Mme LE DUFF Seconde générale et technologique
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Fiche méthode : seconde générale – Résolution de systèmes d’équations.
Méthode de substitution : La méthode consiste à exprimer une inconnue en fonction de l'autre dans une équation et à substituer l'expression trouvée dans l'autre équation qui aura alors une seule inconnue. Exemple : 135 5 5 . 7 22 y x y x ) 2 ( ) 1 (
On exprime x en fonction de y dans (1):
135 5 5 . 7 22 y x y x
Attention : on conserve toujours 2 équations
On remplace son expression dans (2) :
135 5 ) 22 ( 5 . 7 22 y y y x
Résolution de (2) (qui est à présent une équation à une inconnue):
135 5 ) 22 ( * 5 . 7 22 y y y x ssi 135 5 5 . 7 165 22 y y y x ssi 135 5 . 2 165 22 y y x ssi 165 135 5 . 2 22 y y x ssi 30 5 . 2 22 y y x ssi 5 . 2 30 22 y y x ssi 12 22 y y x
On remplace la valeur de y obtenue dans (1) :
12 12 22 y x On calcule x : 12 10 y x Vérification : 10+12=22 et 7.5105127560135. Conclusion : S = {(10 ; 12)}.
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Méthode de combinaison : On peut remplacer un système par un système équivalent en remplaçant l'une des égalités par la somme des 2 égalités du système. La méthode consiste à faire apparaitre le même facteur devant l’une des inconnues dans les deux équations en multipliant les deux équations par un facteur adapté, puis à soustraire (ou ajouter) les deux équations afin d’éliminer cette inconnue. Penser à toujours
conserver 2 équations. Exemple : 5 3 9 5 2 y x y x ) 2 ( ) 1 (
On multiplie la seconde égalité par 5 (pour faire apparaître le même coefficient devant y dans (1) et (2): 25 5 15 9 5 2 y x y x
Attention : on multiplie toute l’égalité par 5
On remplace (1) par (1) + (2) (addition membre à membre) :
25 5 15 25 9 5 15 5 2 y x y x y x
Attention : on conserve toujours 2 équations
On résout la première égalité car elle ne comporte plus qu'une inconnue :
25 5 15 34 17 y x x 25 5 15 2 y x x
On remplace x par sa valeur dans la seconde égalité et on la résout car elle ne comporte plus qu'une inconnue: 25 5 2 15 2 y x 25 5 30 2 y x 5 5 2 y x 1 2 y x Vérification :225459et321 61 5 Conclusion : S
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Résolution graphique : La méthode consiste à transformer chaque équation sous la forme d’une équation réduite de droite, tracer chaque droite, lire graphiquement l’éventuelle solution (coordonnées du point d’intersection des deux droites si il existe).
Exemple : 11 2 5 7 3 2 y x y x ) 2 ( ) 1 (
On transforme chaque équation en une équation réduite de droite :
11 2 5 : ' 7 3 2 : y x D y x D x y D x y D 5 11 2 : ' 2 7 3 : x y D x y D 2 5 2 11 : ' 3 2 3 7 :
On trace chaque droite dans le même repère : (on peut s’aider d’un tableau de valeur ou utiliser coefficient directeur et ordonnées à l’origine, voir chapitre traitant des équations de droites)).
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On lit la solution qui est les coordonnées du point d’intersection des deux droites si il existe : (si les droites sont parallèles, elles n’ont pas de point d’intersection et il n’y a pas de solution).
