Formulaire :
Second degré :
Dérivation :
Fonction f Dérivée f’ Remarque
a 0 a est un nombre réel
x 1 n x nxn−1 n entier naturel x 1 ² 1 x − x non nul v u ² ' ' v uv v u − u et v deux fonctions, v ne s’annulant pas. Primitives :
k est un nombre réel constant.
Fonction f Primitives F Remarque
0 k a a x + k n x k n xn + + + 1 1 n entier naturel ² 1 x − x +k 1 x non nul.
Bac blanc mathématiques
– Avril 2012
Statistiques :
La moyenne de X est :
La variance de X est : L’écart type de X est :
Les données ci-dessus peuvent aussi être calculées à l’aide d’une calculatrice graphique.
Fonction ln :
Quels que soient les réels strictement positifs a et b : ln(ab)=lna+lnb et a b b a ln ln ln = −
( )
x x ' 1 ln = 1 lne= et ln1=0Exercice 1 (8 points)
Un particulier possède un système de décongélation qui n'altère pas les aliments. La machine peut être programmée jusqu'à 10 minutes.
L'évolution de la température de l'aliment (en degrés Celsius) est modélisée par la fonction g, définie sur l'intervalleI =
[ ]
1;10 , parg(t)=12ln(t)−14 où t représente le temps exprimé en minutes.1) a) Quelle est la température de l'aliment après 10 min ? Le résultat sera arrondi au dixième. b) Quelle est la température de l'aliment après 3 min 30 s ? Le résultat sera arrondi au dixième.
2) a) Calculer g'(t) où g' désigne la fonction dérivée de g. b) Etudier le signe de g'(t) sur I.
c) Dresser le tableau de variations de g sur I et préciser les valeurs de la fonction aux bornes de l'intervalle d'étude.
3) a) Compléter le tableau de l'annexe 1. Les résultats seront arrondis à10−1près. b) Tracer la courbe représentative de g dans un repère orthogonal sur l'annexe 2.
Unités graphiques : 1 cm pour 1 min en abscisse 1 cm pour 2°C en ordonnée
4) a) Avec la précision permise par le graphique, déterminer à quel moment la température sera égale à -2°C.
b) On souhaite déterminer la valeur exacte de ce résultat. Parmi les trois équations ci-dessous, quelle est celle qui permet de répondre à la question ?
16 ) ln(
12 t =− ; 12ln(t)=−12 ; ln(t)=1 c) Résoudre cette équation.
5) Déterminer une équation réduite de la tangente à la courbe représentative de g au point d'abscisse 5 et tracer cette tangente dans le repère du 3).
Exercice 2 (5 points)
Des élèves de Terminale Bac Professionnel ont relevé la valeur du PH sur un échantillon de 33 parcelles.
Les résultats figurent dans le tableau ci-dessus :
1) Déterminer le PH médian ; que représente cette valeur ?
2) On désire cultiver sur ces parcelles une nouvelle variété de céréale. Un étude a montré que de bons rendements pour cette céréale sont obtenus sur des sols dont le PH est compris dans l'intervalle
[
7,61;7,96[
. Quel est le pourcentage de parcelles qui ne répondent pas au critère précédent ? Le résultat sera arrondi à10−2près.3) Trois élèves ont calculé le PH moyen. Ils ont trouvé trois valeurs différentes :
6, 60 - 8,09 - 7,80
Un seul de ces trois résultats est juste. Sans faire aucun calcul, indiquer ceux qui sont à rejeter, en justifiant votre réponse.
8,12 7,88 7,76 7,92 7,25 7,6 7,79 7,93 8,09 7,65 7,8
7,94 8,19 7,69 7,85 7,97 7,5 8,08 7,87 7,99 7,51 7,75
Exercice 3 (7 points)
1) Résoudre les équations suivantes : a) ln
(
−2x+4)
=0b) ln
(
2x+1) (
+ln x−2)
=ln(
28−7x)
2) Calculer l’intégrale suivante :
dx x x e
∫
1 + 5 3ANNEXE 1 (à rendre avec la copie)
t 1 2 3 3,5 4 5 6 7 7,5 8 9 10
g(t) -5,7 5,3 7,5 12,4
