Extension à un algorithme robuste aux ambiguïtés

L'estimation de la covariance du bruit d'observation permet d'évaluer la qualité de la mesure fournie par le critère de ssd. Elle permet notamment de limiter l'importance de cette information dans le cas d'ambiguïtés locales autour de cette mesure. En eet, on rappelle que dans une telle situation, la surface de corrélation (ssds) présente de nombreux pics signicatifs. La covariance estimée rend compte de cette incertitude.

La gestion des éventuelles erreurs réparties globalement sur l'image  dues notamment à un fouillis d'arrière plan important  est plus problématique. Malgré l'utilisation de

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Algorithme 17 tfnlc : algorithme de trajectographie d'un point dont le mouvement ne peut être décrit que localement

• initialisation :

pour i = 1...N, générer x(i)

0 ∼ p(x₀|I₀), et xer w(i)

0 = 1/N pour k = 1, 2, ...

• estimations sur I0:k :

1. calcul de zk dans validk par ssd en utilisanteI0 et estimation de Rk|I

2. pour i = 1...N, estimation de θk|I(x⁽ⁱ⁾_k−1) et Q(i)

k|I à l'aide d'une estimation diéren-tielle et robuste du mouvement ane dominant sur une région autour de x(i)

k−1

• échantillonnage pondéré séquentiel : 1. échantillonnage :

pour i = 1...N, générer x(i)

k ∼ p(x_k|x⁽ⁱ⁾_k−1, zk, I0:k) avec p(xk|x⁽ⁱ⁾_k−1, zk, I0:k) = N (xk; m_k|I, Σ_k|I)

Σ_k|I= (Q^{(i) −1}_k|I + R⁻¹_k|I)⁻¹

m_k|I= Σ_k|I (Q^{(i) −1}_k|I [x⁽ⁱ⁾_k−1+ P (x_k−1⁽ⁱ⁾ ) θ_k|I(x⁽ⁱ⁾_k−1) ] + R⁻¹_k|I z_k) 2. mise à jour des poids d'importance :

pour i = 1...N, calculer w(i)

k = p(z_k|x⁽ⁱ⁾_k , I_0:k), avec

p(z_k|x⁽ⁱ⁾_k , I_0:k) = N (z_k ; x⁽ⁱ⁾_k−1+ P (x⁽ⁱ⁾_k−1) θ_k|I(x⁽ⁱ⁾_k−1) , R_k|I+ Q⁽ⁱ⁾_k|I) 3. normalisation des poids

• estimation de la position du point

• mise à jour éventuelle de la caractérisation référenceeI₀ par recalage ane • rééchantillonnage si nécessaire

fenêtres de validation réduisant l'espace de recherche, le suivi peut être perturbé par des zones de l'image très similaires à la caractérisation de référence du point.

An de traiter ces situations, nous proposons de considérer plusieurs observations {z_k,j}_j=1...Mk du même point par itérations. Ces observations correspondent aux positions associées aux Mk meilleurs scores de corrélation. Sous les hypothèses que (a) la vraie mesure est reliée linéairement à l'état caché avec un bruit additif gaussien, (b) les fausses mesures sont réparties uniformément dans la fenêtre de validation et (c) la probabilité d'avoir uniquement des fausses mesures est nulle, il est possible d'utiliser la vraisemblance suivante : p(z_k|x_k, I_0:k) ∝ M_k X j=1 β_k,j N (z_k,j ; x_k, R_k|I,j), (7.22) qui consiste en fait en une généralisation directe du cas où une unique observation est utilisée. Les coecients βk,j se rapportent à la probabilité que la vraie mesure au temps ksoit la jème. Dans notre application, ces coecients sont choisis proportionnels au score de corrélation des observations associées, de telle sorte que PMk

j=1β_k,j = 1.

L'hypothèse (c) peut paraître problématique en cas d'occlusions. Cependant, cette décience potentielle peut être compensée de manière avantageuse par les estimations en-ligne des covariances de bruits des mesures Rk|I,j. Ces matrices sont estimées de manière similaire au cas mono-mesure. Ainsi, lors d'une occlusion, ces matrices seront xées à ∞ × Id. Cela correspond à ne prendre en compte aucune mesure dans l'estimation de la position du point, ce qui équivaut en pratique à poser la probabilité d'avoir aucune observation valable non nulle.

Remarque : Pour le calcul des matrices {Rk|I,j}_j=1...Mk, il serait intéressant de les évaluer en estimant les paramètres d'un mélange de Mk lois gaussiennes, centrées en les observations {zk,j}_j=1...Mk, sur la région de validation. Un algorithme de type em pourrait par exemple être employé.

Dans le cas d'un point appartenant à une zone de mouvement secondaire, l'association de cette vraisemblance (7.22) avec la dynamique (7.7) amène au système décrit par les distributions suivantes :

(

p(x_k|x_k−1, I_0:k) = N (x_k ; x_k−1+ P (x_k−1)θ_k|I(x_k−1), Q_k|I) p(zk|x_k, I0:k) ∝PMk

j=1 βk,j N (z_k,j ; xk, R_k|I,j) (7.23) Tout comme dans le cas mono-mesure, on remarque que ce système appartient à la famille des système conditionnels partiellement linéaires gaussiens étudiés dans le chapitre 5 (Ÿ5.3, p. 108). Il permet à la fois d'échantillonner les particules avec la fonction d'importance optimale, et de dénir simplement une région de validation. L'algorithme mis en place, décrit par la méthode 18, est simplement une extension de l'algorithme 17. Par la suite, nous le nommerons algorithme tfnlc multi-mesures.

En ce qui concerne le suivi d'un point appartenant au support du mouvement dominant, l'équation dynamique utilisée est linéaire. L'algorithme mis en place correspond à une

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Algorithme 18 Algorithme tfnlc multi-mesures : algorithme de suivi dédié aux situa-tions d'ambiguïtés

• initialisation :

pour i = 1...N, générer x(i)

0 ∼ p(x₀|I₀), et xer w(i)

0 = 1/N pour k = 1, 2, ...

• estimations sur I0:k :

1. calcul de {zk,j}_j=1...Mk par ssd dans validk en utilisant eI₀ et estimation de {R_k|I,j}_j=1...Mk

2. pour i = 1...N, estimation de θk|I(x⁽ⁱ⁾_k−1) et Q(i)

k|I à l'aide d'une estimation diéren-tielle et robuste du mouvement ane dominant sur une région autour de x(i)

k−1

• échantillonnage pondéré séquentiel : 1. échantillonnage :

pour i = 1...N, générer x(i)

k ∼ p(x_k|x⁽ⁱ⁾_k−1, z_k, I_0:k) avec p(x_k|x⁽ⁱ⁾_k−1, z_k, I_0:k) =PMk

j=1 β_k,j ^αk,j

Sk N (x_k ; m_k|I,j , Σ_k|I,j) Σ_k|I,j= (Q^{(i) −1}_k|I + R_k|I,j⁻¹ )⁻¹

m_k|I,j= Σ_k|I,j (Q^{(i) −1}_k|I [x⁽ⁱ⁾_k−1+ P (x_k−1⁽ⁱ⁾ ) θ_k|I(x⁽ⁱ⁾_k−1) ] + R⁻¹_k|I,j z_k,j) Les expressions de αk,j et Sk correspondent respectivement à (5.73) et (5.70). 2. mise à jour des poids d'importance :

pour i = 1...N, calculer w(i)

k = p(zk|x⁽ⁱ⁾_k , I0:k), avec p(zk|x⁽ⁱ⁾_k , I0:k) ∝

Mk

X

j=1

βk,j N^zk,j ; x⁽ⁱ⁾_k−1+ P (x_k−1⁽ⁱ⁾ ) θ_k|I(x⁽ⁱ⁾_k−1) , R_k|I,j+ Q⁽ⁱ⁾_k|I 

.

3. normalisation des poids

• estimation de la position du point

• mise à jour éventuelle de la caractérisation référenceeI0 par recalage ane • rééchantillonnage si nécessaire

version très peu modiée de l'algorithme 18. La seule diérence réside dans le choix du support de l'estimation du mouvement qui est, dans ce cas, l'image entière. Cela conduit à considérer une unique matrice Qk|I estimée pour toutes les particules.

Remarque : Pour les points appartenant au support du mouvement dominant, le modèle permettant de gérer les ambiguïtés est composé d'une équation dynamique linéaire et de la vraisemblance multimodale (7.22). Dans ce cas, une alternative à l'utilisation de l'algorithme 18 réside en l'implémentation du ltre à association de données probabilistes (Ÿ3.3 p. 65). Malgré le fait que ce ltre repose sur une approximation forte à chaque itération  qui consiste à résumer la loi de ltrage à l'instant précédent par une unique loi gaussienne  il pourrait amener des résultats satisfaisants, avec un temps de calcul nettement moins important. Cette étude comparative constitue une de nos perspectives à court terme.