2.10 Loi de réciprocité quadratique
Référence : P. Caldero, J. Germoni, Histoires hédonistes de groupes et de géométrie, Tome premier, Calvage & Mounet, 2013.
Leçons concernées : 101, 121, 123, 150, 170, 190.
Définition 1. Pour p premier impair et a • 1, on définit le symbole de Legendre ˆ a p ˙ “ $ & %
1 si a est un carré dans F˚p ´1 si a n’est pas un carré dans F˚
p
0 si p | a
Théorème 2(Loi de réciprocité quadratique). Si p et q sont deux nombres premiers impairs
distincts, alors ˆ p q ˙ ˆ q p ˙ “ p´1qp´12 q´12
Lemme 3. Si p est premier impair et a P F˚ p, alors |tx P Fp| ax2“ 1u| “ 1 ` ˆ a p ˙ .
Démonstration. Cela résulte du fait que si a est un carré modulo p si et seulement si a´1
est un carré modulo p et du fait que si b est un carré, le polynôme X2´ b admet deux
racines distinctes dans Fp.
Démonstration (Théorème). L’idée de la preuve est de calculer de deux façons différentes le cardinal de l’ensemble suivant :
X “!px1, . . . , xpq P Fpq| p
ÿ
i“1
x2i “ 1).
La première méthode consiste à faire agir Z{pZ sur X par permutation sur les coordon-nées : si k P Z{pZ et px1, . . . , xpq P X,
k¨ px1, . . . , xpq “ px1`k, . . . , xp`kq
où les indices sont vus modulo p. On étudie alors les orbites de cette action. Puisque Z{pZ n’a que des sous-groupes triviaux, les seuls stabilisateurs possibles d’un élément sont t1u et Z{pZ. Les orbites dont le stabilisateur des éléments est Z{pZ sont les singletons tpx, . . . , xqu avec x P Fq tel que px2 “ 1, elles sont donc au nombre de 1 `
´
p q
¯
par le lemme. Par la relation orbite stabilisateur, les orbites dont le stabilisateur des éléments est trivial sont de cardinal |Z{pZ|{|t1u| “ p. Ainsi, pas la formule des classes, |X| ” 1 `´p
q
¯
mod p. 36
On va maintenant utiliser une forme quadratique équivalente sur Fp
q à fpxq “ ∞ix2i
dont la matrice dans la base canonique est Ip. On considère pour cela la matrice
A“ ¨ ˚ ˚ ˚ ˚ ˚ ˚ ˚ ˝ 0 1 1 0 p0q ... 0 1 p0q 1 0 a ˛ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‹ ‚ où on a posé a “ p´1qdavec d “ pp ´ 1q{2. Les matrices A et I
p ont même rang p et même
déterminant 1, donc même discriminant, elles définissent donc des formes quadratiques équivalentes. Si P est la matrice de changement de base pour passer de l’une à l’autre, on a alors X1 “ P X et donc |X| “ |X1| où on a posé
X1 “ tpy1, . . . , yd, z1, . . . , zd, tq P Fpq| 2py1z1` ¨ ¨ ¨ ` ydzdq ` at2 “ 1u.
On distingue alors deux types d’éléments py1, . . . , yd, z1, . . . , zd, tq de X :
- Ceux dont tous les yisont nuls. Le choix de pz1, . . . , zdq est alors quelconque et donne
donc qd possibilités et celui de t donne, d’après le lemme, 1 `´a q
¯
possibilités, d’où qd´1`´aq¯¯éléments de X1 de cette forme.
- Ceux dont au moins un des yiest non nul. On choisit donc un vecteur non nul de Fdq :
qd´ 1 possibilités, puis on choisit t de manière quelconque dans Fq : q possibilités, il
nous reste alors à choisir pz1, . . . , zdq dans l’hyperplan affine d’équation 2py1z1` ¨ ¨ ¨ `
ydzdq ` at2´ 1 “ 0, il y a donc qd´1 possibilités, et qdpqd´ 1q éléments de ce type
dans X1.
On peut alors conclure : qq ˆ 1` ˆ a q ˙˙ ` qdpqd´ 1q ” 1 ` ˆ p q ˙ mod p c’est-à-dire, avec´a q ¯ “ apq´1q{2“ p´1qp´12 q´12 , et ´ q p ¯ “ qpp´1q{2 “ qd, ˆ q p ˙ ˆ p´1qp´12 q´12 ` ˆ q p ˙˙ ” 1 ` ˆ p q ˙ mod p ainsi, en multipliant par´q
p ¯ , p´1qp´12 q´12 ` ˆ q p ˙ ” ˆ q p ˙ ` ˆ q p ˙ ˆ p q ˙ mod p
et on a alors l’égalité modulo p. Or les éléments en jeu sont égaux à ˘1, donc l’égalité est en fait dans Z.
