Mme LE DUFF Seconde générale et technologique
Mathématiques - 1 -
I – Intervalles et inégalités.
1°) Intervalles finis
Définitions : Soient deux nombres réels a et b, tels que a<b. L’ensemble des nombres réels compris entre a et b
est un intervalle fini. L’amplitude de l’intervalle est b – a. Le centre de l’intervalle est 2
a b
.
On peut distinguer 4 cas selon que les nombres a et b (appelés bornes de l’intervalle) sont ou non inclus dans l’intervalle.
Intervalles Ensemble des réels x correspondant (encadrement de x, inégalité). Représentation graphique [a,b] a ≤ x ≤ b ]a,b[ a < x < b [a,b[ a ≤ x < b. ]a,b] a < x ≤ b
Remarque : C’est le sens des crochets (ouvert ou fermé) qui indique si les bornes sont ou ne sont pas incluses dans l’intervalle.
2°) Intervalles infinis
Définition : Soit un nombre réel a. L’ensemble des nombres réels supérieurs/inférieurs à a est un intervalle
infini, l’une des bornes est ou.
Intervalles Ensemble des réels x correspondant (encadrement de x, inégalité).
Représentation graphique
[a,+∞ [ a ≤ x
]a, +∞ [ a < x
3 – Intervalles et inégalités
Intervalles, inégalités et valeur absolue.
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Mathématiques - 2 -
]-∞, a ] x ≤ a
] -∞, a [ x < a
Remarque : Les crochets sont toujours ouverts du côté de l’infini puisqu’on ne peut pas l’atteindre.
3°) Réunion d’intervalles
Définition : la réunion de deux intervalles I et J est l’ensemble des nombres qui sont dans un au moins l’un
des deux intervalles. On note I U J.
4°) Intersection d’intervalles
Définition : L’intersection de deux intervalles I et J est l’ensemble des nombres qui sont à la fois dans les
deux intervalles. On noteIJ.
II – Valeur absolue.
1°) Distance de deux réels.
Définition : La distance de deux réels a et b est la distance des point A d’abscisses a et B d’abscisse b sur la
droite numérique.
Propriété : La distance de a à b set égale à a – b si a est supérieur ou égal à b, et à b – a si a est inférieur ou
égal à b. On la note ab et on lit : valeur absolue de a – b.
2°) Valeur absolue d’un réel.
Définition : La valeur absolue d’un nombre réel est la distance de ce réel à 0 sur la droite numérique. Remarque : Elle est égale à :
⇒ Ce nombre si celui-ci est positif.
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Mathématiques - 3 -
Notation :
La valeur absolue d’un nombre réel x est noté | x | .
x x x 0 x si 0 x si Propriétés :
♦ La valeur absolue d’un nombre réel est toujours positive. ♦ Pour tout nombre x réel, on a : | - x | = | x |
3°) Caractériser un intervalle.
Propriété : Soient a un réel et r un réel positif. L’intervalle
