4.1. Notions de VER
Les méthodes de transition d’échelles, qu’elles soient « analytiques » (modèles d’homogénéisation) ou numériques sont fondées sur la notion de VER.
Avant même de définir un VER, la toute première étape concerne le choix de l’échelle de description (voir par exemple (Zaoui 1992)). Le paramètre qui gouverne ce choix est la taille des hétérogénéités structurales prises en compte, qui est lui-même conditionné par les
propriétés que l’on cherche à décrire. Il convient en effet de ne pas descendre en vain à un niveau plus fin que celui nécessaire pour rendre compte des propriétés qu’on cherche à analyser (notion « d’échelle pertinente » pour une propriété donnée). Par ailleurs, la taille choisie doit rester toujours plus grande qu’une taille critique (liée à la structure fine du matériau étudié) au-dessous de laquelle les outils de la Mécanique des Milieux Continus deviendrait inopérants.
L’enjeu est ensuite de définir un Volume Elémentaire Représentatif (VER) du matériau hétérogène étudié, volume qui devra être suffisamment petit par rapport à la taille caractéristique de l’hétérogénéité considéré et dont le comportement global puisse être considéré comme homogène équivalent (voir par exemple Bornert et al. 2001).
En mécanique des matériaux hétérogènes, la notion de VER est d’une importance cruciale. Plusieurs définitions ont été proposées dans la littérature depuis les travaux de (Hill 1963). Une revue des différentes propositions dues à (Sab 1992), (Ostoja-Starsweski 1998), (Drugan & Willis 1996), (Trias et al. 2006) etc… peut être trouvée dans les travaux de (Pelissou et al. 2009).
On peut globalement distinguer deux grandes catégories de VER. La première est fondée sur la connaissance de la nature statistique de la microstructure (notion de VER « morphologique »). Un tel VER doit être suffisamment grand pour être morphologiquement représentatif du matériau, c'est-à-dire incluant l’échantillonnage de toutes les hétérogénéités microstructurales présentes (voir par exemple (Kanit et al. 2003)). La seconde classe est fondée sur la notion de propriété à estimer (on parlera ici de VER « mécanique »). Dans ce cas, un VER doit assurer une certaine précision sur la propriété/réponse recherchée. En simulations de microstructures, celle-ci est estimée à partir des moyennes volumiques des champs locaux de contrainte, de déformation ou d’énergie (cadre des méthodes des moyennes). Il n’y a pas forcément coïncidence entre les deux, sauf dans le cas particulier des milieux périodiques.
4.2. Détermination de la taille de VER
Le VER « morphologique » correspond au plus petit élément de volume statistiquement représentatif de la morphologie du matériau, c'est-à-dire que les mesures morphologiques (par exemple la covariance) seront les mêmes pour des volumes plus grands.
Le VER « mécanique » va dépendre de la morphologie des constituants, de leur fraction volumique, mais aussi de leur comportement, du type de chargement, de la propriété/réponse étudiée, des conditions aux limites en simulations en champs complets.
Avant de parler de détermination de taille de VER, il est impérativement nécessaire de définir la notion de réalisation. Une réalisation est une représentation quelconque de la microstructure considérée, avec une taille fixée et/ou une fraction volumique d’inclusions fixée.
Pour chaque taille de volume considérée, on calcule la moyenne et la variance des réponses macroscopiques (apparentes) sur les différentes réalisations du volume de la taille en question.
Deux types de stratégies sont aujourd’hui identifiées dans la littérature pour définir la taille du VER en calculs de microstructures aléatoires : l’approche déterministe et les approches statistiques. Toutes les deux exploitent (à minima à des fins d’identification et/ou de validation des modèles sous-jacents) la comparaison des résultats obtenus (moyenne et variance sur les différentes réalisations) pour des tailles de volume croissantes.
- Stratégie n°1 : Détermination « déterministe » du VER :
La taille du VER (associée à la réponse macroscopique recherchée) est considérée atteinte lorsque la stabilité de la réponse apparente moyenne sur les différentes réalisations est atteinte, avec de surcroît une stabilisation de la variance à une valeur minimale. Déjà en petites déformations, la littérature souligne les limites d’une telle définition « déterministe » du VER pour les forts contrastes (taille infinie dans ce cas, (Kanit et al. 2003)) ou encore pour des comportements non linéaires (augmentation de la taille de la taille du VER, (Gitman et al. 2007)).
- Stratégie n°2 : Détermination « statistique » du VER :
De nouvelles approches de nature statistique, non seulement dans le traitement (plusieurs réalisations pour chaque taille de volume considérée) mais également dans l’analyse des résultats, ont récemment vu le jour. Elles introduisent une définition élargie du VER en intégrant la notion de précision désirée sur la propriété ou réponse recherchée. Le VER n’est de fait pas unique. Fondés sur la notion de portée intégrale, le modèle de ((Kanit et al. 2003), (Kanit et al. 2006)), et sa version étendue et améliorée pour des comportements non linéaires y compris géométriques par (Pelissou et al. 2009), permettent de trouver pour un nombre fixé de réalisations, la taille du VER à utiliser pour atteindre la précision désirée. Inversement, si la taille du volume est fixée, le modèle fournit le nombre de réalisations requis pour atteindre la même précision.
Ces approches ont été appliquées sur des microstructures artificielles générées numériquement (voir 1Figure 1.30-(a)) (Kanit et al. 2003), (Gitman et al. 2006) et (Gitman et al. 2007), ou sur des microstructures reconstruites numériquement à partir de la morphologie réelle (voir 1Figure 1.30-(b)) ((Kanit et al. 2006), (Pelissou et al. 2009)). Plus récemment, (Ramirez et al. 2010) ont appliqué une méthode statistique directement sur des mesures expérimentales.
a) b)
a) b)
Figure 1.30 Exemples de microstructures numériques artificielle (Gitman et al. 2007) (a) et réelle (Kanit et al. 2006) (b).
Bilan
La notion de VER est associée à celle de microstructure hétérogène. Sa taille est directement liée à la réponse qu’on veut estimer (VER « mécanique »). Parmi les techniques d’estimation de taille d’un VER, trois techniques basées sur l’application d’outils statistiques ont été mises en évidence. Peu d’information existe sur la taille d’un VER pour les semi-cristallins, même au sens morphologique du terme. Avec l’application des trois méthodes énoncées précédemment, on espère pourvoir fournir dans le cadre de ce travail des éléments de réponse pour les semi-cristallins. L’application de ces trois méthodes sera expliquée plus en détails au Chapitre 4.