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Le théorème de convergence dominée

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Academic year: 2021

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Travaux dirigés

PC

Le théorème de convergence

dominée

Suites et intégrales

Exercice 1 Soit f : [0, 1] → C une fonction continue. Montrer que lim

n→+∞

Z 1

0

ntnf (t) dt = f (1).

Exercice 2 Trouver, lorsque n tend vers +∞, un équivalent de : un=

Z1

0

sin(πtn) dt (le résultat s’exprime à l’aide d’une intégrale).

Exercice 3 Soit f : [0, +∞[→ C une fonction continue et bornée, telle que f (0) , 0. Déterminer un équivalent lorsque n tend vers +∞ de : un= Z +∞ 0 f (t) entt dt.

Exercice 4 Soit f : [0, +∞[→ C une fonction de classeC1telle que f et f0soient bornées. Montrer que pour tout n ∈ N∗, l’intégrale : In=

Z +∞

0

nf (t) entdt existe, et calculer ` = lim

+∞In.

On suppose f0(0) , 0. Donner un équivalent de (In`) lorsque n tend vers +∞.

Exercice 5 Déterminer la nature de la série de terme général un=

1 nα Zn 0 arctan tt dt.

Exercice 6 Calculez la limite : lim

n→+∞ Z n 0  1 +t n n

e−2tdt. Pour cela, on considérera la fonction fn: [0, +∞[→ R définie

par : fn(t) =           1 + t n n e−2t si t 6 n 0 si t > n

Séries et intégrales

Exercice 7 Calculer Z1 0 ln t

1 − tdt en utilisant le développement en série entière de t 7→ 1 1 − t. Exercice 8 Calculer l’intégrale

Z+∞

0

t

et+1dt (utiliser le développement en série entière de x 7→

1 1 + x). Exercice 9 Montrer que

Z1 0 ttdt = +∞ X n=1 (−1)n−1 nn .

Exercice 10 On pose pour n > 1 : un= (−1)n

Z +∞

0

dt

(1 + t2)n. Justifier la convergence et calculer

+∞

X

n=1

un.

Exercice 11 Pour tout n ∈ N on pose : un=

+∞

X

k=n+1

(−1)k−1

k . Justifier l’existence puis calculer la somme

+∞ X n=1 un. Indication. Écrire 1 k = Z1 0

tk−1dt, puis d’établir successivement que un= (−1)n

Z 1 0 tn 1 + tdt puis que +∞ X n=0 un= Z1 0 dt (1 + t)2.

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