Modèle linéaire gaussien : ltre à association de données probabiliste

N (z_k,m; h_k(x_k), R_k) j = m

V_k⁻¹ j = 0...Mk ; j 6= m (3.13)

Remarque : En pratique, le choix du paramètre λ peut être dicile. Dans le cas où au-cune information n'est disponible, une alternative simple au modèle de Poisson est le modèle uniforme. On considère alors que la probabilité d'avoir l fausses alarmes est constante et ne dépend pas de l. Ce modèle est peu répandu.

3.3 Modèle linéaire gaussien : ltre à association de données

probabiliste

Le ltre à association de données probabiliste (pdaf : probabilistic data association lter) [BarShalom 75] [BarShalom 95] [Kirubarajan 04] est une extension du ltre de Kalman dédiée au ltrage d'un objet unique évoluant dans un environnement bruité. Cet algorithme se décompose donc en deux étapes, prédiction et correction. La prise en compte des diérentes hypothèses d'association est faite au travers du calcul de

66 3.3 Modèle linéaire gaussien : ltre à association de données probabiliste

l'innovation.

On se place dans le cadre linéaire gaussien : 

xk= Fk xk−1+ wk

z_k,m= H_k x_k+ v_k si zk,m n'est pas une fausse alarme ^(3.14) où wk et vk sont des bruits blancs gaussiens indépendants entre eux de matrices de cova-riance respectives Qket Rk. Pour simplier la résolution du problème, l'information passée décrite par la loi de ltrage au temps k − 1 est résumée par une loi gaussienne :

p(xk−1|z_1:k−1) = N (xk; ˆx_k−1|k−1, Σ_k−1|k−1). (3.15) Résumer le passé aux seules informations disponibles à l'instant précédent représente bien une approximation puisque l'état du ltre à l'instant k dépend aussi des hypothèses d'associations formulées dans le passé. Cette formulation revient à approcher une somme de densités gaussiennes par une unique densité gaussienne.

Étape de prédiction

À partir de l'expression (3.15), la loi prédite est estimée de façon similaire au ltre de Kalman classique (c.f. paragraphe 1.1, p. 21) :

p(x_k|z_1:k−1) = N (x_k; ˆx_k|k−1, Σ_k|k−1), (3.16) où les deux premiers moments sont exprimés par :

ˆ

x_k|k−1= F_k ˆx_k−1|k−1 (3.17)

Σ_k|k−1= F_k Σ_k−1|k−1 F_k^t+ Q_k. (3.18) Étape de correction

La diculté vient de l'estimation des moments de la loi corrigée

p(x_k|z_1:k) = N (x_k; ˆx_k|k, Σ_k|k). (3.19) Compte tenu du caractère exclusif et exhaustif des hypothèses d'association, sur le même principe que (3.11), l'estimateur optimal (au sens de la minimisation de la variance d'erreur d'estimation) s'écrit : ˆ x_k|k= E[xk|z_1:k] = Mk X j=0 p(Φ_k = j|z_1:k) E[xk|z_1:k, Φ_k = j] = Mk X j=0 βk,j E[xk|z_1:k, Φk= j]. (3.20) où βk,j, p(Φk= j|z_1:k) j = 0...M_k (3.21)

Par analogie avec le ltre de Kalman, on peut remarquer que dans le cas où l'ensemble des observations sont des fausses alarmes, on a :

E[xk|z_1:k, Φ_k= 0] = ˆx_k|k−1, (3.22) et que l'estimée de l'état, conditionnellement au fait que la jème mesure soit issue de l'état caché, s'écrit :

E[xk|z_1:k, Φ_k = j] = ˆx_k|k−1+ K_{k e}z_k,j ∀j = 1...M_k. (3.23) Le gain Kk a la même expression que dans le cas classique du ltre de Kalman et ezk,j = z_k,j− H_kx_k désigne l'innovation associée à la mesure zk,j.

En remplaçant (3.22) et (3.23) dans (3.20), l'équation de mise à jour de l'état devient : ˆ x_k|k= ˆx_k|k−1+ K_k Mk X j=1 β_{k,j e}z_k,j, (3.24)

et la mise à jour de sa covariance associée se fait selon l'équation suivante (la démonstration, non triviale, est décrite dans [BarShalom 95]) :

Σ_k|k = βk,0 Σ_k|k−1+ (1 − βk,0) Σ^c_k+ eΣk. (3.25) La covariance de l'état corrigée par la mesure correcte est donnée par :

Σ^c_k= (Id − Kk Hk) Σ_k|k−1. (3.26)

L'incertitude sur les mesures se traduit par une augmentation de la covariance d'estimation à travers la matrice semi dénie positiveΣe_k dont l'expression est :

e Σ_k= K_k [ Mk X j=1 β_{k,j e}z_{k,j e}z^t_k,j−z_{ek e}z^t_k] K_k^t. (3.27) On rappelle les expressions suivantes :

K_k= Σ_k|k−1 H_k^t (H_k Σ_k|k−1 H_k^t+ R_k)⁻¹ (3.28) e

z_k,j = z_k,j− H_kx_k (3.29)

ezk=PMk

j=1βk,j ezk,j. (3.30)

Calcul des probabilités d'association

Pour évaluer les probabilités a posteriori d'associations {βk,j}_j=0...Mk, le modèle de fausses alarmes décrit précédemment est utilisé. On a :

β_k,j, p(Φk= j|z_1:k) = p(Φ_k = j|M_k, z_1:k). (3.31) En utilisant la règle de Bayes, et l'indépendance conditionnelle des observations, cette expression devient : β_k,j = C p(Φ_k= j|M_k, z_1:k−1) p(z_k|Φ_k= j, M_k, z_1:k−1) = C p(Φ_k= j|M_k, z_1:k−1) Mk Y m=1 p(z_k,m|Φ_k= j, M_k, z_1:k−1) (3.32)

68 3.3 Modèle linéaire gaussien : ltre à association de données probabiliste

où C est une constante de normalisation telle que PM_k

j=0β_k,j = 1. En utilisant le modèle décrit dans le paragraphe 3.2, et en supposant que la densité de la mesure correcte est gaussienne, centrée en la mesure prédite zk|k−1 de covariance Sk (hypothèse déduite de (3.15)), la densité jointe de l'ensemble des observations validées conditionnellement à Φk= j et aux mesures passées s'écrit :

p(z_k|Φ_k= j, M_k, z_1:k−1) = ( V^−Mk+1 k P_g⁻¹N (_ez_k,j; 0, S_k) j = 1...M_k V^−Mk k j = 0 (3.33)

Enn, les probabilités d'association a priori s'écrivent (c.f. [BarShalom 95]) : p(Φ_k= j|M_k, z_1:k−1) = p(Φ_k= j|M_k) = ( 1 D Pd Pg M_k j = 1...Mk 1 D (1 − Pd Pg) ^µ(Mk) µ(M_k−1) j = 0 (3.34) avec D = P_dP_g+ (1 − P_d P_g) ^µ(Mk) µ(Mk− 1)^. (3.35)

µ(.) est la probabilité du nombre de fausses alarmes validées. Pd est la probabilité d'avoir détecté la mesure correcte et Pg la probabilité de fenêtrage choisie pour le test de validation des mesures.

Le ltre à association de données probabiliste en résumé

Le pdaf est résumé par l'algorithme 14. Il est dédié au problème de la trajectographie d'une entité évoluant dans un environnement bruité, modélisé par un système linéaire gaussien. Cette méthode est une extension du ltre de Kalman permettant de résoudre conjointement le problème de ltrage linéaire gaussien et le problème d'association de mesures.

Ses principaux avantages sont sa facilité de mise en ÷uvre et sa faible complexité (à peine supérieure à celle du Kalman classique). Cependant, il repose sur l'hypothèse forte (3.15) qui suppose qu'à chaque pas de temps la loi de ltrage est bien représentée par une unique loi gaussienne. Elle est en réalité égale à une somme de gaussiennes. Le pdaf est mis en défaut lorsque cette approximation est mauvaise, en particulier dans des situations riches en fausses alarmes.

Filtre bayésien optimal

De part l'hypothèse (3.15) qui résume la loi de ltrage par une unique loi gaussienne, le pdaf est un ltre sous-optimal. La version exacte de cet algorithme est appelée ltre bayésien optimal [Singer 74]. La diérence essentielle réside dans le fait que la décom-position de l'estimée de l'état ˆxk|k est faite sur l'ensemble des associations possibles du temps initial au temps k et non uniquement sur les associations possibles des mesures nouvellement disponibles (cf. équation (3.20)). La probabilité d'association de la séquence d'observations z1:k doit être calculée. Dans le cas linéaire gaussien, le ltre bayésien opti-mal estime de façon exacte la densité de ltrage qui est un mélange de gaussiennes. Une description détaillée de cet algorithme est disponible dans [BarShalom 95], [Dezert 01], [Hue 03].

Algorithme 14 Filtre à association de données probabiliste • initialisation : ˆx0|0 = ˆx0, Σ0|0 = Σ0 pour k = 1, 2, ... • prédiction : ˆ x_k|k−1= F_k xˆ_k−1|k−1 Σ_k|k−1= Fk Σ_k−1|k−1 F_k^t+ Qk z_k|k−1= H_k x_k|k−1 S_k= H_k Σ_k|k−1 H_k^t+ R_k (3.36) • association :

1. Calcul de l'ellipse de validation de volume Vk à partir de p(zk|z_1:k−1) = N (z_k; z_k|k−1, S_k)

2. Sélection des Mk mesures contenues dans l'ellipse de validation

3. Calcul des probabilités d'association {βk,j}_j=0...Mk avec (3.32), (3.33) et (3.34) • correction : e z_k,j = z_k,j− H_kx_k ez_k=PMk j=1β_{k,j e}z_k,j Kk= Σ_k|k−1 H_k^t (Hk Σ_k|k−1 H_k^t+ Rk)⁻¹ Σ^c_k= (Id − Kk Hk) Σ_k|k−1 e Σ_k= K_k [PMk j=1β_{k,j e}z_{k,j e}z^t_k,j−_ez_{k e}z^t_k] K_k^t Σ_k|k = β_k,0 Σ_k|k−1+ (1 − β_k,0) Σ^c_k+ eΣ_k ˆ x_k|k= ˆx_k|k−1+ K_k PMk j=1β_{k,j e}z_k,j (3.37)

Bien qu'optimal du point de vue théorique, ce ltre est inutilisable en pratique car le nombre de modes de la loi estimée croît exponentiellement avec le temps. La mémoire et la capacité de calcul nécessaires à sa mise en ÷uvre augmentent donc de manière exponentielle. Il est possible d'envisager de nouveaux algorithmes limitant le nombre d'associations possibles à gérer. C'est le cas de l'algorithme track split lter [Smith 95] qui consiste à éliminer les séquences les moins vraisemblables, ou des techniques de réduction de mélange [Salmond 90]. Enn, des ltres à mémoire limitée peuvent être construits comme intermédiaires entre le ltre bayésien optimal et le ltre à association de données probabiliste [Singer 74].

Remarque : D'autres algorithmes utilisables dans le cadre ltrage mono-objet en en-vironnement bruité ont été développés, tels que le ltre probabiliste à hypothèses