Fenêtre de validation

Tout comme dans le cas linéaire, il est important de construire une fenêtre de validation qui correspond à une zone de l'image où chercher la future observation zk. Cette fenêtre est dénie à partir de la distribution p(zk|z_0:k−1, I0:k). Nous avons vu que dans le cas linéaire, cette distribution a une expression analytique calculable, ce qui n'est en général pas le cas pour un système non linéaire. Les méthodes existantes dans le cas non linéaire classique ont été décrites dans la première partie (Ÿ3.1 p.62). En particulier, nous avons vu que si l'on dispose d'une approximation discrète de p(xk−1|z_1:k−1) sous forme d'un nuage de particules pondérées (obtenu par exemple par un algorithme de ltrage particulaire), il est possible d'approcher la densité de vraisemblance de la nouvelle observation. Cela est toujours valide dans notre contexte conditionnel à la séquence.

On suppose disposer d'une approximation discrète de p(xk−1|z_1:k−1, I_0:k−1) sous la forme d'un nuage {x(i)

k−1,w_e⁽ⁱ⁾_k−1}_i=1...N. On a l'expression suivante : p(z_k|z_1:k−1, I_0:k) = Z p(z_k|x_k−1, I_0:k) p(x_k−1|z_1:k−1, I_0:k−1) dx_k−1 (5.75) ' N X i=1 e w_k−1⁽ⁱ⁾ p(z_k|x⁽ⁱ⁾_k−1, I_0:k) (5.76) Cette équation est exploitable dans le cas où une expression analytique de p(zk|x_k−1, I_0:k) est connue. Or, nous avons vu que cela est le cas pour les modèles conditionnels étudiés ici (5.52)(5.67). Ainsi, ces modèles permettent d'obtenir une approximation précise de

114 5.3 Modèles conditionnels non linéaires gaussiens : deux cas particuliers

p(z_k|z_0:k−1, I_0:k), et donc de construire une fenêtre de validation pertinente. Ce point est un avantage supplémentaire de notre approche. An de construire une solution non coûteuse en temps de calcul, il est raisonnable de considérer une approximation de la fenêtre de validation à l'aide de zones ellipsoïdales.

Cas du modèle construit avec la vraisemblance monomodale

Dans le cas du modèle associé à la vraisemblance monomodale, rappelé ici : (

p(xk|x_k−1, I0:k) = N (xk ; f_k|I (xk−1), Q_k|I)

p(z_k|x_k, I_0:k) = N (z_k ; H_k|I x_k, R_k|I), (5.77) on dispose de l'expression suivante :

p(z_k|x⁽ⁱ⁾_k−1, I_0:k) = N (z_k ; H_k|I f_k|I (x⁽ⁱ⁾_k−1) , R_k|I+ H_k|I Q⁽ⁱ⁾_k|I H_k|I^t ). (5.78) En observant les équations (5.76) et (5.78), il apparaît que la fenêtre de validation exacte est la réunion de N ellipses, où chaque ellipse est associée à une particule. La construction d'une telle région étant trop coûteuse en temps de calcul, nous proposons de l'approcher par une ellipse unique, comme cela est illustré par la gure 5.4.

Fig. 5.4: Construction de la fenêtre de validation pour le modèle (5.77). Exemple avec trois particules. À chaque particule x(i)

k−1 est associée une ellipse bleue qui correspond à p(z_k|x⁽ⁱ⁾_k−1, I_0:k). La fenêtre de validation exacte est la réunion de ces ellipses. Elle est approchée par une unique ellipse, représentée en rouge.

Pour cela, il est nécessaire de calculer les deux premiers moments de p(zk|x⁽ⁱ⁾_k−1, I_0:k) no-tés mvalid

k et Σvalid

k . Des approximations empiriques de ces quantités peuvent être obtenues en utilisant (5.76) et (5.78). En eet, une approximation de l'espérance de la distribution

de la nouvelle observation est donnée par : m^valid_k = _E[zk|z_1:k−1, I_0:k] (5.79) = Z z_k p(z_k|z_1:k−1, I_0:k) dz_k (5.80) ' N X i=1 e w⁽ⁱ⁾_k−1 Z zk p(zk|x⁽ⁱ⁾_k−1, I0:k) (5.81) ' N X i=1 e

w⁽ⁱ⁾_k−1 H_k|I f_k|I (x⁽ⁱ⁾_k−1). (5.82) En ce qui concerne le deuxième moment de le distribution, on a (la démonstration est donnée en annexe D) : Σ^valid_k = var[zk|z_1:k−1, I0:k] (5.83) ' N X i=1 e

w_k−1⁽ⁱ⁾ [R_k|I+ H_k|I Q⁽ⁱ⁾_k|I H_k|I^t + kH_k|I f_k|I (x⁽ⁱ⁾_k−1)k²]

−k

N

X

i=1

e

w_k−1⁽ⁱ⁾ H_k|I f_k|I (x⁽ⁱ⁾_k−1)k² (5.84)

À partir de ces expressions, on peut écrire l'approximation suivante :

p(zk|z_1:k−1, I0:k) ' N (zk; m^valid_k , Σ^valid_k ) (5.85) et on peut donc dénir simplement la fenêtre de validation validk comme étant l'ellipsoïde dont l'équation est :

valid_k = {z_k : (z_k− m^valid_k )^t Σ^valid_k ⁻¹ (z_k− m^valid_k ) ≤ γ}. (5.86) Ainsi, en plus de permettre l'utilisation de la fonction d'importance optimale, le modèle (5.77) présente l'avantage de permettent une dénition simple d'une fenêtre de validation. Cas du modèle construit avec la vraisemblance multimodale

Dans le cas du modèle associé à la vraisemblance multimodale, rappelé ici : ( p(xk|x_k−1, I0:k) = N (xk ; f_k|I (xk−1), Q_k|I) p(zk|x_k, I0:k) = V^1−Mk k PMk j=1 βk,j N (z_k,j ; H_k|I,j xk, R_k|I,j). (5.87) on dispose de l'expression suivante :

p(z_k|x⁽ⁱ⁾_k−1, I_0:k) = V^1−Mk k Mk X j=1

116 5.3 Modèles conditionnels non linéaires gaussiens : deux cas particuliers

Une fois encore, il est possible d'appliquer la relation (5.76). On remarque alors que la fenêtre de validation exacte correspond à l'union de N × Mkellipses, où N est le nombre de particules et Mk le nombre de mesures disponibles au temps k. De manière similaire au cas précédent, an de réduire le temps de calcul, nous ne souhaitons pas considérer directement cette région exacte. La solution proposée est une extension directe de la solution étudiée dans le cas d'une vraisemblance monomodale. L'idée consiste à approcher la région de validation par la réunion de Mk ellipses (ou modes). Elle est illustrée par la gure 5.5.

Fig. 5.5: Construction de la fenêtre de validation pour le modèle (5.87). Exemple avec trois particules et deux mesures. À chaque particule x(i)

k−1 est associée une ellipse bleue qui correspond à p(zk,1|x⁽ⁱ⁾_k−1, I0:k), et donc à la première mesure ; et une ellipse jaune qui correspond à p(zk,2|x⁽ⁱ⁾_k−1, I_0:k), et donc à la deuxième mesure. La fenêtre de validation exacte est la réunion de ces ellipses. Elle est approchée par deux ellipses, représentées en rouge. Ces deux ellipses rouges correspondent à une approximation de l'union des ellipses respectivement bleues et jaunes, et sont associées aux mesures respectivement 1 et 2.

On obtient alors la fenêtre de validation validk dénie par valid_k =

M_k

[

j=1

Ψ_j (5.89)

où chaque ellipse Ψj correspond à la mesure j et est décrite par :

Ψj = {z_k,j : (z_k,j− m^valid_k,j )^t Σ^valid_k,j ⁻¹ (z_k,j− m^valid_k,j ) ≤ γ}. (5.90) dont les expressions des deux paramètres mvalid

k,j et Σvalid

k,j sont déduites du cas monomodal : m^valid_k,j '

N

X

i=1

e

w_k−1⁽ⁱ⁾ H_k|I,j f_k|I (x⁽ⁱ⁾_k−1), (5.91)

Σ^valid_k,j '

N

X

i=1

e

w_k−1⁽ⁱ⁾ [R_k|I,j+ H_k|I,j Q⁽ⁱ⁾_k|I H_k|I,j^t + kH_k|I,j f_k|I (x⁽ⁱ⁾_k−1)k²]

−k

N

X

i=1

e

On en conclut que les modèles de type (5.87) permettent à la fois de considérer plu-sieurs mesures, d'échantillonner les particules selon la fonction d'importance optimale, et de construire simplement une région de validation pertinente.

Remarque 1 : Dans le cas du modèle avec la vraisemblance multimodale, il est nécessaire de connaître le nombre de mesures disponibles au temps k, avant même de construire la fenêtre de validation ou celles-ci seront recherchées. Cela peut paraître contradictoire. Cependant, alors que dans le cadre de suivi radar, le nombre de fausses alarmes n'est pas connu à l'avance, celui-ci peut raisonnablement être xé pour des applications de trajectographie dans des séquences d'images. En eet, nous avons vu que dans ce cadre, pour des stratégies Top-Down, l'observation est obtenue par un module de détection. S'il est nécessaire de traiter plusieurs mesures pour lever des ambiguïtés possibles, les observations disponibles correspondent à un nombre xé de meilleurs candidats résultant du module de détection.

Remarque 2 : Dans le même esprit que la remarque précédente, on peut noter que pour les deux modèles décrits ici, il est nécessaire de connaître les matrices Hk|I et Rk|I (Hk|I,j

et Rk|I,j dans le cas multimodal) pour construire la fenêtre de recherche de la mesure au temps k. Or, ces matrices décrivent le lien entre l'état et la (les) mesure(s) au temps k. Dans le cas où elles sont estimées en fonction de zk, et donc ne sont pas disponibles susamment tôt, une approche raisonnable consiste à les remplacer par Hk−1|I et Rk−1|I

(Hk−1|I,j et Rk−1|I,j dans le cas multimodal) pour la phase de validation.