Les équations (4.18), (4.19) et (4.29) montrent que l’évolution d’un mode de Bo- goliubov est indépendante de k. On peut donc penser que la dynamique de l’en- semble des modes du système correspond exactement à celle du mode k = 1
décrite dans la section précédente. Néanmoins, les conditions initiales du sys- tème données par les équations (4.43) et (4.45) dépendent du mode k considéré. Le but de cette section est d’observer les effets de temps fini introduits par ces différentes conditions initiales.
4.B.5.1 Évolution des populations
Comme le montre l’équation (4.48), le mode de Bogoliubov défini par k = 1 est
initialement le plus peuplé. Néanmoins, la population des autres n’est pour au- tant pas à négliger. La figure 4.12 montre ainsi l’évolution de plusieurs de ces modes dans le cas du régime localisé. On s’aperçoit qu’au cours de l’évolution temporelle, les différences de populations entre les modes ont tendance à s’es- tomper9. Le nombre de modes participant significativement à la dynamique dé-
pend ainsi de l’instant considéré : aux temps courts, les atomes non condensés peuplent très majoritairement le mode k = 1. Pour t = 1000, il faut en revanche quelque 10 modes supplémentaires pour représenter correctement les excitations. Notons enfin que si les populations ont tendance à s’égaliser, il n’y a pour autant aucune inversion de population.
D’un point de vue expérimental, il est par ailleurs nécessaire d’étudier l’en- semble des modes de Bogoliubov pour deux raisons : (i) on peut imaginer qu’un grand nombre de modes soient excités simultanément en raison par exemple des effets de température (ii) on peut également espérer stimuler un mode k particu- lier en utilisant deux faisceaux laser non alignés [Steinhauer et al. 2002].
4.B.5.2 Profil de densité en régime localisé
A titre d’exemple, on s’intéresse maintenant au profil de densité en régime lo- calisé, montré en figure 4.13 pour t = 103 et pour les mêmes paramètres qu’en
0 200 400 600 800 1000
t
10−15 10−10N
b k = 1k = 2 k = 3 k = 5 k = 10FIGURE 4.12 – Évolution du nombre d’atomes non-condensés pour les modes k =1, 2, 3, 5, 10 pour g =10−4, K=4 et ǫ =0.436. −30 0 30 p 0.000 0.015 0.030 0.045 0.060 n (p ) (a) k = 1 k = 2 k = 3 k = 5 k = 10 −40 −20 0 20 40 p 10−4 10−2 n (p ) (b)
FIGURE4.13 – Profils de densité du mode de Bogoliubov (ligne pleine) pour k =
1, 2, 3, 4, 5, t =103, K = 4, ǫ= 0.1 et g =10−4. Les données sont représentées en
échelles verticales linéaire (a) et logarithmique (b).
figure 4.12. Les ailes ont toujours un profil exponentiel, ce qui confirme que les quasi-particules, quel que soit le mode considéré sont localisées au sens d’Ander- son. Par ailleurs, la structure en double-bosse, commentée précédemment dans le cas du mode k = 1 tend à s’effacer à mesure que k augmente au profit de la
structure exponentielle. Le mode k étant centré en p =k¯k, on peut imaginer que l’emplacement initial de la bosse s’éloigne du centre du système à mesure que k augmente, ce qui la rend moins visible.
4.B.5.3 Transition de phase pour k=5
On étudie maintenant la transition de phase relative au mode de Bogoliubov k=
5 et pour g = 10−2 (figure 4.14). Nous n’avons pu mesurer la valeur de ˜K, les
6.0 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 K 3.50 3.75 4.00 4.25 4.50 lo g Λb
FIGURE 4.14 – Λb = σb2t−2/3 en fonction de K pour g = 10−2 et pour t com-
pris entre 200 (courbe bleue) à 1000 (courbe verte). Le fait que les courbes ne se croisent pas en un point unique semble correspondre à un effet de temps fini.
de phase est bien présente dans le cas du mode k = 5 mais n’est pas visible pour t ≤ 1000. L’état initial du mode k = 5 est en effet fortement asymétrique
en représentation impulsion [équation (4.45)]. Nous pensons que cette asymétrie induit des effets de temps fini beaucoup plus importants que dans le cas k = 1, ce qui nous empêche de caractériser la transition de phase pour t ≤1000.
4.B.5.4 Le régime diffusif
Pour finir cette étude, nous étudions l’influence du mode k considéré sur le ré- gime diffusif. Nous avons remarqué lors de l’étude du comportement de la frac- tion condensée (chapitre 3) et du mode k =1 que ce régime est le moins sensible aux interactions. Le régime diffusif est également très peu sensible au mode de Bogoliubov considéré. Cela n’a rien de surprenant car la diffusion entraînant un élargissement assez rapide de la distribution, l’influence de la condition initiale est moins important. La distribution prend la forme d’une gaussienne, dont la lar- geur croit bien évidemment linéairement avec le temps. Nous montrons ainsi sur la figure 4.15 l’allure de ces profils pour g = 10−2 et pour t = 500. Les courbes
sont à peu près identiques ; on observe néanmoins une marque résiduelle des conditions initiales, les courbes ayant tendance à être légèrement décalées vers la droite lorsqu’on augmente la valeur de k.
−500 0 500 p 0.0000 0.0008 0.0016 0.0024 n (p ) (a) k = 1 k = 2 k = 3 k = 5 k = 10 −500 0 500 p 10−4 10−2 n (p ) (b)
FIGURE 4.15 – Profils de densité du mode de Bogoliubov (ligne pleine) et du condensat (ligne pointillée) pour t = 500, K = 9, ǫ = 0.8 et pour g = 10−2.
Les données sont représentées en échelles verticales linéaire (a) et logarithmique (b).
4.C Conclusion
Les résultats présentés dans ce chapitre permettent tout d’abord de s’assurer qu’un condensat de Bose-Einstein soumis à un potentiel de rotateur pulsé quasi- périodique est stable dès lors que le niveau des interactions n’est pas trop élevé. Ceci nous a permis de nous intéresser à l’évolution des modes de Bogoliubov pour de très faibles interactions et notamment de mettre en évidence l’universa- lité de la transition d’Anderson vis-à-vis de ces quasi-particules. En attendant une éventuelle réalisation expérimentale, il reste à étudier l’état du système pour des forces d’interactions plus élevées. Le condensat n’est pas nécessairement instable mais il faut recourir à des méthodes de Bogoliubov d’ordres supérieures pour étu- dier l’évolution des excitations [Billam et Gardiner 2012]. La fraction condensée évoluant d’après les résultats du chapitre 3 de façon sub-diffusive, on peut se de- mander si les atomes non-condensés se comportent de façon similaire. Pour des valeurs de g encore plus importantes, le système dit fortement corrélé ne peut plus être décrit via une approche de champ moyen. La physique sous-jacente est d’une grande richesse car le système peut exhiber des phénomènes qui ne peuvent apparaître pour des particules isolées. La mise au point de nouveaux outils théoriques, capables de mettre en lumière ces phénomènes, constitue sans doute l’un des prochains défis de la physique moderne.