Khôlle d’algèbre
Samuel Rochetin
Vendredi 16 février 2018
Exercice. Soient E et F deux K-espaces vectoriels, E de dimension finie. Soit u ∈L (E, F ). Soit r ∈ N.
1. Montrer que rg u = r si et seulement si il existe r vecteurs y1, . . . , yr
linéai-rement indépendants dans F et r formes linéaires ϕ1, . . . , ϕrlinéairement
indépendantes dans E∗ tels que ∀x ∈ E, u(x) =
r
P
i=1
ϕi(x)yi.
2. Montrer que dans ce cas, ker u =
r
T
i=1
ker ϕi.
3. Trouver une telle décomposition pour u : R3 → R3, (x
1, x2, x3) 7→ (x1+
2x2, 2x1+ 2x2− x3, 3x1+ 4x2− x3).
Solution.
1. Le cas où r = 0 correspond à l’application nulle. Supposons r ≥ 1.
Si rg u = r, alors dim im u = r donc il existe une base (y1, . . . , yr) de im u.
Donc ∀x ∈ E, ∃!(α1, . . . , αr) ∈ Kr, u(x) = r
P
i=1
αiyi, par décomposition.
Pour tout i ∈ J1, rK, notons ϕi la forme linéaire qui à un vecteur x ∈ E associe la coordonnée de u(x) selon yi. Ainsi, nous avons bien ∀x ∈
E, u(x) =
r
P
i=1
ϕi(x)yi. Montrons que les formes linéaires ϕ1, . . . , ϕr sont
linéairement indépendantes dans E∗. Soit (λ1, . . . , λr) ∈ Kr, r
P
i=1
λiϕi =
0. Cette égalité est vraie pour tout vecteur de E donc nous allons la particulariser pour des vecteurs bien choisis. u est surjective de E dans im u donc ∀i ∈J1, rK, ∃xi∈ E, u(xi) = yi. Soit j ∈J1, rK fixé. Nous avons yj = u(xj) =
r
P
i=1
ϕi(xj)yidonc par unicité de la décomposition d’un vecteur sur
une base, ∀(i, j) ∈J1, rK2, ϕi(xj) = δij. Ainsi, en particularisant l’égalité r
P
i=1
λiϕi= 0 pour x1, . . . , xr, nous obtenons bien λ1= · · · = λr= 0.
Réciproquement, supposons qu’il existe r vecteurs y1, . . . , yrlinéairement
indépendants dans F et r formes linéaires ϕ1, . . . , ϕr linéairement
indé-pendantes dans E∗ tels que ∀x ∈ E, u(x) =
r
P
i=1
ϕi(x)yi.
Méthode n◦1 : montrons que (y1, . . . , yr) est une base de im u.
Mon-trons que (y1, . . . , yr) est génératrice de im u. Nous avons déjà im u ⊂
Vect(y1, . . . , yr). Montrons que ∀i ∈J1, rK, yi ∈ im u. Il suffit de montrer que ∃(x1, . . . , xr) ∈ Er, ∀(i, j) ∈J1, rK
2, ϕ
i(xj) = δij. Ceci est assuré par
le théorème de la base antéduale appliqué à la famille libre (ϕ1, . . . , ϕr)
complétée en une base de E∗. Ainsi, ∀i ∈J1, rK, yi= u(xi). Par linéarité de u, il vient Vect(y1, . . . , yr) ⊂ im u donc im u = Vect(y1, . . . , yr). La famille
(y1, . . . , yr) est donc génératrice de im u. Or, (y1, . . . , yr) est libre, donc
(y1, . . . , yr) est une base de im u, donc rg u = r.
Méthode n◦2 : posons G := Vect(ϕ1, . . . , ϕr). L’indépendance linéaire
de y1, . . . , yr donne ker u = {x ∈ E, ∀i ∈ J1, rK, ϕi(x) = 0}. Nous pou-vons montrer aisément que ker u = G◦. Or, dim G + dim G◦ = dim E∗ = dim E = n et dim G = r car (ϕ1, . . . , ϕr) est libre. Donc dim ker u = n − r.
Donc d’après le théorème du rang, rg u = dim E − dim ker u = r. 2. Évident d’après la méthode n◦2 ci-dessus.
3. En posant y0 := 1, −1 2, 1 , y1 := (1, 1, 2) et y2 := (0, −1, −1), il vient
ker u = Vect(y0) et im u = Vect(y1, y2). En posant ∀x = (x1, x2, x3) ∈
R3, ϕ1(x) := x1+x2et ϕ2(x) := x3−x1, nous avons bien u(x) = ϕ1(x)y1+
ϕ2(x)y2 et nous vérifions que ϕ1 et ϕ2 sont linéairement indépendantes
dans R3∗.
