sourdun-ldumas

(1)

Modélisation et simulation numérique du flux sanguin L. Dumas Modélisation du flux sanguin Optimisation par méthodes ´ evolutionnaires Optimisation et modèles approchés Simulation numérique du flux sanguin Conclusion

Mod´

elisation et simulation num´

erique

du flux sanguin

Laurent Dumas

Laboratoire de Math´ematiques de Versailles Universit´e de Versailles Saint Quentin en Yvelines

(2)

1 Mod´elisation du flux sanguin

2 Optimisation par m´ethodes ´evolutionnaires

3 Optimisation et mod`eles approch´es

4 Simulation num´erique du flux sanguin

(3)

(4)

Pr´

esentation du probl`

eme

La modélisation et la simulation numérique des écoulements sanguins dans l’arbre artériel est un problème général complexe car elle nécessite des simulations tridimensionnelles avec interaction fluide-structure.

Une des difficultés de cette modélisation est ladétermination

précise des nombreux paramètres du modèle pour un patient

(5)

Pr´

esentation du probl`

eme

Afin de réduire les coûts de telles simulations, des modèles simplifiés monodimensionnels d’interaction fluide structure avec bifurcation d’artères ont été développés.

Le but est ici de reconstruire fid`element `a l’aide de mesures non

invasives toutes les variables h´emodynamiques et m´ecaniques

d’un patient donn´e(pression, vitesse, modules de Young, etc...)

pour l’ensemble de son r´eseau art´eriel.

Grâce à une telle reconstruction, le praticien disposera d’informations utiles à un dépistage précoce des principales maladies cardiovasculaires.

(6)

Dispositif exp´

erimental

Le processus expérimental, non invasif et bien adapté au problème, est déjà disponible et s’appelle l’echotracking.

Il mesure à l’aide de techniques Doppler, les diamètres artériels et les vitesses centrales à diverses positions du réseau artériel.

(7)

Dispositif exp´

erimental

Les données d’echotracking utilisées ici ont été fournies par l’équipe de pharmacologie de l’Hopital Georges Pompidou. Parmi les données disponibles pour différents patients, les

mesures temporelles de diam`etre d’art`ere et de vitesse centrale

seront utilis´ees ici :

0.81 0.82 0.83 0.84 0.85 0.86 0.87 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0

Diamètre interadventiciel Vitesse centrale

s s cm - 30 - 20 - 10 0 10 20 30 40 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 cm/s

(8)

D´

epistage des maladies cardiovasculaires

Actuellement, le test associé de dépistage des maladies cardiovasculaires est basée sur le calcul d’un paramètre appelé PWV (Pulse Wave Velocity).

Ce coefficient est relié à la rigidité de l’artère à l’aide de la relation : PWV = L ∆t = s Eh 2r ρ où E désigne le module de Young de l’artère.

(9)

Mod´

elisation du flux sanguin : hypoth`

eses

y x z O Section circulaire Ωt

Pour chaque art`ere, le domaine Ωt est cylindrique, orient´e selon

Oz, et de longueur constante L.

Les quantités impliquées sont supposées constantes sur chaque section de l’artère.

R´ef´erences : Formaggia, Nobile, Quarteroni (2001),Sherwin et al. (2003), Gerbeau et al. (2005).

(10)

D´

erivation des ´

equations du mod`

ele

Après intégration des équations de Navier Stokes sur chaque section, on obtient le système d’inconnues Ai(t, z) (section de

l’artère) et Qi(t, z) (débit moyen) relatif à l’artère i :

∂Ai ∂t + ∂Qi ∂z = 0 ∂Qi ∂t + ∂ ∂z Q2 i Ai +Ai ρ ∂Pi ∂z + Kr Qi Ai = 0

Une loi de comportement linéaire élastique complète le système :

Pi− Pext = βi(z) p Ai(z, t) − q A0,i(z)

(11)

Les param`

etres du mod`

ele

Le paramètre Kr représente la résistance visqueuse de

l’écoulement par unité de longueur du tube et est considéré connu dans cette étude.

Les principaux paramètres devant être estimés sontles

coefficients βi de chaque art`ere. Cette valeur, proportionnelle `a la

rigidité de l’artère peut être constante ou dépendre de z. Il existe une valeur théorique de βi issu d’une moyennisation formelle :

βi(z) =

4√πh0Ei(z)

3A0

où h0 et Ei(z) représentent respectivement l’épaisseur et le

module de Young de l’art`ere i .

Un autre param`etre important du mod`ele estla section de

(12)

Forme conservative du mod`

ele

Le modèle précédent peut être récrit sous forme conservative :

∂U ∂t + ∂F (U) ∂z = B(U) o`u U = (A, Q)t et F (U) =   Q Q2 A + β 3ρA 3 2  .

Il peut être observé que ce système est hyperbolique et que le Jacobien H = ∂F

∂U admet toujours deux valeurs propres réelles de signe opposé pour les valeurs admissibles de U : λi = Q_A ± c où

c = s A ρ ∂p ∂A

(13)

Conditions aux limites

Le système est complété par deux conditions aux limites appropriées pour les variables caractéristiques W1 et W2. En

particulier, une pression (ou une section) peut être imposéeen entrée.

Aux bifurcations, trois conditions additionnelles sont impos´ees

(conservation de la masse et deux conditions sur la pression).

Aux sorties, une condition num´erique artificielle correspondant `a

une résistance équivalente du réseau en aval est imposée.

(A2,Q2)

(A3,Q3)

(A1,Q1)

(R2)

(14)

Probl`

eme inverse : la fonction coˆ

ut

En vue de la construction d’un réseau artériel utilisant les résultats d’un echotracking, la foncion coût à minimiser est du type suivant : J(βi, ...) = X pts∈{P1,...,PN} M X i =1 (errA(ti, pts) + errQ(ti, pts)) avec

errA(ti, pts) = |A(ti, pts) − Aexp(ti, pts)|2

errQ(ti, pts) = |Q(ti, pts) − Qexp(ti, pts)|2

Les nombres minimaux N de points en espace et M de points en temps, permettant de reconstruire correctement le flux sanguin β doivent en particulier être déterminés.

(15)

(16)

Probl`

eme d’optimisation `

a r´

esoudre

On s’int´eresse donc ici au probl`eme de l’optimisation globale

d’une fonction J : O ⊂ IRn→ IR dont l’´evaluation est complexe et coˆuteuse.

En général, la fonction J est évaluée à partir de la résolution d’une EDP ou d’un système d’EDP, ici le système couplé d’EDP sur le réseau d’artères.

(17)

M´

ethodes existantes

L’estimation du gradient de la fonction est en général difficile à obtenir, d’où la nécessité de recourir à des méthodes

d’optimisation sans d´eriv´ees.

Il n’existe par ailleurs aucune méthode d’optimisation globale déterministe, hormis pour certaines fonctions particulières comme les polynômes.

Dans le cas général, le choix se restreint aux méthodes déterministes multi-start ou aux algorithmes évolutionnaires. Il est alors en général nécessaire de réfléchir à des stratégies

d’acc´el´eration de convergencepour obtenir un temps de calcul

(18)

Algorithmes ´

evolutionnaires : historique

Les algorithmes évolutionnaires (algorithmes génétiques,

stratégies d’évolution, PSO, etc...) sont des méthodes

stochastiques d’optimisation qui tirent leur nom d’une analogie avec certaines lois d’évolution biologiques, voire économiques. Références : Holland (1976), Goldberg (1989), Cerf (1994), Schoenaueur (1996), Hansen (2001), etc...

(19)

Principe g´

en´

eral d’un algorithme g´

en´

etique (GA)

Choix d’une population initiale P1= {Xi1∈ O, 1 ≤ i ≤ Np}

for ng from 1 to Ngen

Evaluationde {J(Xng i ), 1 ≤ i ≤ Np}. for k from 1 to Np 2 Selectionde (Xng α , X ng

β ) en fonction de leur facteur de sant´e.

Croisement: remplacer (Xng α , X ng β ) par (Y ng α , Y ng β ). Mutation: remplacer (Yng α , y ng β ) par (Z ng α , z ng β ). end for

Generation de la nouvelle population Png.

(20)

Principe g´

en´

eral d’une strat´

egie d’´

evolution (ES)

Choix d’une population initiale de µ parents : P1= {Xi1∈ O, 1 ≤ i ≤ µ}

Creation d’une population de λ ≥ µ enfants Ong par :

Croisement`a ω parents Yng i = 1 ω( Pω j =1X ng j ) Mutation: remplacer Yng i par Z ng i Evaluationde {J(Zng i ), 1 ≤ i ≤ λ}

Selectiondes meilleurs µ parents dans la population Png ∪ Ong.

(21)

Principe g´

en´

eral d’un essaim de particules (PSO)

Choix d’une population initiale P1= {(Xi1, vi1, p1i), 1 ≤ i ≤ Np}

de particules ayant la position actuelle Xi ∈ O, la vitesse vi et

une meilleure position pi.

Evaluationde {J(Xng

i ), 1 ≤ i ≤ Np}.

Actualisation de la meilleure position individuelle et globale(png

g )

Calculdes nouvelles vitesses de chaque particule : vng+1 i = ωv ng i + c1ρ1(p ng i − x ng i ) + c2ρ2(p ng g − x ng i )

Calculdes nouvelles positions de chaque particule : Xng+1 i = X ng i + v ng+1 i end for

(22)

Un r´

esultat de convergence pour les ES

Il existetr`es peu de r´esultats de convergencedes Algorithmes Evolutionnaires.

La plupart de ces r´esultats concernent des fonctions sph´eriques : J(x ) = g (||x ||2) avec g croissante.

Soit par exemple une stratégie d’évolution (1, 1) représentée par la suite de vecteurs aléatoires (Xn) et ayant une mutation

gaussienne de variance σ||Xn||. Sous certaines hypoth`eses

techniques et pour une fonction sph´erique, Xnconverge presque

surement vers le minimum de J et :

lim n→+∞ 1 nln ||Xn|| ||X0|| = c < 0

(23)

(24)

Mod`

eles approch´

es

On cherche ici à construire une fonction approchée ˜J (appelée aussimetamodèle ou surface de réponse) de la fonction exacte J `

a partir d’un certain nombre de points {Xi, 1 ≤ i ≤ N} o`u la

fonction exacte est suppos´ee connue.

De tels modèles sont incorporés dans le processus d’optimisation afin de réduire le nombre d’évaluations de la fonction exacte.

(25)

Mod`

eles approch´

es : m´

ethode de krigeage

La première méthode présentée ici, appelée méthode de

krigeage, est une méthode probabiliste basée sur la minimisation de la variance de l’estimation en un point X donné.

L’approximation de la fonction coˆut en un point X ∈ IRn_s’´_{ecrit :}

ˆ J(X ) = N X i =1 ω(Xi)J(Xi)

On suppose par ailleurs que J(X ) est une r´ealisation de la variable al´eatoire j (X ) dont la covariance est connue :

(26)

Mod`

eles approch´

es : m´

ethode de krigeage

En cherchant à minimiser var (ˆj(X ) − j (X )) tout en imposant E (ˆj(X ) − j (X )) = 0, on aboutit à une relation permettant de déterminer ˆJ(X ) :

ˆ

J(X ) = KTC−1z

où K est le vecteur colonne de terme général c(Xi, X ), C est la

matrice de terme g´en´eral c(Xi, Xj), et z le vecteur colonne de

terme g´en´eral J(Xi).

Une estimation de la variance au point X est ´egalement disponible :

(27)

Mod`

eles approch´

es : m´

ethode de krigeage

La fonction de corrélation est en général choisie comme étant de type exponentielle : c(X , Y ) = θ1exp − 1 2 n X i =1 (xi− yi)2 r2 i ! + θ2

Les paramètres Θ = (θ1, θ2, r1, ..., rn) sont alors déterminés par

le principe du maximum de vraisemblance, c’est `a dire en maximisant la fonction : L(Θ) = p(J(X1), ..., J(XN)) = 1 p(2π)N_{det C} exp −1 2z T_C−1_z

(28)

Mod`

eles approch´

es : m´

ethode RBF

Une autre méthode possible, appelée méthode RBF, est

construite comme une combinaison lin´eaire de fonctions radiales centr´ees en chacun des points Xi.

L’approximation de la fonction coˆut en un point X ∈ IRns’´ecrit alors : ˜ J(X ) = N X i =1 wih(||X − Xi||)

(29)

Mod`

eles approch´

es : m´

ethode RBF

Les poids (wi)1≤i ≤N sont calculés par résolution de l’équation

matricielle Aw = z traduisant l’exactitude du r´eseau sur les points (Xi)1≤i ≤N, o`u la matrice A ∈ MN(R) a pour terme

g´en´eral ai ,j = h(||Xi− Xj||) et le second membre a pour terme

g´en´eral zi = J(Xi).

On a donc ici :

˜

J(X ) = RTA−1z

où R est le vecteur colonne de terme général h(||X − Xi||).

Pour des fonctions h bien choisies, on peut montrer que la matrice A est toujours inversible voire d´efinie positive.

(30)

Mod`

eles approch´

es : m´

ethode RBF

Afin de déterminer les paramètres optimaux des fonctions de base du modèle RBF, une méthode de type ’leave-one out’ peut ˆ

etre utilis´ee.

Cette méthode consiste à entrainer le réseau sur tous les points sauf un et à tester l’erreur commise sur ce point. En répétant ce procédé sur tous les points, on aboutit à une erreur globale qu’il s’agit de rendre minimale.

La méthode RBF rejoint alors la méthode de krigeage si une fonction gaussienne est choisie dans les deux cas. Seule la fa¸con de chercher les paramètres optimaux de cette gaussienne diffèrent.

(31)

Mod`

eles approch´

es : m´

ethode RBF

Dans le cas où le nombre de points N est trés grand, la matrice A peut être mal conditionnée. Afin d’éviter ce problème, deux choix sont possibles.

Soit un procédé de régularisation de Tychonov est ajouté permettant de réduire le conditionnement de A. Dans ce cas, la méthode RBF cesse d’être une méthode d’interpolation.

Soit le nombre de points N est réduit à m en ne considérant que les plus proches points du point X à calculer. Dans ce cas, le réseau construit devient local.

(32)

Mod`

eles approch´

es : sparse grids

La méthode des sparse grids (introduite en 1963 par Smoliak pour l’intégration numérique) est uneméthode hiérarchique

d’interpolation bien adapt´ee au cas des grandes dimensions.

Le principe consiste à construire en 1D l’interpolation de manière hiérarchique puis à effectuer un produit tensoriel en ne gardant que les fonctions de base dont le support est le plus étendu :

¯ J(X ) = X |(i1,...,in)|1≤k+n ∆i1(x1) ⊗ ... ⊗ ∆in(xn) o`u ∆i(x ) = gi(x ) − gi −1(x ) = X xi j∈X∆i (J(x_ji) − gi −1(xji))a i j(x )

(33)

Mod`

eles approch´

es : sparse grids

En dimension n, la m´ethode des sparse grids au niveau k permet

d’approcher une fonction r´eguli`ere avec une erreur de l’ordre de

O(k−2(log k)n−1_{) avec O(k(log k)}n−1_{) points} _{(au lieu de}

O(k−2) avec kn _{points pour une grille uniforme).}

Différents type de sparse grids existent (en fonction de la répartition des points et des fonctions de base). On utilise ici les sparse grids qui utilise les points et les polynômes de Chebychev permettant d’obtenir une approximation polynomiale.

(34)

Mod`

eles approch´

es : sparse grids

Exemple d’approximation de la fonction de Michalewicz pour un niveau N = 4 (29 points) :

(35)

Couplage fort/faible

Il existe deux types de couplage possibles entre les méthodes d’optimisation et les modèles approchés pour optimiser une fonction J donnée.

La première idée consiste à piloter l’optimisation avec l’algorithme d’optimisation (évolutionnaire en général) et à utiliser le modèle approché pour un certain nombres d’évaluations (couplage fort).

La deuxième idée consiste à piloter l’optimisation avec le modèles approché en utilisant un algorithme d’optimisation pour améliorer sa précision au cours des itérations (couplage faible).

(36)

Exemple de couplage fort : l’algorithme AGA

A partir d’unebase de type Algorithme Génétique, un algorithme plus performant, appelé AGA, a été construit.

Il consiste à n’évaluer exactement que les points les plus performants suite à unepré-évaluation approchée par une

m´ethode de type RBF.

Le nombre de tels points décroit au cours des générations pour ne plus concerner qu’un seul élément lors de la dernière génération de l’algorithme.

(37)

Exemple d’utilisation de l’algorithme AGA

Sur la fonction de Rastrigin, le gain compar´e `a un AG classique se situe entre un facteur 2 et 10 (pour n = 6 et n = 20

repr´esent´es ci dessous) :

0 500 1000 1500 2000 2500 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 convergence history Neval fmin AGA GA 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 0 20 40 60 80 100 120 convergence history Neval fmin AGA GA

(38)

Exemple de couplage faible : l’algorithme GOSGrid

Dans cette nouvelle approche,la m´ethode des sparse grids est

utilis´ee comme metamod`ele global.

L’idée de l’algorithme consiste à améliorer la représentativité du modèle à l’aide d’un principe dereprise locale dans les zones d’intérêt.

A un niveau hiérarchique donné, les zones d’intérêt sont recherchée par une méthode d’optimisation de type gradient (donc locale) ou évolutionnaire (donc globale).

Une telle approche est particulièrement adaptée aux problèmes en grande dimension vu les propriétés de l’interpolation par sparse grids.

(39)

Exemple d’utilisation de l’algorithme GOSGrid

Les premiers résultats mettent en évidence un gain important comparé à un ES performant (exemple ci-dessous : fonction de Michalewicz en dimension 5) .

(40)

(41)

Simulation num´

erique d’une art`

ere saine

L’objectif de cette première simulation est d’ajuster le modèle 1D aux résultats d’un modèle 3D existant (calculé à l’aide du logiciel LifeV).

Un algorithme génétique est utilisé ici pour déterminer la valeur optimale de β. La fonction coût est basée sur les profils de A et Q en trois positions.

(42)

Simulation num´

erique d’une art`

ere saine

Il s’avère en fait possible de retrouver les résultats du modèle 3D `

a un coˆut largement moindre.

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.775 0.780 0.785 0.790 0.795 0.800 0.805 0.810 0.815 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 −5 0 5 10 15 20 pt P (calcul 3D) pt P(modèle 1D) pt M (calcul 3D) pt M (modèle 1D) pt D (calcul 3D) pt D (modèle 1D) 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 −2000 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 pt P (calcul 3D) pt M (calcul 3D) pt D (calcul 3D) pt P(modèle 1D) pt M (modèle 1D) pt D (modèle 1D) pt P (calcul 3D) pt P(modèle 1D) pt M (calcul 3D) pt M (modèle 1D) pt D (calcul 3D) pt D (modèle 1D)

A noter aussi que le coefficient β optimal est largement inf´erieur `

(43)

Simulation num´

erique d’une art`

ere st´

enos´

ee

L’objectif de cette nouvelle simulation est de reconstruire la fonction de rigidit´e d’une art`ere z 7→ β(z) en supposant que celle-ci est du type suivant :

Les 4 inconnues associ´ees sont la position et la rigidit´e de la plaque : a1, a2, β1et β2.

Les problèmes inverses présentés ici sont construits à partir de données synthétiques calculées avec le modèle 1D.

(44)

Simulation num´

erique d’une art`

ere st´

enos´

ee

Quand les profils de A et Q sont connus en 3 positions diff´erentes, il est possible de reconstruire la forme exacte de la fonction de rigidit´e. 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.76 0.77 0.78 0.79 0.80 0.81 0.82 0.83

valeurs de section issues du calcul cible 1D en 3 points

t p 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 −2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

valeurs de debit issues du calcul cible 1D en 3 points

t p pt P (calcul cible) pt M (calcul cible) pt D (calcul cible) pt P(après optmim.) pt M (après optmim.) pt D (après optmim.) 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 −10000 −5000 0 5000 10000 15000 20000

valeurs de pression issues du calcul cible 1D en 3 points

t p pt P (calcul cible) pt M (calcul cible) pt D (calcul cible) pt P(après optmim.) pt M (après optmim.) pt D (après optmim.)

(45)

Simulation num´

erique d’une art`

ere st´

enos´

ee

Quand les profils de A et Q sont connus seulement en une position en aval du saut de rigidité, il est encore possible de localiser la plaque et de donner une estimation du saut de rigidité, assez peu précise cependant.

0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.76 0.77 0.78 0.79 0.80 0.81 0.82 0.83

valeurs de section issues du calcul cible 1D en 3 points

t p 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 −2 0 2 4 6 8 10 12 14 16

valeurs de debit issues du calcul cible 1D en 3 points

t p pt P (calcul cible) pt M (calcul cible) pt D (calcul cible) pt P(après optmim.) pt M (après optmim.) pt D (après optmim.) 0.000 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 −10000 −5000 0 5000 10000 15000 20000

valeurs de pression issues du calcul cible 1D en 3 points

t p pt P (calcul cible) pt M (calcul cible) pt D (calcul cible) pt P(après optmim.) pt M (après optmim.) pt D (après optmim.) pt P (calcul cible) pt M (calcul cible) pt D (calcul cible) pt P(après optmim.) pt M (après optmim.) pt D (après optmim.)

(46)

Simulation num´

erique des art`

eres d’un patient sain

La simulation présentée ici a consisté àreconstruire le réseau

artériel des membres inférieurs d’un patient sainà l’aide de

mesures non invasives par echotracking en quelques points du r´eseau.

Artère fémorale commune Artère fémorale superficielle

Artère fémorale profonde Artère poplité

Artèe tibiale postérieure Artère descendante du genou Artère tibiale antérieure

1 2 3 5 4 6 7

Le modèle fluide-structure simplifié précédent a été utilisé pour modéliser le réseau artériel. Le problème inverse à résoudre possède pour inconnues les paramètres physiques et numériques du modèle.

(47)

Simulation num´

erique des art`

eres d’un patient sain

La fonction coût à minimiser est construite à partir des 4 mesures réalisées par echotracking :

J2(ψ) =

X

k∈{1,2,4,6}

kQ(ψ, k) − Q∼ echo(k)kl2

kQecho(k)kl2

où les paramètres ψ à déterminer sont :

Les coefficients β de chacune des art´eres du r´eseau : βi,

i ∈ {1, . . . , 7}.

Les coefficients Rt réglant les résistance en sortie de réseau : Rti,

(48)

Simulation num´

erique des art`

eres d’un patient sain

Artère iliaque interne

Artère poplité

Artère femorale superficielle

Artère tibiale antérieure

s s

cm/s cm/s

Vitesse moyenne mesurée par écho-tracking Vitesse moyenne simulée

J2 Q

Patient 1 : résultats obtenus avec la fonction

- 15 - 10 - 5 0 5 10 15 20 25 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 - 15 - 10 - 5 0 5 10 15 20 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 - 15 - 10 - 5 0 5 10 15 20 25 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 - 4 - 2 0 2 4 6 8 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

(49)

Simulation num´

erique des art`

eres d’un patient sain

Artère poplité

s s

cm/s cm/s

J2 Q

- 15 - 10 - 5 0 5 10 15 20 25 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 - 15 - 10 - 5 0 5 10 15 20 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 - 15 - 10 - 5 0 5 10 15 20 25 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 - 4 - 2 0 2 4 6 8 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

(50)

Simulation num´

erique des art`

eres d’un patient sain

Artère poplité

s s

s

cm cm

cm

Aire de la section mesurée par écho-tracking Aire de la section simulée

J2 Q Patient 1 : résultats obtenus avec la fonction

0.50 0.55 0.60 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 2 2 2 0.502 0.504 0.506 0.508 0.510 0.512 0.514 0.516 0.518 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.395 0.400 0.405 0.410 0.415 0.420 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

(51)

Simulation num´

erique des art`

eres d’un patient sain

Artère poplité

s s

s

cm cm

cm

J2 Q Patient 1 : résultats obtenus avec la fonction

0.50 0.55 0.60 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 2 2 2 0.502 0.504 0.506 0.508 0.510 0.512 0.514 0.516 0.518 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 0.395 0.400 0.405 0.410 0.415 0.420 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

(52)

Simulation num´

erique des art`

eres d’un patient sain

Profils d’aire et de vitesse pour les 4 art`eres :

Artère poplité

s s

cm/s cm/s

J2

Q

- 15 - 10 - 5 0 5 10 15 20 25 0.00.10.2 0.30.40.50.6 0.70.80.91.0 - 15 - 10 - 5 0 5 10 15 20 0.00.10.2 0.30.40.50.6 0.70.80.91.0 - 15 - 10 - 5 0 5 10 15 20 25 0.0 0.10.20.30.4 0.50.60.70.80.9 1.0 - 4 - 2 0 2 4 6 8 0.0 0.10.20.30.4 0.50.60.70.80.9 1.0

Artère poplité

s s

s

cm cm

cm

J2

Q

0.50 0.55 0.60 0.00.10.2 0.30.40.50.6 0.70.80.91.0 2 2 2 0.502 0.504 0.506 0.508 0.510 0.512 0.514 0.516 0.518 0.00.10.2 0.30.40.50.60.7 0.80.91.0 0.395 0.400 0.405 0.410 0.415 0.420 0.00.10.2 0.30.40.50.6 0.70.80.91.0

Autres informations mises à la disposition du praticien : profils de pression, coefficients de rigidité des 7 artères, etc...

(53)

Conclusions et perpectives

La simulation numérique est un outil d’aide au diagnostic de plus en plus utilisée dans différents domaines médicaux. Les méthodes évolutionnaires d’optimisation sont les plus efficaces dans ce contexte pour déterminer les paramètres du modèle utilisé, spécifiques à chaque patient.

L’introduction de modèles approchés s’avère en général indispensable pour obtenir un temps de calcul raisonnable. Les travaux présentés ici montrent qu’un examen non invasif et peu coûteux comme l’echotracking couplé à une simulation numérique du flux sanguin pourra améliorer la prédiction des risques de maladies cardiovasculaires.