Techniques pour montrer la conuence
Conuence par conuence forte
Théorème : Si R est fortement conuent, alorsR est conuent.
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Conuence par équivalence
SoitR et S deux systèmes de réécriture.
Théorème :
Si →∗R=→∗S, alorsR est conuent ssiS est conuent.
Si →R⊆→S ⊆→∗R, alors→∗R=→∗S.
Si →R⊆→S ⊆→∗R etS est fortement conuent, alors R est conuent.
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Conuence par commutation Soit R etS deux systèmes de réécriture.
R et S commutentssi pour tout s, t, u t.q.s→∗R tet s→∗S uil existe v t.q.t→∗S v etu→∗Rv.
R et S commutent fortement ssi pour tout s, t, ut.q. s→R t et s→S uil existe v t.q. t→∗S v etu→=R v.
Théorème :
Si R etS commutent fortement, alors ils commutent.
Si R etS sont conuents et commutent, alorsR ∪ S est conuent.
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Conuence par interprétation
Théorème :Soient RetT deux relations t.q.R est conuente et noetheriènne. S'il existe une relation S sur l'ensemble deR-formes normales t.q.
1. →∗S⊆→∗R∪T et
2. a→T b impliqueR(a)→∗S R(b)
alors si S est conuente, R∪T est aussi conuente.
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Conuence par paires critiques
Lemme : (Newmann) Soit R un système noetherien.R est localement conuent ssi R est conuent.
Comment montrer donc la conuence locale ?
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Paires critiques
Soient l→r etg →d deux règles de réécriture telles que V ar(l)∩V ar(g) =∅.
Unepaire critiqueentre l→r etg →d est une paire de la forme hσ(r), σ(l)[σ(d)]pioù
p∈P os(l) etl|p n'est pas une variable.
σ est un unicateur principal del|p etg.
Théorème : SoitR un système de réécriture. R est localement conuent ssi toute paire critique deR est joignable.
Théorème : SoitR un système de réécriture ni et fortement normalisable. Alors la conuence deR est décidable.
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Les systèmes orthogonaux Soit R un système de réécriture.
R est linéaire gauche ssi dans chaque partie gauchel d'une règle l →r∈ R toute variable apparaît au plus une fois.
R est orthogonalssi il est linéaire gauche et il n'a pas de paires critiques.
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Conuence pour les systèmes orthogonaux
Théorème : Si R est orthogonal, alors il est conuent.
Proof. À l'aide de la notion de réduction parallèlequi est donnée par les règles suivantes :
sÀs (Reexivité) l→r∈ R
σ(r)Àσ(r) (tête)
s1Àt1. . . sn Àtn
f(s1, . . . , sn)Àf(t1, . . . , tn) (contexte)
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Relaxation de l'orthogonalité
por(true, x) → true por(x, true) → true
Ce système n'est pas orthogonal mais il a une paire critique triviale.
Un système R est parallèlement ferméssi pour toute paire critique hu, vide R on a vÀu.
Théorème : Si R est linéaire à gauche et parallèlement fermé, alors il est conuent.
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