3. Exercices et corrig ´es
. N°3 p123.
Pr´ecisez si les suites propos´ees, d´efinies pour tout entier naturel n, sont arithm´etiques ou non. Si oui, pr´ecisez le 1er terme et la raison. a) u0= −1 un+1= 1 2un+ 1 b) ( u0= 2 un+1= −2 + un
. Corrig ´e du N°3 p.123
Le test ”classique” pour v´erifier qu’une suite est arithm´etique (ou pas) est le calcul de un+1− un.
De deux choses l’une : soit le r´esultat est une constante ind´ependante de n et la suite est arithm´etique (sa raison est alors la constante trouv´ee - en anglais, ”common difference”-) ; soit le r´esultat d´epend de n (ou de un etc... Alors la
suite n’est pas arithm´etique. a) un+1− un=12un+ 1 − un= −12un+ 1 : la suite n’est pas arithm´etique.
b) ∀n ∈ N, un+1− un= −2 : la suite est arithm´etique de premier terme u0= 2 et de raison −2.
. Pour pr ´eparer le contr ˆole
Exercice r´esolu A p.123.
. N°66 p133.
La suite (un) est arithm´etique de raison r. Exprimez unen fonction de n.
a) u5= − 1 3 r=1 2 b) ( u10= 0 r= −3
. Corrig ´e du N°66 p.133
a) 1`ere m´ethode : on calcule u0. Comme u5= u0+ 5r, on a −13 = u0+ 5 ×21, donc u0= −13−52 = −176. Ainsi,
un= − 17
6 + 5 × 1 2.
2`eme m´ethode :Comme un= u5+ (n − 5) × r (la formule g´en´erale est un= up+ (n − p) × r), on a :
∀n ∈ N, un= − 1 3 +n−52 = − 17 6 + n × 1 2.
b) Avec la 2`eme m´ethode, on obtient : ∀n ∈ N, un= −3(n − 10) = 30 − 3n.
. Pour pr ´eparer le contr ˆole
n°63 p.133.
. N°78 p133.
(un) est une suite arithm´etique de raison r. Prouvez que les suites (vn) et (wn) d´efinies, pour tout entier naturel n,
respectivement par vn= 2un+ 5 et wn= u3n−1 sont arithm´etiques et donnez leur raison.
. Corrig ´e du N°78 p.133
∀n ∈ N, un= u0+ nr et vn= 2(u0+ nr) + 5 = (2u0+ 5) + 2nr.
vn+1− vn= 2un+1+ 5 − (2un+ 5) = 2(un+ r) + 5 − (2un+ 5) = 2un+ 2r + 5 − 2un−5 = 2r.
La suite (vn) est arithm´etique de raison 2r.
∀n ∈ N, u3n= u0+ 3nr et wn= (u0+ 3nr) − 1.
wn+1− wn= u3(n+1)−1 − u3n+ 1 = 3r.
La suite (wn) est arithm´etique de raison 3r.
. Pour pr ´eparer le contr ˆole
Exercice r´esolu C p.125.
. N°13 p125.
La suite (un) est arithm´etique de raison r, avec u0= 5 et u100= −45. Calculer u20 et u200. (Il faudra d’abord calculer
la raison r).
. Corrig ´e du N°13 p.125
u100− u0= 100r = −50, donc r = −12.
u20= u0+ 20 × r = 5 + 20 × (−12) = −5.
u200= u0+ 200 × r = 5 + 200 × (−12) = −95.
. Pour pr ´eparer le contr ˆole
n°70 p.133.
. N°20 p126.
La suite (un) est arithm´etique de raison r, avec u17= 24 et u40= 70. Calculer r et u100, puis la somme S des termes de
u40`a u100.
. Corrig ´e du N°20 p.126
u40− u17= 23r = 46, donc r = 2.
u100= u40+ 60 × r = 190.
S= 61 ×70+190
2 = 7930, car 61 repr´esente le nombre de termes, 70 = u40 le 1er terme, et 190 = u100 le dernier terme.
. Pour pr ´eparer le contr ˆole
n°106 p.135.
. N°9 p124.
Pr´ecisez si les suites (un), d´efinies pour tout entier naturel n, sont g´eom´etriques ou non. Si oui, pr´ecisez leur raison.
a) ( u0= 2 un+1= 4un b) ( u0= −1 5un+1−2un= 1
. Corrig ´e du N°9 p.124
a) ∀n ∈ N, un+1un = 4. La suite (un) est g´eom´etrique de premier terme u0= 2 et de raison 4.
b) u0= −1, u1= −15, u2= 253. u1 u0 = 1 5 6= u2 u1 = − 3
5 : la suite n’est pas g´eom´etrique.
. Pour pr ´eparer le contr ˆole
Exercice r´esolu B p.124.
. N°17 p125.
La suite (un) est g´eom´etrique de raison q, avec u0= 13 et q = −2. Exprimez unen fonction de n et calculez u4 et u10.
. Corrig ´e du N°17 p.125
∀n ∈ N, un= (−2) n 3 . u4=(−2) 4 3 = 16 3 et u10= (−2)10 3 = − 1024 3 .. Pour pr ´eparer le contr ˆole
n°86 p.134.
. N°22 p126.
La suite (wn) est g´eom´etrique de raison q, avec w3= 27 et q = 1
3. Calculez, sous la forme d’une fraction, la somme :
w5+ w6+ ... + w9.
. Corrig ´e du N°22 p.126
S= 27 × 1 32+ 27 × 313 + ... + 27 ×316 S= 27 × 1 32 1 +13 +312 +313+314 S = 3 × 1−1 35 1−1 3 = 3 × 3 2 1 − 1 35 = 12127. N°81 p134.
anet pnsont respectivement l’aire et le p´erim`etre du domaine en vert sur la figure ci-contre dans un rep`ere orthonorm´e.
a) Calculez an et pnen fonction de n.
b) V´erifiez que les suites (an) et (pn) sont arithm´etiques.
. Corrig ´e du N°81 p.134
an= 1 3 n + 1 2 + 3 × 1 = 1 3n+ 19 6.La suite (an) est arithm´etique de premier terme a0= 19 6 et de raison 1 3. (pn) = 1 + 13n+ 3 + q 12 + 1 3 2 + 1 3(n + 1) + 3 = 2 3n+ 22+√10 3 .
. N°96 p135.
Le prix d’un article augmente tous les ans de 3%.
On note p0son prix initial, p1son prix un an apr`es, pnson prix au bout de n ann´ees (n est un entier naturel).
a) Exprimez, en fonction de son prix initial, son prix au bout de cinq ans. b) Exprimez en pourcentage l’augmentation de p0 `a p5.
. Corrig ´e du N°96 p135.
a) p5= p0×1, 035
b) 1, 035≃1, 159. l’augmentation de p0`a p5 est donc d’environ 15, 9%.
