FIGURE2.3 – Schéma représentant la distribution typique “d’énergies” vs+vNL s
pour un temps donné et pour (a) le régime quasi-localisé, (b) le régime chaotique et (c) le régime auto-piégé.
que la localisation d’Anderson survive, au moins jusqu’à des temps très longs : il s’agit du régime quasi-localisé. Pour vNLs ≈ vs, la correction dynamique vNLs est
susceptible de compenser les effets du désordre et donc de détruire la localisation d’Anderson. L’étalement du paquet d’onde étant souvent associé à la présence de chaos [Pikovsky et Shepelyansky 2008,Laptyeva et al. 2010], on parle alors de ré- gime chaotique. Nous verrons dans la partie suivante comment on peut justifier une telle appellation. Enfin, pour vNL
s ≫vs, le système entre dans le régime auto-
piégé (self-trapping en anglais). Dans ce cas, du fait de la correction non-linéaire, les énergies des sites excités sont beaucoup plus importantes que celles des autres sites. En conséquence, les transferts de population entre sites initialement excités et le reste du système deviennent négligeables : le paquet d’onde est piégé. Ce régime est néanmoins très différent de la localisation d’Anderson car il ne re- pose pas sur un phénomène d’interférence quantique. La figure 2.3 donne une représentation schématique des trois régimes : dans le régime quasi-localisé, les niveaux désordonnés ne sont pas affectés pas les interactions. Dans le régime chaotique, la contribution vNL
s , dépendante du temps mais du même ordre que
vs, permet de compenser les effets de désordre. Enfin, dans le régime auto-piégé,
cette contribution est tellement importante que les états initialement excités sont complètement découplés du système.
Voyons maintenant comment mettre en évidence numériquement ces trois ré- gimes. L’équation (2.6) étant non-linéaire, l’évolution du système est très sensible aux conditions initiales. Nous nous intéressons tout d’abord à des états initiaux carrés de la forme : ds(t=0) = eiϕs √ L0 |s| ≤ (L0−1)/2 0 sinon (2.7)
où les phases ϕs sont choisies aléatoirement dans l’intervalle [0, 2π], ce qui per-
met d’exciter des états d’Anderson sur toute la bande d’énergie2. L’évolution du système peut ensuite être calculée numériquement selon une méthode standard de Crank-Nicholson3, le pas de temps dt étant compris entre 10−2 et 10−1. Nous
nous intéresserons en particulier à l’influence de la largeur L0 sur la dynamique du système et nous plaçons dans le cas d’interactions répulsives(g > 0). Dans
tout le reste du chapitre, nous considérons L=101.
On peut repérer l’existence des trois régimes dynamiques en étudiant les va- leurs prises par la probabilité de survie, un paquet d’onde étant d’autant plus localisé que la valeur de p est grande. On représente sur la figure2.4la probabi- lité de survie à t = 105en fonction de g, pour a) W = 1, b) W =2, c) W = 3, d)
W = 4 et pour plusieurs valeurs de L0. Pour obtenir des courbes représentatives
de l’ensemble de la statistique du désordre, nous avons moyenné nos résultats sur un total de 1000 réalisations aléatoires du réseau vs et des phases initiales ϕs.
Comparons d’abord les valeurs prises par la probabilité de survie p dans le cas quasi-localisé g ≪1. Pour un faible désordre a) W =1, la longueur maximale de localisation ξ0(W) =96 [donnée par l’équation (1.35)] est de l’ordre de la taille
de la boîte. En conséquence, parmi les états d’Anderson initialement excités, un certain nombre s’étend jusqu’aux limites du système et sont absorbés. La valeur de la probabilité de survie p ≈ 0.15 est donc relativement faible. On observe par ailleurs une très légère dépendance de p vis-à-vis de la largeur initiale, les états excités étant d’autant plus proches des limites du système que la valeur de L0 est grande. Au fur et à mesure que la valeur de W augmente, la valeur de p
augmente elle-aussi car les états d’Anderson initialement excités sont de plus en plus étroits. Ainsi, pour d) W =4, ξ0(W) ≈6, la quasi-totalité du paquet reste au
2Nous verrons dans la sous-section2.A.4les conséquences d’un tel choix.
3Une méthode du type Runge-Kutta nécessite des pas de temps bien plus faibles. Nous avons
par ailleurs comparé avec succès nos résultats avec une méthode de Crank-Nicholson avec un schéma de relaxation [Besse 2004].
10−2 10−1 100 101 102 g 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 p (a)W = 1 10−2 10−1 100 101 102 g 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 p (b)W = 2 10−2 10−1 100 101 102 g 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 p (c)W = 3 10−2 10−1 100 101 102 g 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 p (d)W = 4
FIGURE2.4 – Probabilité de survie p à t = 105 en fonction de g pour a) W = 1, b) W = 2, c) W =3, d) W = 4 et pour plusieurs valeurs de L0: 3 (carrés bleus),
7 (triangles verts), 13 (diamants rouges), 21 (étoiles cyan), 31 (cercles magenta) et 41 (triangles inversés jaunes).
sein du système : p ≈ 0.9. Enfin, pour l’ensemble des courbes et dans le régime quasi-localisé, la probabilité de survie possède une valeur indépendante de g car les effets des interactions sont alors négligeables : la localisation d’Anderson n’est pas détruite, du moins pour ce qui est des échelles de temps t≤105considérées.
Pour des valeurs de g plus importantes, on observe une diminution signifi- cative de la probabilité de survie consécutive à l’étalement du paquet d’onde et donc à la destruction de la localisation d’Anderson. La probabilité de survie p prend ses valeurs minimales dans le régime chaotique dont l’emplacement dé- pend légèrement de la valeur de W. En revanche, la contribution non-linéaire vNLs étant directement proportionnelle à la densité du paquet|ds|2, le système est
très sensible au choix de la valeur de L0. Le domaine d’existence du régime chao-
tique est ainsi repoussé vers les grandes valeurs de g à mesure que la valeur de L0augmente. Nous verrons dans la partie suivante comment s’affranchir de cette
dépendance vis-à-vis des conditions initiales.
Enfin, pour les très grandes valeurs de g, la valeur de la probabilité prend des valeurs plus importantes correspondant au régime auto-piégé. Ce régime, lui aussi favorisé pour les faibles valeurs de L0, correspond à un phénomène de
localisation beaucoup plus marqué que la localisation d’Anderson, notamment pour les faibles désordres (voir par exemple le cas (a) W =1).
L’étude de la probabilité de survie nous permet donc d’étudier les caractéris- tiques des différents régimes non-linéaires. La taille finie du système a l’avantage de réduire considérablement le temps d’intégration numérique, ce qui permet d’explorer le comportement du système pour un nombre considérable de para- mètres (W, g) et de conditions initiales(L0). Nous nous intéressons maintenant au
profil de densité pour chacun des trois régimes. La figure2.5représente|ds|2pour
W =4, L0=3 et pour plusieurs valeurs de g. Analysons tout d’abord la forme du
paquet en représentation linéaire [graphique (a)] : pour g =0 (ligne noire pleine), le paquet est localisé au sens d’Anderson, on observe un profil exponentiel de norme p ∼ 0.9. Pour le régime quasi-localisé, g = 0.1 (ligne bleue), l’effet des interactions est négligeable, le profil obtenu se superposant parfaitement avec la courbe précédente. Pour g =10 (ligne violette), le régime est chaotique, ce que en-
traîne la destruction partielle de la localisation d’Anderson. Pour le temps t=105 considéré, on s’aperçoit que même si le paquet s’élargit, il conserve sa forme ex- ponentielle. Enfin, pour g=316 (ligne rouge), la totalité de la fonction d’onde est auto-piégée autour de l’état initial. L’échelle verticale logarithmique [graphique
−40 −20 0 20 40 s 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 |ds | 2 (a) −40 −20 0 20 40 s 10−8 10−6 10−4 10−2 100 |ds | 2 (b)
FIGURE2.5 – Profils de densité|ds|2à t =105pour W =4, L
0 =3 et g =0 (ligne
pleine noire), g = 0.1 (ligne bleue), g = 10 (ligne violette), g = 316 (ligne rouge) en échelle verticale linéaire a) et logarithmique b).
(b)] permet d’observer plus finement les différents profils : pour g =0 et g=0.1, on obtient des courbes triangulaires, signatures de la localisation d’Anderson. Pour g = 10, on voit que le profil conserve une forme triangulaire au centre du système mais des ailes non-exponentielles apparaissent. Pour des temps beau- coup plus longs, le centre du système se dépeuple complètement et l’ensemble du profil prend la forme d’un plateau [Pikovsky et Shepelyansky 2008,Flach 2010]. Enfin pour g=316, l’échelle logarithmique montre également le piégeage quasi- complet du paquet d’onde.