Les opérateurs bk, b†
k vérifiant les relations de commutations bosoniques, on qua-
lifie souvent les modes de Bogoliubov de “quasi-particules”. Seulement, l’équa- tion d’évolution (4.29) n’est évidemment pas équivalente à l’équation de Gross- Pitaevskii. On peut par exemple remarquer que le terme de couplage gφ∗2u
k,
présent dans l’équation d’évolution de vk[équations (4.29), (4.18) et (4.19)], n’est absolument pas négligeable devant le terme diagonal h+2g|φ|2−µ(t) lorsque g →0.
Nous étudions maintenant le comportement des quasi-particules dans le cas du rotateur pulsé quasi-périodique. Nous allons voir qu’à l’instar de particules libres, elles sont sujettes à une transition de phase d’un régime localisé à un ré- gime diffusif. Pour cela, nous disposons de deux outils. Dans un premier temps, nous nous intéressons à l’évolution de la variance du mode de Bogoliubov défini en (4.32) et la comparons en particulier à celle de l’état condensé.
σc2= ˆ dp p2|φ|2− ˆ dp p|φ|2 2 . (4.49)
D’autre part, nous pouvons comparer le profil de densité des modes de Bogoliu- bov donné par (4.31) à celui du condensat
nc(p) = |φ(p)|2. (4.50)
4.B.3.1 Le régime localisé
La figure4.3 représente l’évolution des variances σ2
b et σc2dans le cas du régime
localisé K = 4, ǫ = 0.1 et pour g = 10−4, 10−2et 10−1. Compte-tenu des faibles
valeurs de g considérées, le condensat (lignes pointillées) reste parfaitement lo- calisé, sa variance σ2
c n’étant pas affectée par le faible niveau des interactions. Le
carré de la largeur en impulsion du mode de Bogoliubov finit elle aussi par at- teindre une valeur constante (lignes pleines), ce qui prouve que le régime localisé s’applique également aux quasi-particules. Au contraire des atomes du conden- sat, la largeur de l’état augmente légèrement lorsque la valeur de g augmente.
La localisation des quasi-particules de Bogoliubov avait été déjà étudiée dans le cas des systèmes désordonnés [Lugan et al. 2007, Gaul et Müller 2011]. Le fait qu’elle s’applique également au cas du rotateur pulsé n’avait pour autant rien
0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 t ×104 0 50 100 150 200 σ 2 g = 0.0001 g = 0.01 g = 0.1
FIGURE 4.3 – Variance de la distribution du mode de Bogoliubov σb2 (lignes pleines) et du condensat σ2
c (lignes pointillées) pour K = 4, ǫ = 0.1 et pour
g=10−4, 10−2, 10−1.
d’évident, l’équivalence entre le rotateur pulsé et le modèle d’Anderson étant brisée dès lors que l’on introduit les interactions6. Les variances non-condensées σb2et condensées σc2diffèrent d’un facteur∼3. Cette différence peut s’expliquer
par la présence du terme de couplage gφ∗2 dans l’équation (4.19) comme nous le montrons maintenant. Dans la limite des faibles non-linéarités g ≪1 et à l’instant initial le terme u1domine le terme v1[équations (4.46) et (4.47)] :
u1(x) ≈ eix
v1(x) ≈ 2π ¯k−g2eix. (4.51)
Ainsi, pour g =0.1 l’amplitude initiale v1est environ 500 fois plus faible que u1.
Suivant les équations d’évolution (4.18), (4.19) et (4.29), si on ne tient pas compte de l’opérateur Q , on peut écrire7:
i¯kdu1 dt ≈ [h−µ(t)]u1 (4.52) i¯kdv1 dt ≈ − [h−µ(t)]v1−gφ∗ 2 u1 (4.53)
où, considérant de très faibles non-linéarités, on a négligé les termes g|φ|2u1,
g|φ|2v1et gφ2v1. En revanche, due à la hiérarchie entre u1et v1établie en (4.51), le
6Une discussion à ce sujet est présentée dans la sous-section3.B.2du chapitre précédent. 7Le rôle de cet opérateur est uniquement de préserver le nombre total de particules.
−40 0 40 p 0.00 0.03 0.06 0.09 0.12 n (p ) (a) g = 0.0001 g = 0.01 g = 0.1 −100 −50 0 50 100 p 10−8 10−6 10−4 10−2 100 n (p ) (b)
FIGURE 4.4 – Profils de densité du mode de Bogoliubov (ligne pleine) et du condensat (ligne pointillée) pour t = 104, K = 4, ǫ = 0.1 et pour g =
10−4, 10−2, 10−1. Les données sont représentées en échelles verticales linéaire (a)
et logarithmique (b).
terme de couplage gφ∗2u1 est a priori du même ordre que hv1 lorsque g → 0. Sa présence, marque une différence essentielle entre la dynamique des quasi- particules, décrite par les équations de Bogoliubov et celle du condensat, décrite par l’équation de Gross-Pitaevskii : lorsque g tend vers 0, la solution de Gross- Pitaevskii converge vers la solution de l’équation de Schrödinger linéaire ; comme le montre l’équation (4.53), ce n’est pas le cas pour les équations de Bogoliubov. La présence du potentiel chimique dans les équations d’évolution (4.52) et (4.53) a aussi une influence sur la dynamique du système. Lorsque le condensat n’est pas encore localisé, le potentiel chimique µ(t) [équation (4.15)], possède une évolu-
tion temporelle qui prend dans les équations (4.52) et (4.53) la forme d’une phase dépendante du temps. Nous suggérons que la mise en place de la localisation d’Anderson pour les quasi-particules de Bogoliubov est inhibée par la présence de ce terme dépendant du temps. Dès lors que le condensat est localisé, le terme µ(t) devient constant et les quasi-particules deviennent alors sujettes à la locali- sation d’Anderson. Le temps de localisation des quasi-particules tb est donc né- cessairement plus grand que celui du condensat tc, c’est bien ce que l’on observe
sur la figure4.3.
L’évolution temporelle des variances condensées et non-condensées prouvant que les deux composantes du gaz sont localisées, analysons maintenant les pro- fils de densité d’impulsion représentées sur la figure 4.4. L’échelle linéaire (a) permet de se rendre compte que les profils condensés et non-condensés n’ont pas la même forme. Alors que le condensat est localisé selon un profil exponentiel nc(p) ∼exp[−2|p|/ξc], caractéristique de la localisation d’Anderson, le mode de
Bogoliubov possède non pas un pic central mais une structure comportant une “double bosse”. Le mode k = 1 étant initialement centré en p = ¯k, il est natu- rel de voir émerger un pic au voisinage de ce point. Due à la présence du terme gφ∗2(x)dans (4.53), il apparaît également une bosse du côté des impulsions néga-
tives. Néanmoins, dans la représentation semi-logarithmique du graphique4.4b), le profil de densité des quasi-particules prend la forme d’une droite au niveau des ailes (p ≫ 1). Cela signifie la densité non-condensée retrouve dans cette région un profil du type exponentiel :
nb(p≫ ¯k)∼exp[−2|p|/ξb] (4.54) où la longueur de localisation des pseudo-particules est très proche de celle du condensat : ξc ≈ξb.
Les pseudo-particules sont donc bien localisées au sens d’Anderson. Néan- moins, dû à un terme de couplage, le paquet possède, pour le mode k =1 consi- déré, un structure légèrement différente d’un profil exponentiel.
4.B.3.2 Le régime diffusif
Pour les grandes valeurs de K, les atomes non-condensés suivent également la dynamique du condensat, à savoir un comportement diffusif. La figure 4.5
montre en effet que la variance σb2 suit une évolution temporelle linéaire et in- dépendante de g. Dans ce régime, les deux parties du gaz, condensées et non- condensées se comportent de façon similaire, les deux coefficients de diffusion ne différant que d’environ 25%. Les profils de densité, montrés à t =500 sur la fi- gure4.6sont aussi très semblables, la distribution des particules non-condensées se répartissant selon une loi gaussienne de largeur légèrement supérieure à celle du condensat. Dans le régime diffusif, les quasi-particules et le condensat se com- portent donc de façon très similaire. Comme vu dans le chapitre précédent, les effets des interactions sont ainsi beaucoup plus visibles en régime localisé qu’en régime diffusif.