Cours Nombres Complexe Bac Techniques

(1)

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 1

COURS NOMBRES COMPLEXES Bac Tech I) Forme algébrique d’un nombre complexe

Tout nombre complexe 𝑧 s’écrit d’une manière unique sous la forme algébrique suivante : 𝒛 = 𝒂 + 𝒊𝒃 avec (𝑎 , 𝑏) ∈ ℝ2 𝑎 est appelé partie réelle de 𝑧 que l’on note 𝒂 = 𝑹𝒆(𝒛)

𝑏 est appelé partie imaginaire de 𝑧 que l’on note 𝒃 = 𝑰𝒎(𝒛)

Exercice 1

Ecrire sous la forme algébrique chacun des nombres

complexes suivants : 𝑧₁ = (1 + 𝑖)2 𝑧₂ = (1 − 𝑖)2 𝑧₃ = (1 + 𝑖)3 𝑧₄ = 2(1 + 𝑖) − 3𝑖(2 − 2𝑖) 𝑧₅ = (1 − 𝑖)(2 + 3𝑖)

𝑧₆ = (2 − 𝑖)(4 + 2𝑖) 𝑧₇ = (1 − 3𝑖) + 2𝑖(1 − 4𝑖)

II) Représentation géométrique d’un nombre complexe

Le plan 𝑃 est rapporté à un repère orthonormé direct (𝑂 , 𝑢⃗ , 𝑣 ) * Soit 𝑀(𝑥 , 𝑦) un point de 𝑃, on appelle et on note affixe de 𝑀 le nombre complexe 𝒂𝒇𝒇(𝑴) = 𝒛_𝑴 = 𝒙 + 𝒊𝒚

* 𝑀(𝑥 , 𝑦) est le point image du nombre complexe 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 * Pour tout points 𝐴 et 𝐵 de 𝑃 on appelle et on note affixe du vecteur 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , le nombre complexe 𝒂𝒇𝒇(𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝒛_𝑨𝑩_{⃗⃗⃗⃗⃗⃗} = 𝒛_𝑩− 𝒛_𝑨 * Pour tous vecteurs 𝑒⃗⃗⃗ et 𝑒₁ ⃗⃗⃗ du plan et tous réels 𝛼 et 𝛽 on a : ₂

𝒂𝒇𝒇(𝜶𝒆⃗⃗⃗⃗ + 𝜷𝒆_𝟏 ⃗⃗⃗⃗ ) = 𝜶 𝒂𝒇𝒇(𝒆_𝟐 ⃗⃗⃗⃗ ) + 𝜷 𝒂𝒇𝒇(𝒆_𝟏 ⃗⃗⃗⃗ ) _𝟐

Exercice 2

Soit les points 𝐴 𝐵 et 𝐶 d’affixes respectives : 2 + 3𝑖 , 1 − 2𝑖 et −3 − 4𝑖

1) Placer les points 𝐴 𝐵 et 𝐶.

2) Déterminer les affixes des vecteurs suivants : 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ −2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ et −2𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ + 3𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ + 4𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗

III) Conjugué d’un nombre complexe

* Soit 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 avec (𝑎 , 𝑏) ∈ ℝ2. On appelle et on note conjugué de 𝑧, le nombre complexe définie par 𝑧 = 𝑎 − 𝑖𝑏

* 𝒛 + 𝒛 = 𝟐𝒂 𝒛 − 𝒛 = 𝟐𝒊𝒃 𝒛 × 𝒛 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 𝒛 + 𝒛′ = 𝒛 + 𝒛′ 𝒛 × 𝒛′ = 𝒛 × 𝒛′ 𝒛𝒏 _{= (𝒛)}𝒏_{𝒏 ∈ ℕ}∗ (𝒛 𝒛′) = 𝒛 𝒛′ pour 𝒛′ ≠ 𝟎 𝒛 ∈ ℝ ⇔ 𝑰𝒎(𝒛) = 𝟎 ⇔ 𝒛 = 𝒛 𝒛 ∈ 𝒊ℝ ⇔ 𝑹𝒆(𝒛) = 𝟎 ⇔ 𝒛 = −𝒛 Exercice 3

1) Ecrire sous la forme algébrique chacun des nombres complexes : 𝑧₁ =1+3𝑖 2−𝑖 𝑧2 = (1+2𝑖)2 1−5𝑖 𝑧3 = 5−5𝑖 −3𝑖+1− 1−18𝑖 3−4𝑖

2) Montrer que le nombre complexe suivant est un réel 𝑧 = √3+3𝑖

1+𝑖√3

(2)

𝑧₁ = (2 − 3𝑖)2020+ (2 + 3𝑖)2020 𝑧₂ = (2 − 3𝑖)2020_{− (2 + 3𝑖)}2020

Montrer que 𝑧₁ est un réel et que 𝑧₂ est imaginaire pur

IV) Module d’un nombre complexe

Soit 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 un nombre complexe avec (𝒂 , 𝒃) ∈ ℝ𝟐

et 𝑀(𝑎 , 𝑏) on appelle et on note |𝑧| le réel positif définie par :

|𝒛| = 𝑶𝑴 = √𝒂𝟐_{+ 𝒃}𝟐 _{= √𝒛 × 𝒛} Pour tous nombres complexes 𝑧 et 𝑧′

|𝒛. 𝒛′| = |𝒛|. |𝒛′| |𝒛𝒏| = |𝒛|𝒏 𝒏 ∈ ℕ∗ |𝒛 𝒛′| = |𝒛| |𝒛′| pour 𝒛′ ≠ 𝟎 𝒛 = 𝒂 𝒂 ∈ ℝ |𝒛| = |𝒂| 𝒛 = 𝒊𝒃 𝒃 ∈ ℝ |𝒛| = |𝒃| |𝒛| = |𝒛|

Pour tous point 𝑴 et 𝑵 du plan on a : 𝑴𝑵 = |𝒛_𝑵 − 𝒛_𝑴|

Exercice 4:

Déterminer le module de chacun des nombres complexes suivants 𝑧₁ = 2 − 3𝑖 𝑧₂ = −2 + 2𝑖 𝑧₃ = 5𝑖 𝑧₄ = 3𝑖 𝑧₅ = −2 𝑧₆ = 4 𝑧₇ = (2 + 2𝑖)2(1 − 2𝑖)3_{(3 − 𝑖)}4_𝑧 8 = (1+𝑖)3(2−𝑖)5 (1+3𝑖)3_(1−𝑖)2 Exercice 5

1) On donne 𝐴(−2𝑖) et 𝐴(−𝑖) Déterminer l’ensemble 𝐸 = {𝑀(𝑧) ∈ 𝑃 tel que ∶ |𝑖𝑧−2

𝑧+𝑖| = 1}

2) On posant 𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 avec (𝑥 , 𝑦) ∈ ℝ2 Déterminer l’ensemble 𝐹 = {𝑀(𝑧) ∈ 𝑃 tel que ∶ |𝑖𝑧−2

𝑧+𝑖| = 2}

Exercice 6

Le plan est muni à un repère orthonormé direct (𝑂 , 𝑢⃗ , 𝑣 )

On considère les points 𝐴(1), 𝐵(−𝑖), à tout point 𝑀 ≠ 𝐵 d’affixe 𝑧 on associe le point 𝑀′ d’affixe 𝑧′ tel que 𝑧′ = 1−𝑧

1−𝑖𝑧

1) a) Déterminer l’ensemble des points 𝑀 tel que 𝑧′_{soit un réel.}

b) Déterminer l’ensemble des points 𝑀 tel que |𝑧′| = 1 2) a) Montrer que pour tout 𝑧 ∈ ℂ\{−𝑖} on a : 𝑧′ + 𝑖 = −1+𝑖

𝑧+𝑖

b) En déduire que 𝐵𝑀 × 𝐵𝑀′ = √2

c) En déduire que si 𝑀 appartient au cercle de centre 𝐵 et de rayon 1 alors 𝑀′ appartient à un cercle que l’on précisera.

Exercice 7

Montrer que le nombre complexe 𝑧 = 𝑎+𝑏

1+𝑎𝑏 est un réel

où 𝑎 et 𝑏 sont deux nombres complexes tels que 𝑎𝑏 ≠ −1 et |𝑎| = |𝑏| = 1

(3)

V) Arguments et angles orientés

Le plan est muni d’un un repère orthonormé direct (𝑂 , 𝑖 , 𝑗 ) soit 𝑧 un nombre complexe non nul et 𝑀 son image.

On appelle un argument d’un nombre complexe 𝑧 non nul ; noté arg 𝑧 ; toute mesure de l’angle orienté : (𝑢⃗ , 𝑂𝑀̂⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) où 𝑀 est le point du plan d’affixe 𝑧 𝑀(𝑧)

𝑗 𝜃

𝑖 arg 𝑧 = 𝜃 + 2𝑘𝜋 ; 𝑘 ∈ ℤ

Conséquences :

Soit 𝑧 un nombre complexe non nul et (𝑂 , 𝑖 , 𝑗 ) un repère orthonormé direct du plan complexe. On a :

* 𝒛 est un réel positif ⇔ 𝐚𝐫𝐠 𝒛 = ⋯ * 𝒛 est un réel négatif ⇔ 𝐚𝐫𝐠 𝒛 = ⋯

* 𝒛 est un réel ⇔ 𝐚𝐫𝐠 𝒛 = ⋯

* 𝒛 = 𝒊𝒃 ; avec 𝒃 ∈ ℝ₊∗ ⇔ 𝐚𝐫𝐠 𝒛 = ⋯

* 𝒛 = 𝒊𝒃 ; avec 𝒃 ∈ ℝ₋∗ ⇔ 𝐚𝐫𝐠 𝒛 = ⋯

* 𝒛 = 𝒊𝒃 ; avec 𝒃 ∈ ℝ∗ ⇔ 𝐚𝐫𝐠 𝒛 = ⋯

* Soit 𝑀 un point du plan d’affixe 𝑧 alors :

( 𝒊 , 𝑶𝑴̂⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = ⋯

* Soit 𝑢⃗ un vecteur du plan d’affixe 𝑧 alors : ( 𝒊 , 𝒖̂) = ⋯ ⃗⃗

* Soit 𝐴 et 𝐵 deux points distincts du plan d’affixes respectives 𝑧_𝐴 et 𝑧_𝐵 alors :

( 𝑖 , 𝐴𝐵̂⃗⃗⃗⃗⃗ ) = ⋯

Propriétés d’un argument d’un nombre complexe non nul

Soit 𝒛 et 𝒛′ deux nombres complexes non nuls 𝐚𝐫𝐠(𝒛. 𝒛′) = 𝐚𝐫𝐠(𝒛) + 𝐚𝐫𝐠(𝒛′) + 𝟐𝒌𝝅 ; 𝒌 ∈ ℤ 𝐚𝐫𝐠 (𝟏 𝒛) = − 𝐚𝐫𝐠(𝒛) + 𝟐𝒌𝝅 ; 𝒌 ∈ ℤ (𝒛 ≠ 𝟎) 𝐚𝐫𝐠 (𝒛 𝒛′) = 𝐚𝐫𝐠(𝒛) − 𝐚𝐫𝐠(𝒛′) + 𝟐𝒌𝝅 ; 𝒌 ∈ ℤ (𝒛′ ≠ 𝟎) 𝐚𝐫𝐠(𝒛𝒏) = 𝒏 𝐚𝐫𝐠(𝒛) + 𝟐𝒌𝝅 ; 𝒌 ∈ ℤ 𝐚𝐫𝐠(𝒛) = − 𝐚𝐫𝐠(𝒛) + 𝟐𝒌𝝅 ; 𝒌 ∈ ℤ 𝐚𝐫𝐠(−𝒛) = 𝐚𝐫𝐠(𝒛) + 𝝅 + 𝟐𝒌𝝅 ; 𝒌 ∈ ℤ Activité :

Le plan est muni à un repère orthonormé direct (𝑂 , 𝑖 , 𝑗 )

Soit 𝑢⃗ et 𝑣 deux vecteurs non nuls du plan d’affixes respectives : 𝑧_𝑢_⃗⃗ et 𝑧_𝑣_⃗

* (𝑢⃗ , 𝑣 ̂ ) ≡ (𝑢⃗ , 𝑖 ̂ ) + (𝑖 , 𝑣 ̂ )[2𝜋] ≡ (𝑖 , 𝑣 ̂ ) … (𝑖 , 𝑢⃗ ̂ )[2𝜋]

(4)

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 4 ≡ ⋯ ≡ ⋯ * 𝑢⃗ et 𝑣 sont colinéaires ⇔ (𝑢⃗ , 𝑣 ̂ ) = ⋯ ⇔ … ⇔ 𝑧𝑣⃗⃗ 𝑧_𝑢_⃗⃗ …. * 𝑢⃗ et 𝑣 sont orthogonaux ⇔ (𝑢⃗ , 𝑣 ̂ ) = ⋯ ⇔ … ⇔ 𝑧𝑣⃗⃗ 𝑧_𝑢_⃗⃗ …. Théorème :

Le plan complexe est muni à un repère orthonormé direct (𝑂 , 𝑖 , 𝑗 ) * Soit 𝑢⃗ et 𝑣 deux vecteurs non nuls du plan d’affixes

respectives : 𝑧_𝑢_⃗⃗ et 𝑧_𝑣_⃗

¤ Si 𝒖⃗⃗ ≠ 𝟎⃗⃗ et 𝒗⃗⃗ ≠ 𝟎⃗⃗ alors (𝒖⃗⃗ , 𝒗̂) ≡ ⋯ ⃗⃗

¤ Si 𝒖⃗⃗ ≠ 𝟎⃗⃗ 𝒖⃗⃗ et 𝒗⃗⃗ sont colinéaires ⇔ …

𝒖⃗⃗ et 𝒗⃗⃗ sont orthogonaux ⇔ …

* Soit 𝐴, 𝐵, 𝐶 et 𝐷 quatre points du plan d’affixes respectives 𝑧_𝐴, 𝑧_𝐵, 𝑧_𝐶 et 𝑧_𝐷 tel que 𝑧_𝐴 ≠ 𝑧_𝐵 et 𝑧_𝐶 ≠ 𝑧_𝐷 on a :

(𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝑪𝑫̂⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) ≡ ⋯

V) Forme trigonométrique d’un nombre complexe

Soit 𝑧 un nombre complexe non nul. En notant 𝑟 = |𝑧| et arg(𝑧) ≡ 𝜃 [2𝜋] alors 𝒛 = 𝒓(𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝐢 𝐬𝐢𝐧 𝜽)

Cette écriture est appelée écriture trigonométrique de 𝑧

Soit 𝑧 = 𝑎 + 𝑖𝑏 un nombre complexe non nul avec (𝑎 , 𝑏) ∈ ℝ2 𝒓 = |𝒛| = √𝒂𝟐_{+ 𝒃}𝟐_{𝐜𝐨𝐬 𝜽 =} 𝒂

𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽 = 𝒃 𝒓

On a alors 𝒛 = 𝒓(𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝒊 𝐬𝐢𝐧 𝜽) = [𝒓 , 𝜽]

est la forme trigonométrique de 𝑧

Soient 𝑧 = [𝑟 , 𝜃] et 𝑧′ = [𝑟′ , 𝜃′] deux nombres complexes non nuls avec 𝒓 > 0 𝒓′ > 0 𝜃 ∈ ℝ et 𝜃′ ∈ ℝ 𝒛 = [𝒓 , −𝜽] 𝟏 𝒛 = [ 𝟏 𝒓 , −𝜽] 𝒛. 𝒛 ′ _{= [𝒓. 𝒓}′_{, 𝜽 + 𝜽}′_] 𝒛 𝒛′ = [ 𝒓 𝒓′ , 𝜽 − 𝜽′] 𝒛 𝒏 _{= [𝒓}𝒏_{, 𝒏𝜽] 𝒏 ∈ ℕ} Exercice 7:

Ecrire sous la forme trigonométrique chacun des nombres

complexes suivants : 𝑧₁ = 4 𝑧₂ = −5 𝑧₃ = 2𝑖 𝑧₄ = −3𝑖 𝑧₅ = √3 − 𝑖 𝑧6 = −1 − 𝑖 𝑧7 = (2𝑖)3(√3 − 𝑖) 4 𝑧₈ = (√3−𝑖) 2 (−1−𝑖)5 𝑧9 = (√3+𝑖)3 (−1+𝑖)5

(5)

Exercice 8

Le plan est muni à un repère orthonormé direct (𝑂 , 𝑢⃗ , 𝑣 )

On considère les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 d’affixes respectives 𝑧_𝐴 = 2 − 𝑖 𝑧_𝐵 = 5 et 𝑧_𝐶 = 1 + 2𝑖

1) a) Montrer que les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 ne sont pas alignés. b) Montrer que le triangle 𝐴𝐵𝐶 est isocèle et rectangle en 𝐴. c) Déterminer 𝑧_𝐺 l’affixe du point 𝐺 centre du triangle 𝐴𝐵𝐶. d) Déterminer 𝑧_𝐷 l’affixe du point 𝐷 tel que 𝐴𝐵𝐷𝐶 est un carré 2) Soit 𝐸𝐹𝐻 un triangle équilatéral direct. Déterminer l’écriture algébrique du nombre complexe : 𝑍 = 𝑧𝐹−𝑧𝐸

𝑧𝐻−𝑧𝐸

3) Déterminer les ensembles suivants : 𝑆₁ = {𝑀(𝑧) ∈ 𝑃 tel que 𝑧 + 𝑖

𝑧 + 2 ∈ ℝ} 𝑆₂ = {𝑀(𝑧) ∈ 𝑃 tel que 𝑧+𝑖

𝑧+2 ∈ ℝ+}

Exercice 9

Soient les points 𝐴 et 𝐵 d’affixes respectives 1 et −2𝑖 et 𝑓 l’application de 𝑃\{𝐵} dans 𝑃 qui à tout point 𝑀(𝑧) associe le point 𝑀′(𝑧′) tel que 𝑧′ =𝑧+4𝑖

𝑧−2𝑖

1) Vérifier que 𝑧′ − 1 = 6𝑖

𝑧−2𝑖

2) En déduire que (𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝑀′̂⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 𝜋

2 + 2𝑘𝜋 ; 𝑘 ∈ ℤ

3) a) Montrer que si 𝑀 appartient au cercle de centre 𝐵 et de rayon 3 alors 𝑀′ appartient à un cercle que l’on déterminera. b) Montrer que si 𝑀 appartient à la droite (𝐴𝐵) alors 𝑀′ appartient à une droite à préciser.

Exercice 10

Le plan est muni à un repère orthonormé direct (𝑂 , 𝑢⃗ , 𝑣 ) On désigne par 𝐴 et 𝐵 les points d’affixes respectives 𝑖 et 2 A tout point 𝑀 du plan d’affixe 𝑧 (𝑧 ≠ 2) on associe le point 𝑀′ d’affixe 𝑧′ ₌ 𝑧−𝑖

𝑖𝑧−2𝑖

1) a) Montrer que |𝑧′| = 𝐴𝑀

𝐵𝑀

b) En déduire que lorsque 𝑀 décrit la médiatrice du segment [𝐴𝐵], le point 𝑀′ décrit un cercle que l’on précisera.

2) On suppose que 𝑧 ≠ 𝑖 et 𝑧 ≠ 2

a) Montrer que (𝑢⃗ , 𝑂𝑀′̂⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = (𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝑀̂⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) −𝜋

2+ 2𝑘𝜋 ; 𝑘 ∈ ℤ

b) En déduire, que si 𝑀 appartient à la droite (𝐴𝐵) alors le point 𝑀′ appartient à une droite que l’on déterminera.

Exercice 11

(6)

1) Résoudre dans C l’équation (z − 1)2+ 3 = 0

2) On considère les points A , B , C et D d’affixes respectives z_A = −2 , z_B = 1 + i√3 , zC = 1 − i√3 et zD = √2 + i√2

a) Ecrire z_B , z_C et z_D sous forme trigonométrique b) Placer les points A , B , C et D

c) Vérifier que les points A , B , C et D sont sur un même cercle que l’on précisera

3) a) Donner l’écriture cartésienne des nombres complexes suivants z_B2 et z_D. z_B2

b) Donner le module et un argument de z_D. z_B2 c) En déduire alors les valeurs exactes de cos11π

12 et sin 11π

12

4) Soit E le point d’affixe (– i), à toit point M d’affixe z distinct de B on associe le point M′ d’affixe z′ = z+2

iz+√3−i

a) Déterminer et construire l’ensemble F des points M tel que |z′| = 1

b) Montrer que (z′ + i)(z − z_B) = √3 − 3i

c) Déterminer alors l’ensemble G des points M′(z′) lorsque M décrit le cercle de centre B et de rayon √3

III) Ecriture exponentielle d’un nombre complexe non nul :

Activité :

*Soit 𝑧 un nombre complexe non nul alors 𝑧 = 𝑟(cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃) avec 𝑟 = ⋯ et 𝜃 ≡ ⋯

Si on pose par définition cos 𝜃 + 𝑖 sin 𝜃 = 𝑒𝑖𝜃 alors 𝑧 = 𝑟𝑒𝑖𝜃 * Soit 𝑧 = 𝑟𝑒𝑖𝜃 ; où 𝑟 ∈ ℝ₊∗ et 𝜃 ∈ ℝ

donc 𝑧 = ⋯

donc 𝑟 = ⋯ et 𝜃 = ⋯

Théorème et définition:

* Tout nombre complexe 𝑧 non nul, s’écrit : 𝑧 = 𝑟𝑒𝑖𝜃 où : 𝑟 = |𝑧| et 𝜃 = arg 𝑧 + 2𝑘𝜋 ; 𝑘 ∈ ℤ

* L’écriture : 𝑟𝑒𝑖𝜃_{est dite l’écriture ou forme exponentielle de 𝑧.}

* Soit un nombre complexe 𝑧 = 𝑟𝑒𝑖𝜃 où 𝑟 ∈ ℝ₊∗ et 𝜃 ∈ ℝ alors 𝑟 = |𝑧| et 𝜃 = arg 𝑧 + 2𝑘𝜋 ; 𝑘 ∈ ℤ Cas particuliers 𝑒𝑖0 = ⋯ 𝑒𝑖𝜋 = ⋯ 𝑒𝑖𝜋2 = ⋯ 𝑒−𝑖 𝜋 2 = ⋯ Règles de calcul Activité : Soit 𝜃 ∈ ℝ ; 𝛽 ∈ ℝ et 𝑛 ∈ ℤ

* (𝑒

𝑖𝜃

_{) = [1 , 𝜃] = ⋯ = ⋯}

(7)

* 𝑒

𝑖𝜃

× 𝑒

𝑖𝛽

= [1 , 𝜃][1 , 𝛽] = ⋯ = ⋯

* (𝑒

𝑖𝜃

)

𝑛

= [1 , 𝜃]

𝑛

= ⋯ = ⋯

* 𝑒

−𝑖𝜃

× 𝑒

𝑖𝜃

= ⋯ = ⋯ ⥰ 𝑒

−𝑖𝜃

=

⋯

*

𝑒𝑖𝜃 𝑒𝑖𝛽

= 𝑒

𝑖𝜃

_×

1 𝑒𝑖𝛽

= ⋯ = ⋯ = ⋯

Retenons : Soit 𝜃 ∈ ℝ ; 𝛽 ∈ ℝ et 𝑛 ∈ ℤ

(𝒆

𝒊𝜽

_{) = ⋯}

𝟏 𝒆

𝒊𝜽

= ⋯

𝒆

𝒊𝜽

× 𝒆

𝒊𝜷

= ⋯ (𝒆

𝒊𝜽

)

𝒏

= ⋯

𝒆

𝒊𝜽

𝒆

𝒊𝜷

= ⋯

Exercice 12

Déterminer l’écriture exponentielle de chacun des nombres complexes suivants : 𝑧₁ = −3 𝑧₂ = 2𝑖 𝑧₃ = −4𝑒𝑖𝜋5 𝑧₄ = 3𝑖𝑒𝑖𝜋2 𝑧₅ = 1 + 𝑖 𝑧₆ = √3 − 𝑖 𝑧₇ = (1 + 𝑖)(√3 − 𝑖)2 𝑧₈ =(√3+𝑖) 2 𝑖(1−𝑖)3 Exercice 13

Soient les nombres complexes suivants : 𝑧₁ = 4 + 4𝑖 et 𝑧₂ = 1 − 𝑖√3

1) Déterminer le module et un argument de 𝑧₁ et 𝑧₂

2) En déduire le module et un argument de chacun des complexes suivants : 𝑧₁2 , 𝑧₁ × 𝑧₂ , 𝑧₁3 , 𝑧1

𝑧2 et 𝑧₂ 𝑧1

Exercice 14

Soient les points 𝐴(𝑖) et 𝐵 (1+𝑖

2 ). Soit l’application 𝑓 qui à tout

point 𝑀(𝑧) associe le point 𝑀′(𝑧′) tel que 𝑧′ = (1 − 𝑖)𝑧 − 1 1) a) Déterminer l’ensemble 𝐸 des points 𝑀(𝑧) tels que : |𝑧′| = 2√2

b) Soit 𝜃 ∈ [0 , 𝜋]. On pose 𝑧 = 1

√2(cos 𝜃 + sin 𝜃)

Déterminer suivant les valeurs de 𝜃la forme trigonométrique de 𝑧′ 2) a) On suppose 𝑀 ≠ 𝐵. Montrer que :

arg(𝑧′) = −𝜋

4+ (𝑢⃗ , 𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗

̂ _{) + 2𝑘𝜋 ; 𝑘 ∈ ℤ}

b) En déduire l’ensemble 𝐹 des points 𝑀(𝑧) tels que 𝑧′ soit un réel négatif et construire 𝐹.

3) a) On suppose 𝑀 ≠ 𝐴. Montrer que le triangle 𝐴𝑀𝑀′ est rectangle en 𝑀 et déterminer une mesure de l’angle (𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝑀′̂⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

(8)

b) En déduire une construction du point 𝑀′ = 𝑓(𝑀) connaissant 𝑀 dans 𝑃.

Exercice 15

Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (𝑂 , 𝑢⃗ , 𝑣 )

1) on considère les points 𝐴 et 𝐵 d’affixes respectives 𝑧_𝐴 = 1+𝑖√3

2

et 𝑧_𝐵 = 𝑖𝑧_𝐴 . On désigne par 𝐼 le milieu de [𝐴𝐵] et on note 𝑧_𝐼 l’affixe de 𝐼.

a) Donner la forme exponentielle de 𝑧_𝐴 et 𝑧_𝐵

b) Placer les points 𝐴, 𝐵 et 𝐼 dans le repère (𝑂 , 𝑢⃗ , 𝑣 ) 2) a) Montrer que le triangle 𝑂𝐴𝐵 est isocèle rectangle. b) En déduire que 𝑂𝐼 = √2

2 et que (𝑢⃗ , 𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗

̂_{) =} 7𝜋

12+ 2𝑘𝜋 ; 𝑘 ∈ ℤ

c) Ecrire 𝑧_𝐼 sous la forme algébrique et en déduire les valeurs exactes de cos7𝜋

12 et sin 7𝜋 12

IV) Nombres complexes et trigonométrie

Activité :

Soit 𝜃 ∈ ℝ et 𝑛 ∈ ℤ * (𝑒𝑖𝜃)𝑛 = ⋯

donc (cos 𝜃 + sin 𝜃)𝑛 = ⋯ * 𝑒𝑖𝜃 + 𝑒−𝑖𝜃 = ⋯ = ⋯ = ⋯ donc cos 𝜃 = ⋯ * 𝑒𝑖𝜃− 𝑒−𝑖𝜃 = ⋯ = ⋯ = ⋯ donc sin 𝜃 = ⋯ Formule de Moivre Soit 𝜽 ∈ ℝ et 𝒏 ∈ ℤ (𝐜𝐨𝐬 𝜽 + 𝐬𝐢𝐧 𝜽)𝒏 = 𝐜𝐨𝐬 𝒏𝜽 + 𝐬𝐢𝐧 𝒏𝜽 Formules d’Euler Soit 𝜽 ∈ ℝ 𝒆𝒊𝜽 + 𝒆−𝒊𝜽 𝟐 = 𝐜𝐨𝐬 𝜽 𝒆𝒊𝜽 − 𝒆−𝒊𝜽 𝟐𝒊 = 𝐬𝐢𝐧 𝜽 Applications:

* On se propose de déterminer l’écriture exponentielle de : 𝑧₁ = 1 + 𝑒𝑖 𝜋 5 et 𝑧₂ = 1 + 𝑖𝑒𝑖 𝜋 5 𝑧₁ = 1 + 𝑒𝑖𝜋5 _{= 𝑒}𝑖 𝜋 10_{( ) = ⋯} = ⋯ = ⋯

(9)

or 𝜋

10 ∈] [ donc

donc est l’écriture exponentielle de 𝑧₁ 𝑧₂ = 1 + 𝑖𝑒𝑖𝜋5 = ⋯ = ⋯

= ⋯ = ⋯ or donc

donc est l’écriture exponentielle de 𝑧₁ * Soit 𝜃 un réel tel que 𝜃 ∈ ]−𝜋 , 0[ ∪ ]0 , 𝜋[

déterminer l’écriture exponentielle de 𝑧₃ = 1 − 𝑒𝑖𝜃 𝑧₃ = 1 − 𝑒𝑖𝜃 = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯ 𝜃 ∈ ]−𝜋 , 0[ ∪ ]0 , 𝜋[ donc 𝜃 2 ∈ ]− 𝜋 2 , 0[ ∪ ]0 , 𝜋 2[ ¤ Si 𝜃 2 ∈ ]− 𝜋 2 , 0[ alors sin 𝜃 2 < 0 ¤ Si 𝜃 2 ∈ ]0 , 𝜋 2[ alors sin 𝜃 2 > 0 Si 𝜃 2 ∈ ]− 𝜋 2 , 0[ on a 𝑧₃ = ⋯ ………

d’où 𝑧₃ = ⋯ avec (−2 sin𝜃

2) > 0 Si 𝜃 2 ∈ ]0 , 𝜋 2[ on a 𝑧₃ = ⋯ ……… ’où 𝑧₃ = ⋯ avec (2 sin𝜃

2) > 0 Linéarisation

* Soit à linéariser 𝑐𝑜𝑠5 𝑥 où 𝑥 ∈ ℝ 𝑐𝑜𝑠5 𝑥 = (𝑒𝑖𝑥+𝑒−𝑖𝑥 2 ) 5 = 1 32(𝑒 𝑖𝑥_{+ 𝑒}−𝑖𝑥₎5 (2) : 1 + 2 + 1 (3) : … (4) : …

(10)

Kooli Mohamed Hechmi http://mathematiques.kooli.me/ Page 10 (5) : … 𝑐𝑜𝑠5 𝑥 = 1 32((𝑒 𝑖𝑥₎5_{+ 5(𝑒}𝑖𝑥₎4_𝑒−𝑖𝑥 _{+ 10(𝑒}𝑖𝑥₎3_(𝑒−𝑖𝑥₎2_{+ 10)} = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯

* Soit à linéariser 𝑠𝑖𝑛4𝑥 où 𝑥 ∈ ℝ 𝑠𝑖𝑛4𝑥 = (𝑒𝑖𝑥−𝑒−𝑖𝑥 2𝑖 ) 4 = 1 16(𝑒 𝑖𝑥 _{− 𝑒}−𝑖𝑥₎4 = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯ = ⋯