Contribution à la théorie des systèmes et analyse d’un système informatique sujet à des pannes

(1)

UNIVERSITÉ MOHAMMED V – AGDAL

FACULTÉ DES SCIENCES

Rabat

Faculté des Sciences, 4 Avenue Ibn Battouta B.P. 1014 RP, Rabat – Maroc Tel +212 (0) 37 77 18 34/35/38, Fax : +212 (0) 37 77 42 61, http://www.fsr.ac.ma

N° d’ordre 2354

THÈSE DE DOCTORAT D’ETAT

Présentée par

IDRISSI KACEMI Oumayya

Discipline : Mathématiques Appliquées

Spécialité : Analyse

Titre : Contribution à la théorie des systèmes et analyse d’un système

informatique sujet à des pannes.

Soutenue le 13 juillet 2007 ;

Devant le jury

Président :

HASSOUNI Abdelhak Professeur Fac. Sc. Rabat

Examinateurs

:

SAYAH

Awatef

Professeur Fac . Sc. Rabat

AFIFI Larbi Professeur Fac . Sc. Ain Chock

EL KADIRI Mohammed Professeur Fac . Sc. Rabat

NAMIR Abdelwahed Professeur Fac. Sc. Ben M’Sik

RACHIK Mostafa Professeur Fac. Sc. Ben M’Sik

SAADI Smahane Professeur Habilitée Fac . Sc. Ben M’Sik

(2)

Avant-Propos

Une partie des travaux présentés dans cette thèse a été réalisée au sein de l’équipe de recherche ”Systèmes Dynamiques et Informatiques” de la Faculté des Sciences de Rabat sous la direction du Pr A. SAYAH. Qu’il me soit permis de lui exprimer ma profonde gratitude et reconnaissance, pour sa disponibilité, sa patience, ses conseils fructueux et ses encouragements. Sa bienveillance et sa compétence ont permis la finalisation de ce travail.

Je suis infiniment reconnaissante au Pr M. RACHIK, mon co-encadrant, res-ponsable de l’équipe de recherche ”Analyse et Contrôle des Systèmes” de la Faculté des Sciences Ben M’sik, pour la confiance qu’il m’a témoignée tout au long de ce travail, son soutien inconditionnel, sa disponibilité, sa collaboration ont été pour moi un appui constant. Son attention, ses qualités scientifiques et humaines m’ont permis à mener à terme cette thèse. Qu’il trouve ici l’expres-sion de ma gratitude.

Je remercie vivement Pr A. HASSOUNI pour l’honneur qu’il m’a fait en ac-ceptant de pr´esider le jury de cette th`ese.

Mes sincères remerciements et ma reconnaissance au Ph S.SAADI d’avoir ac-cepter d’évaluer mon travail et siéger au jury de cette thèse.

Je suis très heureuse de compter Pr L. AFIFI, Pr M. ELKADIRI et Pr A. NAMIR parmi les membres du jury de cette thèse. Je les remercie pour l’hon-neur qu’ils m’ont fait et pour l’ intérêt qu’ils ont porté à mon travail.

Il m’est difficile de résumer en quelques lignes le respect, la gratitude et les sentiments que j’éprouve envers Pr N. MIKOU. Je lui suis reconnaissante pour m’avoir initié et fait aimer la recherche.

Je ne pourrais oublier de remercier tous mes collègues du département de mathématiques et informatique de la Faculté des Sciences Ben M’sik pour le climat de fraternité qui règne au sein du Département et pour leurs soutiens et leurs encouragements.

(3)

Table des mati`

eres

Introduction G´en´erale i 1 On the observers for a class of discrete bilinear systems 3

1.1 Introduction . . . 3

1.2 Problem statement . . . 5

1.3 Construction of an observer . . . 6

1.4 An improvement of the observer’s performances . . . 9

1.4.1 Preliminary results . . . 10

1.4.2 Characterization of the set Θ . . . 14

1.5 An algorithmic approach . . . 18

1.5.1 Algorithmic determination of the access index q∗ _{. . . . .} ₂₀

1.6 Observer initial state design . . . 21

1.7 Numerical simulation . . . 22

Bibliographie - Chapitre 1 28 2 Maximal Output Admissible Set and Admissible Perturba-tions Set For Nonlinear Discrete Systems 31 2.1 Introduction . . . 32

2.2 Preliminary results . . . 34

2.3 Characterization of the maximal output admissible set . . . 35

2.4 Algorithmic determination . . . 38

2.5 Maximal output admissible sets for nonlinear discrete delayed Systems . . . 41

2.6 Application to Perturbed Systems . . . 43

Bibliographie - Chapitre 2 48

(4)

Table des mati`eres iii

3 On the analysis of a biological system : Compartment Model

Approach 50

3.1 Introduction . . . 50

3.2 Mathematical Modelling of the problem . . . 53

3.3 Linear quadratic optimal control . . . 65

3.3.1 Preliminary properties . . . 65

3.3.2 An adequate topology . . . 68

Bibliographie - Chapitre 3 72 4 Two processes interacting only during breakdown : The case where the load is not lost 75 4.1 Introduction . . . 75

4.2 The model . . . 76

4.3 The functional equation . . . 78

4.4 Set-up of the boundary value problem . . . 82

4.5 Determination of Fo(x, y) by solving a Fredholm integral equation 84 4.6 Appendix :Analysis of the algebraic curve defined by T(x,y)=0 . 89 Bibliographie - Chapitre 4 92 5 Deux processeurs coupl´es par des pannes :”syst`eme avec perte” 95 5.1 Introduction . . . 95

5.2 Description du mod`ele. . . 96

5.3 L’´equation fonctionnelle. . . 97

5.4 Etude des noyaux . . . 98

5.5 Etude de la courbe ag´ebrique d´efinie par R1(x, y) = 0 . . . . 98

5.6 Etude de la courbe ag´ebrique d´efinie par R2(x, y) = 0 . . . . 99

5.7 Prolongement analytique de F1(x, 0) et de F0(x, 0) . . . . 102

5.8 Formulation du probl`eme fronti`ere . . . .104

5.9 Condition d’ergodicit´e du syst`eme . . . .104

5.9.1 D´emonstration de la condition suffisante . . . 104

5.9.2 D´emonstration de la condition n´ecessaire . . . 105

5.10 Détérmination de F0(x, 0) : Résolution du problème frontière . .106

5.11 D´etermination de F0(1, y) : calcul des constantes . . . .108

5.12 R´esolution du probl`eme : cas α∗ 1 ≤ q 1 ρ1 . . . .109

5.13 Moyenne du nombre de paquets perdus . . . .109

(5)

Table des mati`eres i

5.15 Conclusion . . . .111

Bibliographie - Chapitre 5 112

(6)

Introduction g´

en´

erale

Ce travail est un aboutissement naturel de la collaboration qui existe entre l’équipe des systèmes dynamiques et informatiques, de la Faculté des sciences de Rabat, dirigée d’abord par le professeur Mme _{Noufissa Mikou ensuite par le}

professeur Mme _{Awatef Sayah et l’équipe d’Analyse et contrôle des systèmes,}

de la Facult´e des sciences Ben M’sik Casablanca, dirig´ee par le professeur

Mr _{Mostafa Rachik. Il est compos´e de deux parties. La premi`ere partie est}

consacrée à l’étude de certains aspects de la théorie des systèmes. Dans la deuxième partie, notre intérêt est porté sur la modélisation d’un système de communication assujetti à des pannes intermittentes.

La théorie des systèmes, de part sa présence dans divers domaines de re-cherche : la biologie, l’environnement, l’économie et la médecine, ne cesse de susciter l’intérêt des scientifiques. Un des problèmes qui est concerné par la théorie des systèmes est celui de l’estimation de l’état d’un système ou de cer-taines de ses composantes lorsque l’un de ses paramètres est mal connu. L’utili-sation des observateurs a été d’un grand intérêt dans ce domaine. Initialement introduite par D. Luenberger [43, 44], cette théorie, appelée ”théorie des obser-vateurs”, a été appliquée à différents types de systèmes : systèmes stochastiques [16], systèmes à temps variables [34], systèmes discrets [19, 27, 48, 53], systèmes perturbés [41, 42, 57, 61] aussi bien qu’aux systèmes bilinéaires [17, 31, 32, 64]. Depuis son apparition en 1964, l’observateur de Luenberger est devenu un outil mathématique incontournable dans la théorie de l’estimation. Cependant, le caractère asymptotique de l’approximation qui en résulte peut, dans beau-coup de situations, rendre l’utilisation de l’observateur sans intérêt. En effet, lorsque l’évolution du système à estimer est de ”courte” durée (comme ceux relevant de l’épidieomologie ou de l’environnement), se fier à l’observateur peut avoir des conséquences désastreuses.

(7)

Introduction g´en´erale iii

Conscient de ce problème, notre équipe a développé, récement, deux tra-vaux visant à améliorer les performances de l’observateur de Luenberger pour des systèmes linéaires [19, 57]. Plus précisement, dans [19], Rachik et al ont considéré le système discret linéaire

½

xi+1= Axi+ Bui i ≥ 0 x0

(0.1) o`u x0 est suppos´e inconnu.

Partant des observations yi = Cxiet imposant un mode de convergence (αi)i≥0

(o`u αi ≥ 0 est decroissante, convergente vers 0), ils ont propos´e, moyennant

des hypoth`eses realistes, une classe d’observateurs dont l’erreur correspondante (ei)i≥0 est telle que keik ≤ αi pour tout i.

Toujours dans le cadre des systèmes discrets linéaires, Rachik et al ont étendu les résultats [19] au cas où le système est affecté d’une perturbation [57].

Comme continuation naturelle de ces travaux [19, 57] et vu l’importance des modèles bilinéaires dans la théorie des systèmes, nous consacrons le premier chapitre [59] de cette thèse au système bilinéaire discret décrit par l’équation aux différences    xi+1 = Axi + p P j=1 uj_iBjxi i ≥ 0 x0 (0.2) où A, Bj1 ≤ j ≤ p sont des matrices de dimension appropriée, ui = (u1i, .., upi)T ∈

Rp _{la varible de contrˆole.}

L’état initial x0 est supposé inconnu, nous considérons alors que les

informa-tions sur l’état de notre système sont données par la fonction de sortie

yi = Cxi (0.3)

o`u C ∈ L(Rn_{, R}k0

) et k0 _{≤ n.}

Tenant compte de la nature bilinéaire du système, nous construisons un ob-servateur avec une dynamique bilinéaire [9, 23, 66] et donc du type

   zi+1= F zi+ Kyi+ p P j=1 uj_iPjzi z0 (0.4)

(8)

Introduction g´en´erale iv

o`u zi ∈ Rm est l’´etat de l’observateur ; F, K et Pj 1 ≤ j ≤ p sont des matrices

d’ordre convenable ; tel que zi converge vers T xi (o`u T ∈ L(Rn, Rm)) avec une

vitesse αi pr´e-choisie.

La difficulté dans une telle approche réside dans la dépendance étroite de la construction de l’observateur du signal d’entrée ui [64].

En quête de précision, nous formulons notre problème comme suit.

Etant donné le système dynamique (0.2) augmenté de l’observation (yi)i≥0,

nous désirons trouver, sous certaines hypothèses, une classe Θ des états initiaux

z0 tel que l’observateur (zi)i correspondant r´ealise les performances

kzi− T xik ≤ αi pour tout i ≥ 0 (0.5)

où (αi)i≥0, une suite positive décroissante vers zéro, caractérise la vitesse de

convergence d´esir´ee.

Une caractérisation aussi bien théorique qu’algorithmique de l’ensemble Θ a été devellopée. Et nous appellons alors les observateurs qui réalisent la condi-tion (0.5) les observateurs α-admissibles.

Dans le chapitre 2 [58], motivés par le nombre important des travaux qui traitent le problème des ensembles maximaux pour des systèmes linéaires [5, 6, 12, 26, 29, 30, 35, 36, 37, 38, 40], et par ”à notre connaissance” le manque de littérature concerant le cas non linéaire, nous nous sommes intéressés à la caractérisation des ensembles de sorties admissibles maximaux lorsque le système considéré est un système autonome gouverné par une dynamique non linéaire. Plus précisement et vu les difficultés que représente la structure non linéaire du système, contrairement au cas linéaire [26, 65], nous nous sommes limités à la détermination des données initiales x0 telles que yi ∈ Ω, Ω étant

l’ensemble des contraintes pr´edifinies et telles que

kx0k ≤ M. (0.6)

Les donn´ees initiales x0 v´erifiant (0.6) sont dites M-admissibles.

Des conditions suffisantes qui assurent la caractérisation de l’ensemble des données M-admissibles sont développées. Une détermination algorithmique de cet ensemble est donnée ainsi que des simulations numériques. Le cas des systèmes discrets retardés [54] et ceux perturbés [4, 55] est aussi envisagé.

Le chapitre 3 [20], traite de l’application de la théorie de contrôle à un système linéaire représentant un problème qui relève de la biomathématique.

(9)

Introduction g´en´erale v

Plus précisement, nous considérons un modèle à compratiments régissant les échanges d’une substance entre les différents organes d’un corps vivant. Notre objectif principal est de déterminer la meilleure stratégie de contrôle afin d’at-teindre un état pré-défini à un instant donné et ceci avec un coût minimal. Nous adoptons alors le modèle à compratiments

½

˙x(t) = Ax(t) + B1u(t) + B2v(t) 0 ≤ t ≤ T

x(0) ∈ Rn

o`u A, Bi, i = 1, 2 ∈ L(Rn) ; Bi est une matrice diagonale d’ordre n.

A étant la dynamique du système, qui caratérise les échanges entres les différentes

composantes xi(t) du vecteur x(t) = (x1(t), ..., xn(t))T, Bi, i = 1, 2 d´ecrit les

compartiments accessibles et désignés pour être contrôlés, la commande u(t) désigne une action discrète (qui peut être une prise de comprimés ou une in-jection) alors que la commande v(t) désigne une action continue (qui peut être un sérum ou une perfusion). Nous établissons sous des conditions de type Kal-man, le contrôle permettant le transfert du système et ceci à moindre coût. Dans le cas où l’hypothèse de Kalman n’est pas satisfaite, le problème n’est plus considéré comme étant un problème de contrôlabilité. Nous l’abordons alors sous une version plus faible, et donc nous le traitons comme un problème de régulation. L’optimum ainsi que le coût optimal ont été établi moyennant la méthode H.U.M.

La deuxième partie, les chapitres 4 et 5 [46, 47], de cette thèse est consacrée à un autre domaine des mathématiques appliquées : à savoir l’étude des per-formances d’un système informatique modélisé par un réseau de files d’attente [39].

L’analyse de tout système informatique nécessite toujours une réponse à la question suivante.

Peut-on construire un modèle mathématique décrivant au mieux le comporte-ment de notre système ? si oui, peut-on résoudre ce modèle ?

L’utilisation des réseaux de files d’attente dans la modélisation des systèmes informatiques a énormément contribué dans la réponse à cette question. En particulier les réseaux, à formes produits, ont été fortement utilisés dans l’étude des problèmes de la multiprogrammation, des systèmes de gestion de données et des réseaux de communication [4, 33].

(10)

Introduction g´en´erale vi

Dans le cas des réseaux sans formes produit (à cause par exemple de la possibi-lité de phénomène de pannes, de blocage ou de dépendance entre les serveurs), il n’existe pas de méthode générale de calcul des probabilités stationnaires ni même bien souvent de méthode du tout. Cependant, en 1979 Fayolle et al, [21, 22] ont développé une méthode analytique pour traiter des petits réseaux de files d’attentes, ils ont montré que la distribution jointe des probabilités stationnaires, de certaines marches aléatoires sur R+_{× R}+ _{ou sur N × N,}

pou-vait être caractérisée en résolvant des problèmes frontières. Certains auteurs se sont intéressés aux systèmes informatiques avec pannes pour ne citer que Avi [49], Mikou [45] et Mitrani [50].

Inspirés de ses méthodes analytiques, nous nous sommes intéressés Mikou et al [46] à L’étude de deux processeurs en parallèle dont l’un est assujetti à des pannes intermittentes. Quand une panne arrive, elle provoque un déplacement des tâches en attente d’exécution ainsi que le flux des entrées. Le système sera modélisé par un réseau de deux files d’attente M/M/1 en parallèle. Dans le chapitre 4, nous supposons que le déplacement des tâches a lieu vers l’autre file et qu’une tache ne quitte le système qu’après avoir été exécutée. Alors que dans le chapitre 5, la panne est si catastrophique qu’elle provoque la perte de ces tâches.

Notre étude est consacrée au comportement, à l’état stationnaire, de notre système moyennant le nombre des taches présentes dans chaque file [13, 14] et l’état de la file 1, qu’on suppose assujettie à des pannes. La file 1 est dite à l’état : 0 si elle fonctionnne normalement, 1 si elle est en panne.

L’intérêt de la classe de problèmes que nous résolvons réside dans l’as-pect de l’équation fonctionnelle, que vérifient les fonctions génératrices [1] du processus de Markov caractérisant la taille des files aussi bien que l’état du système.

N(x, y)F (x, y) = A(x, y)F1(x) + B(x, y)F2(y) + C(x, y)F3(y) + D(x, y). (0.7)

|x| ≤ 1, |y| ≤ 1

où les fonctions inconnues sont les fonctions génératrices F (., .), F1(.), F2(.),

F3(.), alors que N, A, B et C sont des fonctions connues et D contient une

constante `a d´eterminer.

(11)

Introduction g´en´erale vii

avec une constante `a calculer.

L’approche que nous utilisons pour résoudre notre modèle consiste à étudier la courbe algébrique définie par N(x, y) = 0, chose qui va nous permettre de

1. prolonger analytiquement les fonctions inconnues à l’extérieur du disque unité, domaine réel de définition de ses fonctions.

2. réduire l’équation (0.7) à une relation fonctionnelle entre des fonctions inconnues mais à une seule variable.

La détermination des fonctions génératrices de la distribution jointe station-naire du processus de Markov [10, 52], représentant l’état du réseau est faite moyennant la résolution, d’abord d’un problème frontière non homogène de Hilbert sur un cercle [15, 24], ensuite d’une équation intégrale de Fredholm du second espéce.

Dans le chapitre 5, le système considéré est un système avec perte puisque, la file 1 perd tous ses clients une fois la panne arrivée. De plus, lors de la réparation d’une panne, une tache arrivant vers cette file est dirigée vers cette dernière avec une probabilité p ou routée vers l’autre file avec une proba-bilité 1 − p ; [50, 60]. D’autre part, la moyenne de service dans la file 2 [63], change chaque fois que la file 1 tombe en panne. La détermination des fonctions génératrices nécessite l’étude de deux courbes algébriques et le prolongement de deux fonctions analytiques à l’éxterieur de leurs domaines de définition. Le temps moyen de réponse de notre système a été obtenu aussi bien que le nombre moyen des taches perdues.

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Bibliographie

[1] V. Ahlfors : Complex Analysis, Int.Series in Pure and Applied Math, Mac-Graw Hill, 1966.

[2] K.J. Astrom and Wittenmark : Computer controlled Systems Theory and

Design, Englewood Cliffs, NJ : Prentice-Hall, (1990).

[3] F. Baccelli and G. Fayolle : Two-dimensional diffusion processes with

boundary and jumps, Application to coupled queues, Rapport de recherche

INRIA, N◦_{160 (1982).}

[4] F. Baskett, M. Chandy, R. Muntz and J. Palacios : Open, closed and mixed

networks of queues with different classes of customers, J.ACM 22, (1975),

248-260.

[5] A. Benzaouia and C. Burgat : Regulator problem for linear

discrete-time systems with non-symmetrical constrained control, Int.j.Cont, (1988),

Vol.48, N◦_{6, 2441-2451.}

[6] A. Benzaouia : The regulator problem for a class of linear systems with

constrained control, Syst.Contr.lett, (1988), Vol.10, 357-363.

[7] J.P.C. Blanc : Application of the theory of boundary value problem in the

analysis of a queuing model with paired services, Math.center Tract, 153

(Amsterdam, 1982).

[8] B.E. Bona : Designing observers for time-varying state systems, in Rec.4th Asilomar Conf.Circuits and Systems, (1970).

[9] G. Bornard, N. Couenne, F.Celle : Regularly persistent observers for

bili-near systems, New trends in no libili-near control theory,(1992), 122, Springer

Verlag.

[10] A.A. Borovkov : Stochastic processes in queueing theory, Springer Verlag, (1976).

(13)

Bibliographie ix

[11] M. Boutayeb and M. Darouach : observers for linear time varying-systems, In Proceedings of the 39th IEEE Conference on Decision and Control, Sydney, Australia, December(2000), 3183-3187.

[12] J. Bouyaghroumni, A. Eljai and M. Rachik : Admissible disturbances set

for discrete perturbed Systems, International Journal of Applied

Mathe-matics and computer Sciences, (2001), Vol.11, N◦_{2, 349-367.}

[13] E. Cinlar : Introduction to Stochastic Processes, (Prentice-Hall, 1975).

[14] J.W. Cohen : The single Server Queue, (North-Holland, Amsterdam, 1969).

[15] J.W. Cohen and O.J. Boxma : Boundary Value Problems in Queueing

Systems, Analysis-Mathematica Studies79 (North-Holland, Amsterdam,

1983).

[16] E.F. Costa, J.B.R. do Val : On the detectability and observability for

discrete-time Markov Jump linear systems, Systems control letters, (2001),

vol. 44, pp. 135-145.

[17] I. Derese, P. Stevens, E. Noldus : The design of state observers for

bilinear systems, J.A,(1979), 20, 193-202.

[18] R.L. Disney and D. Konig : Queueing networks : Asurvey of their random

processes, SIAM Rev.27,(1985), 335-403.

[19] O. Elkahlaoui, S. Saadi, Y. Rahhou, A. Bourass, M. Rachik : On the

improvement of the performances of an observer :A discrete linear system,

Applied Mathematical Sciences,(2007), Vol.1, N◦_{6, 241-266.}

[20] O. El Kahlaoui, M. Rachik, N. Yousfi, M. Laklalech, O. Idrissi Kacemi : On the analysis of a biological system : A compartment model Approach, Applied Mathematical Sceinces, a paraˆıtre.

[21] G. Fayolle and R. Iasnogorodski : Two coupled processors :The reduction to

a Riemann-Hilbert problem, Z.Warsscheinlichkeitsch.47, (1979), 325-351.

[22] G. Fayolle, R. Iasnogorodski and I. Mitrani : Distribution of sojourn times

in a queueing network with overtaking, Proc.9th Int.Conf.on Performance

Evaluation, Maryland, 1983.

[23] Y.Funahashi : Stable state estimator for bilinear systems ,International Journal of control, (1979), vol.29, 181-188.

(14)

Bibliographie x

[25] J.P. Gauthier, H. Hammouri and S. Othman : A Simple

Obser-ver for nonlinear Systems-Applications to bioreactors, IEEE Trans.on

AUTO.Control, 37 (1992), 6, 875-880.

[26] E.G. Gilbert and Tin Tan : Linear Systems with State and Control

Constraints : The Theory and Application of Maximal Output Admissible sets, IEEE Trans.Automat.Contr., (1991), 36, 1008-1019.

[27] D. Gleason and D. Andrisani : Observer design for discrete systems with

unknown exogenous inputs, IEEE Trans. Automat. Control, 35(1990),

932-935.

[28] A.B. Gumel, P. N.Shivakumar, and B.M. Sahai : A mathematical model

for the dynamics of HIV-1 during the typical course of infection, Nonlinear

Analysis, 47, 1773-1778, 2001.

[29] P.O. Gutman and P. Hagander : A new design of constrained controllers

for linear systems, IEEE trans.Automat. Contr.,(1985), Vol.AC-30, 22-33.

[30] P.O. Gutman and M. Cwikel : An algorithm to find maximal state

constraint sets for discrete-time linear dynamical systems with bounded controls and states, IEEE trans.Automat.Contr., Mar(1987), vol.AC-30,

251-254.

[31] A. Hac : Design of disturbance decoupled observer for bilinear systems, Transactions of the ASME, Journal of Dynamic systems, Measurement and control, (1992), vol.114, 556-562.

[32] S. Hara, K. Furuta : Minimal order state observers for bilinear systems, International Journal of Control, (1976), vol.24, 705-718.

[33] J.R. Jackson : Jobshop-like queueing systems, Manag.Sci.10, (1963), 131-142.

[34] E.W. Kamen : Block-Form observers for linear time-varying discrete-time

systems, In proceedings of the 32nd IEEE Conference on Decision and

Control, San Antonio, TX, December (1993), 355-356.

[35] P. Kapasouri, M. Athans and G. Stein : Design of feedback control

sys-tems for stable plants with saturating actuator, in Proc.27th Conf.Decision

Contr.Austin, TX, (1988), 469-479.

[36] P. Kapasouri : Design for performance enhancement in feedback

control systems with multiple saturating nonlinearities, Ph.D dissertation,

(15)

Bibliographie xi

[37] S.S. Keerthi : Optimal feedback control of discrete-time systems with

state-control constraints and general cost functions, Ph.D.dissertation,

compu-ter Informat.Contr.Eng., Univ.Michigan, Ann Arbor, MI, (1986).

[38] S.S. Keerthi and E.G. Gilbert : Optimal infinite horizon feedback laws for

a general class of constrained discrete-time systems, Stability and moving horizon approximations, J.Optimiz.Theory Appl., May (1988) Vol.57, N◦_2,

265-293.

[39] L. Kleinrock : Queueing Systems, Vol.1.

[40] R.L. Kosutn : Design of linear systems with saturating linear control and

bounded states, IEEE Trans.Automat.Contr., Jan.(1983) Vol.AC-28,

121-124.

[41] H. Lin, G. Zhai and P.J. Ansaklis : Set-Valued observer design for a class

of uncertain linear systems with persistent disturbance, IEEE Proceeding

of the american control conference, Denver (2003).

[42] C.S.Liu and H. Peng : Inverse dynamics based state and disturbance

ober-vers for linear time-invariant systems, Journal od Dynamic Systems,

mea-surment and control, (2002), vol.124, 375-381.

[43] D.G. Luenberger : Observing the state of linear system, IEEE Trans.Mil.Electron., Vol.Mil-8, Apr (1964), 74-80.

[44] D.G. Luenberger : Observers for multivariable systems, IEEE Trans.Automat.Contr., Vol.AC-11 (1966), 190-197.

[45] N. Mikou : A two node Jackson network subject to breakdowns, Com-mun.Stat.Stoch.Models, 4 (1988), 523-552.

[46] N. Mikou,O. Idrissi-Kacemi and S. Saadi : Two Processors Interacting

only During Breakdowns : The case where the load is not Lost, Queueing

Systems, 19 (1995), 301-317.

[47] N. Mikou,O. Idrissi-Kacemi : Mod´elisation d’un syst`eme de

communi-cation assujetti `a des pannes intermittentes, CFIP95, du 9 au 12 mai

1995,Rennes, France.

[48] G. Millerioux and J. Daafouz : Unknown input observers for switched

linear discrete time systems, Proc.Amer.Control.Conf., Boston (2004).

[49] I. Mitrani and B. Avi-itzhak : A Many Server Queue with Service

Inter-ruptions, Operations Research, 16, 3 (1986), 628-638.

[50] I. Mitrani and P. E.Wright : Routing in the Presence of Breakdowns, Per-formance Evaluation 20, (1994), 151-164.

(16)

Bibliographie xii

[51] Ph. Nain : On a generalization of the preemptive resume priority, Adv.Appl.Prob, 18(1), (1986).

[52] A.G. Pakes : Some conditions for ergodicity and recurrence of Markov

chains, Oper.Res.17, (1969), 1058-1061.

[53] D.W. Pearson, M.J. Chapman and D.N. Sheilds : Partial singular value

assignment in the design of robust observers for discrete time descriptor systems, IMA J. Mathematical Control and Information 5(1988), 203-213.

[54] M. Rachik, A. Abdelhak and J. Karrakchou : Discrete systems with delays

in state, control and observation : The maximal output sets with control contraints, Optimization, (1997), Vol.42, 169-183.

[55] M. Rachik, E. Labriji, A. Abkari and J. Bouyaghroumni : Infected

dis-crete Linear Systems : On the Admissible Sources, Optimization, (2000),

Vol.48,271-289.

[56] M. Rachik, A. Tridane and M. Lhous : On the maximal output admissible

set for a class of nonlinear discrete systems, Systems Analysis Modelling

Simulation, (2002), Vol. 42, Issue 11, 1639-1658.

[57] M. Rachik, S. Saadi, Y. Rahhou, O. Elkahlaoui : Observer design and

admissibles disturbances : A discrete disturbed system, Applied

Mathema-tical Sciences, Vol 1, (2007), N◦_{33, 1631-1650.}

[58] M. Rachik, A. Tridane, M. Lhous, O. Idrissi Kacemi and Z. Tridane :

Maxi-mal Output Admissible Set and Admissible Perturbations Set For Nonli-near Discrete Systems, Applied Mathematical Sciences, Vol.1, (2007), N◦

32, 1581-1598.

[59] A. Sayah, O. Idrissi-Kacemi, M. Laklalech, S. Saadi and M. Rachik : On

the observers for a class of discrete bilinear systems, soumis au Journal

of mathematical control science and applications.

[60] B. Sengupta : A Queue with Service Interruption in an Alternating

Mar-kovian Environment, Operations Research, 38(1990), 308-318.

[61] J.S. Shamma and K.Y. Tu : Set-valued observers and optimal disturbance

rejection , IEEE Trans. Automat.Contr, (1999), Vol.44 N◦_{2. Tumors, PHD}

Thesis, University of Washington.

[62] M. Vassilaki, J.C. Hennet and G. Bistoris : Feedback control of linear

discrete time systems under state and control constraints, Int.J.Contr.,

(1988), 47(6), 1727-1735.

[63] C. White and I.S. Christie : Queueing with Preemptive Priorities or with

(17)

Bibliographie 1

[64] D. Williamson : Observation of bilinear systems with application to

biolo-gical control, utomatica, (1977), 13, 243-254.

[65] K. Yoshida, H. Kawabe, Y. Nishimura and Y. Yonezawa : Maximal sets

of admissible initial states in linear discrete-time systems with state and control contraints, Trans of the society of Instrument and control

enginee-ring, (1993), Vol.29, N◦_{11,1302-1310.}

[66] M. Zasadzinski, H. Rafaralahy, C. Mechmeche and M. Darouach : On

dis-turbance decoupled observers for a class of bilinear systems, Transactions

of ASME, Journal of Dynamic Systems, Measurement and control, (1998), vol.120, N◦_{3, 371-377.}

(18)

On the observers for a class of

discrete bilinear systems

R´esum´e

Dans ce travail, nous considérons un système bilinéaire discret décrit par

xi+1= Axi+ p

X

j=1

uj_iBjxi;

augmenté de l’équation de sortie yi = Cxi où A, Bj et C sont des matrices

appropriées, l’état initial est supposé inconnu.

Pour produire un estimateur de l’´etat xi ou de T xi (T ´etant une matrice de

dimension ad´equate), nous introduisons un observateur avec une dynamique bilin´eaire. i.e

zi+1 = F zi+ Kyi+ p

X

j=1

uj_iPjzi avec F, K et Pj des matrices convenables.

L’estimation ´etant asymptotique, le fait que la lenteur de la convergence lim

i→∞keik = 0, o`u ei est l’erreur qui correspond `a l’observateur (zi)i, peut rendre

ce dernier sans intérêt ; notre contribution dans ce papier est de proposer, sous certaines hypothèses, une classe des états initiaux z0 telle que l’observateur

(zi)i qui en résulte vérifie keik ≤ αi, ∀ i ≥ 0 où (ei)i est l’erreur dûe à

l’ap-proximation et (αi)i est un mode de convergence d´esir´e.

Pour illustrer les résultats théoriques obtenus, des exemples et simulations numériques sont présentés.

(19)

Chapitre 1

On the observers for a class of

discrete bilinear systems

Abstract

We consider an output discret bilinear system xi+1 = Axi+ p

P

j=1

uj_iBjxi; yi = Cxi where A, Bj and C are appropriate matrices, the initial state x0 is

sup-posed to be unknown.

To produce an estimation of the state xi or T xi (T being a matrix with

ade-quate dimension), we introduce an observer with bilinear dynamic, i.e.

zi+1= F zi+ Kyi+ p

X

j=1

uj_iPjzi with F, K and Pj suitable matrices.

According to the fact that the slowness of the convergence lim

i→∞keik = 0 where ei is the error corresponding to observer (zi)i, can make this last without

in-terest, our contribution in this paper is to propose, under certains hypothesis a class Θ of initial state observer z0 such that keik ≤ αi, ∀ i ≥ 0 where (αi)i

is a desired mode of convergence. Simplex method is used to give exemples of numerical simulation.

Key words : Discret bilinear system, Observers,estimation error,mathematical programming.

1.1 Introduction

The bilinear systems constitute a class of non linear systems which is used to model the evolution of lot of dynamical processes when the linear models

(20)

1.1. Introduction 4

are inadequate. This class of systems describes several physics phenomenons in mechanic, chemistry, immunology and population dynamic.

It is well known that all state variables are rarely available for direct mea-surement in most cases. So, there is substantial need for reliable estimation of the state variables.

To realize this particular task, a state observer is usually employed to ge-nerate an estimate of the state. The design of observers for bilinear systems have received more attention in the past years [1], [2], [7], [4], [6], [8], [10], [12], [13]. The estimate should converge to the true state or some of its components when time goes to ∞. Ideally the estimation error should converge to zero as quickly as desired.

One way of approaching this problem is to construct an observer for which the observer error converges to zero with assigned speed. Rachik et al [3], [9] solved this problem for linear systems. The purpose of this paper is to genera-lize the approach in [3], [9] to the case of a discrete bilinear systems.

This paper deals with the design of a bilinear state estimation which en-sures a prescribed performance of the estimation error.

More precisely we consider a discrete bilinear system described by the dif-ference equation _   xi+1 = Axi+ p P j=1 uj_iBjxi x0 (1.1) where xi ∈ Rn, ui = (u1i, u2i, ..., upi)T ∈ Rp are respectively, the state and the

control variable, while A, Bj 1 ≤ j ≤ p are matrices in L(Rn).

The initial state x0 is supposed to be unknown, and consequently xiis unknown

for all i ≥ 1.

Our main objective, is to construct an observer of the above system such that at every time i ≥ 0, the estimation error in norm is less than αi, where (αi)i≥0is

a sequence of positive reals decreasing to zero, for all initial state in polyhedral set and for all inputs variables in a given bounded.

In non-linear systems, specially in bilinear systems, there exist many kinds of observers. As shown in [11], the existence of observer for bilinear systems depends on the control inputs. In this paper we are interested by observers of the type _   zi+1= F zi+ Kyi+ p P j=1 uj_iPjzi z0, (1.2)

(21)

1.2. Problem statement 5

where zi ∈ Rm is the state observer ; F, K and Pj 1 ≤ j ≤ p are matrices of

suitable dimensions.

The problem under consideration can be formulated as follows : Given a sequence of positive reals α = (αi)i≥0 decreasing to zero, which designates the

desired speed of convergence, and while supposing that the unknown initial state is located to in a convex polyhedron Q, and that the control variables ui

belong to a convex polyhedron P we seek to verify the condition

||ei|| ≤ αi ; ∀i ≥ 0, (1.3)

where ei = zi− T xi, for T ∈ L(Rn, Rm), indicates the observer error. We call

an initial state observer z0 that realize the performance (1.3), an α-admissible

observer initial state. We will be interested in this paper in the characterization of the set Θ of all α-admissible initial states observer. So to characterize this set Θ, we propose algorithms bases in the mathematical programming technique, Simplex method avoid it possible to lead to numerical simulations.

1.2 Problem statement

Let’s consider the bilinear discrete time system described by    xi+1 = Axi+ p P j=1 uj_iBjxi x0 (1.4) where xi ∈ Rn, ui = (u1i, u2i, ..., upi)T ∈ Rp are respectively, the state and the

control variables, while A, Bj, 1 ≤ j ≤ p are matrices in L(Rn).

The initial state x0 is supposed unknown,then with an aim of estimating the

state of our system (xi)i≥0, we suppose that the informations on this last, are

given by the output equation

yi = Cxi i ≥ 0 with C ∈ L(Rn, Rk

0

) (1.5) Considering the bilinear nature of the system (1.4), the approach that we use in this paper consists in introducing an observer of the type

   zi+1= F zi+ Kyi+ p P j=1 uj_iPjzi z0 (1.6)

(22)

1.3. Construction of an observer 6

where zi ∈ Rm is the state observer ; F, K and Pj, 1 ≤ j ≤ p are matrices of

appropriate dimensions.

We propose therefore to establish that, under some hypothesis, the observer zi

approaches asymptotically the variable T xi where T is a suitable matrix (that

designates, for example, the components of xi whose estimate interests us).

However, in a lot of situations, the slowness of the convergence : lim

i→+∞kzi− T xik = 0 (1.7)

can make that the observer zi is without interest. Therefore to remedy this

handicap, we show in this paper that it is possible to construct an observer zi

verifies

kzi− T xik ≤ αi; ∀i ≥ 0 (1.8)

where (αi)i≥0 is predefined velocity of convergence.

In all the sequel of this work, we will adopt the following hypothesis h1. The unknown initial state is supposed to be localized in a convex, com-pact polyhedron, Q of Rn_.

h2. The variables of control (ui)i≥0 is such that ui ∈ P where P is a convex,

compact polyhedron, of Rp_{, containing 0.}

h3. The velocity of convergence αi is such that the sequence (_αα_i+1i )i≥0 is

de-creasing (for example αi = _i+11 ; αi = βi, β < 1 ; αi = _(i+1)1 s, s ∈ [1, +∞[). And

the problem can be formulated as follows

Given the system (1.4) with the measured output (yi)i≥0, we aim to fined a

set Θ such that : if (xi+ ei ∈ Θ, for all i ∈ N) then that assures us that the

estimation error ei checks keik ≤ αi, for all i ≥ 0.

1.3 Construction of an observer

In order to determine some conditions under which the observer (1.6) constitutes an asymptotic estimator of T xi and that for all ui in the

poly-hedron P, let us define on Rp _{× (L(R}m₎₎p _{the bilinear operator} < β, L >=

p

X

j=1 βjLj

where β = (β1, ..., βp)T ∈ Rp, L = (L1, ..., Lp)T ∈ (L(Rm))p and on L(Rm), the

(23)

1.3. Construction of an observer 7 Äi−1_k=0[G+ < βk, L >] = i−1 Y k=0 [G+ < βi−1−k, L >]; ∀i ≥ 1 (1.9) where G is a matrix of L(Rm_{). Then we have the following result}

Lemma 1.1. Let’s suppose that ui ∈ P ∀ i ≥ 0, where P is a convex compact polyhedron of Rp _{containing the origin and whose vertices are v}

1, v2, ..., vr and that the following conditions hold

1. F T − T A = −KC.

2. PjT = T Bj f or all 1 ≤ j ≤ p

Then the error vector ei = zi− T xi verifies keik ≤ Äi−1k=0 r X lk=1 δk lkkF + < vlk, P > kke0k ∀i ≥ 1. (1.10) where δk lk ∈ [0, 1] and r P lk=1 δk lk = 1, for all k ∈ {0, 1, ..., i − 1}. Proof. Let i ≥ 1, we have ei = zi− T xi = F zi−1+ Kyi−1+ p P j=1 uj_i−1Pjzi−1− T Axi− p P j=1 T uj_i−1Bjxi−1

= F ei−1+ [F T + KC − T A]xi−1+ p P j=1 uj_i−1[PjT − T Bj]xi−1+ p P j=1 uj_i−1Pjei−1 = [F +Pp j=1

uj_i−1Pj]ei−1+ [F T + KC − T A]xi−1+ p

P

j=1

uj_i−1[PjT − T Bj]xi−1

From the hypothesis of lemma1, we deduce

ei = " F + p X j=1 uj_i−1Pj # ei−1. then, we obtain ei = " F + p X j=1 uj_i−1Pj # " F + p X j=1 uj_i−2Pj # ... " F + p X j=1 uj₀Pj # e0.

If we denote by P the matrix (P1, P2, ..., Pp)T, ei can be written

(24)

1.3. Construction of an observer 8

As uk ∈ P, for all k ∈ {0, 1, ..., i − 1}, then uk is a convex combination of the

vertices of P, i.e uk = r X lk=1 δk lkvlk where δ k lk ∈ [0, 1] and r X lk=1 δk lk = 1. which gives keik = k Äi−1k=0 r P lk=1 δk lk[F + < vlk, P >]e0k ≤ Äi−1 k=0 r P lk=1 δk lkkF + < vlk, P > kke0k, ∀i ≥ 1. ¥ (1.12) The sufficient conditions for the existence of an observer are given by the following proposition

Proposition 1.1. Let’s suppose the conditions of Lemma 1.1 verified, the matrix F is stable (i.e kF k < 1) and there exists a real λ ∈]0, 1[ such that

max

1≤l≤rkF + < vl, P > k ≤ λ. (1.13)

Then zi constitutes an asymptotic observer of T xi.

Proof. Let u ∈ P then u = Pr l=1 δlvl where δl ∈ [0, 1] and r P l=1 δl = 1. That implies kF + < u, P > k = kF + <Pr l=1 δlvl, P > k = kPr l=1 δl[F + < vl, P >]k ≤Pr l=1 δlkF + < vl, P > k ≤Pr l=1 δlλ = λ.

Then we use the inequality (1.11) to deduce

keik ≤ λike0k f or all i ≥ 0

and so

lim

i→+∞keik = 0. ¥

If k.k2 denotes the euclidian norm defined on Rp. The following lemma gives

(25)

1.4. An improvement of the observer’s performances 9

Lemma 1.2. We suppose that the following hold

1. F is stable, or more exactly there exists a real λ ∈]0, 1[ such that kF k < λ.

2. The vertices v1, v2, ..., vr of the polyhedron P, verify

max 1≤l≤rkvlk2 ≤ (λ − kF k) s p P j=1 kPjk2 . (1.14) Then kF + < vl, P > k ≤ λ; ∀l ∈ {1, 2, ..., r}. (1.15) Proof.

Let v1, v2, ..., vr the vertices of the polyhedron P. For vl = (vl,1, ..., vl,p)T where vl,j ∈ R, 1 ≤ j ≤ p, we have kF + < vl, P > k = kF + p P j=1 vl,jPjk ≤ kF k + kPp j=1 vl,jPjk ≤ kF k + Pp j=1 |vl,j|kPjk ≤ kF k + (Pp j=1 |vl,j|2₎1/2₍Pp j=1 kPjk2₎1/2 ≤ kF k + kvlk2( p P j=1 kPjk2)1/2 ≤ kF k + max 1≤l≤rkvlk2( p P j=1 kPjk2)1/2 ≤ kF k + (λ − kF k) ≤ λ. ¥

1.4 An improvement of the observer’s

perfor-mances

Like was stated in the introduction of this paper, we are interested in this section in elaboration of a class of initial states z0 verifying the

pointwise-in-time conditions kzi−T xik ≤ αi where ziis the solution of equation (1.6)

(26)

and i ≥ 1. That means, if we denote by ui _{= (u}

0, ..., ui−1) where i ≥ 1, we

investigate the set Θ given by

Θ = ©z0 ∈ Rm/kz0− T x0k ≤ α0, kzi− T xik ≤ αi; ∀x0 ∈ Q, ui ∈ Pi, ∀ i ≥ 1

ª

.

Θ is called the set of the α-admissible observers initial states.

1.4.1 Preliminary results

By a simple calculation, we demonstrate that

Θ =©z0 ∈ Rm/kz0− T x0k ≤ α0, k Äi−1k=0[F + < uk, P >](z0− T x0)k ≤ αi;

(1.16)

∀x0 ∈ Q, ui ∈ Pi, ∀i ≥ 1

ª

.

Let Θx the set of Rm defined by

Θx =

©

z0 ∈ Rm/kz0− T xk ≤ α0, k Äi−1k=0[F + < uk, P >](z0− T x)k ≤ αi;

(1.17)

ui _{∈ P}i_{, ∀i ≥ 1}ª_; _{∀x ∈ R}n_.

Then, we have the following lemma

Lemma 1.3. Let Q be a convex compact polyhedron of Rn _{containing x}

0 and

whose vertices are w1, w2, ..., ws then

Θ = s \ j=1 Θwj. (1.18) Proof.

It is easy to see that Θ ⊂ Ts

j=1

Θwj.

Reciprocally, let z ∈ Ts

j=1

Θwj, x0 ∈ Q and uk∈ P for k ∈ {0, 1, ..., i − 1}. Since

x0 ∈ Q, then x0 is a convex combination of wj, 1 ≤ j ≤ s i.e x0 = s X j=1 λjwj where λj ∈ [0, 1] and s X j=1 λj = 1.

(27)

Then, for all i ≥ 1 and uk ∈ Pi k Äi−1 k=0[F + < uk, P >](z − T x0)k = k Äi−1k=0[F + < uk, P >](z − s P j=1 λjT wj)k = k Äi−1 k=0[F + < uk, P >]( s P j=1 λj(z − T wj))k = kPs j=1 λj Äi−1k=0[F + < uk, P >](z − T wj)k ≤ Ps j=1 λjk Äi−1k=0[F + < uk, P >](z − T wj)k ≤ Ps j=1 λjαi = αi. Moreover, kz−T x0k ≤ α0then z ∈ Θ. ¥

Let’s consider the set G defined by

0)/k Äi−1k=0[F + < uk, P >] ξk ≤ αi; ∀ui ∈ Pi; ∀i ≥ 1

ª

.

(1.19) Where B(0, α0) is the ball with center 0 and radius α0 and ¯B(0, α0) the

adhe-rence of B(0, α0).

It is clair that

Θx = G + T x; ∀x ∈ Rn. (1.20)

Moreover, we have the following result

Proposition 1.2.

1. G and Θ are convex, compact sets and G is symmetric.

2. If (λi

αi)i≥0 verifies lim_i→+∞

λi

αi = 0,

then

0 ∈ int(G) and int(Θx) 6= ∅; ∀x ∈ Rn. Where int(G) is the interior of G.

Proof.

To verify 1, it is sufficient to apply the definitions of the sets G and Θ. The hypothesis lim

i→∞ λi

αi = 0 implies the existence of

ρ > 0 such that λi

(28)

Then for all ξ ∈ B(0,1

ρ) ; and ui ∈ Pi, i ≥ 1, we get k Äi−1

k=0[F + < uk, P >]ξk ≤ Äi−1k=0kF + < uk, P > kkξk ≤ λi_kξk

≤ αi.

Moreover kξk ≤ α0, therefore ξ ∈ G, i.e B(0,1_ρ) ⊂ G and from there 0 ∈

int(G). Using the relation (1.20), we deduce that

int(Θx) 6= ∅ f or all x ∈ Rn. ¥

Now, we propose some conditions under which the set Θ is nonempty.

Theorem 1.1. If we suppose that the sequence (λi

αi)i≥0 is bounded and Q is

such that diam(Q) ≤ 1

γkT k (respectively diam(Q) < γkT k1 )1, where γ = sup i≥0 λi αi, then T Q ⊂ Θ (respectively T Q ⊂ int(Θ)). Proof.

Let z ∈ T Q, then z = T v where v ∈ Q. Let i ≥ 1, ui _{∈ P}i _{and x}

0 ∈ Q. Since Q is a polyhedron of Rn, we have

v = s X j=1 λjwj and x0 = s X l=1 βlwl,

where (βl, λj) ∈ [0, 1]2 _{for all (l, j) ∈ {1, 2, ..., s}}2 _and Ps

l=1 βl= Ps j=1 λj = 1. Then k Äi−1_k=0[F + < uk, P >](z − T x0)k = k Äi−1_k=0[F + < uk, P >] Ã s P j=1 λjT wj −Ps l=1 βlT wl ! k = k Äi−1 k=0[F + < uk, P >] Ã s P j=1 s P l=1 λjβlT (wj− wl) ! k ≤ Ps j=1 s P l=1 λjβlk Äi−1k=0[F + < uk, P >](T (wj− wl))k ≤ Ps j=1 s P l=1 λjβlÄi−1k=0kF + < uk, P > kkT kkwj − wlk ≤ Ps j=1 s P l=1 λjβlλikT kdiam(Q) ≤ λi_{kT kdiam(Q)} ≤ αi. 1_{diam(Q) =} _max wi,wj∈vert(Q)

(29)

1.4. An improvement of the observer’s performances 13 and kz − T x0k = k s P j=1 λjT wj− s P l=1 βlT wlk = kPs j=1 s P l=1 λjβlT (wj − wl)k ≤ Ps j=1 s P l=1 λjβlkT kkwj− wlk ≤ α0. Then z ∈ Θ.

Now, we suppose that diam(Q) < 1

γkT k and consider the positif real β given

by

β = 1

γ − kT kdiam(Q).

Let’s show that B(z, β) ⊂ Θ for all z ∈ T Q. The demonstration will be made in two steps.

Step1 : If we suppose that z = T wj where wj is a vertice of Q, then we have,

for all X ∈ B(T wj, β), where (1 ≤ j ≤ s), x0 ∈ Q ; i ≥ 1 and ui ∈ Pi

k Äi−1 k=0[F + < uk, P >](X − T x0)k ≤ k Äi−1k=0[F + < uk, P >](X − T wj)k +k Äi−1_k=0[F + < uk, P >](T wj − T x0)k ≤ Äi−1 k=0kF + < uk, P > kkX − T wjk + Äi−1_k=0kF + < uk, P > kkT kkwj − x0k ≤ λi_{β + λ}i_{kT kdiam(Q)} ≤ λi_{(β + kT kdiam(Q))} ≤ λi γ ≤ αi. Moreover, we have kX − T x0k = kX − T wjk + kT wj− T x0k ≤ β + kT kdiam(Q) ≤ 1 γ ≤ α0

then X ∈ Θ and from there B(T wj, β) ⊂ Θ for all ; j ∈ {1, 2, ..., s}, which

gives that T wj ∈ int(Θ) ; ∀ j ∈ {1, 2, ..., s}.

Step 2 : If z ∈ T Q. Then z can be written as convex combination of vectors

T w1, ..., T ws, i.e z = s X j=1 λjT wj.

(30)

Let’s consider Y ∈ B(z, β), x0 ∈ Q and ui ∈ Pi; i ≥ 1

k Äi−1_k=0[F + < uk, P >](Y − T x0)k ≤ k Äi−1_k=0[F + < uk, P >](

s P i=1 λjT (wj − x0))k +k Äi−1_k=0[F + < uk, P >](Y − s P i=1 λjT wj)k ≤ Äi−1 k=0kF + < uk, P > k s P i=1 λjkT kkwj− x0k + Äi−1 k=0kF + < uk, P > kkY − s P i=1 λjT wjk ≤ λi_{kT kdiamQ + λ}i_β ≤ λi_{(kT kdiamQ + β)} ≤ λi γ ≤ αi. Moreover kY − T x0k ≤ kY − s P j=1 λjT wjk + k s P j=1 λjT wj − T x0k ≤ β + kPs j=1 λjkT kkwj − x0k ≤ β + kT kdiamQ ≤ 1 γ ≤ α0. Then z ∈ int(Θ). ¥

1.4.2 Characterization of the set Θ

In order to characterize the set of α- admissible observers Θ given by the relations (1.18) and (1.20), we introduce the sequence (Gq)q≥0 where

Gq = © ξ ∈ Rm_{∩ ¯}_{B(0, α} 0)/k Äi−1k=0[F + < uk, P >]ξk ≤ αi; ∀ui ∈ Pi, ∀1 ≤ i ≤ q ª . f or all q ≥ 1 G0 = ¯B(0, α0).

Definition 1.1. The set G is said to be finitely-accessible if there exists an integer q, such that

G = Gq. (1.21)

The smallest integer q verifying (1.21) is called the access index of G and is noted q∗_.

(31)

In the following proposition we state some properties of the sets Gq.

Proposition 1.3.

1. For all integer q1, q2 such that q1 ≤ q2, we have

G ⊂ Gq2 ⊂ Gq1.

2. ξ ∈ Gq+1 ⇔ ξ ∈ Gq and k Äq_k=0[F + < uk, P >]ξk ≤ αq+1; ∀uk ∈ P. 3. ξ ∈ Gq+1 ⇒ _αα_q+1q [F + < u, P >]ξ ∈ Gq; ∀u ∈ P.

Proof.

The demonstration of 1 and 2 results deducts easily from the definition of sets

G and Gq.

To establish the implication 3. We consider ξ ∈ Gq+1; (u, ui) ∈ Pi+1 and i ∈ {1, 2, ..., q}. For all (wk0)_0≤k0_≤j−1 ∈ Pj and j ∈ {1, 2, ..., q + 1}, we have

k Äj−1_k0₌₀[F + < w_k0, P >]ξk ≤ α_j.

In particular for j = i + 1, we get

k Äi

k0₌₀[F + < w_k0, P >]ξk ≤ α_i+1.

Using the definition of the operator product Ä and let’s take w0 = u, wk = uk−1

for all 1 ≤ k ≤ i. The last inequality becomes °

°Äi−1

k=0[F + < uk, P >][F + < u, P >]ξ

°

° ≤ αi+1.

And from there ° ° ° °Äi−1k=0[F + < uk, P >] αq αq+1[F + < u, P >]ξ ° ° ° ° ≤ αi+1 αq αq+1. Since ( αi

αi+1)i≥0 is a decreasing sequence, then we obtain

° ° ° °Äi−1k=0[F + < uk, P >] αq αq+1 [F + < u, P >]ξ ° ° ° ° ≤ αi, ∀i ∈ {1, 2, ..., q}. In addition, we have kF + < w0, P > ξk ≤ α1, ∀w0 ∈ P.

In particular for w0 = u, we obtain

(32)

1.4. An improvement of the observer’s performances 16 and thus k αq αq+1[F + < u, P >]ξk ≤ αq αq+1α1 ≤ α0 and so αq αq+1

[F + < u, P >]ξ ∈ Gq f or all ξ ∈ Gq+1 and all u ∈ P. ¥

In the following proposition, we gives conditions which guaranties the set G to be finitely accessible.

Proposition 1.4. The set G is finitely accessible if and only if there exists q0 ∈ N such that Gq0 is non empty and

Gq0 = Gq0+1. (1.22)

Proof.

If G is finitely accessible it is obvious that the sequence (Gq)q≥q0 is stationary.

Reciprocally, let’s suppose that it exists q0 ∈ N for which Gq0 6= ∅ and Gq0 ⊂

Gq0+1. From the proposition 1.3, we obtain for all ξ ∈ Gq0

αq0 αq0+1 [F + < v0 1, P >]ξ ∈ Gq0, ∀ v 0 1 ∈ P, and µ αq0 αq0+1 ¶₂ [F + < v0 2, P >][F + < v10, P >]ξ ∈ Gq0, , ∀ v 0 1, v20 ∈ P. by iteration, we deduce µ αq0 αq0+1 ¶_j [F + < v0 j, P >]...[F + < v10, P >]ξ ∈ Gq0 ∀ (v 0 j0)_1≤j0_≤j ∈ Pj, ∀ j ≥ 1.

Then we can write ° ° ° ° ° µ αq0 αq0+1 ¶_j Äi−1_k=0[F + < w0_k, P >][Äj_j0₌₁[F + < v0_j0, P >]ξ] ° ° ° ° °≤ αi, ∀ ((v0

j0)_1≤j0_≤j, (w0_k)_{0≤k≤i−1}) ∈ Pi+j, ∀ j ≥ 1, ∀i ∈ {1, 2, ..., q₀}.

In particular, for i = q0. We obtain for all j ≥ 1, and (vj00)_1≤j0_≤j, (w_k0)_0≤k≤q0₋₁ ∈

Pq0+j ° °Äq0−1 k=0 [F + < wk0, P >][Äjj0₌₁[F + < v_j00, P > ξ] ° ° ≤ αjq0+1 αj−1q0 .

(33)

1.4. An improvement of the observer’s performances 17 Or again k q0 terms z }| { [F + < w0 q0−1, P >]...[F + < w 0 0, P >] j terms z }| { [F + < v0 j, P >]...[F + < v10, P >] ξ k ≤ αj_q₀₊₁ αj−1q0 .

Let’s define uk= vk+10 for 0 ≤ k ≤ j − 1 and uk= w0k−j for j ≤ k ≤ q0+ j − 1.

We have k[F + < uq0+j−1, P >]...[F + < u0, P >]ξk ≤ αj_q₀₊₁ αj−1q0 . Then k Äq_k=00+j−1[F + < uk, P >]ξk ≤ αj_q₀₊₁ αj−1q0 , ∀(uk)0≤k≤q0+j−1 ∈ Pq0+j; ∀j ≥ 1.

Using the properties of the sequence (αi)i≥, we can establish that for all j ≥ 1 αj_q₀₊₁

αj−1q0

≤ αq0+j.

Then we can write

k Äq_k=00+j−1[F + < uk, P >]ξk ≤ αq0+j, ∀(uk)0≤k≤q0+j−1 ∈ Pq0+j; ∀j ≥ 1.

We deduce that

ξ ∈ G and thus G = Gq0. ¥

Remark 1.1. like a naturel consequence of the preceding proposition, we give in section5 an algorithm allowing us to determine the integer q∗ _checking G = Gq∗.

Before being in the determination of q∗_{, it is desirable to have a simple} condi-tion which ensures us the accessibility of the set G.

Theorem 1.2. If the following condition hold

lim

i→+∞ λi αi

= 0.

Then G is finitely accessible.

Proof.

From the hypothesis of the theorem, we deduce the existence of q∗ _{∈ N which}

verifies λi αi ≤ 1 α0 , ∀i ≥ q∗_.

(34)

1.5. An algorithmic approach 18

Let ξ ∈ Gq∗, we have for all uq ∗

∈ P(q∗₊₁₎

k Äq_k=0∗ [F + < uk, P >]ξk ≤ Äq_k=0∗ kF + < uk, P > kkξk

However kF + < uk, P > k ≤ λ for all uq

∗

∈ P(q∗₊₁₎

, then we deduce from the proposition 1.1 k Äq_k=0∗ [F + < uk, P >]ξk ≤ λq∗+1_kξk ≤ αq∗+1 α0 kξk ≤ αq∗₊₁, and thus ξ ∈ Gq∗+1. ¥

Remark 1.2. The results obtained in the previous section enable us to suggest the following algorithm in order to determine the index of accessibility q∗ _and from there characterize the set Θ.

Algorithm 1.1.

1. set q := 1.

2. If Gq = Gq+1 then set q∗ := q and stop, else continue

3. Replace q by q + 1 and return to step 2.

It is clear that algorithm 1.1 converges if and only if G is accessible. Howe-ver, we have to show how the test Gq = Gq+1 can be implemented on machine.

In order to overcome this difficulty we propose the following study.

1.5 An algorithmic approach

In order to translate the algorithm 1.1 into an algorithm which is written in a convenient manner and which enables us to determine the access index

q∗_{, let’s introduce the sets H}

q, q ∈ N∗ defined by

∀ k ∈ {0, 1, ..., i − 1}, i ∈ {1, 2, ..., q}} .

where v1, v2, ..., vr are vertices of the polyhedron P.

(35)

Proposition 1.5. Let v1, v2, ..., vr the vertices of the convex compact polyhe-dron P of Rm _{containing 0. Then}

0)/k Äi−1k=0[F + < uk, P >]ξk ≤ αi; ∀ui ∈ Pi, ∀i ∈ {1, 2, ..., q}

ª

,

it is clear that

Gq ⊂ Hq.

Let’s show that Hq⊂ Gq.

Indeed consider ξ ∈ Hq, ui ∈ Pi and i ∈ {1, 2, ..., q}.

For all k ∈ {1, 2, ..., i − 1}, uk is a convex combination of the vertices of P, i.e uk = r X lk=1 δk lkvlk, where δ k lk ∈ [0, 1] and r X lk=1 δk lk = 1, then, we get k Äi−1_k=0[F + < uk, P >]ξk = k Äi−1_k=0[F + < Pr lk=1 δk lkvlk, P >]ξk = k Äi−1 k=0 r P lk=1 δk lk[F + < vlk, P >]ξk = ° ° ° ° ° r P li−1=1 r P li−2=1 ... Pr l0=1 δi−1 li−1..δ 0 l0 Ä i−1 k=0[F + < vlk, P >]ξ ° ° ° ° ° ≤ Pr li−1=1 r P li−2=1 ... Pr l0=1 δ_li−1_i−1..δ0 l0k Ä i−1 k=0[F + < vlk, P >]ξk ≤ Pr li−1=1 r P li−2=1 ... Pr l0=1 δi−1 li−1..δ 0 l0αi ≤ Pr li−1=1 δi−1 li−1... r P l0=1 δ0 l0αi ≤ αi.

It shows that ξ ∈ Gqand thus Gq = Hq. What enables us to conclude that G is

finitely-accessible if and only there exists an integer q0 such that G = Hq0 what

is still equivalent to saying that G is accessible if and only if there exists an in-teger q0such that Hq0 = Hq0+1. ¥

(36)

1.5.1 Algorithmic determination of the access index q

∗

Let Rm _{the vectorial space with the infinite norm defined by} kyk∞ = max

1≤i≤m|yi|.

Then the set Hq is given by

Hq = ½ ξ ∈ Rm∩ ¯B(0, α0)/fl( 1 αi Äi−1_k=0[F + < vlk, P >]ξ) ≤ 0; ∀ l ∈ {1, 2, ..., 2m}, (l0, l1, ...li−1) ∈ {1, 2, ..., r}i, 1 ≤ i ≤ q ª

where the functions fj : Rm → R are defined for all y = (y1, ..., ym) ∈ Rm by

½

f2l(y) = −yl− 1 f2l−1= yl− 1

∀ l ∈ {1, 2, ..., m}.

Let I the part of N given by I = {1, .., r}. From the proposition 1.3, we deduce that

Hq+1 = Hq⇔ Hq ⊂ Hq+1,

it’s equivalent to,

∀ ξ ∈ Hq, ∀ (l0, l1, ...lq) ∈ Iq+1 fl( 1 αq+1 Äq_k=0[F + < vlk, P >]ξ) ≤ 0, ∀ l ∈ {1, 2, ..., 2m}. Moreover, ∀(l0, l1, ..., lq) ∈ Iq+1 sup ξ∈Hq fl( 1 αq+1 Äq_k=0[F + < vlk, P >]ξ) ≤ 0 ∀ l ∈ {1, 2, ..., 2m}. Then, Hq+1 = Hq ⇔ max (l0,l1,...lq)∈Iq+1 sup ξ∈Hq fl( 1 αq+1 Äq_k=0[F + < vlk, P >]ξ) ≤ 0,

l ∈ {1, ..., 2m} what is even equivalent to

max (l0,l1,...lq)∈Iq+1 sup fl( 1 αq+1 Äq_k=0[F + < vlk, P >]ξ) ≤ 0 ∀ l ∈ {1, 2, ..., 2m},

under the constraints_             fj(_αξ₀) ≤ 0 fj(_α1_i Äi−1k=0[F + < vpk, P >]ξ) ≤ 0 j = 1, ..., 2m (p0, p1, ..., pi−1) ∈ Ii, i = 1, 2, ..., q

(37)

1.6. Observer initial state design 21 Algorithm 1.2. 1. q := 1. 2. for l = 1, 2, ..., 2m do : (a) for (l0, l1, ...lq) ∈ {1, 2, ..., r}q+1 do (b) Maximize Jl,(l0,l1,...lq)(ξ) = fl( 1 αq+1 Ä q k=0[F + < vlk, P >]ξ) subject to              fj(_αξ₀) ≤ 0 fj(_α1_i Äi−1k=0[F + < vpk, P >]ξ) ≤ 0 j = 1, ..., 2m (p0, p1, ..., pi−1) ∈ Ii, i = 1, 2, ..., q Let JM

l,(l0,l1,...lq) be the maximum value of Jl,(l0,l1,...lq)(ξ).

Let J∗

l be the maximum value of Jl,(lM0,l1,...lq).

(c) If J∗

l ≤ 0 for l = 1, ..., 2m then set q∗ := q and stop. Else continue. 3. Replace q by q + 1 and return to step 2.

1.6 Observer initial state design

The section is devoted to characterization of the set Θ. For that, let’ us consider P a polyhedron of Rp_{, convex, compact containing the origin and}

whose vertices are the vectors v1, ..., vr and Q a polyhedron of Rn convex

compact containing the initial state x0 and whose vertices are the vectors

w1, ..., ws. From the results obtained in sections 4 and 5, we have the following

proposition

Proposition 1.6. Under the hypothesis 1. It exists λ ∈]0, 1[ such that kF k < λ.

2. max 1≤l≤rkvlk2 ≤ (λ − kF k)/ s p P j=1 kPjk2. 3. lim i→+∞ λi αi = 0.

Then Θ is the set of all state z0 ∈ Rm satisfied the constraints

         kz0− T wjk∞ ≤ α0 k Äi−1 k=0[F + < vlk, P >](z0− T wj)k∞≤ αi lk∈ {1, 2, ..., r}; 0 ≤ k ≤ i − 1 1 ≤ j ≤ s; 1 ≤ i ≤ q∗ (1.23)