Vraisemblance multimodale

Considérer une unique mesure par itération peut conduire à une mauvaise estimation. En particulier, dans le cas de séquences d'images très bruitées ou avec un fouillis1 d'arrière plan important, le module de détection peut être perturbé par les ambiguïtés générées et fournir une mauvaise observation de l'état. Un moyen de contourner ce problème est de considérer plusieurs mesures simultanément.

Nous présentons ici une extension du système conditionnel non linéaire gaussien précé-dent pour le problème de trajectographie dans une séquence d'images bruitées. On consi-dère ainsi la même densité de prédiction estimée sur les images :

x_k = f_k|I (x_k−1) + w_k, w_k|I_0:k ; N (wk ; 0, Q_k|I). (5.59) Le problème d'association des mesures est pris en compte au travers de la vraisemblance. On rappelle les notations utilisées : au temps k, on note zkle vecteur de mesures constitué des Mkobservations disponibles {zk,m}_m=1...Mk. Celles-ci ont été obtenues dans une fenêtre

1Le terme fouillis désigne la présence de nombreuses zones de l'arrière plan de l'image ambigües par rapport à l'entité suivie.

de validation de volume Vk(dont nous détaillerons l'obtention dans le paragraphe suivant) ; et Φk∈ {0, ..., M_k} la variable aléatoire associée aux évènements d'associations :

Φ_k= 

j si zk,j est générée par l'état caché,

0 si toutes les observations sont des fausses alarmes. ^(5.60) On suppose qu'une mesure peut provenir d'un objet ou être une fausse alarme, et on sup-pose qu'un objet peut être à l'origine d'au plus une mesure. Ces hypothèses d'association impliquent la dépendance des associations des diérentes observations. Les évènements {Φ_k= j}j=0...M_k sont alors exhaustifs et mutuellement exclusifs. Par l'utilisation du théo-rème des probabilités totales, la vraisemblance s'exprime :

p(zk|x_k, I0:k) = M_k X j=0 βk,j p(zk|Φ_k= j, xk, I0:k) (5.61) où βk,j, p(Φk= j|xk, I0:k) j = 0...Mk (5.62) En supposant d'une part l'indépendance des mesures zk,m conditionnellement à xk, I_0:k et à l'évènement Φk= j, on obtient : p(z_k|x_k, I_0:k) = Mk X j=0 β_k,j Mk Y m=0 p(z_k,m|Φ_k= j, x_k, I_0:k) (5.63) En supposant d'autre part que la vraie mesure est reliée linéairement à l'état caché avec un bruit additif gaussien, et que les fausses mesures sont réparties uniformément dans la fenêtre de validation, la vraisemblance s'écrit :

p(z_k|x_k, I_0:k) = β_k,0V^−Mk k + Mk X j=1 [β_k,j V^1−Mk k N (z_k,j ; H_k|I,j x_k, R_k|I,j)] (5.64) An d'estimer les probabilités d'association βk,j = p(Φ_k = j|x_k, I_0:k), nous proposons l'approximation suivante :

βk,j ' p(Φ_k= j|I0:k), (5.65)

ce qui signie que ces probabilités d'association peuvent être estimées directement sur les images. De plus, on fait l'approximation importante que la probabilité d'observer unique-ment des fausses alarmes est nulle. Cela se traduit par βk,0= 0, ce qui implique l'expression suivante de la vraisemblance, qui correspond alors à un mélange de lois gaussiennes :

p(zk|x_k, I0:k) = V^1−Mk k Mk X j=1 βk,j N (z_k,j ; H_k|I,j xk, R_k|I,j), (5.66) où les matrices Hk|I,j et Rk|I,jsont associées à la jème mesure. Ce choix dière par rapport aux approches classiques. Il peut être problématique dans la situation où aucune bonne mesure n'est observée, ce qui est le cas lors d'occlusion de l'entité suivie. Cependant, cette décience potentielle peut être compensée de manière avantageuse par des estimations en-ligne des covariances de bruits des mesures Rk|I,j. En cas d'occlusion, si ces covariances

112 5.3 Modèles conditionnels non linéaires gaussiens : deux cas particuliers

sont xées à ∞ × Id, aucune mesure ne sera prise en compte, ce qui équivaut à poser la probabilité d'avoir aucune observation valable non nulle. Enn, ce choix permet de considérer un modèle qui autorise l'utilisation de la fonction d'importance optimale dans la phase d'échantillonnage des particules. Ce dernier point est essentiel, et représente un avantage important de notre approche.

On considère ainsi le système suivant : ( p(xk|x_k−1, I0:k) = N (xk ; f_k|I (xk−1), Q_k|I) p(zk|x_k, I0:k) = V^1−Mk k PMk j=1 βk,j N (z_k,j ; H_k|I,j xk, R_k|I,j). (5.67) On rappelle que l'utilisation de la fonction d'importance optimale nécessite la connaissance de la distribution p(xk|x_k−1, zk, I0:k)pour échantillonner les particules et de la distribution p(z_k|x_k−1, I_0:k) pour la mise à jour des poids.

En appliquant l'égalité (5.53), on obtient une expression de la distribution utile au calcul des poids. Cette expression correspond à un mélange de lois gaussiennes (la démonstration est disponible en annexe D) :

p(zk|x⁽ⁱ⁾_k−1, I0:k) = V^1−Mk k Mk X j=1

β_k,j N ^z_k,j ; H_k|I,j f_k|I (x⁽ⁱ⁾_k−1) , R_k|I,j+ H_k|I,j Q⁽ⁱ⁾_k|I H_k|I,j^{t }. (5.68) En utilisant les expressions du système (5.67), et l'expression (5.68) dans l'égalité (5.54), on obtient la formulation suivante de la fonction d'importance optimale (la démonstration est également disponible en annexe D) :

p(xk|x⁽ⁱ⁾_k−1, zk, I0:k) = Mk X j=1 βk,j α_k,j S_k ^{N (xk ; mk|I,j , Σk|I,j)} (5.69) avec S_k = Mk X j=1

β_k,j N ^z_k,j ; H_k|I,j f_k|I (x_k−1⁽ⁱ⁾ ) , R_k|I,j+ H_k|I,j Q⁽ⁱ⁾_k|I H_k|I,j^{t } (5.70)

Σ_k|I,j=^Q^{(i) −1}_k|I + H_k|I,j^t R⁻¹_k|I,j H_k|I,j^

−1

(5.71) m_k|I,j = Σ_k|I,j ^Q^{(i) −1}_k|I f_k|I (x⁽ⁱ⁾_k−1) + H_k|I,j^t R⁻¹_k|I,j z_k,j ^ (5.72)

α_k,j= C exp  −¹ 2  kf_k|I (x⁽ⁱ⁾_k−1)k² Q^{(i) −1}_k|I + kz_k,jk² R⁻¹_k|I,j − km_k|I,jk² Σ⁻¹_k|I,j  (5.73) où C = (2π)^−nz2 |Σ_k|I,j|¹2 |Q_k|I⁽ⁱ⁾|⁻¹2 |R_k|I,j|⁻¹2 (5.74) On rappelle que nz est la dimension de la mesure zk. L'expression (5.69) est un mélange de lois gaussiennes (la preuve est donnée en annexe D). Bien que les expressions (5.68),

(5.69) utilisées dans l'algorithme du ltre non linéaire conditionnel paraissent complexes, elles conduisent en pratique à un algorithme ecace et simple à implémenter puisque les densités mises en jeu sont uniquement des lois normales.

Le système conditionnel décrit ici est très intéressant car il permet à la fois de consi-dérer plusieurs observations de façon simultanée, et d'autoriser l'utilisation de la fonction d'importance optimale. En pratique, cela permet de diuser les particules de manière à les faire visiter les zones de forte vraisemblance, dénies par les diérentes mesures. Dans le cadre du suivi dans une séquence, un tel système permet de lever les ambiguïtés générées par un fouillis d'arrière plan par exemple.

Remarque : Pour dénir la vraisemblance (5.66) prenant en compte diérentes observations de l'état, nous avons fait l'hypothèse classique d'indépendance des mesures z_k,m conditionnellement à xk, Φk = j, (et I0:k dans notre contexte). Cette hypothèse d'indépendance n'est pas exacte en traitement d'image. En eet, dans ce contexte, les fausses mesures sont souvent dues à des ambiguïtés, c'est-à-dire qu'elles correspondent à des zones de l'image qui sont similaires. Une telle hypothèse peut alors apparaître abusive. L'étude d'un modèle prenant en compte cette corrélation est une perspective intéressante. En plus de permettre l'utilisation d'une phase d'échantillonnage ecace par la fonction d'importance optimale, les deux systèmes conditionnels non linéaires gaussiens décrits dans cette section permettent d'inférer simplement une fenêtre de validation des mesures.