justifie l’accroissement considérable de la complexité du problème et du temps requis pour effectuer les simulations numériques. De plus, certains de ces aspects peuvent s’avérer nécessaire pour la modélisation de phénomènes physiques telle que l’interaction du matériau à changement de phase avec les parois qui le confinent (couplage thermomécanique).
4 1.2 Recherche bibliographique
Les problèmes de changement de phase font partie d’un type de problème particulier dans lequel la position de la frontière de changement de phase est a priori inconnue et peut se déplacer avec le temps. Ce type de problème fut tout d’abord abordé en 1831 par Lamé et Clapeyron [2] lors d’une étude sur la formation de la croûte terrestre. Afin de leur permettre de trouver une solution analytique au problème, la géométrie sphérique de la Terre a été représentée par un domaine unidimensionnel semi-infini. C’est toutefois seulement après la publication des travaux du physicien Jozef Stefan en 1889 portant sur la formation de la glace [3] que ce type de problème s’est vu attitré le nom qu’on lui connaît aujourd’hui, soit problème de Stefan. Bien que l’obtention d’une solution analytique soit possible dans quelques cas simples impliquant des régions infinies ou semi-infinies avec des conditions aux frontières simples [4], la non linéarité des équations gouvernant les problèmes de changement de phase rend l’obtention d’une solution analytique difficile. Pour cette raison, la plupart des études sur ce type de problème sont effectués de manière expérimentale ou numérique.
Parmi les pionniers, Shamsundar et Sparrow [5] ont résolu les équations du modèle enthalpique grâce à la méthode des différences finies afin d’étudier le problème de solidification dans une cavité carrée refroidie par convection. Les auteurs ont démontré que le modèle enthalpique est équivalent aux équations de conservation de l’énergie dans les parties solide et liquide combinées à un bilan d’énergie à l’interface de changement de phase. Ils ont également trouvé que la position de l’interface solide-liquide était indépendante du nombre de Stefan au début du processus de solidification. Cependant, à mesure que la solidification de la cavité progresse, l’effet du nombre de Stefan sur la position du front de changement de phase est important. L’année suivante, les mêmes auteurs ont présenté une étude sur l’effet du changement de densité lors de la solidification d’un matériau à changement de phase dans une cavité rectangulaire dont les parois sont refroidies par convection [6]. Puisque la phase solide est généralement plus dense que la phase liquide, il se formera une cavité lors du processus de solidification. Les auteurs supposent que cette cavité se remplie de vapeur du matériau à changement de phase.
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Cependant, ils considèrent que le transfert de chaleur entre la cavité de vapeur et les phases liquide et solide est négligeable. Afin de déterminer la position de l’interface de changement de phase et la forme de la cavité de vapeur, les auteurs utilisent un modèle enthalpique dans lequel la force de gravité a un effet suffisamment important pour permettre aux bulles de vapeur formées dans le liquide de vaincre les forces visqueuses et monter au sommet de la cavité rectangulaire pour former la cavité de vapeur. Cette hypothèse implique que la cavité de vapeur sera toujours située au sommet du domaine de simulation. Les auteurs ont supposé que le liquide était à température de saturation tout au long des simulations. Afin de pouvoir suivre les interfaces solide-liquide et liquide-vapeur au cours de la simulation, les auteurs doivent poser quelques hypothèses supplémentaires pour accommoder le manque d’information sur la tension de surface du matériau à changement de phase. Notamment, l’interface solide-liquide est normale à l’interface liquide-vapeur et de forme parabolique à proximité de cette dernière.
En 1990, Zhang et Bejan [7] ont développé un modèle analytique à deux dimensions pour étudier la solidification dans une cavité rectangulaire à haut nombre de Rayleigh. Dans leur modèle, les propriétés des phases liquides et solides peuvent être différentes, à l’exception de la densité. De plus, ils supposent que la température du liquide est stratifiée linéairement dans la direction verticale. La précision du modèle développé est démontrée en comparant les prédictions numériques avec des résultats expérimentaux.
Dans leurs travaux, Oosthuizen et Paul [8] effectuent une étude numérique en deux dimensions sur le régime stationnaire lors de la solidification de l’eau dans un cavité rectangulaire ouverte. Dans leur modèle, les équations de la vorticité sont transformées sous forme adimensionnelles. La frontière supérieure de l’eau est considérée comme une surface libre et permet l’ajout ou le retrait de masse d’eau lors du processus de solidification. Une différence de température est imposée entre les parois latérales de la cavité. Les auteurs considèrent la densité de l’eau constante, sauf pour le terme de gravité, dans lequel ils utilisent une fonction quadratique déterminée à partir d’une courbe de régression de données expérimentales de la densité de l’eau entre 0ºC et 10ºC. Cela leur permet entre
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autre de représenter dans leur modèle la densité maximale de l’eau qui se situe autour de 4ºC.
Binet et Lacroix [9] étudient à l’aide d’un modèle numérique en deux dimensions les phénomènes fusion et de convection naturelle dans une cavité rectangulaire chauffée uniformément et discrètement. Ils supposent que les propriétés du matériau à changement de phase sont constantes et utilisent l’hypothèse de Boussinesq pour simplifier les équations de conservation de la quantité de mouvement. De plus, ils expriment l’équation de conservation de l’énergie avec la formulation d’enthalpie-porosité proposée par Voller [10]–[12]. Les auteurs utilisent dans leur géométrie une cavité d’air au-dessus du matériau à changement de phase, mais ils négligent l’expansion thermique de ce dernier dans leur modèle numérique. Leurs résultats numériques sont toutefois validés par des résultats expérimentaux.
Dans leurs travaux, Mbaye et Bilgen [13] utilisent une approche similaire afin d’étudier la fusion d’un métal pure dans une cavité rectangulaire. Afin de modéliser la zone de transition entre solide et liquide, les auteurs utilisent également la formulation d’enthalpie-porosité. De plus, ils augmentent artificiellement la viscosité du fluide dans la partie solide afin de s’assurer d’obtenir une vitesse nulle dans cette partie. Pour les simulations numériques, les propriétés du matériau à changement de phase sont considérées les mêmes pour les phases solide et liquide. Cette simplification est justifiée par les auteurs par le fait que le changement relatif des propriétés thermiques du gallium est inférieur à 3% lors du changement de phase.
Dans la plupart de ces modèles, les auteurs considèrent les propriétés des matériaux à changement de phase constantes et égales pour les phases liquides et solides. Dans le cas de certains matériaux, la différence de densité relative entre ces deux phases est très faible, soit, par exemple, de l’ordre de 4% pour le gallium, ce qui peut justifier une telle hypothèse. Toutefois, pour d’autres matériaux tels que l’acide laurique ou l’eau, le changement de densité relatif est approximativement de l’ordre de 6.2% et 9%, respectivement. Le fait de considérer une différence de densité peut permettre de
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représenter certains phénomènes physiques qui n’apparaîtraient pas autrement lors d’une simulation. Dans certaines situations, il peut se former des parties solides isolées dans le domaine de simulation qui se déplaceront dans le sens de la force de gravité. Si on considère la fusion d’un matériau à changement de phase dans une cavité dont les quatre parois sont chauffées, la partie solide tombera rapidement au fond de la cavité si la différence de densité est grande. Dans cette situation, la majeure partie du phénomène de fusion aura lieu dans un mince film liquide entre le bloc solide et la paroi inférieure de la cavité. Ce type de problème de fusion est connu sous le nom de fusion de contact. Des études ont été effectuées analytiquement [14]–[17], expérimentalement [16]–[19] et numériquement [20] sur ce type de problème. À l’opposé, lorsque la différence de densité est faible entre les phases solide et liquide tel qu’il est le cas dans plusieurs applications en ingénierie, l’hypothèse du film-mince n’est plus valide et le problème ne peut plus être considéré comme un problème de fusion de contact.
En 1994, Asako et al. [21] ont étudié la fusion d’un bloc solide initialement en contact avec la paroi inférieure d’une cavité sans aucune hypothèse sur l’épaisseur du film entre le bloc et la paroi. Les auteurs utilisent le modèle enthalpique à deux dimensions et une méthode de différences finies pour résoudre les équations. Ils trouvent que sous l’hypothèse de faible gravité, le taux de fusion est inférieur à celui de l’hypothèse de fusion de contact. En 1999, Asako et Faghri [22] ont fait varier le ratio de la densité du solide par rapport au liquide entre 1 et 1.1 pour le même problème et ont trouvé que pour les conditions étudiées, le mouvement du bloc solide en fonction du temps était peu influencé par ce paramètre.
La même année, Ghasemi et Molki [23] ont étudié le mouvement d’un bloc solide dans une cavité carré chauffée par les quatre côtés. Ils ont utilisé un modèle enthalpique en deux dimensions avec des propriétés thermodynamiques constantes. La validation de leur modèle numérique a été effectuée à partir de résultats numériques seulement pour le problème de la cavité de gallium. Les auteurs présentent la position de l’interface de changement de phase et le taux de fusion en fonction du temps pour différents nombres de Rayleigh et d’Archimède.
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Il est possible d’obtenir une situation similaire à une faible différence de densité entre les phases liquide et solide en effectuant une simulation sous l’effet d’une faible gravité. Dans leurs travaux, Gonçalves et al. [24] et Veilleux et al. [25] utilisent les forces électromagnétiques afin de simuler un effet de faible gravité dans une cavité de gallium. Les auteurs considèrent donc, pour leur modèle en deux et trois dimensions, respectivement, l’effet de la force de Lorentz sur l’écoulement du fluide conducteur. Cette physique additionnelle ne sera toutefois pas considérée dans le cadre du présent projet.
L’état actuel de la littérature est tel que peu de travaux prennent en considération à la fois la différence de densité entre les phases solide et liquide, ainsi que les effets que cette différence de densité peut engendrer sur la physique du problème, comme le mouvement des parties solides isolées sous l’effet de la force de gravité ou l’interaction du matériau à changement de phase avec les frontières du domaine étudié. De plus, la majorité des modèles de changement de phase avec convection naturelle reposent sur l’hypothèse de Boussinesq, sans considérations supplémentaires pour des phénomènes physiques tels que la dilatation thermique des matériaux ou la variation des propriétés thermodynamiques avec la température ou la pression. Enfin, la validation des résultats numériques de la plupart des travaux récents repose sur une comparaison avec les résultats numériques de travaux antérieurs, plutôt qu’avec des résultats expérimentaux.
Par rapport à la littérature, le présent projet consiste à développer de nouveaux modèles mathématiques et numériques du phénomène de changement de phase solide-liquide avec convection naturelle en prenant en considération les paramètres avancés suivants :
1. Différence de densité entre les phases solide et liquide;
2. Vitesse normale du liquide à l’interface de changement de phase; 3. Température de fusion variant en fonction de la pression;
4. Interaction du matériau à changement de phase avec les parois du domaine; 5. Validation du modèle numérique avec des résultats expérimentaux.
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Le nouveau modèle développé comporte donc un ensemble de paramètres avancés de modélisation du changement de phase (avec ou sans convection naturelle), ce qui permet de mieux comprendre les divers phénomènes physiques présents dans plusieurs applications en ingénierie.
1.3 Objectifs
L’objectif global de cette thèse consiste à faire progresser l’état des connaissances en modélisation avancée du phénomène de changement de phase solide-liquide. À cette fin, le projet a été découpé en trois parties distinctes comme suit :
1. Modélisation mathématique avancée du changement de phase solide-liquide; 2. Étude 1D des diverses méthodes pour accommoder le changement de densité lors
du changement de phase solide-liquide (e.g., frontière ouverte, frontière libre, ou couplage thermomécanique);
3. Étude 2D de la solidification de l’eau dans une cavité avec convection naturelle et couplage thermomécanique.
Les objectifs spécifiques pour la première partie (associée aux Chapitres 3 et 4 de cette thèse) sont les suivants :
1.i Développer un modèle mathématique incluant certains paramètres avancés de modélisation énumérés à la Section 1.1 du présent chapitre;
1.ii Accroître la polyvalence des codes commerciaux de CFD existants (e.g., Fluent, Comsol) lors de l’étude du changement de phase solide-liquide avec ou sans convection naturelle;
1.iii Déterminer les différences engendrées par la modélisation de ces paramètres avancés sur les résultats des simulations numériques par rapport aux modèles de changement de phase solide-liquide existants.
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Les objectifs spécifiques de la deuxième partie (associée au Chapitre 5 de cette thèse) étaient, quant à eux, les suivants :
2.i Déterminer quelles méthodes peuvent être utilisées afin d’accommoder les changements de volume lors du changement de phase solide-liquide (modèles analytiques, numériques et bancs d’essais expérimentaux);
2.ii Développer de nouveaux modèles de couplage thermomécanique; 2.iii Étudier et prédire le comportement de ces nouveaux modèles.
Finalement, les objectifs spécifiques de la troisième et dernière partie du projet (associée au Chapitre 6 de cette thèse) sont :
3.i Étudier le phénomène de changement de phase solide-liquide dans une cavité 2D avec convection naturelle lorsque l’expansion du matériau à changement de phase lors de la solidification est considérée (couplage thermomécanique);
3.ii Effectuer la validation du modèle final en comparant les résultats numériques à des résultats expérimentaux (lorsque possible) et à d’autres résultats numériques.
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The different mathematical tools and numerical techniques that will be used in the next chapters of this thesis are introduced in this chapter. The goal is to lay out the basic concepts behind some of the methods used in this thesis in order to help a reader less familiar with the topic. Some complementary information that was not explicitly detailed in the papers (Chapters 3, 5, and 6) will also be given. Section 2.1 presents a brief overview of the volume averaging method used in Chapter 3 to develop a new set of governing equations for solid-liquid phase change. An introduction to the finite volume method is presented in Section 2.2. Finally, Section 2.3 outlines the basis of the moving mesh method, which takes into account the deformation of the mesh over time.
2.1 The method of volume averaging
It is a common practice in literature to represent the region where phase change occurs (mushy region) as a porous medium [10]–[12]. This allows using a single set of conservation equations for both phases gradually blocking the velocity in the mushy zone. However, the classical model was developed under the assumption that the density of both phases was the same. There was thus a need to develop a new set of conservation equations to improve existing numerical models, as well as our understanding of solid-liquid phase change when density variation is considered. The method of volume averaging naturally appeared as a good technique to achieve this goal, since it allows developing macroscopic (averaged) conservation equations from the exact conservation equations at the pore level.
The macroscopic view of a porous medium is depicted in Fig. 2.1a, whereas a schematic representation of an averaging volume is shown in Fig. 2.1b. The length scales in both cases are the domain size and the pore size, respectively. In general, governing equations offer a description of mass, energy, or momentum conservation at the pore level. Solving the governing equations at that length scale with any numerical tool would not be practical, as it would require tremendously small mesh size and the simulations would take a long time to complete. Furthermore, the level of precision required in most cases does not require the resolution that would be obtained if the governing equations were solved at the pore level. With the method of volume averaging, the physical quantities of interest are
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averaged over a representative averaging volume and the governing equations are solved at the macroscopic level. The different physical quantities (density, temperature, fluid velocity, etc.) are thus represented as averaged quantities.
Figure 2.1: Schematic representation of a porous medium, a) macroscopic view and b) microscopic view
The basic concepts of the method of volume averaging will be illustrated with the help of a simple example, i.e., heat transfer inside a porous medium. For the sake of simplicity, it will be assumed that the only mode of heat transfer (including both the solid and liquid phases) is conduction. Looking first at the solid phase, heat conduction is governed by the well-known Fourier’s law:
0 s
q (2.1)
where q is the heat flux inside the solid phase, at the pore level, as seen in Fig. 2.1b. It can s
be emphasized at this point that q is not a continuous function of s x and y as it only exists inside the solid phase. The transformation of Eq. (2.1) at the pore level into an averaged equation at the macroscopic level is done through the introduction of the following operator: 1 k k k V dV V
(2.2) Solid phase Liquid phase sl A sl n ls n V
, l x y q
, s x y q h o t si d e co ld s id eaveraged heat flux
, s x y q x y ) a b)14
In the previous equation, k is defined as the superficial average of the variable (defined in phase k ) over the averaging volume V . Applying the averaging operator on Fourier’s law equation and using averaging theorems derived in [26], Eq. (2.1) can be transformed as follow: 1 ˆ 0 sl s s A dA V q
q n sl (2.3)It can be seen that the differential equation governing conduction heat transfer at the pore level, i.e., Eq. (2.1), has been transformed by the averaging process into an integro-differential equation for the average heat flux q in the solid phase at the macroscopic s
level. As opposed to q , the average heat flux s q is now a continuous function of x and s
y over the entire macroscopic domain. The first term on the l.h.s. in Eq. (2.3) results from heat conduction inside the solid phase at the pore level, while the second term results from the heat flux across the solid-liquid interface at the pore level. Both contributions are taken into account when looking at the averaged equation. Following a similar procedure, the averaged heat conduction equation for the liquid phase is:
1 ˆ 0 sl l l A dA V q
q n ls (2.4)where the macroscopic averaged equations (2.3) and (2.4) are linked at the pore level through the conservation of energy at the solid-liquid interface:
ˆ ˆ 0
s l
sl ls
q n q n (2.5)
Based on the method of volume averaging introduced in this section, new conservation equations will be derived in Chapter 3 for solid-liquid phase change with variable density. The averaged governing equations in the solid and liquid phases will then be combined, which will result in a single set of equations that will be solved everywhere in the PCM (in the solid and liquid phases, as well as within the mushy region), similarly to the classical enthalpy-porosity formulation.
15 2.2 The finite volume method
Obtaining the analytical solution to a system of differential equations is possible mostly for some cases where the governing equations and/or the geometry are rather simple. Whenever a theoretical solution is out of reach, one must rely on alternative methods, such as the numerical resolution of the equations. The finite volume method is one of the possibilities when it comes to the numerical solution of differential equations. Instead of providing the exact values of the variable of interest (e.g., temperature when solving the conservation of energy) everywhere inside the domain, the finite volume method provides an approximation of the exact solution at a finite number of discrete locations (nodes) generally located at the center of each control volume. The domain under study is thus discretized in a large number of control volumes, as illustrated in Fig. 2.2 for a one dimensional system.
Figure 2.2: Control volume discretization of a one dimensional domain
The conservation equations are then integrated over each control volume, resulting in a set of algebraic equations (one for each control volume) that are solved for the unknown variables. The discretized equation obtained in this manner expresses the conservation principle for a control volume similarly to how a differential equation expresses the conservation principle for an infinitesimal control volume.
To demonstrate how to use the finite volume method to solve differential equations, consider the following one-dimensional heat conduction equation with a volumetric heat source q: 0 T k q x x (2.6) P x W E x e x w x w e 0 x xL
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where k and T are the thermal conductivity of the material and the temperature, respectively. Integrating Eq. (2.6) over the control volume around point P in Fig. 2.2 yields: 0 e e w w T k dx q dx x x
(2.7) 0 e w T T k k q x x x (2.8)In deriving Eq. (2.8), it was assumed that the rate of heat generation per unit volume was uniform across the control volume. Additionally, the volume integral of the first term on the l.h.s. was transformed using the divergence theorem (see Section 10.7 in [27]) which states that, for a given vector u, the integral of u over a closed volume V bounded by a surface A can be transformed as follow:
ˆ
V A
dV dA
u
u n (2.9)In order to evaluate the first two terms in the previous equation, an assumption must be made regarding how the temperature varies between two adjacent control volumes. The two simplest assumptions are the stepwise profile (T is uniform over a control volume) and the piecewise-linear profile (T varies linearly between two adjacent control volumes). Assuming a piecewise-linear profile, the temperature gradient at the face between two control volumes can be expressed as a function of the temperatures at the center of these control volumes. In that case, Eq. (2.8) becomes:
0 e E P w P W e w k T T k T T q x x x (2.10)17
The last equation may be rearranged in the following manner: P P E E W W
a T a T a T b (2.11)
where the coefficients of the equation are given by: e E e k a x (2.12) w W w k a x (2.13) P E W a a a (2.14) bqx (2.15)
Eqs. (2.11)-(2.15) constitute the final form of the discretized equation. A similar equation can be written for each control volume. The complete set of discretized algebraic equations can be solved for the unknown temperatures at the center of each control volumes. For additional information on the method of finite volume, the reader is invited to consult [28].
The principles of this method that were introduced in the present section will serve as a basis for the discretization of the new set of governing equations derived in Chapter 3. The complete set of algebraic equations will be developed and presented in Chapter 4. In addition, the governing equations solved by the commercial software used for the numerical simulations in Chapter 6 were also discretized using this method.
2.3 The finite volume moving mesh method
Two possible descriptions of motion may be considered according to continuum mechanics: Lagrangian or Eulerian [29]. In terms of the numerical solution of differential equations, Lagrangian algorithms assume that grid points follow their associated material particles during motion, whereas Eulerian algorithms assume that the grid points (i.e., the mesh) is fixed and the fluid particles move with respect to the mesh. A third option called the arbitrary Lagrangian-Eulerian (ALE) method offers a compromise between the Lagrangian and the Eulerian approaches by combining some of their respective features [30]. The finite volume moving mesh method discussed in this section falls into the ALE category.
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As a reminder, the work presented in this thesis mainly focuses on solid-liquid phase change with variable density. Consequently, when the PCM melts or solidifies, it will either shrink or expand, depending on the density variations between the solid and liquid phases. Therefore, the entire geometry (and as a result, the mesh) will deform with time. As was explained in Section 2.2, when deriving the discretized form of the governing equations, the latter are integrated over a control volume. When the control volume is moving and/or deforming, a special attention needs to be given to the integration process as will be explained below.
In general, the integral of a variable over an arbitrary deforming volume V t bounded
by a surface A t may be evaluated with the help of the Reynolds transport theorem (see
Section 4.4 in [31]): ˆ V t V t A t d dV dV dA dt t
v nb (2.16)where v is the velocity of the bounding surface b A t and ˆ
n is an outward unit normalvector. To illustrate how to adapt the classic finite volume method to a moving mesh method, consider the transient term (i.e., the term on the l.h.s.) in the equation for the conservation of energy: p T T c k t x x (2.17)
Assuming the density and the specific heat cp to be constants, integrating the transient term over a non-moving control volume (classical finite volume method) and taking the average over a time step would give:
t t e t t e p p t t t p P P t w t w c T d c x dxdt c Tdxdt T T t t dt t
(2.18)where Reynolds transport theorem was used with vb 0 . On the other hand, if the same
term was integrated over a deforming control volume, the discretization would become:
t t e t t e p p b t w t w A t c T d dxdt c Tdx Tv dA dt t t dt
(2.19)19
t t
p t t t t t t P P p b e b w t c T x T x c Tv Tv dt t
(2.20)The consequences of integrating the equation over a deforming control volume in that case are twofold: 1) The control volume size in the first term in Eq. (2.20) is not the same depending on the time step at which it is evaluated and 2) an additional term appears in the discretized equation that takes into account the net energy flux across the moving boundaries of the control volume. In combination with the finite volume method described in the previous section, Reynolds transport theorem will be an essential tool in deriving the discretized form of the conservation equations with a moving mesh in Chapter 4.
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CHAPTER 3
SOLID LIQUID PHASE CHANGE WITH VARIABLE
DENSITY: FORMULATION OF CONSERVATION
EQUATIONS WITH ENTHALPY METHODS
22 Abstract
In this paper, mass and energy conservation equations are derived for solid-liquid phase change problems when different properties are considered for the solid and liquid phases, in particular the density. The aim is to provide a model that can readily be implemented with CFD software packages by developing conservation equations that resemble the classic enthalpy-porosity equations, but that properly take into account density variations during phase change. A new set of conservation equations is proposed, where a single numerical parameter is used to decide which assumption is used for the solid phase within the mushy region (stationary or moving). A discussion on the classic enthalpy-porosity method shows that the total enthalpy of the liquid should be used in the advection term as opposed to the total enthalpy of the PCM when using the Darcy velocity in the conservation equations. It was also shown that when the usual conservation equations are adapted for a PCM with variable density, significant differences may occur in the local latent energy profile since latent energy is usually added uniformly within the mushy region with this approach. These differences are illustrated with the help of numerical results. The proposed formulation of this paper avoids misrepresenting the latent energy in the mushy region, and it also avoids underestimating the advection of latent energy.
23 Résumé
Dans cet article, les équations de conservation de l’énergie et de la masse sont développées pour le problème du changement de phase solide-liquide lorsque les propriétés sont différentes pour chaque phase et plus particulièrement la densité. L’objectif est de fournir un modèle pouvant être implémenté facilement à l’aide des logiciels de CFD existants en développant les équations de conservation de manière à ce qu’elles ressemblent aux équations classiques de l’approche «enthalpie-porosité», mais qui prennent adéquatement en considération les variations de densité lors du changement de phase. Un nouvel ensemble d’équations de conservation est proposé où un seul paramètre numérique est utilisé afin de choisir l’hypothèse pour la phase solide dans la zone pâteuse (stationnaire ou en mouvement). Une discussion sur l’approche classique «enthalpie-porosité» montre que l’enthalpie totale du liquide devrait être utilisée dans le terme d’advection au lieu de l’enthalpie totale du MCP lorsque la vitesse de Darcy est utilisée dans les équations de conservation. Il a aussi été démontré que lorsque les équations de conservations usuelles sont adaptées pour prendre en considération le changement de densité lors du changement de phase, des différences significatives peuvent être observée dans le profil d’énergie latente locale, puisque l’énergie latente est normalement distribuée uniformément dans la zone pâteuse avec cette approche. Ces différences sont illustrées à l’aide des résultats des simulations numériques. La formulation des équations proposée dans cet article évite la mauvaise représentation de l’énergie latente locale et la sous-estimation de l’advection de l’énergie latente dans la zone pâteuse.
