La méthode que nous allons présenter s’apparente très fortement à la méthode de la troncature de Wigner [Steel et al. 1998,Sinatra et al. 2002]. Elle consiste à ne plus étudier uniquement l’évolution d’un état cohérent dans le hamiltonien clas- sique (5.26) mais plutôt celle d’une distribution d’état cohérents afin de simuler le bruit quantique, représenté ici par la fonction d’Husimi [Trimborn et al. 2009]. On montre en appendice Dque la fonction d’Husimi, dans l’approximation de champ moyen peut s’écrire sous la forme d’une équation de Liouville
∂Q ∂t = 1 Ns
∑
≥2 ∂H ∂φs ∂Q ∂Is − ∂H ∂Is ∂Q ∂φs (5.28)avec φs =−θset où H est le hamiltonien classique (5.26). La méthode de la tron-
cature d’Husimi revient à considérer que la fonction d’Husimi joue le rôle d’une
2Le terme 1/N provient du fait que les variables canoniques du système sont en réalité√Ncs
et√Nc∗s.
3Cette équation peut en effet être directement obtenue en projetant l’équation continue (1.53)
densité de probabilité. Au contraire de l’équation de Gross-Pitaevskii, l’équation (5.28) permet de prendre en compte le fait que, en raison des inégalités de Hei- senberg, les états quantiques ne peuvent être assimilés à des points dans l’espace de phase. Dans la limite des grands nombres de particules N≥1, la largeur de la fonction d’Husimi est négligeable et on retrouve l’équation de Gross-Pitaevskii.
Plutôt que de faire évoluer directement la fonction d’Husimi selon l’équation de Liouville (5.28), la méthode de la troncature d’Husimi revient à tirer parti de l’analogie avec une distribution classique. Étant donné un état initial |φi, elle consiste à construire un ensemble de conditions initiales (cα
s) distribuées selon
la fonction d’Husimi associés à l’état|φi. Celles-ci sont ensuite propagées selon l’équation de Gross-Pitaevskii, ce qui permet d’accéder à la représentation à tout instant de l’état quantique dans l’espace des phases. Ce type de méthodes per- met notamment de montrer qu’un état cohérent ne reste pas nécessaire cohérent et d’ainsi résoudre le fameux échec du champ moyen (break-down of mean-field en anglais) [Castin et Dum 1997, Anglin et Vardi 2001]. Nous nous proposons maintenant de vérifier la validité de la méthode de la troncature d’Husimi pour un faible nombre de particules. Pour l’ensemble des simulations qui vont être présentées, nous nous placerons dans le cas M = 3 en prenant des conditions
aux limites de Dirichlet, c’est-à-dire que les sites s = 1, 3 ne sont pas couplés entre eux. Nous représentons sur la figure5.6l’évolution de la position moyenne d’un paquet d’onde, initialement décrit par un état cohérent SU(3)avec N =30,
c1 = √0.5, c2 = √0.25 et c3 = i√0.25. La courbe bleue correspond au calcul de
diagonalisation exacte, la dynamique étant connue à partir de l’établissement des vecteurs et valeurs propres de (5.7). La courbe verte provient aussi d’un calcul de diagonalisation exacte, en utilisant cette fois une méthode approchée, la pro- cédure de Lánczos décrite en annexeC. La courbe rouge représente l’évolution du paquet suivant la méthode de la troncature d’Husimi : elle correspond à la trajectoire moyenne d’un ensemble de 1 000 conditions initiales (c1, c2, c3) dont
la distribution statistique reproduit la fonction d’Husimi de l’état initial. Enfin, la courbe cyan représente l’évolution d’une trajectoire unique par l’équation de Gross-Pitaevskii dont l’état initial est c1=√0.5, c2 =√0.25 et c3 =i√0.25.
On observe tout d’abord que l’approximation de Lánczos permet de diagona- liser le hamiltonien en introduisant une erreur négligeable, les ronds bleus et la courbe verte se recouvrant parfaitement. La méthode de la troncature d’Husimi, montrée en rouge, permet d’obtenir le bon comportement du système malgré
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 t −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 x
FIGURE 5.6 – Évolution de la position moyenne d’un paquet x(t), initialement décrit par un état cohérent SU(3) avec N = 30, c1 = √0.5, c2 = √0.25 et c3 =
i√0.25. Les autres paramètres sont V0 =7, F=0.1 et g1DN =0.2. Les ronds bleus
représentent un calcul de diagonalisation exacte, la courbe verte un calcul dans l’approximation de Lánczos, la courbe rouge une évolution suivant la méthode de la troncature d’Husimi et enfin la courbe cyan représente la solution de l’équation de Gross-Pitaevskii.
quelques divergences avec le résultat exact. Cela n’a rien de surprenant car nous avons postulé que la fonction d’Husimi pouvait simuler l’effet du bruit quan- tique, c’est en réalité un problème complexe qui fait actuellement l’objet d’un débat dans la communauté scientifique [Sinatra et al. 2002,Trimborn et al. 2009]. Enfin, dans ce cas où le nombre de particules est très faible, l’équation de Gross- Pitaevskii aboutit à une trajectoire, représentée en cyan, qui à l’exception des pre- miers instants considérés ne correspond absolument pas au résultat de la dia- gonalisation exacte. Dans ce cas où le nombre de particules est assez faible et donc où le bruit quantique a une influence majeure, il n’est pas surprenant de constater l’échec de l’équation de Gross-Pitaevskii. En revanche, l’approche de la troncature d’Husimi qui repose également sur une approximation de champ moyen permet d’approcher la solution exacte de façon satisfaisante.
L’équation de Gross-Pitaevskii n’a de sens que lorsque la largeur de la fonc- tion d’Husimi est négligeable, c’est-à-dire pour un grand nombre de particules. Nous montrons maintenant l’évolution de la position moyenne du paquet pour N = 500 et pour les mêmes paramètres que la figure5.6. Pour un tel nombre de
particules, nous avons pu diagonaliser directement le hamiltonien uniquement à partir de l’approche de Lánczos (courbe verte). Contrairement au cas précédent, l’équation de Gross-Pitaevskii (courbe cyan) décrit correctement les premières oscillations du paquet ; néanmoins, elle ne reproduit pas du tout leur atténuation progressive vers une valeur à peu près constante. La méthode de la troncature
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 t −0.7 −0.6 −0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 x
FIGURE 5.7 – Évolution de la position moyenne d’un paquet x(t), initialement décrit par un état cohérent SU(3) avec N = 500, c1 = √0.5, c2 = √0.25 et c3 =
i√0.25. Les autres paramètres sont V0 =7, F=0.1 et g1DN =0.2. La courbe verte
représente un calcul de diagonalisation exacte, dans l’approximation de Lánczos, la courbe rouge une évolution suivant la méthode de la troncature d’Husimi et enfin la courbe cyan représente la solution de l’équation de Gross-Pitaevskii.
d’Husimi permet d’aboutir à cet effet de brouillage des oscillations. Ainsi, la prise en compte du bruit quantique est encore nécessaire pour N =5004.