3.B.2 La fin de l’équivalence avec le modèle d’Anderson

Dans le cas linéaire, c’est-à-dire sans interactions, nous avons vu que le rotateur pulsé quasi-périodique est équivalent au modèle d’Anderson tridimensionnel à partir du moment où on représente les fonctions d’onde en représentation im- pulsion. Cette équivalence est brisée en présence d’interactions. Dans le forma- lisme de Gross-Pitaevskii, le terme d’interaction g_|φ(x)_|2 s’écrit en effet en re- présentation position, aussi bien dans le cas du rotateur pulsé quasi-périodique que dans celui d’un réseau désordonné. On ne peut donc plus inverser les rôles des impulsions et des positions pour passer d’un modèle à l’autre. Notons par ailleurs qu’en présence d’interactions, les rotateurs pulsés tridimensionnel [équa- tion (3.41)] et quasi-périodique [équation (3.40)] ne sont également plus équiva- lents. L’étude des interactions dans le cadre du rotateur quasi-périodique n’en de- meure pas moins essentielle. Elles sont bien entendu susceptibles d’entraîner des effets originaux par rapport aux systèmes désordonnées tridimensionnels mais

elles peuvent également mettre en évidence des phénomènes universels liés par exemple à un comportement sous-diffusif et donner ainsi des indices pertinents pour l’élaboration d’une théorie unifiée.

Alors que son influence est négligeable dans le cas linéaire, la taille du sys- tème est maintenant d’une importance cruciale car dans chacun des régimes dy- namiques (localisé, critique ou diffusif) le paquet d’onde s’étale dans l’espace des positions(le régime localisé étant visible en représentation impulsion uniquement). La figure3.10 montre l’évolution en fonction du nombre de kicks de la variance de la densité de positions : ˜σt2 = ˆ dx x2_|φ(x)_|2₋ ˆ dx x_|φ(x)_|2 2 (3.74)

pour les trois régimes : localisé, critique et diffusif9_{. Les ajustements en loi de}

puissance correspondants, représentés en ligne pleine, montrent que ˜σt vérifie

approximativement la relation suivante :

˜σt =tσt. (3.75)

Cette relation qui peut s’interpréter de façon classique sous la forme x = pt montre que tous les effets d’interférence quantiques sont compris dans la va- riance temporelle de p [Delande et Garreau 2011]. Le paquet s’étend dans l’espace des positions, quel que soit le régime dynamique considéré. Par conséquent, si on considère un système de taille infinie en représentation position, le terme g|φ(x)|2

finit nécessairement par tendre vers 0 à mesure que le nombre de kicks augmente. Dans l’ensemble des tests numériques effectués, nous nous sommes aperçus que l’énergie d’interaction ´ dx g|φ(x)|4 devient négligeable par rapport à toutes les autres énergies du système au bout d’un temps inférieur à 10 kicks. L’influence des interactions peut alors se résumer à une redistribution des conditions initiales avant la restauration des régimes dynamiques du système linéaire. La figure3.11

montre un exemple de décroissance rapide de l’énergie d’interaction due à la dispersion du paquet d’onde dans l’espace des positions : dès le premier kick, l’énergie d’interaction est négligeable.

Ainsi, dans le cas d’un système infini, l’échelle de temps linéaire, relative

9_{L’équation (3.70) a été intégrée avec un algorithme de type Split-step avec un pas de temps}

dt ≪ 1 [Hardin et Tappert 1973,Feit et al. 1982,Bogomolov et Yunakovsky 2006] avec une dis- crétisation spatiale telle que la densité d’impulsions ainsi que la densité de positions soient négli- geables aux bords de la boîte numérique.

0

20

40

60

80

100

t

0.0

0.4

0.8

1.2

1.6

˜σ

2 t

×10

7

FIGURE3.10 – Variations temporelles de la variance de la distribution de positions ˜σt pour g = 10 et pour le régime localisé (K = 4, ǫ = 0.1, points bleus), critique

(K = 6.4, ǫ = 0.436, points verts) et diffusif (K = 9, ǫ = 0.8, points rouges). Les lignes représentent des ajustements en loi de puissance ta _{de coefficient a = 2.1}

(ligne bleue), a =2.8 (ligne verte) et a=3.0 (ligne rouge).

à l’instauration de la localisation dynamique, est beaucoup plus grande que l’échelle non-linéaire, associée au temps caractéristique de la conversion de l’énergie d’interaction en énergie cinétique. En conséquence, il ne peut y avoir de compétition entre les effets de désordre et les interactions.

En revanche, si on utilise des conditions 2π-périodiques, le paquet d’onde étant confiné, le terme ´ dx g_|φ_|4n’est plus négligeable et on peut étudier effecti- vement l’influence des interactions sur le système. Nous nous intéressons mainte- nant à la dynamique du rotateur pulsé quasi-périodique pour des conditions aux bords 2π-périodiques. Expérimentalement, cela suppose de réaliser un confine- ment unidimensionnel à l’aide d’un piège toroïdal [Ryu et al. 2007]. Dans le cas du rotateur pulsé, des études précédentes ont montré que sous certaines condi- tions les interactions détruisent la localisation dynamique pour laisser place à un régime de sous-diffusion [Shepelyansky 1993, Rebuzzini et al. 2007, Gligori´c et al. 2011]. Outre les conditions aux bords 2π-périodiques, ces études font une hypothèse lourde : celle de “l’approximation diagonale”. Le but du prochain pa- ragraphe est d’introduire cette approximation et de juger de sa pertinence. Nous présentons ensuite les résultats obtenus au cours de cette thèse.

0

20

40

60

80

100

t

10

−3

10

−2

10

−1

10

0

10

1

10

2

E

E_E

int kin

FIGURE 3.11 – Évolution de l’énergie d’interaction E_int = ´

dx g_|φ_|4/2 (ligne bleue) et de l’énergie cinétique Ekin = σt2/2 (ligne verte) en fonction du nombre

de kicks t pour K=4, ǫ=0.1, g=10. Au bout de quelques kicks, l’énergie d’in- teraction est négligeable devant l’énergie d’interaction cinétique et le dynamique retrouve un comportement linéaire.

Dans les chapitres précédents, afin d’obtenir des caractéristiques de la dyna- mique moyenne d’un système désordonné, nous devions moyenner nos résul- tats sur les différentes réalisations du désordre. Dans le cas du rotateur pulsé quasi-périodique, une manière de faire varier les réalisations du pseudo-désordre consiste à introduire un nombre β _{∈ [}0, 1] et deux phases θ2, θ3 aléatoires dans

l’expression du potentiel périodique :

H = p

2

2 +Kcos(x+ ¯kβt) [1+ǫcos(ω2t+θ2)cos(ω3t+θ3)]_k

∑

_∈Nδ(t−k). (3.76) La présence de ces trois nombres n’affecte en rien les propriétés du système et permet, après un certain nombre de moyennes, d’obtenir des courbes lisses. On peut par ailleurs donner une interprétation physique à chacun de ces nombres aléatoires.

• Les nombres θ2 et θ3 correspondent aux phases initiales de la modulation

temporelle.

• Le nombre β est assimilable à la quasi-impulsion, définie dans le cas d’un système linéaire infini. On montre en effet facilement que le hamiltonien (3.76) avec θ₁ = θ2 = θ3 = 0 est équivalent au hamiltonien du rotateur

pulsé quasi-périodique dès lors que l’on considère un état initial φ0(p) =

δ(p+ ¯kβ). Cette procédure revient donc à utiliser des conditions aux bords torsadées (twisted boundary conditions en anglais).

Dans le document Dynamique d'un gaz de bosons ultra-froids dans un milieu désordonné : Effets des interactions sur la localisation et sur la transition d'Anderson (Page 115-119)