9
Variables aléatoires réelles à densité
6
Leçon
n
o
Niveau Terminale S et BTS
Prérequis probabilités, intégrales, primitives, croissance comparée, équations
différen-tielles, désintégration radioactive
Références [16]
6.1
Introduction
Nous avons vu dans la leçon « Variables aléatoires discrètes » que des variables aléatoires peuvent prendre leur valeur dans un sous-ensemble des nombres entiers. On va essayer de généraliser en élargissant l’ensemble des valeurs de départ d’une variable aléatoire à un intervalle de R.
Exemple 6.1 On tire au hasard un point a sur le segment [0 , 1] et on note X = a. On a alors
X(Ω) = [0 , 1].
1. Calculer P({X = 0,5}).
2. Calculer la probabilité que X appartienne au segment[0 ,1 2].
6.2
Densité et loi de probabilité
Définition 6.2 — Densité de probabilité. Soit I un intervalle de R. On appelle densité de probabilité
sur I, toute fonction f continue et positive sur I telle que :
Z
If(t) dt = 1.
R 6.3 La notationRIdésigne l’intégrale sur l’intervalle I. 1. Si I = [a , b] alors Z I f(t) dt = Z b a f(t) dt. 2. Si I est non borné d’un coté (par exemple I = [a , +∞[ alors
Z I f(t) dt = lim x→+∞ Z x a f(t) dt. 3. Si I = R alors : Z I f(t) dt = lim x→−∞ Z 0 x f(x) dt + lim x→+∞ Z x 0 f(t) dt.
Exemple 6.4 Soit f une fonction constante sur l’intervalle [0 , 1]. On cherche la valeur de cette
constante pour que f soit une densité. On note γ cette constante :
Z 1
0 γdt = 1 ⇔ γ = 1.
Plus généralement, si f est une fonction continue sur l’intervalle[a , b], on montre que f(t) = γ = 1
Définition 6.5 — Loi de probabilité. Soit I un intervalle et f une densité de probabilité sur I. L’appli-cation P qui, à tout sous-intervalle[a , b] de I associe la quantité :
P([a , b]) = Z b
a
f(t) dt
est appelé loi de probabilité sur I. Dv
• Preuve — Justification de la définition6.5. Soit(In)n∈Nune famille de sous-intervalles disjoints de I, alors par linéarité de l’intégrale :
P [ n∈N In ! =X n∈N Z In f(t) dt =X n∈N P(In) et de plus P(I) = 1. R 6.6
1. On a bien0 ≤ P([a , b]) ≤ 1 car [a , b] est inclus dans I. 2. On a :
P({x0}) = Z x0
x0
f(t) dt.
On dit alors que {x0} est un événement « presque-sûrement impossible ».
Exemples 6.7 1. Si f est constante sur[a , b], on dit que P est la loi uniforme.
2. Si f est de la forme f(t) = λe−λtsur R avec λ > 0, on dit que P est la loi exponentielle de paramètre λ. On a tout de même besoin d’une justification. Soit λ >0 un réel. On montre que
f(t) = λe−λtdéfinie sur R est une densité de probabilité sur R+. On calcule : Z x 0 f(t) dt = Z x 0 λe −λtdt = λ " −e−λtλ t #x 0 = 1 − e −λx. Or, on a : lim x→+∞(1 − e −λx) = 1. La limite en+∞ deRx 0 f(t) dt existe bien et on a : Z R+ f(t) dt = 1.
6.3
Variables aléatoires continues. Loi uniforme, loi exponentielle
Définition 6.8 Soit P une loi de probabilité sur un intervalle I de f. On dit qu’une variable aléatoire
X, à valeurs dans I, suit une loi de probabilité P lorsque pour tout sous-intervalle[a , b] de I, on a : P(a ≤ X ≤ b) =
Z b a
6.3 Variables aléatoires continues. Loi uniforme, loi exponentielle 11
Exemples 6.9 1. On peut maintenant répondre aux questions de l’exemple introductif. X suit
une loi uniforme sur l’intervalle[0 , 1]. Donc : (a) P(X = 0,5) = Z 0,5 0,5 1 dt = 0. (b) P(X ∈ [0 , 0,5]) = P(0 ≤ X ≤ 0,5) = Z 0,5 0 1 dt = 0,5. Dans le cas général, supposons que X suivent la loi uniforme sur[a , b]. Alors :
P(α ≤ X ≤ β) = Z β α 1 b− adt = β− α b− a.
On note L([a , b]) la longueur de l’intervalle de [a , b]. Si X suit une loi uniforme sur un intervalle I, alors la probabilité d’un sous-intervalle J est donné par la formule :
P(X ∈ J) = L(J) L(I).
2. Si X suit la loi exponentielle de paramètre λ >0, alors
P(0 ≤ X ≤ x) = Z x 0 λe −λtdt = 1 − e−λt et par complémentarité : P(X ≥ x) = 1 − P(0 ≤ X ≤ x) = e−λx. Définition 6.10 — Fonction de répartition. Soit X une variable aléatoire, à valeurs dans un intervalle
I de la forme[a , b] (ou de la forme [a , +∞[) qui suit une loi de probabilité P. On appelle fonction
de répartition de X, la fonction F définie pour tout réel x de I par :
F(x) = P (X ≤ x). Propriété 6.11 Si F est une fonction de répartition de X alors :
1. F est croissante sur[a , x], 2. F(a) = 0, 3. F(b) = 1 (si I = [a , b]) ou lim x→+∞F(x) = 1 si I = [a , +∞[. 4. P(X > x) = 1 − F(x) 5. P(α < X ≤ β) = F(β) − F(α).
Exemple 6.12 Si X suit la loi exponentielle de paramètre λ, on a :
F(x) = 1 − e−λt.
6.4
Espérance d’une variable aléatoire continue
Définition 6.13 — Espérance d’une variable aléatoire continue. Soit X une variable aléatoire conti-nue prenant ses valeurs dans un intervalle I. On appelle espérance de X la quantité :
E(X) =Z
I
tf(t) dt
Exemples 6.14 1. Si X suit une loi uniforme sur I = [a , b] alors :
E(X) =Z b a t b− adt = 1 b− a " t2 2 #b a = b+ a2 .
2. Soit X suit une loi exponentielle de paramètre λ >0 sur R+. On calcule l’intégrale suivante :
Z x 0 tλe −λtdt = λZ x 0 te −λtdt. On pose : u(t) = t et v0(t) = e−λt, ainsi u0(t) = 1 et v(t) = −e−λt λ .
Une intégration par parties donne :
λ Z x 0 te −λtdt =h−te−λtix 0+ Z x 0 e −λtdt = −xe−λx−1 λ h e−λtix 0 = − λxe−λx− e−λx+ 1 λ .
Puis, on étudie la limite lorsque x tend vers+∞. On sait que : lim
x→+∞−xe
−λx = 0 grâce à la règle des croissances comparées et
lim x→+∞e −λx = 0 doncE(X) = 1 λ.
6.5
Exemples de variables aléatoires à densité
6.5.1 Lois normales
Définition
Définition 6.15 — Loi normale. Soit m ∈ R et σ ∈ R∗+. On dit que la variable aléatoire réelle X suit la loi normale N(m, σ) si elle a pour densité de probabilité la fonction f définie par :
∀x ∈ R, f(x) = 1
σ√2πe
6.5 Exemples de variables aléatoires à densité 13 Conséquence 6.16 P(a ≤ X ≤ b) = 1 σ√2π Z b a e −1/2[(x−m)/σ]2dx. Cas particulier de N(0, 1)
La densité de probabilité est alors f(x) = 1
√2πe−x2/2et on appelle, dans ce cas,Π la fonction de répartition. On a donc : P(a ≤ X ≤ b) = Z b a 1 √2πe−x22 dx = Π(b) − Π(a).
Les valeurs de la fonction de répartition pour la loi normale centrée réduite étant tabulées, il est désormais possible de calculer P(a ≤ X ≤ b).
Propriété 6.17 La fonction f est paire sur R.
1 O Conséquence 6.18 Si x >0 alors Π(−x) = 1 − Π(x). Dv • Preuve En effet : Π(−x) = P(X ≤ −x) =Z −x −∞ f(t) dt = Z −x − inf f(−t) dt car f une fonction paire
=Z +∞
x
f(t) dt après le changement de variable u= −t
=Z +∞ −∞ f(t) dt − Z x −∞ f(t) dt = 1 − Π(x).
Exemples 6.19 1. Π(1) = P (X ≤ 1) correspond donc à l’aire sous la courbe délimité à droite
par la droite d’équation x= 1.
2. Π(−1) = P(X ≤ −1) = 1 − Π(−1) correspond à l’aire sous la courbe délimité à gauche par la droite d’équation x= 1.
1
O
Se ramener à une N(0, 1)
Propriété 6.20 Soit X ∼ N(m, σ). Alors Y = X−m
σ ∼ N(0, 1). On dit qu’on centre et qu’on réduit
la variable aléatoire X. Dv • Preuve P(a ≤ Y ≤ b) = P a≤ X− mσ ≤ b = P (Aσ + m ≤ X ≤ bσ + m) =Z bσ+m aσ+m 1 σ√2πe−1/2[(x−m)/σ]2dx On effectue alors le changement de variable y =x−m
σ et on obtient : P(a ≤ Y ≤ b) = Z b a 1 σ√2πe−y2/2σdy =Z b a 1 √2πe−y2/2dy
donc Y a pour densité f(x) = 1
√2πe−x22. La variable aléatoire Y suit bien une loi normale centrée réduite. Exemple 6.21 La variable aléatoire X suit une loi normale de paramètres m= 2, 09 et σ = 0, 13,
autrement dit X ∼ N(2.09, 0.13).
On va se ramener à une loi normale centrée réduit en posant : T = X−m
σ et donc T ∼ N(0, 1). On demande de calculer P(X ≤ 2, 35) et P(1, 895 ≤ X ≤ 2, 285). — P(X ≤ 2, 35) = P X − 2, 09 0, 13 ≤ 2 = P (T ≤ 2) = 0, 9772.
6.5 Exemples de variables aléatoires à densité 15 — P(1, 895 ≤ X ≤ 2, 285) = P(−1, 5 ≤ T ≤ 1, 5) = P(T ≤ 1, 5) − P(T ≤ −1, 5) = P (T ≤ 1, 5) − (1 − P(T ≤ 1, 5)) = 2 × P(T ≤ 1, 5) − 1 = 2 × 0, 9332 − 1 = 0, 8664. Espérance et variance
Propriété 6.22 Si X ∼ N(m, σ) alors E(X) = m et Var(X) = σ2. Dv
• Preuve —
E(X) =Z +∞ −∞
xσ√2πe1 −1/2[(x−m)/σ]2dx. On considère la variable aléatoire Y =X−m
σ alors Y ∼ N(0, 1). On a : X = σY + m donc :
( E(X) = σE(Y ) + m Var(X) = σ2Var(Y ) donc si ( E(Y ) = 0 Var(Y ) = 1 alors ( E(X) = m Var(X) = σ2 . — E(Y ) =Z +∞ −∞ y
√2πe−y2/2dy = 0 car f est une fonction paire.
—
Var(Y ) = E(Y2) − (E(Y ))2= E(Y2). Il faut donc calculer :
E(Y2) =Z +∞ −∞
y2
σ√2πe−y22 dy. Pour cela, on va faire une IPP en considérant l’intégrale suivante :
soit a >0, I(a) =Z a −a
1
√2πe−y2/2dy
avec : (
u(y) = e−y22, u0(x) = −ye−y2/2
v0(y) = 1
√2π, v(y) = √2πy . I(a) =√2πey −y2/2
a −a +√2π1 Z a −a y2e−y22 dy = √2πe2a −a2/2+Z a −a y2
Puis on fait tendre a vers+∞ et on obtient : Z +∞ −∞ 1 √2πe−y2/2dy = 1 =Z +∞ −∞ y2
√2πe−y2/2dy.
Au final, on a :
Var(Y ) = E(Y2) = 1.
6.5.2 Loi uniforme
La loi uniforme sur[a, b], notée Unif([a, b]) a pour densité de probabilité :
(
f(x) = 0 si x /∈ [a , b]
f(x) = b−a1 si x ∈ [a , b].
Propriété 6.23 Si X ∼ Unif([a, b]) alors :
E(X) = a+ b2 et Var(X) = (b − a)12 2.
FIGURE6.1 – Densité de la loi uniforme[a, b]
6.5.3 Loi exponentielle
La loi exponentielleExp(λ) a pour densité de probabilité :
(
f(x) = 0 si x <0 f(x) = λe−λx si x ≥ 0
6.6 Applications 17
FIGURE6.2 – Fonction de répartition de la loi uniforme[a, b]
dont les densités f et g sont nulles pour x ≤ 0, est définie par :
h(x) = Z x
0 f(x − t)g(t) dt.
Propriété 6.25 Si X ∼ Exp(λ) alors :
E(X) = 1
λ et Var(X) =
1
λ2.
FIGURE6.3 – Densité de la loi exponentielleExp(λ) pour λ = 0, 5, λ = 1, λ = 1, 5
6.6
Applications
FIGURE6.4 – Fonction de répartition de la loi exponentielleExp(λ) pour λ = 0, 5, λ = 1, λ = 1, 5 Définition 6.26 Soit T une variable aléatoire correspondant à la durée de vie d’un individu ou d’un objet. On dit que T suit la loi de durée de vie sans vieillissement lorsque la probabilité que l’individu (ou l’objet) soit vivant (ou fonctionne) à l’instant t+ h sachant qu’il est vivant (ou qu’il fonctionne) à l’instant t ne dépend pas de son âge :
P(T ≥t)(T ≥ t + h) = P(T ≥ h).
Proposition 6.27 Une variable aléatoire T suit la loi de durée sans vieillissement si et seulement si elle suit une loi exponentielle.
Dv
• Preuve — Démonstration de la proposition6.27. (⇐) On suppose que T suive une loi ex-ponentielle de paramètre λ ∈ R+. Par définition d’une probabilité conditionnelle, on a :
P(T ≥t)(T ≥ t + h) = P((T ≥ t + h) ∩ (T ≥ t))
P(T ≥ t) .
Or l’événement « T ≥ t + h » est inclus dans l’événement « T ≥ t » donc : P((T ≥ t + h) ∩ (T ≥ t)) = P(T ≥ t + h) = e−λ(t+h). Par ailleurs : P(T ≥ t) = e−λt, d’où : P(T ≥t)(T ≥ t + h) = e −λ(t+h) e−λt = e−λh= P (T ≥ h).
(⇒) Réciproquement, soit T une variable aléatoire suivant une loi de durée de vie sans vieillissement. Alors, pour tout réel t de R+et tout réel h de R+:
6.6 Applications 19 Soit F la fonction de répartition de la variable aléatoire T . On note ϕ la fonction définie sur R+ par :
ϕ(t) = 1 − F(t) = 1 − P(T ≤ t) = P(T > t) = P(T ≥ t). Comme F est dérivable sur R+, ϕ l’est aussi et on a :
ϕ(0) = 1 − F(0) = 1 et ϕ(t + h) = ϕ(t)ϕ(t),
autrement dit, ϕ vaut1 en 0 et transforme les sommes en produits. Il existe donc un réel a (voir la leçon « Équations différentielles ») tel que
ϕ(t) = eat.
Mais comme ϕ est en fait une probabilité, on a pour tout t ∈ R+: ϕ(t) ≤ 1 ⇔ eat≤ 1 ⇔ at ≤ 0 ⇔ a ≤ 0. On pose λ= −a ∈ R+. Si a était nul, on aurait, pour tout t ∈ R+:
ϕ(t) = 1 ⇔ P(T ≥ t) = 1
Ce qui signifierait que notre individu est éternel, hypothèse que l’on peut rejeter. Donc, on a bien λ∈ R∗+. D’où, pour tout t ∈ R+:
ϕ(t) = e−λt⇔ 1 − F (t) = e−λt et en dérivant, on obtient :
−f(t) = −λe−λt⇔ f(t) = λe−λt. La variable aléatoire T suit donc une loi exponentielle de paramètre λ.
6.6.2 Loi de désintégration radioactive
Selon les physiciens, la durée de vie T d’un noyau radioactif suit une loi de durée de vie sans vieillissement, autrement dit, une loi exponentielle. Considérons l’expérience E : « on examine un noyau à l’instant1t». On note S l’événement « Ce noyau n’est pas désintégré ». D’après la loi
expo-nentielle, il existe un réel λ strictement positif tel que :
P(S) = P (T ≥ t) = e−λt.
Supposons que l’on ait au départ (t = 0), dans notre corps radioactif, N0 noyaux. On note Xt la
variable aléatoire égale au nombre de noyaux non désintégrés à l’instant t. Comme chaque noyau se désintègre indépendamment aux autres, on peut affirmer que Xtsuit une loi binomiale de paramètres
n= N0et p= P (S) = e−λt. Le nombre moyen N(t) de noyaux présents à l’instant t est donc donné par l’espérance de Xt:
N(t) = E(Xt) = np = N0e−λt.
Bibliographie
[1] Problème des sept ponts de Königsberg, Wikipédia, l’encyclopédie libre.
[2] C. LE BOT, Théorie des graphes, 2006, http://blog.christophelebot.fr/
wp-content/uploads/2007/03/theorie_graphes.pdf.
[3] Coloration des graphes, Apprendre-en-ligne, http://www.apprendre-en-ligne. net/graphes-ancien/coloration/sommets.html
[4] O. GARET, Exemples de problèmes de graphes, http://iecl.univ-lorraine. fr/~Olivier.Garet/cours/graphes/graphes-documents_d_
accompagnement.pdf.
[5] E. SIGWARD& al., Odyssée Mathématiques Terminale ES/L, Hatier, 2012.
[6] Graphes probabilistes, Terminale ES spécialité.http://mathadoctes.free.fr/TES/ graphe/f4_graphe.PDF
[7] G. COSTANTINI, Probabilités (discrètes), Cours de Première S, URL : http://
bacamaths.net.
[8] P. RIBEREAU, Cours 5 Probabilités : Notion, probas conditionnelles et indépendance, URL :
http://www.math.univ-montp2.fr/
[9] P. DUVAL, Probabilités, TS. URL : http://lcs.werne.lyc14.ac-caen.fr/ ~duvalp
[10] G. COSTANTINI, Probabilités : Généralités, conditionnement, indépendance, Cours de
Pre-mière S. URL :http://bacamaths.net.
[11] M. LENZEN, Leçon no3 : Coefficients binomiaux, dénombrement des combinaisons, formule
du binôme. Applications., 2011, URL :http://www.capes-de-maths.com/index. php?page=leconsNEW
[12] G. CONNAN, Une année de mathématiques en Terminale S, Ch. 14, 2009-2010, URL :http: //tehessin.tuxfamily.org
[13] G. COSTANTINI, Loi binomiale, URL :http://bacamaths.net
[14] C. SUQUET, Intégration et Probabilités Elémentaires, 2009-2010. URL : http://math. univ-lille1.fr/~ipeis/
[15] L. LUBRANO& al., Mathématiques, BTS Industriels - Groupement B et C, Dunod, 2011.
[16] G. COSTANTINI, Lois de probabilités continues. URL :http://bacamaths.net.
[17] J.-P. GOULARD, Lois de probabilités continues, TS, 2014-2015.
http://blog.crdp-versailles.fr/jpgoualard/public/
TS-2014-2015-cours-loiscontinues.pdf.
[18] Probabilités 3 : Loi uniforme sur [a; b], Lycée de Font Romeu. http://www. lewebpedagogique.com/cerdagne/files/2013/02/02-Loi-uniforme. pdf
[19] Loi uniforme sur[a; b], IREM de Toulouse. URL :http://www.irem.ups-tlse.fr/ spip/IMG/pdf_LOI_UNIFORME.pdf
[21] C. SUQUET, Initiation à la Statistique, 2010. http://math.univ-lille1.fr/
~suquet/Polys/IS.pdf.
[22] J.-F. DELMAS, Modélisation stochastique, Cours de M2, 2009. URL :http://cermics. enpc.fr/~delmas/Enseig/mod-stoch.pdf
[23] L.-M. BONNEVAL, Chaînes de Markov au lycée, APMEP no503, 2013. URL : http:// publimath.irem.univ-mrs.fr/biblio/AAA13018.htm
[24] Marche aléatoire, IREM de Franche-Comte. URL : http://www-irem. univ-fcomte.fr/download/irem/document/ressources/lycee/marche/
marche-aleatoire.pdf.
[25] Marches sur Z, culturemath.ens.fr, URL : http://culturemath.ens.fr/maths/ pdf/proba/marchesZ.pdf
[26] Contributeurs à Wikipedia, Marche aléatoire, Wikipédia, l’encyclopédie libre, 2014.
[27] Marche au hasard dans les rues de Toulouse, URL : http://mappemonde.mgm.fr/ actualites/M_toulouse2.html
